高考数学理科高考试题分类汇编《不等式》
高考数学理科高考试题分类汇编：不等式
E1 不等式的概念与性质 5．，，[山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A. 1x 2＋1＞1
y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3
5．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1
y 2＋1
都不一定正确，故选D.
4．[四川卷] 若a >b >0，c 4．D [解析] 因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1 c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得， －a d >－b c ＞0，所以a d c .故选D. E2 绝对值不等式的解法 9．、[安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时， f (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 3x ＋a ＋1（x >－1）， x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1， －3x －a －1⎝ ⎛⎭⎫x <－a 2. 由图可知，当x ＝－a 2 时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪ ⎧ 3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎫x >－a 2，－x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）. 由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8. E3 一元二次不等式的解法 2．、[全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0] 2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1 12．、[新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0 )]2 ＜m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2 ＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋1 2，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3 .因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14 ，所以 只要1 4m 2＋3 ＋∞)． E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题 5．[安徽卷] x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＋y －2≤0， x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0. 若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．． ，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 5．D [解析] 方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2), 则z A ＝2，z B ＝－2a ，z c ＝2a －2. 要使对应最大值的最优解有无数组， 只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ， 解得a ＝－1或a ＝2. 方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，则由题意知l 0∥AB 或l 0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2. 6．[北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0， 且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1 2 6．D [解析] 可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函 数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2 k ＝－4，即k ＝－1 2 . 11．[福建卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________． 11．1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)， 把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得z min ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1. 3．[广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别 为m 和n ，则m －n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．B [解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示． 当目标函数线经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点B (2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6. 14．[湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧y ≤x ， x ＋y ≤4，y ≥k ， 且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________. 14．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2. 14．[全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1， 则z ＝x ＋4y 的最大值为________． 14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋1 4z 经过点 A 时，z 取得最大值． 由⎩ ⎪⎨⎪⎧x －y ＝0， x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5. 9．、[新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 3 9．B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假． 9．[新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 9．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8. 9．[山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩ ⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0， 2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞ 0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a 2＋b 2的最小值为( ) A. 5 B. 4 C. 5 D. 2 9．B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)． 显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(2 5－2a )2＝5a 2－8 5a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－8 5a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是 4×5×20－（8 5）2 4×5 ＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B. 18．，[陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|； (2)设OP →＝mAB →＋nAC → (m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC → ＝0， 又P A →＋PB →＋PC → ＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP → |＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC → ＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP → )＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC → )＝(2，2)， ∴|OP → |＝2 2. (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x ， 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 5．，[四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( ) 图1-1 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大 的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C. 2．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝1，即点A (1，1)． 当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3. 13． [浙江卷] 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＋2y －4≤0， x －y －1≤0，x ≥1 时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． 13.