行列式计算典型例题汇编
典型例题-------行列式的计算
计算方法：化上（下）三角形法，降阶法。
例1：计算：
解：
法1：（化上三角形法）
法2：（降阶法）
可直接用对角线法则计算三阶行列式，或：
例2：计算：
解：
计算简单些：
例3：计算：
解：（化上三角形法）
例4：证明：
证：
法2：（按列拆开）
例5：计算：
解：
例6：计算：
解：
例7：计算：
解：
例8：计算：
解：按第一行展开，有：
递推公式：
例9：
解：法1
法2：
例10：证明范德蒙(Vandermonde)行列式：
证明：用数学归纳法
（1）n=2 易证结论成立
（2）假设对n-1阶范氏行列式结论成立.证明对n阶亦成立。
例11已知三次曲线：在四个点
处的值为试求其系数。
解：
例12：求四个平面相交于一点的充分必要条件。
解：平面方程可写成：，其中：t=1（看成以x,y,z,t 为未知量，为系数的其次线性方程组）。
有唯一的一组非零解
根据齐次线性方程组有非零解的必要充分条件是系数行列式等于零，即得四平面相交于一点的充分必要条件为：
例13：问取何值时,齐次线性方程组
有非零解？
解：有非零解的必要条件：D=0
由：D=0，得：。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
行列式习题解答
111 (b) c a b(a)(c) (b)1 b 1 (a) a 1 (c) c a2abc abc 0
b c 0
⑥0 1 1 1 0 1 11 2 110 a a2 a3
⑦ b b2 b3 c c2 c3
f ( x) 中旳常数项是(1) 2 31 (1) 3 31 3
x 030 15.已知 0 0 0 2 1, 求 x
0 x00 4 000
x 030
解
0 0
0 x
0 0
2 0
24 x
1, 所以
x
1 24
4 000
16.用行列式性质证明下列等式
证明 ①
a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3
00
解 ②此行列式刚好只有处于不同旳行与不同旳列旳
n个非零元素 a12 , a23 , a(n 1)n , an1 ,故非零项只有一项 a12a23 a(n 1)n an1 ,该项所带旳符号为 (1) 23 n1 (1)n1 , 所以 D (1)n11 2 (n 1) n (1)n1 n!
解 ① (38162754) 2 3 0 4 3 1 1 14
所以 38162754 为偶排列
② (3712456) 2 2 0 1 1 1 7
所以 3712456 为奇排列
③ 246 (2n)135 (2n 1)
n (n 1) 2 1 n(n 1) 2
所以当 n 4k 或 n 4k 3 时为偶排列;当n 4k 1
或 n 4k 2 时为奇排列.
6.选择 i, j, k,使排列 21i36 jk97为偶排列.
解 当 i 4, j 8, k 5 时， (214368597 6), 为 为偶排列，当 i 5, j 4, k 8时， (215364897 6), 为偶排列，当 i 8, j 5, k 4时， (218365497 10),
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是 =所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4． 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ． 方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。
线性代数行列式习题+答案
第一章习题1-1．计算下列行列式（1）713501163.（2）4321651005311021.（3）222111ab c a b c . （4）2010411063143211111.（5）49362516362516925169416941.1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）14321432113213121321n nnn nn n n---.（3）21111121111211112------． 1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.（2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++.（3）222244441111a b c d a b c d a b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.1-6．计算4阶行列式112233440000000a b a b b a b a . 1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值． 1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x . 1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩ 1-10.已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.第一章习题解答1-1．计算下列行列式（1）713501163（2）4321651005311021（3）2010411063143211111（4）49362516362516925169416941（5）222111a b c a b c .(1)解一 由三阶行列式定义得71350116330765311110335161709010154234.=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=++---=解二2331123361105105105361056317317018r r r r r r --↔==--23325105105018018340560034r r r r ↔-=-=-=-.(2)解213241120112011201135001510151015601560007123400330033r r r r r r -----==34120101512100330007r r ↔-==.(3)解43433232211111111111111234012301231361001360013141020014100014r r r r r r r r r r -----==4311110123100130001r r -==.(4)解43433232211491614916149164916253579357909162536579112222162536497911132222r r r r r r r r r r -----===.(5)解 222111()()()ab c c b c a b a a b c =---. 1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.