正交曲线坐标下散度和旋度表达式的新证明
矢量场的旋度处处为零一定是保守场吗？
矢量场的旋度处处为零一定是保守场吗？
金仲辉
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1985(000)002
【摘要】众所周知，对一个保守场来说，表征这个场的矢量的旋度处处为零；反之，若一个矢量的旋度处处为零，这个场是否一定是保守场呢？有些教科书对比作了肯定的答复，这是不妥的，现以下列二个例子说明．
【总页数】2页(P48-48,F0003)
【作者】金仲辉
【作者单位】北京大学
【正文语种】中文
【中图分类】O316
【相关文献】
1.R3中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法 [J], 蒋泽;赵为粮
2.旋度为零的矢量场并非都是保守场 [J], 成尚明
3.矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用——正交曲线坐标系下 [J], 杨阔;李丽
4.矢量场的“环量为零”与“无旋”的等效性——兼论无限长直电流的磁场的旋度并不处处为零 [J], 胡业腾;钟克武
5.旋度处处为零的矢量场必是保守场 [J], 柯坤章
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关于梯度、散度与旋度的探讨
关于梯度、散度与旋度的探讨中文摘要本论文主要介绍了梯度、散度与旋度的概念以及性质，研究了它们的一些应用，其中包括共轭梯度法、斯托克斯定理等等。
在此基础之上，我们又进而深入探讨了它们之间的联系，例如梯度场和旋度场的两个重要性质、亥姆霍兹定理等等，同时，麦克斯韦方程组对散度和旋度的应用有了进一步的诠释。
关键词：哈密度算子；梯度；散度；旋度；共轭梯度法Discussion On The Gradient, Divergence And CurlABSTRACTThis paper describes the gradient, divergence and curl of the concept and nature of some of their applications, including conjugate gradient method, Stokes Theorem and so on. On this basis, we also discussed in detail the links between them, such as gradient and curl field of the two important properties, the Helmholtz Theorem, and so, while Maxwell's equations for divergence and curl The application has been further interpretation.KEY WORD: Hamilton operator degree;Gradient; divergence; rotation; conjugate gradient method.第一章前言 (1)1.1 问题的提出 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 研究思路 (2)第二章梯度、散度与旋度的概念与性质 (3)2.1 梯度的概念与性质 (3)2.1.1 梯度的概念 (3)2.1.2 梯度的性质 (4)2.2 散度的概念及性质 (6)2.2.1 散度的概念 (6)2.2.2 散度的性质 (7)2.3 旋度的概念及性质 (9)2.3.1 旋度的概念 (9)2.3.2 旋度的性质 (11)第三章梯度、散度与旋度的应用与联系 (12)3.1 梯度、散度与旋度的应用 (12)3.1.1 梯度的应用 (12)3.1.2 散度的应用 (18)3.1.3 旋度的应用 (20)3.2 梯度、散度与旋度的联系 (21)3.2.1 两个重要性质 (21)3.2.2 亥姆霍兹定理 (22)3.2.3 麦克斯韦方程组 (23)第四章结束语 ...................................................................................................... 错误！未定义书签。
第1章 - 2-散度旋度拉普拉斯定理
的面积ΔS趋近于零, 取极限
s ens
lim l F d l
dl
C
F
s0 S
▪P
这个极限的意义就是环流的面密度,
或称环流强度。
面元是有方向的, 它与封闭曲线C的绕行方向成右手螺旋关系。
上述极限值对于不同的面元是不同的。 把上式记为rotnF→。它表示P点F→对任意曲线C的环流密度
20
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
F dl
curl F
en
lim S 0
