(命题规律探究 题组分层精练)：第十二章 概率与统计 §12.3 二项分布与正态分布.pptx (共27张PPT)
第十二章选修2第十二章概率与统计综合能力测试(Ⅱ)
第十二章选修2第十二章概率与统计综合能力测试（n）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）答案：C解析：高一、高二、高三三个年级人数比为？？22 2!,按分层抽样的要求，抽取的样又知样本容量为70 ,故三个年级分别应抽取27人、22人、21人.3. 已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 78 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为0.25的范围是A.5.5 〜7.5C. 9.5 〜11.5答案：D解析：统计结果为：5.5〜7.5,2个数据；7.5〜9.5,6个数据；9.5〜11.5,7个数据；11.5〜13.5,5个数据.因此频率为0.25的范围是D.4. 在样本的频率分布直方图中，一共有m（m》3）个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m- 1个小矩形面积和的£且样本容量为100,则第3组的频数是（）4A.0.2C.20答案：B.25D.以上都不正确C解析：第3组的频率是£样本容量为100,故第3组的频数是100 X4= 20.选C.5 51.（2019成都市高中毕业班第一次诊断性检测题）某学校有教职工100人，其中教师80人, 职员20人.现从中随机抽取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰有8名教师的概率为A.C. 2 8A80A20 A1008 2C80C200 B.D.8 2A80A20A1002 8C80C20解析：依题意得从100名教职工中随机抽取10人的选法种数是人中恰有8名教师的选法种数是C8o c2c种，因此所求的概率等于c：0 0种，其中所选的选C.102•新华中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有方法，抽取容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级应分别抽取420人，用分层抽样的（）A. 28 人，24 人，18 人C.26 人，24 人，20 人答案：BB. 27 人，22 人，21 人D.25 人，24 人，21 人本中三个年级人数比应保持不变,B.7.5 〜9.5D.11.5 〜13.5 C：00，5. （2019南昌市高三年级调研测试卷）为了解一片经济林的生长情况, 株树木的底部周长（单位：cm）.根据所得数据画出样本的频率分布直方图株树木中，底部周长小于110cm的株数是随机测量了其中100（如图），那么在这100A.30 C.70 答案：C解析：依题意得在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是100X (0.01 + 0.02 + 0.04) X 10= 70,选 C.总结评述：有关统计图表的考查，主要要求考生能够准确地识图6. 老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班 40名同学(其中男同学28名，女同 学12名)采取分层抽样的方法， 抽取一个样本容量为 10的样本进行研究，某女同学甲被抽到 的概率为 ( )1 1 A — B — A. 50 1 210 1 1 C. D.- 5 4 答案：D 解析：因为在分层抽样中，任何个体被抽取的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概 10 1率P = 70=匚，故应选D.40 417•设随机变量 E 〜Ng, d ),且 P( M 1) = 2，P(E>2) = p ，则 P(0< 匕 1)等于()1 A.gp B.1 — p 1C.1 — 2pD.2— p答案：D1解析：由题意 P( M 1) =1 ,.••□= 1.1 1又 P(0 < M 1) = P(1 < M 2) = P(M 2)— P( M 1) = 1 — p — -=2— p. 8.已知某一随机变量 E 的概率分布列如下，且 E E= 6.3,则a 的值为 ( )A.5 C.7答案：C解析：由题意得0.5+ 0.1 + b = 1,4X 0.5 + a x 0.1 + 9X b = 6.3，求得a 的值为7,故选C.9.某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体 师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知女学生一共抽取了 80人，贝U n 的值是 ( ) A.193 C.191 答案：B.192 D.190 B1 aC.2a 答案：BE4 a 9 P0.5 0.1 bB.1 — aD.1 — 2aD.80 B.6 D.8解析：由="c，得n = 192，故选B.200 + 1200+ 1000 100210.(2019昆明质检)设随机变量E服从正态分布N(2, d),若P( >c)= a，贝U P( >4 —c) 等于()解析： c — 2 c — 2 P( A c)= 1 — F(c)= 1— 0( T )= a , 0( T ) = 1 — a ,贝y P( E>4— c)= 1— F(4 — c)2 — c c —2 =1 —①（）=0（） = 1 — a ,故选 B.（T （T11.（2019上海）在发生某公共卫生事件期间， 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发 生大规模群体感染的标志为“连续 10天，每天新增疑似病例不超过 7人”.根据过去10天甲、 乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ）A. 甲地：总体均为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为 1,总体方差大于 0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为 2，总体方差为3 答案：D解析：逐项验证中，由0,0,024,4,4,4,4,8可知，A 错；由0,0,0,0,0,0,0,0,2,8可知，B 错; 由 0,0,1,1,2,2,3,338 可知，C错.D中"X=2.(X 1- 2)2+(X 2- 2)2+…+(X 10-2)210即(X 1 — 2)2+ (X 2 — 2)2+ …+ (X 10— 2)2= 30.显然(X i — 2)2< 30(i = 1,2, D.212.（2019湖南衡阳模拟）已知随机变量E 服从正态分布 N （2, T ） ,P （EW 4）= 0.84,则P （夫0） 等于 （）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84 答案：A解析：p(葺 4)= F(4) = 0( ) =0(勺=0.84,0— 2 2••• P(長 0) = F(0)=①(一^)= 0( — 1 — =1 — 0.84= 0.16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
习题-二项分布与正态分布
