第十一章 标高投影画法几何及土木工程制图

何问题，所以像填挖边坡的交线、坡脚等问题也常用标高投影来求 解。
第十一章 标高投影
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§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
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§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
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§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
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§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
画法几何及土木工程制图
第十一章 标高投影
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目录
§11-1 点和直线的标高投影 §11-2 平面的标高投影 §11-3 曲面的标高投影 §11-4 地形面的标高投影
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§11-1 点和直线的标高投影
一、概述
地面是起伏不平的不规则曲面，很难用三面投影图来表达 清楚。为此，常用一组等间隔的水平，水平面截割地面，所得 截交线均为水平曲线，其上的各点都有相等的高度，故称其为
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§11-3 曲面的标高投影
例11-8 已知同坡曲面上一条空间曲线的标高投影，曲线上A 点的标高投影a6，曲线的坡度i0=1:5。又知同坡曲面的坡度i=1:2.5 和坡面的倾斜方向，试作同坡曲面上整数高程的等高线。
解：算出曲线上高差为1m的整数高程点的平距l0=1:1/5=5m，
1. 用平面上一条等高线和平面的坡度线表 示平面
2.用平面上一条倾斜直线和平面的坡度表 示平面
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§11-2 平面的标高投影
例11-3 已知平面上一条高程为28的等高线，平面的坡度为 i=1:2,试作出该平面上若干条整数高程的等高线。
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§11-2 平面的标高投影
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§11-1 点和直线的标高投影
三、直线的标高投影
1. 直线的坡度和平距
直线上任意两点的高差与其水平距离之比，称为该直线的
坡度，记为i 。 i = H/L= tanα α为直线对水平面的倾角。
直线上任意两点的高差为一个 单位时的水平距离，称为该直线的
平距，记为l 。 l=L/H=1/i 或写成 i=1/l 或i =1:l
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§11-3 曲面的标高投影
例11-9 已知平台的高程为19，地面高程为15。拟修筑一条 弯曲斜路与平台相连，其位置和路面坡度为已知，所有填筑边 坡的坡度均为i=1:1，试作坡面与坡面、坡面与地面间的交线。
解：弯道路面上的等高线高差为1m，所以各坡面上等高线 的高差也是1m，相应的平距l=1:1/1=1 m。
LAC= HAC/I =(4-3.5)/0.5333= 0.9375 m d5、e6、f7、g8各点间的间隔均为平距尺寸1.875m 。
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§11-1 点和直线的标高投影
也可以利用作比例线段的方 法来求具有整数标高的点。
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§11-2 平面的标高投影
一、平面上的等高线和坡度线 平面上的水平线就是平面的等高线，它们彼此平行。当各 等高线的高差相等时，它们的水平距离也相等。
(4) 连a4与c0，f4与e0，得土堤边坡与斜路边坡的交线。
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§11-3 曲面的标高投影
一、圆锥面的标高投影 圆锥的底圆置于水平面上，用一组等间隔的水平面截割圆锥 面，得锥面上的一组等高线圆，这些圆的水平投影加上标高数 字，可以表示圆锥面。对于直圆锥，这些圆是同心的；对于斜圆 锥，这些圆是偏心的。 当圆锥正放时，等高线的高程越大，则圆的直径越小；而当 圆锥倒放时，高程越大，圆的直径也越大。
总之，坡度与平距互为倒数，直线的 坡度大，则其平距就小。坡度大表明 直线陡。
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§11-1 点和直线的标高投影
