2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编18个专题(解析版)

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编（解析版）

专题一集合-------------------------------------------------------------- 2 专题二函数-------------------------------------------------------------- 3 专题三三角函数 ------------------------------------------------------ 16 专题四解三角形 ------------------------------------------------------ 26 专题五平面向量 ------------------------------------------------------ 29 专题六数列------------------------------------------------------------ 34 专题七不等式--------------------------------------------------------- 46 专题八复数------------------------------------------------------------ 48 专题九导数及其应用 ------------------------------------------------ 50 专题十算法初步 ------------------------------------------------------ 62 专题十一常用逻辑用语 --------------------------------------------- 65 专题十二概率统计 --------------------------------------------------- 67 专题十三空间向量、空间几何体、立体几何-------------------- 75 专题十四平面几何初步 -------------------------------------------- 95 专题十五圆锥曲线与方程 ----------------------------------------- 99 专题十六计数原理------------------------------------------------- 118 专题十七不等式选讲 ---------------------------------------------- 120 专题十八坐标系与参数方程--------------------------------------- 123

专题一 集合

（2019·全国Ⅰ理科）1.已知集合{}

}2

42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=

A. }{43x x -<<

B. }{42x x -<<-

C. }{22x x -<<

D. }{23x x <<

【答案】C

【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，{}{}

42,23M x x N x x =-<<=-<<，则

{}22M N x x ?=-<<．故选C ．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

（2019·全国Ⅱ理科）设集合A ={x |x 2

-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =

A. (-∞，1)

B. (-2，1)

C. (-3，-1)

D. (3，+∞)

【答案】A

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，{}{}

2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}

1A B x x ?=<．故选A ．

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

（2019·全国Ⅲ理科）已知集合{}{}

2

1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（ ）

A. {}1,0,1-

B. {}0,1

C. {}1,1-

D. {}0,1,2

【答案】A

【分析】先求出集合B 再求出交集.

【详解】由题意得，{}

11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. （2019·天津理科）设集合{1,1,2,3,5},

{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈

()

A C

B =（ ）

A. {}2

B. {}2,3

C. {}1,2,3-

D. {}1,2,3,4

【答案】D

【分析】先求A B ?，再求()A C B 。

【详解】因为{1,2}A C =，

所以(){1,2,3,4}A C B =.

故选D 。

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．

（2019·浙江）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A

B =e（ ）

A. {}1-

B. {}0,1

C. {}1,2,3-

D. {}1,0,1,3-

【答案】A

【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则()

{1}U C A B =-

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

（2019·江苏）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}

0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}.

【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，{1,6}A

B =.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

专题二 函数

（2019·全国Ⅰ理科）函数f (x )=

2

sin cos x x

x x

++在[—π，π]的图像大致为

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由22

sin()()sin ()()cos()()cos x x x x

f x f x x x x x

-+----=

==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2

()2

f π

π

πππ+

+=

=>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． （2019·全国Ⅱ理科）若a >b ，则 A. ln(a ?b )>0 B. 3a <3b C. a 3?b 3>0 D. │a │>│b │

【答案】C

【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x

y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3

y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．

【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B

错，排除B ；取1

,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

（2019·全国Ⅱ理科）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，

()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8

()9

f x ≥-，则m 的取值范围是

A. 9,4

??-∞ ??

?

B. 7,3

??-∞ ??

?

C. 5,2

??-∞ ??

?

D. 8,3

??-∞ ??

?

【答案】B

【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】

(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1

个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令8

4(2)(3)9

x x --=-

，整理得：2945560x x -+=，1278

(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍）

，(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ?

?∴∈-∞ ??

?，故选B ．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

（2019·全国Ⅲ理科）函数3

222

x x

x y -=+在[]6,6-的图像大致为

A. B.

C. D.

【答案】B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．

【详解】设32()22x x x y f x -==+，则33

2()2()()2222x x x x

x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -?=>+排除选项D ；3

66

26(6)722

f -?=≈+，排除选项A ，故选B ．

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

（2019·全国Ⅲ理科）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）

A. 2

33251log 224f f f --?????