11.3 二项分布与正态分布基础篇 固本夯基考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式1.(2022届长沙长郡中学月考,7)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为23,34,只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进人第三关的概率为( ) A.12B.56C.89D.1516答案 B2.(2022届武汉部分学校质检,5)在一次试验中,随机事件A,B 满足P(A)=P(B)=23,则( ) A.事件A,B 一定互斥 B.事件A,B 一定不互斥 C.事件A,B 一定互相独立 D.事件A,B 一定不互相独立 答案 B3.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案 B4.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 答案 B5.(2021辽宁丹东质检,2)10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回地抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖的条件下,乙没有中奖的概率为( ) A.35B.23C.34D.4156.(2021江苏徐州第三次调研,2)清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签的方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为( ) A.112 B.13 C.12 D.34答案 D7.(多选)(2021福建厦门外国语学校月考,12)甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列结论正确的为( ) A.P(M)=12B.P(M|A 1)=611 C.事件M 与事件A 1不相互独立 D.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件 答案 BCD8.(2022届山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B (6,13),则P(ξ=4)= ,D(ξ)= .(用数字作答) 答案20243;439.(2022届山东潍坊10月段考,15)一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次,如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n,则算过关.甲同学参加了该游戏,他连过前两关的概率是 .答案5910.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 答案16;2311.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .12.(2022届江苏苏州调研,19)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. (1)试通过计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y 的分布列及数学期望和方差. 解析 (1)∵在8个试题中甲能答对6个,∴甲通过自主招生初试的概率P 1=C 63C 21C 84+C 64C 84=1114,又∵乙能答对每个试题的概率为34, ∴乙通过自主招生初试的概率P 2=C 43(34)314+C 44(34)4=189256,∵P 1>P 2,∴甲通过自主招生初试的可能性更大.(2)由题意可知,乙答对题的个数X 的可能取值为0,1,2,3,4,X~B (4,34), P(X=k)=C 4k (34)k (14)4−k(k=0,1,2,3,4)且Y=5X, 故Y 的分布列为∴E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×4×34=15, D(Y)=D(5X)=52D(X)=25×4×34×(1−34)=754. 13. (2022届山东潍坊阶段测,20)智能体温计测温方便、快捷,已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现,使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致,而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言,如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同,我们认为智能体温计“测温准确”;否则,我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计测量体温,数据如下:(1)试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率;(2)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温,设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)题表20人的体温数据中,用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12个, 由此估计所求概率为1220=35. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)可知,用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35. 所以P(X=0)=C 30(35)0(1−35)3=8125, P(X=1)=C 31(35)1(1−35)2=36125, P(X=2)=C 32(35)2(1−35)1=54125, P(X=3)=C 33(35)3(1−35)0=27125, 所以X 的分布列为故X 的数学期望E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95. 14.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.考点二 正态分布1.(2022届河北邢台9月联考,6)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ>2c+1)=P(ξ<2c-1),则c 的值为( )A.32 B.2 C.1 D.12答案 A2.(2021广东深圳一模,5)已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题: 甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2). 乙:P(ξ>a)=0.5. 丙:P(ξ≤a)=0.5.丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 D3.(2020广东深圳七中月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 B4.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,则P(2<X ≤4)= . 答案 0.45.