2.直线的标高投影表示法
通常用直线上两点的标高投影来表示
该直线,如右图中的a2b4.5;
当已知直线上一点B和直线的方向
时，也可以用点B的标高投影b4.5 和直线
的坡度i=1:1.5 来表示该直线，并规定表 示坡度方向的箭头指向下坡。
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§11-2 平面的标高投影
下面讨论交线标高投影的方向。
P、Q为两相交平面，用αp 表示
交线的标高投影与P 面上一条等高线
的夹角，用αq 表示交线的标高投影 与Q 面上一条等高线的夹角，则：
1.若P、Q 的坡度相等，则αp =
αq ；
2. 若P、Q 的坡度不等，则 ip>iq 时，αp < αq ；
解：平面的平距l=1/i=2m，根据图中的绘图比例尺，沿坡度
线向下坡方向按2m等距离地截取出27、26、25、……的高程 点，过它们可作出高程为27、26、25……的等高线。同样，沿坡 度线向相反方向作图，可作出高程为29、30……的等高线。
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§11-2 平面的标高投影
例11-4 已知平面上一条倾斜直线AB的 标高投影a3b10，平面的坡度i=1:0.5，试作 该平面的等高线和坡度线。
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§11-2 平面的标高投影
例11-6 已知堤顶高程为4 的土堤和路面坡度i=1:4 的上堤 斜路，设地面高程为0，各坡面的坡度如图所示，试作堤与斜 路坡面间、坡面与地面间的交线。
解：（1）算出堤顶边线与边坡的坡脚线间的水平距离
L1=L2=(4-0):1/2=8 m 据此可作出边坡的坡脚线。
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§11-3 曲面的标高投影
例11-7 已知圆形平台的高程为8，建在一斜坡上，斜坡平面 用一组等高线表示。平台的填筑边坡为i1=1:0.7，开挖边坡为 i2=1:0.5，试作填挖边界线。
解：以斜破平面上等高线8为界，左侧为填筑区，填筑坡面为 正圆锥面；右侧为开挖区，开挖坡面为 倒圆锥面。a8和b8是填挖 的分界点。填筑和开挖圆锥的锥顶在图中重合于c点。
直线上具有整数标高的点可以利用计算或图解的方法得到。 例11-2 已知直线AB 的标高 投影a3.5b8.3，求作AB上的各整数 高程点。
解：用比例尺量得LAB=9m,
算得坡度
i=HAB/LAB=(8.3-3.5)/9=0.5333 由此算出平距
l=1/i=1.875 m 点a3.5到第一个整数高程点c4 的 水平距离应为
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§11-1 点和直线的标高投影
二、点的标高投影
以水平投影面H为基准面，标高为0，作出点A、B在H 面上
的正投影a、b，并在其由下角标出这两点的标高，标高单位为 米（m），A在基准面以上，标高为正，B 在基准面以下，标高
为负。所得的图即为A、B 的标高投影图。本图中还画出了绘图
比例尺。
解：过点B且坡度为1:0.5的坡度线的 轨迹是一圆锥，包含AB直线且坡度为1:0.5 平面是与该圆锥相切的平面ABC。当圆锥 的底圆与点A在同一 高度的水平面上时， 底圆的半径应为：
r =(HB-HA)×l=3.5 m
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§11-2 平面的标高投影
以b10为圆心，以3.5m 为半径画圆，过a3 作该圆的切线，共 有两条，取其中符合箭头所指方向的一条，此即为平面上高程
等高线。把这些等高线的水平投影标上高度数字，能够表示地
面的起伏变化。这种用水平投影与高度数字结合起来表达空间
曲面的方法称为标高投影法，所得的单面投影图称为标高投影 图。
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§11-1 点和直线的标高投影
注写的高度数字，称为标高，也叫高程。习惯上把等高线 的水平投影仍叫等高线。
标高投影法是一种完善的投影方法，也可以解决面面相交等几
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§11-2 平面的标高投影
(2) 按L3=(4-0):1/4=16 m 作斜路路面与地面的交线b0d0 。 (3) 斜路两侧的边坡是以平面上一条倾斜直线和平面的坡度这
种形式给出的，可按例11-4的方法作图：算出r=(4-0):1/1.5=6 m，
以a4为圆心、以r为半径画圆弧，过b0作该弧的切线，即为一侧边 坡与地面的交线。同法可作出另一侧边坡与地面的交线d0e0 。
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§11-3 曲面的标高投影
填筑平距为 l1=1:1/0.7=0.7 m 开挖平距为 l2=1:1/0.5=0.5 m 以c为圆心，分别以0.7和0.5的级差调整半径画圆，找到圆锥面 的等高线与斜坡平面上同高程等高线的交点，用光滑曲线连接这些 交点，即为填挖边界线。