?>> ? ? ???????

B. 23

3281log 224f f f --?????

?>> ? ? ???????

C. 2

3325122log 4f f f --?????

?>> ? ? ???????

D. 23

325122log 4f f f --?????

?>> ? ? ???????

【答案】C

【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,

2,24f f f --??

??

?

? ? ? ??

?????

，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】

()f x 是R 的偶函数，()331log log 44

f f ??

∴= ??

?

．

302

3log 4122-∴>=>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，()2332

3log 422f f f --????<< ? ?????

，

233

2

3122log 4f f f --?????

?∴>

> ? ? ??

?????

，故选C ．

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．

（2019·天津理科）设变量,x y 满足约束条件20,

20,1,1,

x y x y x y +-≤??-+≥?

?-??-?……则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

【答案】C

【分析】画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值。 由20,

1x y x -+=??

=-?

，得(1,1)A -，

所以max 4(1)15z =-?-+=。 故选C 。

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．

（2019·天津理科）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<

【答案】A

【分析】利用利用1

0,,12

等中间值区分各个数值的大小。

【详解】551log 2log 2

a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252

b =>=， 10.200.50.50.5<<，故

1

12

c <<， 所以a c b <<。 故选A 。

【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。

（2019·天津理科）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的

最小正周期为2π，且4g π??

= ???

38

f π

??

= ???

（ ）

A. 2-

B.

C.

D. 2

【答案】A

【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ω?值即可。 【详解】()f x 为奇函数，可知(0)sin 0f A ?==， 由?π<可得0?=；

把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得1()sin 2

g x A x ω=， 由()g x 的最小正周期为2π可得2ω=，

由()4

g π

=

2A =，

所以()2sin 2f x x =

，33()2sin 84

f ππ== 故选C 。

【点睛】在0x =处有定义的奇函数必有(0)0f =。

（2019·天津理科）已知a R ∈，设函数222,1,

()ln ,

1,x ax a x f x x a x x ?-+=?->?…若关于x 的不等式()0f x …

在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. []0,1 B. []0,2

C. []0,e

D. []1,e

【答案】C

【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成

立，转化为ln x

a x

≤

在(1,)+∞上恒成立。 【详解】首先(0)0f ≥，即0a ≥，

当01a ≤≤时，2

2

2

2

()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，

故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x

a x

≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln x

g x x

=

，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，

易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点， 故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤。

综上可知，a 的取值范围是[0,]e 。 故选C 。

【点睛】()a f x ≤在D 上恒成立，等价于min (),a f x x D ≤∈；()a f x ≥在D 上恒成立，等价于

max (),a f x x D ≥∈。

（2019·北京理科）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥?1，则3x+y 的最大值为 A. ?7 B. 1

C. 5

D. 7

【答案】C

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.

【详解】由题意1,11y

y x y

-≤??

-≤≤-?作出可行域如图阴影部分所示.

设3,3z x y y z x =+=-,

当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.

【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画?移?解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识?基本技能的考查.

（2019·浙江）若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥??

--≤??+≥?

，则32z x y =+的最大值是（ ）

A. 1-

B.

1

C. 10

D. 12

【答案】C

【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.

【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =?+?=.

【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. （2019·浙江）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ?

?==+> ??

?且0)a ≠的图象可能是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当01a <<时，函数x

y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1

x

y a =

过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ??=+ ??

?过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x

y a =过定

点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =

过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ?

?=+ ?

?

?过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.

（2019·浙江）已知,a b R ∈，函数32

,0

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++≥??，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<

【答案】D

【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.

当BC AP λ=时，2

()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则

（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B

（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选

D

下面证明：1a >-时，

BC AP λ=时3211

()()(1)32

F x f x ax b x a x b =--=

-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即

31

0(1)6

b a >>-+，若另一零点在0<

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..

（2019·全国Ⅱ理科）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax

f x =-.若(ln 2)8f =，则a =

__________. 【答案】-3

【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax

f x e -=-．

又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，

所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．

（2019·北京理科）函数f (x )=sin 2

2x 的最小正周期是__________．

【答案】

2

π

.