(2021广东韶关一模,20)在一次大范围的随机知识问卷调查中,通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ξ~N(μ,196),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值;②若P(ξ>2a-5)=P(ξ<a+3),求a 的值;(2)在(1)的条件下,为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案:①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为:现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)①由题意得30×2+40×13+50×21+60×25+70×24+80×11+90×4100=60.5,∴μ=60.5.②由题意得2a-5+a+3=2×60.5,解得a=41.(2)由题意知P(ξ<μ)=P(ξ≥μ)=12,获赠话费X(单位:元)的可能取值为20,40,50,70,100, P(X=20)=12×34=38,P(X=40)=12×34×34=932,P(X=50)=12×14=18,P(X=70)=12×34×14+12×14×34=316,P(X=100)=12×14×14=132,∴X 的分布列为∴E(X)=20×38+40×932+50×18+70×316+100×132=1654. 综合篇 知能转换考法一 条件概率的求法1.(2021广东二模,3)2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为23,连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”,事件B 表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=( ) A.13B.12C.23D.34答案 D2.(2022届全国学业质量检测,9)某公司为方便员工停车,租了6个停车位,编号如图所示,公司规定:每个车位只能停一辆车,每个员工只允许占用一个停车位,记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”,事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”,则P(A|B)=( ) A.16B.310 C.12 D.35答案 D3.(多选)(2021江苏海安高级中学月考,7)已知A ,B 分别为随机事件A,B 的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是( ) A.P(B|A)+P(B |A)=P(A) B.P(B|A)+P(B |A)=1C.若A,B 独立,则P(A|B)=P(A)D.若A,B 互斥,则P(A|B)=P(B|A) 答案 BCD考法二 n 重伯努利试验及二项分布问题的求解方法1.(2021广东深圳外国语学校月考,5)某同学进行3分投篮训练,若该同学投中的概率为12,他连续投篮n 次至少得到3分的概率大于0.9,那么n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小、形状相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ( ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 答案 B3.(多选)(2022届山东济宁一中开学考,11)某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5道题,每道题答对得20分,答错扣10分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某选手每道题答对的概率均为23,其必答题环节的总得分为X,则( ) A.该选手恰好答对2道题的概率为49B.E(X)=50C.D(X)=1003D.P(X>60)=112243答案 BD4.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 答案 1.965.(2022届山东济宁一中开学考试,21)由于抵抗力差的人感染新冠肺炎的可能性相对更高,特别是老年人群体,因此某社区在疫情控制后,及时给老年人免费体检,通过体检发现“高血糖,高血脂,高血压”,即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表,还特地建设了一个老年人活动中心,老年人每天可以到该活动中心去活动,以增强体质.通过统计每周到活动中心运动的老年人的活动时间,得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老年人中任意选取5人.①若将频率视为概率,求至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率;②若抽取的5人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为2人,从5人中选出3人进行健康情况调查,记3人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为ξ,求ξ的分布列和期望;(2)将某人的每周活动时间量与所有老年人的每周平均活动时间量比较,当超出所有老年人的每周平均活动时间量不少于0.74 h 时,称该老年人为“活动爱好者”,从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到k 人为“活动爱好者”的可能性最大,试求k 的值.(每组数据以区间的中点值为代表)解析 (1)由题图可知,从到活动中心参加活动的老年人中任意选取1人,每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率为25.①记“至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)”为事件A, 则P(A)=C 53·(25)3·(1−25)2+C 54·(25)4·(1−25)+C 55(25)5=9923 125.②随机变量ξ所有可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=C 33C 53=110,P(ξ=1)=C 32C 21C 53=35,P(ξ=2)=C 31C 22C 3=310,则ξ的分布列如下:故E(ξ)=0×110+1×35+2×310=65. (2)老年人的每周活动时间的平均值为6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.4+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h),则老年人中“活动爱好者”的活动时间为[9,11](单位:h),参加活动的老年人中为“活动爱好者”的概率为p=0.19,若从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到X 人为“活动爱好者”,则X~B(10,0.19), 若k 人的可能性最大,则P(X=k)=C 10k p k(1-p)10-k,k=0,1,2,3, (10)由题意有{P(X =k)≥P(X =k −1),P(X =k)≥P(X =k +1),即{C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k−1(0.19)k−1(0.81)11−k ,C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k+1(0.19)k+1(0.81)9−k , 解得1.09≤k ≤2.09,由k ∈N *,得k=2.6.