解12341111()r r r r ab c d b a d c b a d c a b c d c d a b c d a bdcba dcba+++=+++41322110()c c c c c c b a bd a c b a b c d c d c a d b c dc db ca d------=+++------()a b d ac b a b cd d c a db c c db ca d---=+++------ 3221()000r r r r a b d a c b a b c d a b c da b c da b c d++---=+++--++--+--21()()(1)d a c b a b c d a b c d a b c da b c d+--=+++--+-+--+--[]()()()()()()()()().a b c d a b c d a b c d d a c b a b c d a b c d a b c d a b c d =-+++--++-----=+++--++---+-1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）143214321132********n nn n nn n n---.（3）21111121111211112------．(1)解 1122111111111122201111123300111230001n n n n r r r r r r n------==. (2)解12123112312131113123111311(1)22341134123411341nc c c n n n n n n n n n n n n n n n n n n+++------+=2131112310100001200(1)2112001111n r r r r r r n n n n n n------+=--10001200(1)113021111n n n--+=--1(1)!(1).2n n -+=-(3)解 21111111112111021111211012111111210112n D +--+==---+-----+--, 按第一列展开成两个行列式得111111111211021111210121111112112n D -=+--------213111111032200320003n nr r r r r r n D +++-=+ 112122122333333n n n n n n n D D D -------=+=++=++++12212221333333512n n n n ----=++++=++++-12213313333111132n n n n ---+=++++++=+=-.1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.证11111111111111112222222222222222b cc a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b ++++++++++=++++++++++++左= 1111111122222222b c a a c a a b b c a a c a a b b c a a c a a b ++=+++++111111222222bc a c a b b c a c a b b c a c a b =+1112222a b c a b c a b c ==右. （2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++. 证 1323123233122312323312231232331223c lc c mc a ka la a ma a a ka a a b kb lb b mb b b kb b b c kc lc c mc c c kc c c --+++++++=+++++左=12123123123c kc a a a b b b c c c -==右. （3）222244441111a b c d abcda b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.证 243322122224444222222222111111110=()()()0()()()r a r r ar r ar a b c d b a c a d a a b c d b b a c c a d d a a b c d b b a c c a d d a ------=------左222222222()()()()()()b ac ad a b b a c c a d d a b b a c c a d d a ---=------222111()()()()()()b ac ad a bcdb b ac c ad d a =---+++21222111()()()()()()r ar b a c a d a b ac ad ab b ac c ad d a +=---++++++23121()2222111()()()00()()()()r b r r b a r b a c a d a c bd bc b c ad b d a --+=------+-+2222()()()()()()()c bd bb ac ad a c b c a d b d a --=----+-+[]222211()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(b a c a d a c b d b c b c a d b d a b a c a d a c b d b d b d a c b c a b a c a d a c b d b d ad bd ab c ac bc ab b a c a d a c b d b d ad bd c ac bc b a =-----++++=-----++-++⎡⎤=-----+++----⎣⎦⎡⎤=-----++---⎣⎦=-)()()()()()()c a d a c b d b d c a b c d -----+++=右.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.解 记000000000n x y x y D x y y x=,当1n =时，1D x =;当2n ≥时，按第1列展开得000000000000000n x y x y x y xyD x x y xyx==100000(1)0000n y x y y y xy++-1(1)n n n x y +=+-.1-6．计算4阶行列式1122334400000000a b a b b a b a . 