高斯光束q参数的变换规律
基于自由电子 的辐射源： 的辐射源：:
0.1
1~100 mW 随频率提高， 随频率提高， 输出功率显著下 降；最高频率小 于 1 THz。 。
THz 技术在国防上的重要作用。 技术在国防上的重要作用。
雷达可成为未来高精度雷达的发展方向: ● THz 雷达可成为未来高精度雷达的发展方向 波比通常微波的频率更高,在远程军事目 由于 THz 波比通常微波的频率更高 在远程军事目 标探测、显示前方烟雾中的坦克、远距离成像、 标探测、显示前方烟雾中的坦克、远距离成像、多光 谱成像等方面有重要的应用, 谱成像等方面有重要的应用 能够探测比微波雷达更小 的目标和实现更精确的定位， 的目标和实现更精确的定位，具有更高的分辨率和更 强的保密性。 技术在反隐身方面有特殊的功能： ● THz 技术在反隐身方面有特殊的功能：目前各种军 事目标、武器的隐身主要是针对微波、 事目标、武器的隐身主要是针对微波、毫米波波段的 隐身， 隐身，而在尚未充分开发利用的 THz 波段中几乎未涉 所以THz 雷达有望探测到目前各种军事目标和武 及。所以 将成为反隐身的军事武器。 器，将成为反隐身的军事武器。
2、特殊情况：当
l=F
l ′ = F 与几何光学迥然不同
F
还可方便地求出透镜焦平面上的光斑大小： λ ωC = 在前式中令lc=F，
πω0
某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距 将焦距F=1m 例1 某高斯光束焦参数为 将焦距 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 的凸透镜置於其腰右方 处 求经透镜变换 后的像光束的焦参数f′及其腰距透镜的距离l′ 后的像光束的焦参数 ′及其腰距透镜的距离 ′ 解 q=2+i
0
π
z=0.5m
λ 3.14×10−6 q=0.5+i(m)
(2)
z2 0.52 w(z) = w0 1+ 2 = w0 1+ 2 =1.12m m f 1
f 1 R(z) = z + = 0.5 + = 2.5m z 0.5
2 2
高斯光束q参数的传输
1 1 λ = −i 2 q ( z ) R ( z ) πw ( z )
高斯光束q参数的变换规律
刘雁 三峡大学理学院
1月1日零时，激光在比利时首都布鲁塞尔市中心的建 筑物上打出“2011”的字样，迎接2011年的到来。
激光的应用举例-
THz 波的产生和应用前景
■太赫兹（THz）波是频率范围为 (0.1~10) THz的 太赫兹（ ） 的
电磁波，它处在微波与红外之间的特殊位置。 电磁波，它处在微波与红外之间的特殊位置。
高斯光束的ABCD定律
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵 An Mn = A1 B1 A2 B2 • • • • • • Cn = M =
C1 D1
2
M1
C 2
D2
Bn Dn
总矩阵元M：
A B An M = = C C D n
经整理后可得： 经整理后可得：
q(z ) = i
经距离L传播到 高斯光束在自由空间由z1经距离 传播到z2,q的规律为 ：
λ
+ z = if + z = q(0) + z
q( z 2 ) = q( z1 ) + z 2 − z1 = q( z1 ) + L
高斯光束的复数曲率半径与普通球面波的曲率半径遵循相同的传播规律
在自由空间的传 R2=R1+L 输规律 通过薄透镜的变 换 总的变换规律
1 1 1 = − R2 R1 F
AR1 + B R2 = CR1 + D
Aq1 + B q2 = Cq1 + D
曲率半径R
复曲率半径q
如何用q参数来分析高斯光束的传输
w0
' w0
wc
1、 2、 3、 4、
讨论一种特殊情况，c点为出射高斯光束的腰斑位置： 讨论
某高斯光束波长为λ 例1 某高斯光束波长为λ=3.14µm,腰斑半径为 µ 腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰 求腰右方距离腰50cm处的 处的(1)q参数 求腰右方距离腰 处的 参数 (2)光斑半径 与等相位面曲率半径 光斑半径w与等相位面曲率半径 光斑半径 与等相位面曲率半径R 2 πw0 3.14×10−6 λf 解 (1) w = f= = =1m
THz 在国家安全、反恐方面的作用 在国家安全、
波对衣物、塑料、陶瓷、硅片、 由于 THz 波对衣物、塑料、陶瓷、硅片、纸张和 干木材等一系列物质具有较好的穿透性能； 干木材等一系列物质具有较好的穿透性能；而且能 够根据物质的波谱特性进行 THz 标记，对特殊物 标记， 质进行识别，所以在毒品、 质进行识别，所以在毒品、化学生物危险品和武器 等的非接触安全检测、 等的非接触安全检测、邮件隐藏物的非接触检测等 方面受到了反恐、 方面受到了反恐、保安和海关检查等部门的高度重 视：
■人们将微波和红外领域成熟的技术应用到 THz 波
段时, 其波的功率很低, 应用效果不理想; 段时 其波的功率很低 应用效果不理想 长期以 辐射源和检测方法， 来，缺乏有效的 THz 辐射源和检测方法，人们对 于该波段的电磁辐射特性了解甚少， 于该波段的电磁辐射特性了解甚少，以至形成所 空白” 的现象。 谓 “THz 空白” 的现象。
R′ = −v
1 1 1 F− R = − = R′ R F FR
？∴R′ = FR
1 1 1 = + R − R′ F
F− R
球面波的传输与伴轴光线变换矩阵
的关系？
复习各种不同光学器件的变换矩阵
经过光学器件球面波曲率半径的变化可以表示为
描述高斯光束的三种方法
λ z2 w(z) = (f + ) π f
高斯光束经过一个透镜后像方高斯光束的特征 像方高斯光束束腰位置
像方高斯光束束腰半径
高斯光束的聚焦
F一定时， ω0′随l变化的情况 一定时， 一定时 变化的情况 1. 当 l < F 时 ，像方高斯光束的腰斑半径随L 的减小而减小。 的减小而减小。 像方高斯光束的腰斑半径达到最小值： 当 l = 0 时，像方高斯光束的腰斑半径达到最小值：