⎣⎡⎦⎤1，3 2 [解析] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤3 2 ，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时z 取 得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4， 1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋3 2≤4， 解得1≤a ≤3 2.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32. E6 2 a b +≤ 16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5 c 的最小值为________． 16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)． (4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥5 4 (2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b 2 1 3 ，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时， |2a ＋b |取得最大值8 5 c ，此时c ＝40λ2. 3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝ 18⎝⎛⎭ ⎫1λ－42 －2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5 c 取最小值－2. 14．，[山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6 的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 14．2 [解析] T r ＋1＝C r 6(ax 2) 6－r ·⎝⎛⎭ ⎫b x r ＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－ 3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时， 等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2. 10．，[四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两 侧，OA →·OB → ＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.172 8 D.10 10．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2， 解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)． 于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝1 8(9|y 1|＋8|y 2|) ≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 2 2时，取y 1 ＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×1 2×2×2＋ 12×14×2＝1728，而1728 >3，故选B. 14．，[四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________． 14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上， 所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10. ∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |2 2 ＝5， 当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立． E7 不等式的证明方法 20．[北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 19．、、[天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q －1}， 集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}． (1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A. (2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n 19．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1 ≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1 ＝（q－1）（1－q n－1） 1－q －q n－1 ＝－1<0， 所以s E8 不等式的综合应用 9．、[安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为() A．5或8 B．－1或5 C．－1或－4 D．－4或8 9．D[解析] 当a≥2时， f (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 3x ＋a ＋1（x >－1）， x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1， －3x －a －1⎝ ⎛⎭⎫x <－a 2. 由图可知，当x ＝－a 2 时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪ ⎧ 3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎫x >－a 2，－x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）. 由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8. 13．[福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 13．160 [解析] 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4x m. 记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4 x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4 x ＝160(元)， 当且仅当x ＝4 x ，即x ＝2时，等号成立． 因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元， 即容器的最低总造价为160元． 21．，，，[陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 21．解：由题设得，g (x )＝x 1＋x (x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝ x 1＋x ， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ， g 3(x )＝ x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx . 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x 1＋kx . 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋ x 1＋kx ＝x 1＋（k ＋1）x ，即结 论成立． 由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x (x ≥0)， 则φ′(x )＝ 11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2 ， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0. 即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ ax 1＋x 不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]． (3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1， 比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下： 方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1 n ＋1 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )> x 1＋x ，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1 n ＋1 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，1 2 ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1 k ＋1 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2 k ＋2 ＋2)， 即结论成立． 由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． 方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1 n ＋1 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )> x 1＋x ，x >0. 令x ＝1 n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1. 故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>1 3， …… ln(n ＋1)－ln n >1 n ＋1 ， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1 n ＋1， 结论得证． 方法三：如图，⎠⎛0 n x x ＋1 d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积， 而12＋23＋…＋n n ＋1 是图中所示各矩形的面积和， ∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0 n x x ＋1 d x ＝ ⎠⎛0n ⎝⎛⎭ ⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证． E9 单元综合 16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5 c 的最小值为________． 