解11222222111413313333444400000(1)0(1)000a b a b a b a b a b a b b a b a a b b a ++=-+- 2222333114143333(1)(1)a b a b a a b b b a b a ++=⨯--⨯-()()142323142323a a a a b b bb a a b b =---14142323()()a a b b a a b b =--.1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值．解112212122211121313232122211121211121(1)(1)n n n n r r n r r n n r r n n n n n nn n n nnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---↔↔↔--=-=-∆.1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x .解 方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--,181********52120476D ---==---，2285119061080512176D --==----，321811396270252146D --==--，4215813092702151470D --==---,方程组的解为12343,4,1,1x x x x ==-=-=.1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩解 方程组的系数行列式211(1)(1)1D λλλλλ==-=+-,当1λ=或1λ=-时，0D =，方程组可能有非零解．1-10. 已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.解 1234411122341112131411111111112000200==103000301004004k c c c c k A A A A =----+++∑=-2.。
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000100200100-= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2)1(n n n -- （C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x x x f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题1．8171160451530169144312----- 2．dc b a10011001101---3．abbba b bbaD n=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a xa a a a x a a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1由题设知， an =0,a 〔2 1 , L,a1nn 1丄故0 1L n 10 1 L n 11L n2rir 111 L1D nMOi n ,n1,L ,2MOn 1 n2 L 011 L1n 1 n L L n 12L L1C j CnM O OL ( 1)n 12* 2(n 1)j 1,L ,n 1M0 2L 01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n 列.的充要条件是 a + b + c =0.证明：考察德蒙行列式=(a 一对o—1 L n 111 L 1 1 0L n 2r i r i 1 1 1 L 1 MOi 1,2,L ,n 1M On 1n 2 Ln 1n 2 L方法2 D n10 L 0 Cj G 12 L0 j 2,L ,nM On 12n 3 Ln 11)n 12n 2(n 1) =(例 2.设a , b , c 是互异的实数,证明:1 x行列式即为y 2前的系数•于是所以的充要条件是a + b + c = 0.x 10 K 0 x 1 K MM Ma na n 1a n 2K例3计算D n = 递推法按第 1 0 0 M x a i解：方法1列展开,D n = x D n 1 + (-1) a n =x D n 1+ a n 由于 D 1 = x + a 1, D 2 a 2a 1 2 1+ a n =x(x D n 2 +a n 1)+ a n =x D n 2 + n 1 n 2 a n 1x + a n = L = x D 1 + a 2 x + n n 1 + a n 1 x + a n = x a 1 x a n 1 x a n，第n 列的x n 1倍分别加到第1列上 01 0K C 1 XC 22 x x1 K D n0 0 x KMMMa n xa n 1a n 1a n 2K方法2第2列的x 倍，第3列的x 2倍, 0 0 0M x a 11 0 0 K 2C 1xC30 x 1 0K3 x 0 x 1 KMMMM2 a n xa n 1x a n 2a n 1a n 2a n 3K0 0 0 M x a 10 1x 1 O OfO按r n 展开1)n11 x 1x O Oxna 〔xa n 1x a n方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.1 c Gx 1c 3c2Xx 0 0x 0 0 MM0 0 x M-Cn a na n 1a na n 2a n 1按Cn 展开““ a n 1n 1 dnx k n = x ( —^7 +xa n 1 x0 0 0 M k na 2 + +a 1 +x)x按r n 展开1 方法4D n( 1)n1a nAMX0 K 0 0n 21 K0 0(1) a n1+M MM MK X 1X 1 K0 02 n0 X K0 0+ ( 1) (a 1 x)M M M M 0 0 L 0 X n 1 n=a n a n 1X L a 1X x=(-1) n 1 (- 1) n 1a n + (- 1) 0 K1 K 0+MM M0 KX1X1 K 0 0+ ( 1)2n 1a 20 X K 0 0M MM M0 K1(-1 ) n 2 a n 1X+ (-1) 2n 1(一 1) a 22 + (— 1) 2nn 1(a 1+x) xa n a n 1X L n 1 n a 1x x 例4.计算n 阶行列式: a Ea 2L a n D nqa 2b 2L a n M M Ma 1 a 2L a nb n(解 采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素bbL b n 0)a 1,a 2,L , a * ,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化 简后出现大量的零元素.1aa 2 La n1 a 1 a2 L a n 升阶0 a 1a 2 L a n2 r 13 r 11 bi 0 L 0 D n0 aa 2b 2 La n Lrn 1r11 0 b2 L 0 M MMMM M MMaa 2La nb n10 0Lb n彳a1La 1L1 —a 1a 2 a n 1bib 1q — C jb j i0 bi 0 L 0a 1a nj 2丄，n 1L=d b ? L b n (1Ln0 b 2 0b nMM MM0 0 Lb n例5.