(2022届广东汕头金山中学期中,19)如图,李先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有L 1、L 2两条路线,L 1路线上有A 1、A 2、A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L 2路线上有B 1、B 2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望;(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条较好的上班路线,并说明理由.解析 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A,则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(1−12)2=12, 所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意,X 的可能取值为0,1,2. P(X=0)=(1−34)×(1−35)=110,P(X=1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920,P(X=2)=34×35=920. 随机变量X 的分布列为所以E(X)=0×110+1×920+2×920=2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y 服从二项分布Y~B (3,12),所以E(Y)=3×12=32. 因为E(X)<E(Y),所以选择L 2路线上班较好.7.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k ·(23)k (13)3−k ,k=0,1,2,3. 所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}. 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立, 从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243. 8.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18.因此f '(p)=C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2C 202p(1-p)17(1-10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时, f '(p)>0; 当p ∈(0.1,1)时, f '(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.考法三 正态分布问题的求解方法1.(2022届江苏苏州调研,3)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.84,则P(-1<ξ≤0)=( )A.0.34B.0.68C.0.15D.0.07 答案 A2.(2022届江苏徐州期中,5)某单位招聘员工,先对应聘者的简历进行评分,评分达标者进入面试环节,现有1 000人应聘,他们的简历评分X 服从正态分布N(60,102),若80分及以上为达标,则估计进入面试环节的人数为( )(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 3)A.12B.23C.46D.159 答案 B3.(多选)(2022届湖南湘潭9月模拟,10)已知随机变量X 服从正态分布N(0,22),则( ) A.X 的数学期望为E(X)=0 B.X 的方差为D(X)=2 C.P(X>0)=12D.P(X>2)=12 答案 AC4.(2022届河北9月开学摸底联考,7)含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐,是新一代的碘盐产品.海藻中的碘80%为无机碘,10%~20%为有机碘,海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点.某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(400,4),某顾客购买了4袋海藻碘食用盐,则至少有2袋的质量超过400克的概率为( ) A.1116 B.34 C.58 D.516答案 A5.(2022届(新高考)第一次月考,19)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动,已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图.(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈0.997 3.解析 (1)由题中频率分布直方图和分层随机抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4. 因此,ξ的可能值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=C 64C 104=114,P(ξ=1)=C 41C 63C 104=821,P(ξ=2)=C 42C 62C 104=37,P(ξ=3)=C 43C 61C 104=435,P(ξ=4)=C 44C 104=1210.故ξ的分布列为所以ξ的数学期望E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85. (2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18.由X 服从正态分布N(μ,σ2),得P(64-18<X ≤64+18)=P(46<X ≤82)≈0.682 7,则P(X>82)=12(1-0.6827)=0.158 65,P(X>46)=0.682 7+0.158 65=0.841 35,60×0.841 35≈50,所以估计此次竞赛受到奖励的人数为50.6.(2022届辽宁渤海大学附中考试,20)随着我国国民消费水平的不断提升,进口水果受到了人们的喜爱,世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国:泰国的榴莲、山竹、椰青,厄瓜多尔的香蕉,智利的车厘子等水果走进了千家万户.某种水果按照果径大小可分为五个等级:特等、一等、二等、三等和等外.某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将样本频率视为概率,从这批水果中随机抽取6个,求恰好有3个水果是二等级别的概率; (2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果,则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,Y 表示抽取的优级水果的数量,求Y 的分布列及数学期望E(Y).解析 (1)设从500个水果中随机抽取一个,抽到二等级别水果的事件为A,则P(A)=250500=12, 随机抽取6个,设抽到二等级别水果的个数为X,则X~B (6,12), 所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P(X=3)=C 63(12)3(12)3=516.(2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个, 其中优级水果有3个,非优级水果有7个. 则Y 所有可能的取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C 73C 103=724,P(Y=1)=C 72C 31C 103=2140,P(Y=2)=C 71C 32C 103=740,P(Y=3)=C 33C 103=1120.