16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)． (4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥5 4(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b 21 3 ，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时， |2a ＋b |取得最大值8 5 c ，此时c ＝40λ2. 3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝ 18⎝⎛⎭ ⎫1λ－42 －2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5 c 取最小值－2. 12．、[辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0； ②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1 2 |x －y |. 若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )| D.18 12．B [解析] 不妨设0≤y 当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤1 4. 当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<1 2 |x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝1 4 . 3．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＋y －2≥0， x －y －2≤0，y ≥1， 则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝1，即点A (1，1)． 当目标函数线过可行域内min ＝1×1＋2×1＝3. 16．[广州七校联考] 不等式|x ＋2|＋|x －1|≤5的解集为________． 16．[－3，2] [解析] 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为－3≤x ≤2. 4．[安徽六校联考] 若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1 xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．A [解析] ∵x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，∴2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成 立，∴xy ≤1，∴1 xy ≥1，∴1≥M ， ∴M max ＝1. 7．[福建宁德期末] 已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1 ＋x 2＋a x 1x 2的最小值是( ) A.63 B.23 3 C.43 3 D.23 6 7．C [解析] 由题知x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥2 43＝4 3 3 ， 当且仅当a ＝3 6 时，等号成立． 6．[长沙模拟] 若f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ） x ＞0的解集是( ) A ．(－2，0)∪(0，2) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－2，0)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 6．D [解析] 因为f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在区间(－ ∞，0)上单调递增．又f (－x )＝－f (x )，所以f （x ）－f （－x ）x >0等价于2f （x ） x >0. 根据题设作出f (x )的大致图像如图所示．由图可知，2f （x ） x >0的解集是(－∞，－2)∪(2， ＋∞)． 13．[浙江六市六校联考] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋9 y ＝10，则x ＋y 的最大值为 ________． 13．8 [解析] ∵1x ＋9y ＝10－(x ＋y )，∴(x ＋y )1x ＋9y ＝10(x ＋y )－(x ＋y )2.又(x ＋y )1x ＋9 y ＝10 ＋9x y ＋y x ≥10＋6＝16，∴10(x ＋y )－(x ＋y )2≥16，即(x ＋y )2－10(x ＋y )＋16≤0，∴2≤x ＋y ≤8，∴x ＋y 的最大值为8. 【高中数学】数学复习题《不等式》知识点练习 一、选择题 1．已知集合{} 2 230A x x x =-->，(){} lg 11B x x =+≤，则() R A B =I ð（ ） A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<< 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合() R A B ⋂ð. 【详解】 解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {} 13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð， 因此，(){} 13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】 本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由3log (2)1a b +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ⎛⎫ +=++ ⎪⎝⎭ ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(83333 a b a b a b b a b a += ++=++≥+=， 2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式一、单选题(共10题；共50分) 1．（5分）（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件{x−2≥0， 2x+y−7≤0， x−y−2≤0， 则z=3x+4y的最大值是（） A．20B．18C．13D．6 【答案】B 【解析】【解答】根据约束条件{x−2≥0， 2x+y−7≤0， x−y−2≤0， 画出可行域， 可知过点（2，3）时取到最大值18. 故答案为：B 【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可． 2．（5分）（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件{x+y⩾2， x+2y⩽4， y⩾0， 则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12 【答案】C 【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数z=2x−y转化为y=2x−z， 上下平移直线 y =2x −z ，可知当直线过点 (4，0) 时，直线截距最小，z 最大， 所以 z max =2×4−0=8 . 故选：C 【分析】作出可行域，数形结合即可得解. 3．（5分）（2022·全国甲卷）设全集 U ={−2，−1，0，1，2，3} ，集合 A ={−1，2}，B ={x ∣ x 2−4x +3=0} ，则 ∁U (A ∪B)= （ ） A ．{1，3} B ．{0，3} C ．{−2，1} D ．{−2，0} 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得， B ={x ∣x 2−4x +3=0}={1，3} ，所以A∪B={-1，1，2， 3} ， 所以∁U (A ∪B)={−2，0} . 故选：D 【分析】先求解方程求出集合B ，再由集合的并集、补集运算即可得解. 4．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（ ） A ．a >0>b B ．a >b >0 C ．b >a >0 D ．b >0>a 【答案】A 【解析】【解答】解：由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1， 而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992 )2 <1=(lg10)2， 所以lg10lg9>lg11 lg10 ， 即m>lg11， （2010福建）（7分）(3)选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|. ①若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； ②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．答案：法一：①由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以 31, 35, a a = ? ? += ? －－ 解得a＝2. ②当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)， 于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝ 21,3, 5,32, 21, 2. x x x x x < ? ? ≤≤ ? ?+> ? －－－ － 所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5. 综上可得，g(x)的最小值为5. 从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立， 则m的取值范围为(－∞，5]． 法二：①同解法一． ②当a＝2时，f(x)＝|x－2|， 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)． 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5. 从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]． （2010湖北）15．(理)设a＞0，b＞0，称2ab a b + 为a，b的调和平均数．如图，C为线 段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段______的长度是a，b的几何平均数，线段______的长度是a，b的调和平均数． 答案：CD DE 解析：∵△ACD∽△DCB， ∴AC CD ＝ CD CB ，CD ∵Rt△ECD∽Rt△COD， ∴DE＝ 2 CD OD ＝ 2 ab a b + ＝ 2ab a b + . 数学《不等式》试卷含答案 一、选择题 1．