w = w/
qf
/
表示入射高斯光束在透镜处的q参数 表示入射高斯光束在透镜处的 参数，
q f 表示出射高斯光束在透镜处的 参数 表示出射高斯光束在透镜处的q参数
由上面的四个式子可以得到：
1 1 1 = − / qf f qf
高斯光束通过薄透镜的变换
如果写成高斯光束通过该光学系统时， 满足的变换规律为 如果写成高斯光束通过该光学系统时，q满足的变换规律为 ： Aq + B q = Cq + D
频率范围 功率范围 (THz) (平均 平均) 平均
0.2 ~ 1.0 0.3 ~ 5.0 2.1~4.4 0.2 ~ 2.0 0.1 ~ 1.0 mW
优点、 优点、缺点
功率~(f 功率 -2 ~ f-3); 装置小、 装置小、功率低
100 mW 功率低。 功率低。 50 ~ 2 mW < 100 uW 目前应用较多的 10-9 ~ 10-12 THz 源； Joule 用于成像系统， 用于成像系统， 功率低。 功率低。
f2 R(z) = z + z
fz参数 fz参数
q(z) = z + if
WR参数 参数
1 1 λ = −i 2 q(z) R(z) πw (z)
q参数 参数
高斯光束q参数的变换规律-ABCD公式
gaussian beam
的复参数q表示
的定义为: 复参数q的定义为
1 1 λ = −i 2 q ( z ) R ( z ) πw ( z )
Bn A2 • • • C Dn 2
B2 A1 D2 C1
B1 D1
高斯光束的q参数和ABCD定律给出研究高斯光束传输的一个基本方法
研究对象 特点
普ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ球面波
高斯球面波
曲率中心固定的 曲率中心变化的 q2=q1+L
1 1 1 = − q2 q1 F
2 z 2 λz 2 2 w 2 ( z ) = w0 1 + = w0 1 + 2 f πw0 2 πw0
参数： 高斯光束的q参数： 其中： 其中：
2 2 f 2 πw R(z ) = z 1 + = z 1 + 0 λz z
高斯光束通过薄透镜的变换
w/
R/
qf
q/ f
z/
高斯光束通过薄透镜的变换
当傍轴波面通过焦距为f的透镜时， 当傍轴波面通过焦距为 的透镜时，其波前 的透镜时 曲率半径满足 关系式 ： 出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：
1 1 1 = − R/ R f
1 1 λ = −i 2 q f R πw
1 1 λ = / − i /2 q /f R πw
代入上式： 将波前的曲率半径R(z)和光斑半径w(z)代入上式：
λz w(z ) = w0 1 + πw2 0
2
或
λ z2 w(z) = (f + ) π f
f2 R(z) = z + z
2 2 πw R (z ) = z 1 + 0 λz
′ w0 min = w0
2 πw0 1+ λF 2
=
w0 f 1+ F
2
< w0
由像方光腰位置的公式
高斯光束的变换,模式匹配
2.1212 4
1.63
∵F<l0/2,取正
lF
F 2 ff
f f
1.63
1.632 2
1 2.21 2
l F
F 2 ff
f f
1.63
1.632 2
2 2.79
用F=1.63m的透镜，放在距物腰2.21m,距像腰2.79m处
(3)l0= 2 2m
A F
l02
(A2 - 4) ff A2 4
(2)l=2 q 2 i
q Fq 0.1(2 i) 0.1(2 i)(-1.9 i) 0.104 0.00217i F q 0.1 2 i (-1.9 i)(-1.9 i)
l 0.104m
w0
f
3.14106 0.00217 0.0466mm
3.14
结论 1. F<f，总有聚焦作用 2. 若F>f,只有l F F2 f 2及 l F F2 f 2 才有聚焦作用
1.5
1.52 1 2
1 1.5 0.3535 2
1.8535m或1.1465m
l F
F 2 ff
f f
1.5
1.52 1 2
2 1.5 0.707
2.207m或0.793m
将透镜放在距物腰1.854m,距像腰2.207m处 或放在距物腰1.147m,距像腰0.793m处
2、两高斯光束的腰位置固定
解 (1)l=0
f
w02
3.14 106 3.14 106
1m
qi
q Fq 0.1i 0.1i(0.1 i) 0.099 0.0099i F q 0.1 i (0.1 i)(0.1 i)
北交大激光原理第4章高斯光束部分-final
第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点学习要求1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；2．理解q 参数的引入，掌握q 参数的ABCD 定律；3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点1.高斯光束的传输特性；2. q 参数的引入；3. q 参数的ABCD 定律；4.薄透镜对高斯光束的变换；5.高斯光束的聚焦和准直条件；6.谐振腔的模式匹配方法。
难点1. q 参数，及其ABCD 定律；2.薄透镜对高斯光束的变换；3.谐振腔的模式匹配。
1等相位面：以R 为半径的球面，R(z) =z [ 莘 -2点的远场发散角， m = lim 2w(z) _2 --- =e zY ： z 二 W oW o(或f )及束腰位置―；将两个参数W(z)和R(Z)统一在一个表达式中，便于研究 z、知识点总结振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。