l
S
max
（1-97）
矢量F→的旋度是一个矢量, 大小是矢量F→在给定点处的最大环量
面密度, 其方向就是面元矢量的方向→en 。
它描述F→在该点处的旋涡源强度。
若某区域中各点curl F→=0, 称F→为无旋场或保守场。
s ens
曲线l上的环量, 即
s ( F) d S l F dl
斯托克斯(Stokes )定理或斯托克斯公式。 它可将矢量旋度 的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。
回顾：高斯公式： ( F)dV F d S
v
s
27
第一章 矢 量 分 析
例1 .4 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为
E
7
第一章 矢 量 分 析
F d s Fx xyz Fy xyz Fz xyz
S
x
y
z
divF lim S F d s
v0 V
=
lim
Fx x
Fy y
Fz z
xyz
Fx
Fy
Fz
v0
xyz
x y z
divF Fx Fy Fz x y z
1.6 正交曲线坐标系
微分体积元为
dV d l i ( d l j d l k ) hi h j h k du i du j du k
6
2．常用的正交曲线坐标系
常用的正交曲线坐标系除了直角坐标系外，还有柱坐标系和 球坐标系。 z （1）柱坐标系 在此坐标系中P点的位置是由ρ =常数 ρ 的圆柱面、φ =常数的平面和z=常数的平 P(ρ ,φ ,z) 面三者的交点来确定的。这时， z
2
d l e u 1 dl 1 e u 2 dl 2 e u 3 dl 3
或者
dl
d l e u 1 ( h1 du 1 ) e u 2 ( h 2 du 2 ) e u 3 ( h3 du 3 )
dl [( dl 1 ) ( dl 2 ) ( d标系中的梯度、散度和旋度
1．一般正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度
（1）梯度
v v v e u1 eu 2 eu3 l1 l2 l3
dl 1 h 1du 1
1
dl
2
du h2
2
dl
3
h du 3
3
1 1 e u1 e u2 e u3 h1 u 1 h2 u 2 h3 u 3
Ar A A sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos A x sin A y 0 Az
dV d d dz
这里
h1 1, h 2 , h3 1
柱坐标系与直角坐标系的变换关系：
x cos y sin z z
散度和旋度
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B = 0 （2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处（2.4-6）那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点 (高中职)张贴:2006-10-27 01:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在 2006-10-23 21:32:24, 黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。
矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用--正交曲线坐标系下
第39卷第3期曲靖师范学院学报Vol. 39 No. 32020年5月JOURNAL OF QUJING NORMAL UNIVERSITY May. 2020矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用-----正交曲线坐标系下杨阔,李丽（阿坝师范学院 应用物理研究所，四川 汶川 623002）摘 要:在物理学相关专业的教材《数学物理方法》中，正交曲线坐标系下的矢量场散度和旋度的相关应用非常广泛，但是，教材中并未结合定义给出一般性的证明.以矢量场的散度和旋度的定义和物 理图像为基础，结合基本的微积分方法，给出了正交曲线坐标系下的矢量场散度和旋度公式的证明和一些典型应用，为学生理解并应用提供参考.关键词：正交曲线坐标系；散度;旋度场；矢量场中图分类号:0411.1 文献标识码:A 文章编号= 1009 -8879（2020）03 -0024 -050引言1 正交曲线坐标系中的度量正交曲线坐标系下的矢量场的散度和旋度的计算在物理学的多个分支中具有重要的应用，但是在许多《数学物理方法》教材中，仅仅是给出了直角坐标系下的散度公式和旋度公式的推 导过程，并未给出一般正交曲线坐标系下的公式 的证明过程，只是将公式以附录形式给出⑴•有文献采用了矢量微分算子的性质对这两个公式 进行了证明，或者采用坐标变换的观点，用张量 分析的方法进行了证明或推导，但是这些推导所 用的数学手段都超出了学生数学方法的储备,这给学生在学习、理解和应用这两个公式带来了困扰I".