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22 2122211x y m x y m x y m ?-≤-?? +≥+??-+-≤?? ，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ． 1 4 π B ．12 π C ．π D ． 32 π 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】 实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --?? ++??-+-? ?…?的可行域如图： 可行域是扇形，14 个圆，面积为：2 11144ππ??=． 故选：A ． 【点睛】 本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c > C ． a b 2 c +> D ． 112a b c +> 【答案】C 【解析】 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】 ,a c b c >>，故2a b c +>， 2 a b c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】 本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 3． 若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由3log (2)1a b +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(83333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a =，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．设x ，y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120 【答案】B 专题17不等式选讲 历年考题细目表 题型年份考点试题位置 解答题2019 不等式选讲2019年新课标1理科23 解答题2018 综合测试题2018年新课标1理科23 解答题2017 综合测试题2017年新课标1理科23 解答题2016 综合测试题2016年新课标1理科24 解答题2014 综合测试题2014年新课标1理科24 解答题2013 综合测试题2013年新课标1理科24 解答题2012 综合测试题2012年新课标1理科24 解答题2011 综合测试题2011年新课标1理科24 解答题2010 综合测试题2010年新课标1理科24 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1． 要证（1）a2+b2+c2；因为abc＝1． 就要证：a2+b2+c2； 即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1． ∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号． 即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证． 故a2+b2+c2得证． （2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立； 即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）； 当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2； 当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）≥3×8??24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号； 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证． 故得证． 2．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|， 由f（x）＞1， ∴或， 解得x， 故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞）， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 2020高考真题数学分类汇编—不等式 一、选择题（共3小题） 1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）二．多选题（共1小题） 4．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（） A．a2+b2≥B．2a﹣b＞ C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤ 三．填空题（共7小题） 5．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．6．（2020•上海）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．7．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是．8．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为． 9．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为．10．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．11．（2020•上海）不等式＞3的解集为． 2020高考真题数学分类汇编—不等式 参考答案 一、选择题（共3小题） 1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误； B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确； C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误； D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误． 故选：B． 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 【解答】解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1． 由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、 （1，2），如图所示： 不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 故选：D． 高考数学理科高考试题分类汇编：不等式 E1 不等式的概念与性质 5．，，[山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A. 1x 2＋1＞1 y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3 5．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1 y 2＋1 都不一定正确，故选D. 4．[四川卷] 若a >b >0，c 全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编： 20 不等式选讲 1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3； (2)若b=2c，则1 a +1 c ≥3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得0 (1) 证明：因为a >0，b >0，c >0，则a 3 2>0，b 3 2>0，c 3 2>0， 所以a 3 2+b 3 2+c 3 23 ≥√a 3 2⋅b 3 2⋅c 3 23 ， 即(abc )12≤13，所以abc ≤19，当且仅当a 32=b 32=c 3 2，即a =b =c =√1 9 3 时取等号． (2) 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b +c ≥2√bc ，a +c ≥2√ac ，a +b ≥2√ab ， 所以 a b+c ≤ 2√bc = a 3 22√abc ， b a+c ≤ 2√ac = b 3 22√abc ， c a+b ≤ 2√ab = 3 22√abc a b +c +b a +c +c a + b ≤a 322√ab c +b 32 2√abc c 3 2 2√abc =a 32 + b 32 + c 32 2√abc = 12√abc 当且仅当a =b =c 时取等号． 3．【2021年甲卷文科】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--． （1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112 a ≥ 【解析】 【分析】 （1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 时a 的值可求. 2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案） 1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则 11 3a c +≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且32 2 32 31a b c ++=，证明： （1）1 9 abc ≤； （2） a b c b c a c a b ++≤ +++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1) ≤ (2)证明：()()()22241233 x y z -+-+-≥ 4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=. （2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值. 5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值． 6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集； (2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->； （2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集； （2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥ 【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案 一、选择题 1．已知0a >，0b >，且()12 2y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ． 18 B ． 