所以Y 的分布列为所以E(Y)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.7.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X ≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i −x)2=√116(∑i=116x i2−16x 2)≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^,用样本标准差s 作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z< μ+3σ)=0.997 4.0.997 416≈0.959 2,√0.008≈0.09.解析 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6). 因此P(X ≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.。
(完整word版)专题：二项分布与超几何分布
专题: 超几何分布与二项分布［知识点]关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征：一个总体（共有N 个）内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个，其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --==(0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.二项分布必须同时满足以下两个条件：①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个，且事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ，事件A 发生的概率为1p -.1、(2011•北京海淀一模)某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23。
现有10件产品,其中6件是一等品，4件是二等品. （Ⅰ） 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； （Ⅲ） 随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率. 【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为A …………………………1分 事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ………2分151332104106)(=⨯+=A p ………………………4分 （Ⅱ） 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===，21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===，03463101(3)6C C P X C ===。
………………8分故X 的分布列为… ……………9分(Ⅲ）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B …………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B =⋅=。
【五年高考三年模拟】2017届高三数学(理)新课标一轮复习练习：12.3 二项分布与正态分布
§12.3二项分布与正态分布考点一条件概率、相互独立事件及二项分布7.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=800.P(X=4000)=P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C 1,C 2,C 3相互独立,由(1)知,P(C i )=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P(C 1C 2C 3)=P(C 1)P(C 2)P(C 3)=0.83=0.512; 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C 1C 2C 3)+P(C 1C 2C 3)+P(C 1C 2C 3)=3×0.82×0.2=0.384, 所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为 0.512+0.384=0.896.评析 本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;考查应用意识,分类讨论的意识、运算求解的能力.8.(2012山东,19,12分)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX.解析 (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P(B)=34,P(C)=P(D)=23, 由于A=B 根据事件的独立性和互斥性得 P(A)=P(B +C =P(B C D )+P(B C D )+P(B C D)=P(B)P(C )P(D )+P(B )P(C)P(D )+P(B )P(C )P(D)=34× 1-23 × 1-23 +1-34×23×1-23+1-34×1-23×23=736. (2)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5, 根据事件的独立性和互斥性得 P(X=0)=P( ) =[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] = 1-34 × 1-23 × 1-23=136,P(X=1)=P(B C D )=P(B)P(C )P(D ) =34× 1-23 × 1-23 =112,P(X=2)=P(B C D +B C D)=P(B C D )+P(B C D) = 1-34 ×23× 1-23 + 1-34 × 1-23 ×23=19, P(X=3)=P(BC D +B C D)=P(BC D )+P(B C D) =34×23× 1-23 +34× 1-23 ×23=13, P(X=4)=P(B CD)= 1-3×2×2=1, P(X=5)=P(BCD)=3×2×2=1. 故X 的分布列为所以EX=0×136+1×112+2×19+3×13+4×19+5×13=4112.评析 本题考查互斥、对立及相互独立事件的概率,考查分布列及期望,考查学生分析问题、解决问题的能力.解答本题的关键是准确分析X 的取值情况及其相对应的概率.。
适用于老高考旧教材2024版高考数学一轮总复习第12章概率第4节二项分布与正态分布课件新人教A版
1
率为 3 ,乙每次击中目标的概率为 2 .假设两人射击是否击中目标互不影响,
每次射击是否击中目标互不影响.
(1)记甲击中目标的次数为X,求X的分布列;
(2)在①甲恰好比乙多击中目标2次,②乙击中目标的次数不超过2次,③甲
击中目标3次且乙击中目标2次,这三个条件中任取一个,补充在横线中,并
解答问题.求
一;而有放回摸球是每次摸出一球放在袋内,下次再摸球时袋内球的总数不
变.
(2)无放回摸球各次抽取不是相互独立的;而有放回摸球各次抽取是相互独
立的.