计算n 阶“三对角”行列式K 0 01K 0 0D n =0 1 + K 0 0M M MMM0 00 K 1解方法1递推法K 0 0按q 展开D n（)D n 1 ―1K 0M M MM MK 1(n 1)按口展开()D n 1 —D n 2即有递推关系式D n=( )D n1 — D n2(n 3)故D nD n1 =(D n 1D n 2 )可作为公式记下来.递推得到D n D n 1 = (D ni2D n 2)= ( D n 2 D n 3)a 1 x a 2D na 1 a 2 xM Ma 1 a 2L a nL a n n 1 /n =x (x ajMi 1 L an X这个题的特殊情形是n 2八=L= (D 2 D i )方法3在方法1中得递推公式D n = () D n 1 — Dn 22 2又因为当时 D 1= = ------------D nD n1n(2.1)由递推公式得D n D n 1 0 = ( D n 2n1)n2 .=aD n 2 +n 1nD 2=(而D 1 (D 2=ap a + B代入得D nD n 1(n当a B 时 当a=B 时1K K 0 0 0 0D n = 01 +K0 0+M M MMMK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 MM MMM0 0 0 KK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 M M MMM0 0 0 KK10 0 K0 010 K0 0c aq 11K0 0 n =B i 2,L ,nM M MM M 10 0 K1n 1方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式上式右端第一个行列式等于aD n 1，而第二个行列式于是得递推公式 D n D n 1 n ，已与(2.1)式相)2n 1 n 1于是猜想D n ------------------ ，下面用数学归纳法证明. 当n=1时，等式成立，假设当 n k 时成立. 当n=k+1是，由递推公式得D k 1 = () D k — Dk 1=(所以对于n N ，等式都成立例6.计算n 阶行列式:D na n其中a n 0 .方法2升阶(或加边)法D 3 =)(=()3-2(4 4a 2解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式其中b 1i 2 3i1 a 1 1L1&1c1 丁 C jb1 L1r i r 1a 1a 2aj0 a 22,L ,nM Oj 2,L ,nMOa 1a na n1n1na 1 1于是D na 〔 a ? a n 1i 1a ia ii 1D n. i n0 0方法 由于 因此 升阶D n1c1cj 1aj1,2,L ,n 1递推法.a11r i「11 a 1 1 1 a 11 D n = a n D n 1a ja 2 M2,3,L , n 1a 10 M a 2 Ma 1a na na 2a n1 3ia 11 L 1 01 1 a2 L1 0M MM11L1 a n1 a 11 L 11 a 11 L 01 1 a 2L11 1 a2 L+MMM AM MM 1 1L111La nD n 改写为按c n 拆开L a 2 D na 2 M a^L a n 1 a 11 r i 「na 2M i 1L ，n 1111 L1L 3卫2 L L按c n 展开a n 1a n1为递推公式, a nD n 1而D 1D n =a nD n 1a 1 a 2 L a n 1=a 1a 2L a nD n 1a 1a 2La n 1D n 2=a 1a 2 L a na 1a 2L a n 2a n 1—=L L a nD1 1 1 11 1 =a〔a2 L 3n L = a〔a2 L a n 1 La1 a2 a n a1 a2 a n a〔a?。
行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列 式值，计算方法为对角线元素乘积减去 副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式 为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关， 它们都可以通过行列式进行计算 或判断。
行列式有一些重要的性质，如交 换律、结合律、分配律等，这些 性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上 的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上 的元素乘积，计算过程相对简单，因 为除了主对角线元素外，其他元素都 为零，所以可以直接将主对角线上的 元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研 究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序， 对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行 六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。
第一章 行列式典型例题
第一章 行列式一．行列式的定义和性质1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义例1行列式11110111101111------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2测试点 余子式和代数余子式的概念解析11110111101111------,212121111111(1)10101211101A M +--=-=--=--=--- 答案 B2．行列式按一行或一列展开的公式 1）11,1,2,;(,1,2,)nnijij ij ijij ij nni j A a a A j n A a a A i n ========∑∑2）11 ; 00nn ij ik ij kj i j k j k i A Aa A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 . 测试点 行列式按行(列)展开的定理解 212223212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-34310=---=-例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = .测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 解 因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+=所以1x =-3．行列式的性质 1）.T A A =2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4 已知1112132122233132333a a a a a a a a a =，那么111213212223313233222222a a a a a a a a a =---（ ） A.24- B.12- C.6-D. 12测试点 行列式的性质解析 1112131112132122232122233132333132332222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a++=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3测试点 行列式的性质解111111122222223a b c a b ac a b c a b a c +=+=+ 故应选 D 答案 D二．行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式例6求4阶行列式1111112113114111的值.测试点 行列式的计算解111411140231131002302103(3)6121101031000311110003--==-=-=---例7计算3阶行列式 .767367949249323123解 (1)(1)(2)(2)(1)(3)1232331002331002032494992004992004090.367677300677300607+-+-=== 例8 计算行列式：x a a aa x a a a ax a a a ax测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 333000300030x a a ax a a a a x a a a a a x a a x ax a a x a D a ax a x a ax a x a a a a xx a a axx a+++-====+-+-3(3)().x a x a =+-例9计算行列式000000000 000000n a b a ba D ab b a=测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解111111110000000000 ==+(1)(1) 000000n n n n n n n a b a ba D aA bA aMb M a ba bb a++=+-=+-例10计算行列式60001002005006000D =解 36(1)(6)(2)(5)(3)(4)0001100000200200(1)6!0500005060000006D ↔↔↔==-=- 例11设2311248()139********x x x D x =问（1）()D x 中，3x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。
用行列式的定义计算行列式例题
用行列式的定义计算行列式例题那咱就开始整一个用行列式定义计算行列式的例题吧。
比如说有这么一个二阶行列式：begin{vmatrix}a b c dend{vmatrix}按照行列式的定义啊，二阶行列式的值就等于主对角线元素相乘再减去副对角线元素相乘。
啥是主对角线呢？就是从左上角到右下角的这条线，那主对角线元素就是a和d，副对角线就是从右上角到左下角，元素是b和c。
所以这个二阶行列式的值就是ad - bc，就这么简单，就像从树上摘个果子一样容易。
再来看个三阶行列式的例子吧。
begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}三阶行列式的定义计算稍微复杂那么一丢丢。
根据定义呢，它的值是这样算的：我们先看第一行的元素。
对于元素1，我们要把它所在的行和列都划掉，就剩下一个二阶行列式啦：begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}这个二阶行列式的值按照刚才说的方法算就是5×9 - 6×8 = 45 - 48 = - 3。
但是呢，因为元素1在第一行第一列，它的行标和列标之和是1 + 1 = 2，是偶数，所以这个值就不用变符号，就是-3。
再看第一行的元素2，同样划掉它所在的行和列，得到二阶行列式：begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}这个二阶行列式的值是4×9 - 6×7 = 36 - 42 = - 6。
元素2在第一行第二列，行标和列标之和是1+2 = 3，是奇数，所以这个值要变符号，就变成6。
最后看第一行的元素3，划掉它所在的行和列后得到二阶行列式：begin{vmatrix}4 5 7 8end{vmatrix}这个二阶行列式的值是4×8 - 5×7 = 32 - 35 = - 3。
元素3在第一行第三列，行标和列标之和是1+3 = 4，是偶数，所以这个值不用变符号，就是-3。
行列式典型例题
下面讨论行列式的计算方法: 行列式计算的基本方法是利用行列式的性质,将行列式化成特殊的行列式,再 求值.常用方法有:降阶法、递推法、折项法、加边法等. 1 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 ri r2 2 2 2 2 i2 例6 2 2 3 2 0 0 1 0 2 2 2 n 0 0 0 0 n2
1
-2
.
解
方法一:由行列式的定义 f ( x) 2 x ( x) x 2 x 3 x 2 x 2 x3 x
方法二:按第一行展开,得 f ( x) 2 x
【评注】方法一适用简单情形,方法二适用较复杂情形. 1 1 设 1 1 1 1 左边 1 1 1 1 1 x 1 1 1 2 3 2 4 15 1 x 2 x3 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 2 5 1 2 4 8 0 ,求该方程的根. 4 15 0 2 5 12 x 2 x3 1 x x 2 x3 1 8 0 ,即 27 x3
xn
bn
xn
4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
Am * O Bn AB Am O * Bn
;
O Bn
Am *
(1) mn A B
* Bn
Am O
.
二. 典型例题
2x 1 2 1 x ,则 x3 的系数是 x
例1
设 f ( x) x x
x 1 2 2 x 4
例5
设 f ( x) 2
,证明 f ( x) 0 有小于 1 的正根.
3 x2 4 x
证 且
方法一: f ( x) 是 x 的多项式,则 f ( x) 在[0，1]上连续,在（0，1）内可导,