14 C ． 12 D ． 34 【答案】A 【解析】 【分析】 根据()12 2y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 1 22 a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】 因为()1 22y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以ab 2 1121 22228 a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当21a b +=，2a b =即11 ,24 a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 1 8 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题. 2．若,x y 满足约束条件360601 x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ ，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( ) A ． 116 B ． 18 C ．1 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】 由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≥⎩ 所表示的可行域，如图所示， 其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ， 因为122 2y x x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ ，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-， 则1222y x x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ 的最小值为4 1216-=. 故选：A ． 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力． 3．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≥⎩ ，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1 （其中0,0m n >>），则11 2m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ． 32 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式 求得 11 2m n +的最小值. 【详解】 画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=. 专题14 不等式 1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件{x +y ⩾2, x +2y ⩽4,y ⩾0, 则z =2x −y 的最大值是（ ） A ．−2 B ．4 C ．8 D ．12 2．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪ -≤⎨⎪≤⎩ 则3z x y =+的最小值为（ ） A ．18 B ．10 C ．6 D ．4 3．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4 sin sin y x x =+ C ．222x x y -=+ D ．4ln ln y x x =+ 4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1 sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图象关于y 轴对称 C ．f (x )的图象关于直线x π=对称 D ．f (x )的图象关于直线2 x π= 对称 5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │ 6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则（ ） A ．x +y ≤1 B ．x +y ≥−2 C ．x 2+y 2≤2 D ．x 2+y 2≥1 7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．221 2 a b +≥ B ．122 a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪ --≥⎨⎪+≥⎩ 则z =x +7y 的最大值为__ ____________. 9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪ -≥-⎨⎪-≤⎩ ，，则2z x y =+的最大值是____ ______． 全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲 一、填空题 1 ．（ 一般高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））假设关于实数x 的不等式 53x x a -++<无解,那么实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞ 2 ．（ 高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 那么(am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 【答案】2 3 ．（ 高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 【答案】[]0,4 4 ．（ 高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且知足:2221x y z ++=,23x y z ++=那么 x y z ++=_______. 二、解答题 5 ．（ 一般高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13 ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】 6 ．（ 一般高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x x a =-,其中1a >. (I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集; (II)已知关于x 的不等式()(){} 222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 【答案】 7 ．（ 一般高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式 *2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12 A ∉. 智才艺州攀枝花市创界学校2021年高考数学试题分类汇编——不等式 〔2021文数〕23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪ ⎨≥⎪⎪≥⎩的目的函数z x y =+的最大值是[答]〔〕 〔A 〕1.〔B 〕3 2 .〔C 〕2.〔D 〕3. 解析：当直线z x y =+过点B(1,1)时，z 最大值为2 〔2021理数〕〔7〕假设实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪ --≤⎨⎪-+≥⎩ 且x y +的最大值为9，那么实数m = 〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕1〔D 〕2 解析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 〔2021全国卷2理数〕〔5〕不等式26 01 x x x ---＞的解集为 〔A 〕{}2,3x x x -＜或＞〔B 〕{}213x x x -＜，或＜＜ 〔C 〕 {}213x x x -＜＜，或＞〔D 〕{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 【答案】C . 【解析】 利用数轴穿根法解得 -2＜x ＜1或者x ＞3，应选C 〔2021全国卷2文数〕(5)假设变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪ ≥⎨⎪+≤⎩ 那么z=2x+y 的最大值为 〔A 〕1(B)2(C)3(D)4 【解析】C ：此题考察了线性规划的知识。 ∵作出可行域，作出目的函数线，可得直线与 y x =与325x y +=的交点为最优解点，∴即为〔1，1〕 ， 当 1,1x y ==时max 3z = 〔2021全国卷2文数〕〔2〕不等式 3 2 x x -+＜0的解集为 〔A 〕 {}23x x -<<〔B 〕{}2x x <-〔C 〕{}23x x x <->或〔D 〕{}3x x > 【解析】A ：此题考察了不等式的解法 ∵3 2x x -<+，∴23x -<<，应选A 〔2021理数〕3.不等式 22 x x x x -->的解集是〔〕 A.(02)， B.(0)-∞， C.(2)+∞， D.(0)∞⋃+∞（-，0）， 【答案】A 【解析】考察绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.2 0x x -<，解得A 。 或者者选择x=1和x=-1,两个检验进展排除。 〔2021文数〕〔8〕设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≥⎩ 那么目的函数z=x+y 的最大值是 〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕6〔D 〕8 8.C 【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目的函数z x y =+在(6,0) 取最大值6。 浙江省高考数学试题（理）分类解析汇编 专题6：不等式 一、选择题 1. （全国 理5分）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是【 】 （A ）}10|{<≤x x （B ）0|{ 3.（浙江 理5分）“1x >”是“2 x x >”的【 】 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】A 。 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。 【分析】由2x x >可得1x >或0x <，∴1x >可得到2 x x >，即1x >是2 x x >的充分条件；但2x x >得不到1x >，即1x >不是2 x x >的必要条件。故选A 。 4.（浙江 理5分）已知a ，b 都是实数，那么“22a >b ”是“a >b ”的【 】 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 。 