光斑半径 w(z)二w 0.:高斯光束特征参数 光斑半径w(z)和等相位面曲率半径:/% =w(z) 1 +⑷(z)丿 R(z)、 -'I :( z = R(z) 1十卜 j 匚 辽w(z)丿.二 W 2(z) 2咼斯光束基本性质远场发散角： 1 1. 九iq 参数，q (z) R(z)兀 w(z)2 q (z )=if+z =q +z =i 孚1高斯光束通过光学系统的传输规律2傍轴光线L 的变换规律器 士C ； D』傍轴球面波的曲率半径R 的变换规律R AR^B .遵从相同的变换规律 CR +D高斯光束q 参数的变换规律q^Aq^B Cq i +DABCD 公式高斯光束q 参数的变换规律 高斯光束的聚焦：只讨论单透镜 高斯光束的准直：一般为双透镜ABCD 公式云誓T 高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况已知w 0，w 0，确定透镜焦距F 及透镜距离I ，I' 已知两腔相对位置固定l^ I I '及W o ，W o 确定，F 如何选择高斯光束的自再现变换 )W’o =W o or I'=I高斯光束的自再现变换和稳定球面腔q(I')=q(O )T 2透镜F J U 1+徳J]-丿」I 球面镜R(I)=I 1+@曲[] . 4丿」二w 0即F E R(I)=稳定球面腔、典型问题的分析思路2高斯光束的q 参数在自由空间中的传输规律 q(z) = i —些亠z = q 0亠z1)高斯光束通过单个透镜的变换。
激光原理-(9)-高斯光束
−
1 F
0
1
R2
=
AR1 CR1
+ +
B D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
在自由空间的传播
束腰处：
=z 0，q(0=) if=
1 Z
自由空间变换矩阵： TL = 0
1
i πω02 λ
由ABCD法则： q(z=) if + z
11
iλ
z − if
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω ′2 0
F 2ω 2
= (F − l )2 0+ f 2
（1） l < F
ω0′随 l 的减小而减小
当 l = 0 时：ω0′(min) =
ω0 =l′
1 + ( f )2 F
i
πω
2 2
=( 1 R1
λ − i πω12 ) −
1 F
=
1 q1
−
1 F
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
ω0′ ωc
A B l′
C
l
lC
q0
qA qB
qC
求：ωC、RC
方法一： z=0 处：q0 = i πω02 λ
A处： q=A q0 + l
ω ( z )
ω0，z
⇒
R(
z)
θ0
2. 任一 坐标 z处的光斑半径 ω (z)及等相面曲率半径 R(z)
3.8高斯光束
一、高斯光束的基本性质
1.基模高斯光束
沿z轴传播的基模高斯光束的表达式
x2 + y2 ⎡ z k x2 + y2 ⎤ −i ⎢ kz − arctg + ⎥ zR 2 R(z ) ⎥ ⎢ ⎣ 14444244443 4 4⎦
相位因子
(
)
C 00 − w2 ( z ) ψ 00 ( x, y , z ) = e e w( z ) 14243
U ( x, y , z ) ∝ 1 −ikR 1 e ≈ e R R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2z ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=
1 e R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2R ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
因此，q(z)称为高斯光束的复曲率半径，也称为q参数
q(z)将w(z)和R(z)统一起来，已知q(z)可求出w(z) 和R(z)
Q 高斯光束的q的变换规律同球面波R的变换规律相同 ∴ Aq1 + B q2 = Cq1 + D
（1）高斯光束q参数在自由空间的传播 由
⎧ 1 1 λ ⎪ = −i q( z ) R( z ) πω 2 ( z ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ πω 2 ⎞ 2 ⎤ ⎪ 0 ⎨ R( z ) = z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎜ λz ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎪ ⎦ ⎣ ⎪ ⎡ ⎛ λz ⎞ 2 ⎤ ⎪ω 2 ( z ) = ω 2 ⎢1 + ⎜ 0 ⎟ ⎜ πω 2 ⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎝ 0⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎩
（3）普通球面波的ABCD定律
光学系统 R1
θ1
P1 R2
r1
r2
θ2
P2
高斯光束的传输变换学习笔记
0
1
R1( z ) o
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
z2 z
曲率半径满足：
L
1 1 1 R2(z) R1(z) F
R2(z)
R1 R1 / F
1
1
1/
F
0
1
F
将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面
波的传播规律：
R2(
z)
AR1( z ) CR1( z )
B D
R1(z)
R2
i
2 1
R2为等相位面曲率半径，由球面 波球率半径的变换公式可得：
1 R1
1 F
i
2 1
1 q1( z )
1 F
高斯光束通过薄透镜的传输
通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，