(3)对无放回摸球来讲,事件A:“无放回地逐个取k个球”与事件B:“一次任取k
个球”的概率相等,即P(A)=P(B);而对有放回摸球来讲,事件A:“有放回地逐
x轴之间的面积为1.
研考点•精准突破
考点一
二项分布(多考向探究)
考向1 不放回与放回取球问题
例1一个不透明袋子里有大小相同的3个红球和3个黑球,从袋子里随机取
球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得1分,取到一个黑球得
0分.
(1)若从袋子里一次随机取出3个球,求得2分的概率;
(2)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸3次,求得分ξ的概
对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于
10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;
对于D,由于概率分布是集中在10附近的,(9.9,10.2)分布在10附近的区域大
于(10,10.3)分布在10附近的区域,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率
大于落在(10,10.3)内的概率,故D错误.故选D.
规律方法 二项分布是一个用公式 P(X=k)=C pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n 表示的
2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.3二项分布与正态分布教师用书(PDF,含解析)
(２) 西安 市某 学校 拟从 ４ 月 份 的 一 个 晴 ������天 ������ 开 始 举 行 连 续 ２ 天的运动会ꎬ估计运动会期间不 ������下 ������雨 ������的概率.
＝
Ｃ
ｋ ｎ
ｐｋ
(
１
－
ｐ
)
ｎ－ｋ
ꎬ
它
是
ｎ
次独立重复试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次的概率.
说明:公式中 ｎ 是重复试验次数ꎬｐ 是一次试验中某事件 Ａ
发生的概率ꎬｋ 是在 ｎ 次独立试验中事件 Ａ 恰好发生的次数ꎬ只
有弄清公式中 ｎꎬｐꎬｋ 的意义ꎬ才能正确运用公式.
(２)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 ｐꎬ
解析 (１) 在容量为 ３０ 的样本中ꎬ不下雨的天数是 ２６ꎬ以 １３
频率估计概率ꎬ４ 月份任选一天ꎬ西安市不下雨的概率为 １５ . (２)称相邻的两个日期为“ 互邻日期对” ( 如ꎬ１ 日与 ２ 日ꎬ
２ 日与 ３ 日等).这样ꎬ在 ４ 月份中ꎬ前一天为晴天的互邻日期对 有 １６ 个ꎬ其中后一天不下雨的有 １４ 个ꎬ所以晴天的次日不下雨
( ｉｉ) 曲线是单峰的ꎬ它关于直线 ｘ ＝ μ 对称ꎻ
( ｉｉｉ) 曲线在 ｘ ＝ μ 处达到峰值 １ ꎻ σ ２π
( ｉｖ) 曲线与 ｘ 轴之间的面积为 １ꎻ
( ｖ) 当 σ 一定时ꎬ曲线的位置由 μ 确定ꎬ曲线随着 μ 的变化
而沿 ｘ 轴平移ꎻ
( ｖｉ) 当 μ 一定时ꎬ曲线的形状由 σ 确定ꎬσ 越小ꎬ曲线越“ 瘦
考点二 正态分布
１.正态曲线及其特点
[推荐学习]高考数学 复习第十二章 概率与统计(理)北师大版
第十二章 概率与统计1、[文] 一个容量为20的样本，数据的分组与几个组的频数如下：[10，20]，2；[20，30]，3；[30，40]，4；[40，50]，5；[50，60]，4；[60，70]，2. 则样本在区间[10，50]上的频率为 . 1．[文] 0.7 2. (文)某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A. 15，5，25 B. 15，15，15 C. 10，5，30 D. 15，10，20 2. (文)D 【思路分析】： 每20人中抽取1人 【命题分析】：考察抽样方法。
3、(理)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 A ．20 B ．25 C ．30 D ．403、(理)Ｂ【思路分析】： 抛掷－次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为1652525=C ，2516580=⨯=ξE 【命题分析】：考察等可能事件的概率的求法及数学期望的求法。
4．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：),40,30[;3),30,20[;2),20,10[3),70,60[;3),60,50[;5),50,40[;4，则样本在区间)50,10[内的频率是（ ）A ．0.05B ．0.25C ．0.50D ．0.704．D 【思路分析】：7.0205432=+++=P ，故选D.【命题分析】：考查频率的计算方法. 5、(理)随机变量ξ的分布列为1201)(-==ξk k P (*N k ∈ ， )162≤≤k ，则=ξE _______ .5、(理) 3341201360= +⨯+⨯=ξ3221(1201E …)1615⨯+ 3346068060120)(23172162322===+⋯++=C C C C .6．对甲乙两学生的成绩进行抽样分析，各抽取5门功课，得到的观测值如下：甲：70 80 60 70 90 乙：80 60 70 84 76那么，两人中各门功课发展较平稳的是 ．【思路分析】：7474S 104S 70.4x x ====甲乙甲乙，，，，故S S >甲乙. 【命题分析】：考察抽样分析、期望（平均数）的应用 7、（12分）[理]甲、乙两人玩轮流抛掷一对骰子的游戏，由甲先掷，乙后掷，然后甲再掷，…. 规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获胜，一旦决出胜负游戏便结束.（Ⅰ）若限定每人最多掷两次，求游戏结束时抛掷次数ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）若不限定两人抛掷的次数，求甲获胜的概率. 