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。 【分析】∵“22a >b ”既不能推出“a >b ”；反之，由“a >b ”也不能推出“22a >b ”， ∴“22a >b ”是“a >b ”的既不充分也不必要条件。故选D 。 5.（浙江 理5分）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的【 】A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 。 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。 【分析】∵对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立。 ∴“0a >且0b >”⇔“0a b +>且0ab >”，即“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的充分必要条件。故选C 。 6.（浙江201X 年理5分）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是1 1a b b a ＜或＞的【 】 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 。 上海市各地市202X 年高考数学最新联考试题分类大汇编第6部分:不 等式 一、选择题： 15．上海市十三校202X 年高三第二次联考理科若 01 1<；②；③ab b a <+，④33b a >，不正确的不等式的个数是 （ C ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、填空题： 11．上海市十校202X-202X 学年第二学期高三第二次联考理科已知奇函数在(,0)-∞为减函数， 且(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -⋅-<的解集为 ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞ 1、上海市虹口区202X-202X 学年第二学期高三教学质量测试理科已知集合{} 2≤=x x A ， ⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x x B ，则=⋂B A ．{}12<≤-x x 1 上海市卢湾区202X 年4月高考模拟理科不等式|2|x -≤1的解集是 ． 8、上海市虹口区202X-202X 学年第二学期高三教学质量测试理科不等式a ax x ->-32对 一切43≤≤x 恒成立，则实数的取值范围是 ． 7．上海市十三校202X 年高三第二次联考理科已知集合}01 |{<--=a x ax x A ，且， ，则实数的取值范围是]3,2()2 1,31[ 。 10．上海市闵行区202X 届高三下学期质量调研文科若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则 11 a b +的最小值为 4 12 上海市奉贤区202X 年4月高三调研测试（文）设满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ ≤+≥≥,143,0,0a y a x y x 若11 ++=x y z 的 最小值为 4 1 ，则的值 78 11 上海市杨浦区202X 年4月高三模拟理科已知函数)1lg()(+=x x f ，若b a ≠且 )()(b f a f =，则的取值范围是 【),0(+∞】 13．上海市杨浦区202X 年4月高三模拟理科如图，在梯形ABCD 中，AD 2 3 1S S S +【),2(+∞】 14、上海市徐汇区202X 年4月高三学习诊断文科设不等式组*00 ()4x y n N y nx n >⎧⎪ >∈⎨⎪≤-+⎩ 所表示的平面区域的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为则 2420101 ()2010 a a a +++= 。 3018 4 上海市卢湾区202X 年4月高考模拟理科若实数对满足224x y +=，则的最大值为 2 ． 三、解答题： 20．上海市黄浦区202X 年4月高考二模试题文科本题满分12分． 某小型工厂安排甲乙两种产品的生产，已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料A B C 、、的数量和一周内可用资源数量如下表所示： 【高中数学】高考数学《不等式》解析(1) 【详解】 本题主要考查了平面向量共线(平行) 简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档 题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的 问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解. 2.已知二次函数f(x) ax 2 bx c 的导数为f'(x) , f '(0) 0，对于任意实数都有 、选择题 1•设x ，y 满足 x 1 0 r x 2y 0，向量a 1, m y ，则满足a b 的实数m 的最小值为() 12 A . 5 【答案】B 【解析】 【分析】 2x y 4 B . 12 "5 3 C.- 2 D . 先根据平面向量垂直的坐标表示，得 y 2x ，根据约束条件画出可行域，再利用 m 的 几何意义求最值，只需求出直线 m 可. 2x 过可行域内的点 C 时，从而得到 m 的最小值即 解：不等式组表示的平面区域如图所示: 因为 a 2x,1 , b 1,m y , 由a b 得2x m •••当直线经过点 C 时，m 有最小值, 2x 由 x y 4 2y ，得 8 4 5‘5 ， y 2x 16 5 12 V ， 的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及 【点睛】 f （x ） 0，则而的最小值为（） 3.在下列函数中，最小值是 2的函数是（） A . f x 1 - __ 1 c x — B . y cos x 0 x x cosx 2 x 2 4 x 4 c C. f x .x 2 3 D . f x e — 2 e 【答案】D 【解析】 【分析】 根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案 【详解】 A. f x x x f 1 2 2， A 错误； B . y 1 cosx 0 x — ，故 cosx 0,1， y 2， B 错误； cosx 2 C. f x 2 4 x — x 2 3 - 1 .3， 故 f x 於 ，C 错误; ~2 - ， .x 3 y .x 2 3 3 D. f x 4 x e x 2 2.4 2 2， 当e x 2，即 x In 2时等号成立， D 正确. e e 故选: D . 【点睛】 本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力 4.给出下列五个命题，其中正确命题的个数为( ) 2 ①命题“ X 。 R ，使得X 。 X 0 1 0 ”的否定是“ x R ，均有X 2 x 1 0 ”; ②若正整数m 和n 满足m n ，则..m n m 2 0恒成立, a b 2 4a c 4ac b 2，且 c 0, a 当且仅当a 2ax b, a c ~b~ 2 ac b c 时，不等式取等号, 0,f 2 _4 ~~b~ 的最小值为 A 1 b 2 近十年全国高考数学真题分类汇编：不等式 理科试题 1．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一 （如图）．给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是（） A．①B．②C．①②D．①②③ 2．【2016年浙江理科08】已知实数a，b，c．（） A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100 3．【2014年浙江理科10】设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），，，i＝0，1，2，…，99．记I k＝|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k＝1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3 B．I2＜I1＜I3 C．I1＜I3＜I2 D．I3＜I2＜I1 4．【2013年北京理科08】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）， 满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（） A．B． C．D． 5．【2012年浙江理科09】设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（） A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞b B．若2a+2a＝2b+3b，则a＜b C．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b 6．【2010年北京理科07】设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（） A．（1，3] B．[2，3] C．（1，2] D．[3，+∞] 7．【2019年天津理科13】设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为． 8．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．9．【2018年江苏13】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为． 10．【2018年天津理科13】已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a的最小值为． 11．【2017年上海11】设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．12．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．13．【2015年浙江理科14】若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．14．【2013年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为． 15．【2013年天津理科14】设a+b＝2，b＞0，则当a＝时，取得最小值． 16．【2012年浙江理科17】设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．17．【2011年浙江理科16】设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是．高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》分类汇编附答案解析
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