可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R 相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半 径；
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用
光线矩阵表示出来：
q2(
z)
Aq1( z ) Cq1( z )
B D
由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的
具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述
一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将
主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
2
1
高斯光束的ABCD法则
3、用q参数表示
1 由q参数的定义： q(z)
1 R(z)
i
2(可z ) 知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
对⾼斯光束传输理论的⼀些学习笔记⾼斯光束传输理论研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道⾼斯光束在⾃由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后⾼斯光束如何变化。
⾼斯光束的传输规律激光光束具有⽅向性好的特点，光束的能量在空间的分布⾼度的集中在光的传播⽅向上，其光束具有⼀定的发散⾓，光束分布有着特殊的结构。
由球⾯波构成谐振腔产⽣的激光束，在它的横截⾯上，光强是以⾼斯函数型分布的，称为⾼斯光束。
⾼斯光束在光学设计中有着⼴泛的应⽤。
沿z 轴⽅向传播的基模⾼斯光束可以表⽰为如下的⼀般形式：-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω（1）其中E 0为常数因⼦，zf z z f f z f z f z z R R 22)(])(1[)(+=+=+==20)(1)(fzz +=ωω；222y x r +=；λπ2=k ；λπω20=f ；πλωf =0；（2）ω0为基模⾼斯光束的腰斑半径；f 为⾼斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的⾼斯光束等相位⾯的曲率半径；由上式我们可以看出，⾼斯光束具有下述基本性质：（1）基模⾼斯光束在横截⾯内的场振幅分布按⾼斯函数))(exp(22z r ω-所描述的规律从中⼼（即传输轴线）向外平滑地降落。
由振幅降落到中⼼值的1/e 的点所定义的光斑半径为22020)(1)(1)(πωλωωωz fz z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增⼤1)(2222=-f z z ωω在z=0处，0)(ωω=z ，为极⼩值。
双曲线的对称轴为z 轴，基模⾼斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲⾯为界的。
（2）基模⾼斯光束的相移相位因⼦由下式决定fzarctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ它描述⾼斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。
高斯光束
2）当场振幅为轴上( x2 y 2 0 )的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时， 所对应的横向距离 z 即z 处截面内基模的有效截面半径为；
z f w0 , w z w0 1 f 3)共焦场中等相位面的分布如图所示。
2
x2 y 2 1 z 00 ( x, y , z ) k z tg 2 R (z ) f 2 w2 2 f 0 R z z 1 z z z
2
f R (z) z z
2
３、q参数
(1)定义 (2)计算
1 1 i 2 q(z) R (z) w ( z )
w02 if 束腰位置处 z 0 ，有 q0 i
q (z) z if
禳 镲1 1 = Re 镲 睚 镲 R( z ) q( z ) 镲 铪 禳 镲 1 1 镲 = p / l Im 睚 镲 w2 ( z ) q( z ) 镲 铪
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R w 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i (m) 2 i 4 1 5
6
(2)
w( z ) w0 1
2
z z ( f ) 2 f f
2r 2 I (r ) I 0 exp 2
r2 A(r ) A0 exp 2
P T P
I (r )2 rdrd 1 exp 2 I (r )2 rdrd 孔径半径 a
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯
球面波，
2.在其传播过程中曲率中心不断改变
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
高斯光束传输理论研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道高斯光束在自由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后高斯光束如何变化。
高斯光束的传输规律激光光束具有方向性好的特点，光束的能量在空间的分布高度的集中在光的传播方向上，其光束具有一定的发散角，光束分布有着特殊的结构。