本文从矢量场散度和旋度的定义和物理 图像入手，给出一般正交曲线坐标系下散度和旋度公式的详细推导和证明.本文所采用的方法不 需要学生掌握张量分析的相关知识，也不涉及到矢量微分算子的性质•虽然证明过程损失了一些简洁性，但是，这种证明方法所需要的数学基础 较低，只需要基本微积分的知识就可以达到,对于学生理解和使用公式提供了方便.若空间中的点与有序数组5恐心一一对应，则称为空间点的曲线坐标，曲线坐标（91,$2,他）与直角坐标（光,y,z ）互为单值函数.坐标曲面由下列等值曲面定义：91（%,y,z ）二 Cl ,g2（%,y,z ）二 C2,g3（%』,z ）=c 3.将坐标曲面两两相交的交线定义坐标曲线, 如图1所示.图1正交曲线坐标系的坐标线和单位标架矢量rQi 线：g2（%,y,z ）= C2,g3（%,y,z ）= c 3 ”2 线：gi （%,y,z ）= Cl ,q 3Cx,y,z ）= c 3S3 线：gi （%,y,z ）= C] ,g2（%,y,z ）= c 2收稿日期：2020-03 -24基金项目：四川堵教育厅自然科学基金项目“用于无线通信系统的小型化超宽带天线的设计研究” （18ZA0004）. 作者简介:杨 阔，阿坝师范学院应用物理研究所副教授，主要从事电磁场与电磁波研究.・24・杨阔，李丽：矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用若坐标曲线相互正交，则构成正交曲线坐标系.用勺“2心表示对应正交曲线的切线单位矢量，则空间任意矢量场可表示为：F=几勺+F2c2+F3e3其中"二｛：宀用取，山2，施分别表示坐标曲线的弧微分,并使弧长增大方向为坐标增大方向，有⑺:二仏dg(=l,2,3)(1)定义以下系数为拉梅系数(也称度量系数):(2)由此看出，一般情况下，拉梅系数是(0旳2, ^3)的函数，即叽=川2,他)•在正交曲线坐标系中，弧长、面积、体积元素分别为：ds=J(dS])2+(ds2)2+(ds3)2(3) dS12=(bids?=h1h2dq1dq2dS13=ds]ds3=h x h3dq i dq3(4)dS23=d52d53=h2h3dq2dq3dV=dsidszdss=h1h2h3dq1dq2dq32矢量场散度公式的推导及证明域体积大小为d#=h1h2h3dq1dq2dq3，所构成的封闭曲面为S,由六个有向面积元-dS230,图2正交曲线坐标系下矢量场散度计算示意图其中,包含了p点的面积元大小分别为：(IS23=d^2^-^3；=h1h3dq1dq3;dS]2仏仏曲1曲2；(7)在P点坐标发生了变化d qi,dq2,dq3之后,未包含P点的三个面积元大小分别变为:dS；3=心(山+dgi川2,93)篦(山+曲\内2, q3)dq2dq3(8) dS；3=hi(q、,q2+dg?旳3)篦(山，血+dg?, ^3)d^d^3(9) dS；2=h1(q1,q2,q3+dg?)心(gi旳2,他+ dx3)dgi dq2在P点的dU邻域内：—Rs F4S23~-h2h3dq2dq3(10)(11)设矢量场F=几勺+F2e2+F3e3，在空间中任意一点P处的散度定义为⑻：设01=F x h2h3(12)・dsdivF=Hmg5(5)则:£23F id^23-A d^d^3(13)S为包围P点的任意闭合曲面，散度的物理意义为矢量通量的体密度.根据定义,结合图2,可取封闭曲面S为包围dV的边界曲面，有：F4S23=015+dq1,q2,q3^dq2dq3丿S233B/B1dq2dq3++・••①故:一kJ帆+匸皿；3边严％+监加陥-£12耳d%+L耳dS；2(6)如图2所示，在空间中建立一个正交曲线坐标系，取空间中P点附近一个由六个坐标面构成的邻域，当坐标线变化量为dgi、dg2、dg3时，该邻£^dS23+R/idS；3=譽曲曲2曲3(14)同理可得：^dS13+f F2dS；3="Eg叫価2耐(15)・25・第3期曲靖师范学院学报第39卷(山，$2，$3)」j j/1攵、=----------------曲1曲2曲3(16)其中，02(91，$2，$3)=〃2^也3；03(91，$2，$3)=F3h i h2.将式(14)-(16)带入式(6)可得矢量场F通过体积为=h.h.h.dq.dq.dq.的总的通量为：「0伤(山，92，他)*。
2第1章1,2,3散度旋度(st)2013.5.2
1785年 库仑（C.A.Coulomb，法国）静电力实验—— 电场对静止电荷的作用力。
[2] 磁感应强度（magnetic field induction）B
(1) 洛仑兹力 dF dq v B
定义 B
dF max
dqv
T, Wb/m
• dF 洛仑兹力 • dF v • dF 方向，由 v B 决定
R. C. S. A B | A || B | cos Ax Bx Ay By Az Bz
应用1：力做功 W F dl