【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2

sin 2f x x ==

142cos x -,周期为2

π

【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，属于基础题.

（2019·北京理科）设函数f （x ）=e x +a e ?x

（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f

（x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 (1). -1; (2). (]

,0-∞.

【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.

【详解】若函数()x

x

f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x

x x x f x f x e

ae e ae ---=-+=-+，

()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.

若函数()x

x

f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x

x

f x e ae

-=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.

即实数a 的取值范围是(]

,0-∞

【点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考查. （2019·江苏）

函数y =_____. 【答案】[1,7]-.

【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.

【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

（2019·江苏）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，

且()f x 是奇函数.当(0,2]x ∈

时，()f x =(2),01

()1,122

k x x g x x +<≤??

=?-<≤??，其中k >0.若

在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.

【答案】1,34????

. 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，

()f x =即()2

211,0.x y y -+=≥

又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使

()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.

当1

g()2

x =-

时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，

1=

，

得k =

()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得1

3

k =.

综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为134????

，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大

.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.

专题三 三角函数

（2019·全国Ⅰ理科）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（

2

π

,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④

C. ①④

D. ①③

【答案】C

【解析】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．

【详解】

()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当

2x π

π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??

π ???

单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它

有一个零点：π-，故()f x 在[]

,-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当

[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，

()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④

正确，故选C ．

【点睛】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． （2019·全国Ⅱ理科）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2

π

)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │

【答案】A

【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图

象，即可做出选择．

【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2

π，在区间(,)42ππ

单调递增，A 正确；

作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为

2

π，在区间(,42ππ

单调递减，排除B ，故选A ．

【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；

（2019·全国Ⅱ理科）已知a ∈（0，

π

2

），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A.

15

B.

C. 3

D.

5

【答案】B

【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】

2sin 2cos21α=α+，2

4sin cos 2cos .0,,cos 02

π??∴α?α=αα∈∴α> ??

?

．

sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，

221

5sin 1,sin 5

∴α=α=，又s i n 0α>，

sin α∴=

B ．

【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． （2019·全国Ⅲ理科）设函数()f x =sin （5

x ωπ

+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：

①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点

③()f x 在（0,

10

π

）单调递增 ④ω的取值范围是[1229

510

，)

其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③

C. ①②③

D. ①③④

【答案】D

【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查数形结合思想． 【详解】

()sin (0)5f x wx w π?

?=+> ??

?，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，

12555wx w ππ≤+≤π+，1229

510

w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确． 当010x π<<

时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，

2920491051001001002

w +=+=<ππππππ

． ∴③正确，故选D ．

【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错．

（2019·江苏）已知

tan 2

π3tan 4αα=-??+ ??

?，则πsin 24α??+ ??

?的值是_____.

【答案】

22

221:4A

A A A

C C C

C

v a r v v a v r ===. 【分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.

【详解】由()tan 1tan tan tan 2

tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-

++?

?+ ?

-?

?， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1

tan 3

α=-

. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα?

?+=+ ??

?

)22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα?

+-=+?+??

22

2tan 1tan =2tan 1ααα?+-?+??

， 当tan 2α=

时，上式222212==22110

???+- ?

+?? 当1tan 3α=-时，上式

=2

2

112133=210113???????-+--? ? ?????? ???

-+ ? ?????

综上，sin 2410

πα?

?

+

= ?

?

? 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.

（2019·全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（22b c +=，求sin C ．

【解析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根

据()0,A π∈可求得结果；（2sin 2sin A B C +=，利用

()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解

方程可求得结果.

【解】（1）由已知得2

2

2

sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得2

2

2

b c a bc +-=．

由余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=． 因为0180A ?

?

<<，所以60A ?

=．

（2）由（1）知120B C ?

=-()

sin 1202sin A C C ?+-=，

1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 60C ?+=．

由于0120C ??

<<，所以(

)sin 60

C ?

+=

，故 ()sin sin 6060C C ??=+-

()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+

=

． 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

（2019·天津理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，

3sin 4sin c B a C =.

（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π??

+

??

?

的值.