由球面波构成谐振腔产生的激光束，在它的横截面上，光强是以高斯函数型分布的，称为高斯光束。
高斯光束在光学设计中有着广泛的应用。
沿z 轴方向传播的基模高斯光束可以表示为如下的一般形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω （1）其中E 0为常数因子，zf z z f f z f z f z z R R 22)(])(1[)(+=+=+==20)(1)(fzz +=ωω；222y x r +=；λπ2=k ；λπω20=f ；πλωf =0；（2） ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f 为高斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的高斯光束等相位面的曲率半径；由上式我们可以看出，高斯光束具有下述基本性质：（1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数))(exp(22z r ω-所描述的规律从中心（即传输轴线）向外平滑地降落。
由振幅降落到中心值的1/e 的点所定义的光斑半径为22020)(1)(1)(πωλωωωz fz z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增大1)(2222=-f z z ωω在z=0处，0)(ωω=z ，为极小值。
双曲线的对称轴为z 轴，基模高斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲面为界的。
（2）基模高斯光束的相移相位因子由下式决定fzarctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ它描述高斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。
第三章 高斯光束的传输与变换
2.9.4 高阶高斯光束 （1）厄米特—高斯光束 高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的 乘积来描述。 沿z方向传输的厄米卢高斯光束
mn(x ,y ,z ) C mn
C mn 1
1
H m(
2
2
x )H n(
2
y) e
r2 2
e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2R f
激光物理
第三章
高斯光束的传输与变换
回顾
方形镜共焦腔的行波场
（厄米-高斯光束） 当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦 腔中的行波场可以表示为：
2 2 0 Emn( x, y, z ) AmnE 0 Hm x Hn y e ( z) ( z) ( z)
1 1 令q0=q(0)，则： Nhomakorabeai 2 q 0 R(0) (0)
20 R(0) , (0) 0 q 0 i if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据 实际问题来灵活选择使用哪种参数。
2 2 2 2
可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。
（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 z 00(x ,y ,z ) k(z ) arctg 2R f
表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面
2 2 0 R(z ) z 1 z
式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y 方向的远场发散角 2 ( z ) 2 m lim m 2m 1 2m 1 0 z z 0 2n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0
10第二章-5 高斯光束的基本性质及特征参数
c r2 r2 z 00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2R f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
二、高斯光束的准直
• 单透镜对高斯光束发散角的影响 对0为有限大小的高斯光束，无论F、l取什 么值，都不可能使0 ，也就不可能使0 0。 结论：用单个透镜将高斯光束转换成平面波， 从原则上说是不可能的。 l=F 时， 0 达到极大值， 0 达到极小值， 0/ 0=f/F，此时，F愈大， 0 愈小。当 f/F=02/F<<1时，有较好的准直效果。与F 和0关联。
解 (1)
z=1m f=1m
0 f
3.14 106 1 1mm 3.14
腰位置为在该处左方1m处
(2)
1 1 1 i 1 1 i q 1 i 2 2 2
1 1 R 2
R 2m
1 2 2
2
2 3.14 106 1.414mm 3.14
复曲率半径q
三、用q参数分析高斯光束的传输问题
• 已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F。 • 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束 参数C和RC。
• • • •
在z=0处 q(0)=i02/ 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F 在C处 qC=qB+lC qC C、RC
2 0 q0 i if
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出