7[理]、【思路分析】(Ⅰ) 抛掷一次出现的点数共有6×6 = 36种不同结果，其中“点数之和为7”包含了(1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) , (4 , 3) , (5 , 2) , (6 , 1)共6个结果，∴抛掷一次出现的点数之和为7的概率为61366= ………………………… 2分 ξ可取1 , 2 , 3 , 4P (ξ=1) =61，P (ξ=2) =3656165=⨯，P (ξ= 3) =2162561)65(2=⨯P (ξ= 4) =2161251)65(3=⨯∴ξ的概率分布列为E ξ= 1×61+ 2×365+ 3×21625+ 4×216125=216671 …………………………… 8分 (Ⅱ) 不限制两人抛掷的次数，甲获胜的概率为：P =61+ (65)2×61+ (65)4×61+ …= 116)65(1612=-.……………………………………………… 12分【命题分析】主要考查等可能事件，互斥事件，相互独立事件，随机事件的概率分布、数学期望，无穷递缩等比数列各项的和等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力. 8、 (理)袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球. 已知每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分. 用ε表示任取2个球的得分，求：(1)ε的分布列； (2)ε的数学期望.8、(理)(1)(2)E ξ＝0×6＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9．9、（本题满分12分）（理）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，试回答下列问题。
高考数学 二项分布与正态分布(分层集训)
6.(2023届辽宁渤海大学附中月考,14)某考生回答一道四选一的考题,假设
他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不
知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为
.
答案 0.625
7.(2023届福建漳州质检,20)漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公 园.在建园期间,甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻 时会损坏部分水仙花球茎,假设水仙花球茎损坏后便不能使用,无损坏的 全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量 的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为 0.8,0.6,0.75 水仙花球茎的使用率= 能使用的水仙花球茎数 .
=0.25×0.8+0.35×0.6+0.4×0.75=0.71,
所以P(A3|B)= P( A3B) = P( A3)P(B | A3) = 0.3 = 30 .
P(B)
P(B)
0.71 71
即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,它是由丙工作队所采摘的
概率为 30 .
71
考点二 正态分布
1.(2023届广东东莞四中月考,4)某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有
采摘的水仙花球茎总数
(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次,每次抽取一颗,记甲工 作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及期 望; (2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,求它是由丙工作队所采 摘的概率.
解析 (1)在采摘的水仙花球茎中,任取一颗是由甲工作队采摘的概率是
可得χ2=
90
(25 25 35 5)2 60 30 30 60
第十二章 概率与统计12.4
§12.4 二项分布
知识梳理
ZHISHISHULI
1.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫 PAB
做_条__件__概__率_，用符号_P_(_B_|A__)来表示，其公式为P(B|A)＝ PA (P(A)>0). 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝nAB .
多维探究
题型二 独立重复试验与二项分布
命题点1 独立事件的概率
例2 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、
乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道 题答的正概确率的是概率34，是甲14、.若丙各两家个庭家回庭答都是回否答正错确误互的不概影率响是. 112，乙、丙两个家庭都回 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 解 有0个家庭回答正确的概率为 P0＝P( A B C )＝P( A )·P( B )·P( C )＝41×85×31＝956， 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1＝P(A B C ＋ A B C ＋ A B C) ＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝274， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P＝1－P0－P1＝1－956－274＝2312.