环量
应用2: B dS
S
L
I J ds
S
应用3：判定两个矢量是否垂直（正交） 通量
lim散度度量矢量场通量源的大小和分布矢量场的散度为一标量该处线是连续的该点有发出通量线的源矢量散度值与所选坐标系无关但若以该矢量的分量表示该矢量的散度时则数学表达式将因坐标系不同而互异divlimlim称为高斯定理的微分形式div将穿出各个面的通量相加后除以长方体的体积基本思想4矢量场的散度直角坐标系下的表达式不失一般性令包围p点的微体积v为一直平行六面体如图示divlimdivlim5矢量场散度的算子deloperator表述cartesiancoordinates将积分取极限的运算转化成矢量的微分运算水流沿平行于水管轴线方向流动0无涡旋运动流体做涡旋运动0有产生涡旋的源例
矢量加减法
A B
y
Ay A
A B B
B
A B
A
A B
Ax
x
A B A ( B)
1.2.2 矢量代数 (Vector Algebra)
关于梯度、散度和旋度在正交曲线坐标系下表达式的推导及剖析
价
J
而
a
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A
x
a
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x
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在球系中的旋度、散度、梯度的物理求法
2 (r sin A r )drdd r 同理沿 方向的发散量为 (A r sin ) | d drd (A r sin ) | drd
u 1 u 1 u 、 、 。所以 u 的 r r r sin
────────── 收稿日期：2001-06-12 作者简介：田广志（1957-） ，男，河北省遵化市人，唐山师范学院物理系副教授。 - 52 -
田广志
王继仓：在球系中的 u 、 A 、 A 物理求法
进行： A r | dr A r | d dr (r A ) | r dr d (r A ) | r d
3 矢量场 A （ r、、 ）的旋度 A
在球系中令 A(r、、) A r r A A 。
第 23 卷第 5 期 Vol. 23 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2001 年 9 月 Sep. 2001
在球系中的 u 、 A 、 A 的物理求法
田广志 1 王继仓 2
(1.唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000；2.丰南市黄各庄中学，河北 丰南 063300) 摘 要：据梯度、散度、旋度的定义，用物理的方法给出了在球坐标系中的表达式；此方法也可以推广到其
A MP A PQ A QR A RM (A r) | d (A r) | d d (A r sin ) | d d (A r sin ) | d
梯度散度旋度的表达式和物理意义
梯度散度旋度的表达式和物理意义梯度、散度和旋度是矢量分析中的重要概念，用于描述矢量场的性质和变化规律。
它们在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将分别介绍梯度、散度和旋度的表达式及其物理意义。
一、梯度的表达式和物理意义梯度是矢量场中变化最快的方向和变化率的量化表示。
对于一个标量场，其梯度表示了该场在每个点上的变化率和变化方向。
梯度的表达式可以用微分算符∇（读作nabla）来表示，梯度算符作用于标量场可以得到一个矢量场，其表达式如下：∇φ = (∂φ/∂x)i + (∂φ/∂y)j + (∂φ/∂z)k其中，φ表示标量场，(∂φ/∂x)、(∂φ/∂y)、(∂φ/∂z)分别表示φ对x、y、z的偏导数，i、j、k分别表示坐标轴x、y、z方向的单位矢量。
梯度的物理意义是表示标量场在空间中的变化率和变化方向。
梯度的大小表示了标量场在某一点上的变化率，而梯度的方向表示了变化最快的方向。
例如，在温度场中，梯度的大小表示了温度的变化速率，而梯度的方向表示了温度变化最快的方向。
二、散度的表达式和物理意义散度是矢量场中的源和汇的量化表示，用来描述矢量场的流入和流出情况。
对于一个矢量场，其散度表示了该场在每个点上的流出或流入速率。
散度的表达式可以用梯度算符∇和点乘运算来表示，散度算符作用于矢量场可以得到一个标量场，其表达式如下：div A = ∇·A = (∂A_x/∂x) + (∂A_y/∂y) + (∂A_z/∂z)其中，A表示矢量场，A_x、A_y、A_z分别表示A在x、y、z方向上的分量。
散度的物理意义是表示矢量场在某一点上的流出或流入速率。
散度的正值表示矢量场在该点上的流出，负值表示矢量场在该点上的流入，而散度为零表示该点上不存在源和汇。
例如，在电场中，散度的正值表示电场从该点流出，负值表示电场流入该点。
三、旋度的表达式和物理意义旋度是矢量场中的旋转性质的量化表示，用来描述矢量场的旋转情况。