则 P(X＝0)＝C03250353＝12275，
P(X＝1)＝C13·52·352＝15245，
P(X＝2)＝C23252·53＝13265， P(X＝3)＝C33253530＝1285. 所以X的分布列为
解 记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道
第十二章12.5二项分布及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件 下可重复进行的，各次之间相互独 立的一种试验，在这种试验中每一
两 种相互对立的结 次试验只有 ____
2.计算条件概率有两种 方法
(1) 利 用 定 义 P(B|A) ＝ PAB ； PA (2) 若 n(C) 表示试验中事 件 C 包含的基本事件的个 nAB 数，则 P(B|A)＝ . nA
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】在
条件概率
100 件产品中有 95 件合
思维启迪 解析
答案
探究提高
格品，5 件不合格品．现从中不 放回地取两次，每次任取一件， 则在第一次取到不合格品后， 第 二次再次取到不合格品的概率 为________．
方法二
第一次取到不合格品
后还剩余 99 件产品，其中有 4 件不合格品， 故第二次取到不合 4 格品的概率为 . 99
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】在
条件概率
100 件产品中有 95 件合
思维启迪 解析 答案 探究提高
格品，5 件不合格品．现从中不 放回地取两次，每次任取一件， 则在第一次取到不合格品后， 第 二次再次取到不合格品的概率 为________．
条件概率的求法： (1) 利 用 定 义 ， 分 别 求 P(A) 和 PAB P(AB)，得 P(B|A)＝ .这是通 PA 用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求 事件 A 包含的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)， nAB 得 P(B|A)＝ . nA
题型分类·深度剖析
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A组 统一命题·课标卷题组
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布 1.(2015课标Ⅰ,4,5分,0.679)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次 投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 ( A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 )
考点二
正态分布
1.(2017课标全国Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产 线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求 P(X≥1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天 的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
思路分析 (1)利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表求解; (2)设出事件B,直接求P(B),然后利用条件概率公式求解;
(3)由题意,求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
易错警示 对条件概率理解不到位Fra bibliotek或者不会运用条件概率的求解公式,尤其是公式P(B|A)=
P ( AB ) 中,P(AB)的求解方法的选取. P ( A)
2 C3 答案 A 该同学通过测试的概率P= ×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故选A.
思路分析 此类问题要根据已知信息判断试验的类型,选用相应的公式进行求解.
解题关键 本题考查n次独立重复试验,难度适中.
2.(2014课标Ⅱ,5,5分,0.382)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续 两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8. X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6. (2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16
个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发
0.008 ≈0.09. 0.997 416≈0.959 2,
解析 本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用. (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之
外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
思路分析 设“某天的空气质量为优良”为事件A,“随后一天的空气质量为优良”为事件B;
然后利用条件概率公式P(B|A)=
P ( AB ) 求解. P ( A)
3.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续 保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
1 ×(16×9.97-9.22)=10.02, 15
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因此μ的估计值为10.02.
率是 (
A.0.8 C.0.6
)
B.0.75 D.0.45
答案 A 设“某天的空气质量为优良”为事件A,“随后一天的空气质量为优良”为事件B,则 P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由题知,要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率,根据条件概率 公式得P(B|A)=
P ( AB ) 0.6 = =0.8. P ( A) 0.75
3 11
P ( AB ) P ( B ) 0.15 3 = = = . P ( A) P ( A) 0.55 11
(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为
EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. (12分)
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解析 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年 内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (3分) (2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年 内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B),故P(B|A)= 因此所求概率为 . (7分)
x 作为μ的估计值μ 用样本平均数 ,用样本标准差s作为σ的估计值σ ,利用估计值判断是否需对当
σ σ 天的生产过程进行检查.剔除(μ -3 ,μ +3 )之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
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附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.
生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生 产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ii)由 μ =9.97,σ的估计值为 σ =0.212,由样本数据可以看出有一个 x =9.97,s≈0.212,得μ的估计值为 零件的尺寸在( μ -3 μ +3 σ , σ )之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除( μ -3 μ +3 σ , σ )之外的数据9.22,剩下数据的平均数为