第三章 圆的基本性质期末复习
圆的基本性质全章复习与测试(原卷版)
第3章圆的基本性质全章复习与测试【知识梳理】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十二．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．十三．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．十四．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【考点剖析】一．垂径定理（共3小题）1．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O 的半径为（）A．3B．4.2C．5.8D．62．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则OD的长是（）A．1.5B．2C．3D．43．（2023•龙湾区一模）如图，点O为正方形ABCD的中心，以BC的中点H为圆心，HA为半径画弧交CB 的延长线于点E．以BE为边向上作正方形BEFG，过点A作AK⊥AE交CD于点K，取EK的中点M，连结MO．已知，则OM的长为（）A．B．C．D．3二．垂径定理的应用（共2小题）4．（2022秋•诸暨市期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，OD＝3，则桥拱高CD为（）A．3B．2.5C．2D．1.55．（2023•婺城区模拟）抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）6．（2023•临安区一模）如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（）A．1B．2C．3D．4四．圆周角定理（共4小题）7．（2023•义乌市模拟）如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（）A．24°B．30°C．36°D．60°8．（2022秋•鄞州区期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC＝cm．9．（2022秋•浦江县期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．10．（2022秋•越城区校级期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E 在⊙O上．（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的长．五．圆内接四边形的性质（共3小题）11．（2022秋•海曙区期末）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（）A．180°B．120°C．100°D．150°12．（2022秋•上城区期末）如图，A，B，C，D是圆O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证：（1）∠1＝∠2；（2）ON＝OM．13．（2022秋•金华期末）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，问：（1）求∠AOB的度数；（2）求弦BC的长．六．点与圆的位置关系（共4小题）14．（2022秋•温州期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7B．6C．5D．415．（2022秋•金华期末）已知点P到圆心O的距离为3cm，点P在⊙O内，则⊙O的半径R的取值范围是（）A．R＞3B．R＜3C．0＜R＜3D．R≥316．（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（）A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜1417．（2022秋•杭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点B在圆上D．点B在圆外七．正多边形和圆（共4小题）18．（2023•杭州二模）如图，在正五边形ABCDE中，若BP＝1，则PE＝（）A．2B．C．D．+119．（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．20．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．75°21．（2023•上虞区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，M是边BC的中点，连结FM交AE于点N，则△FEN的面积为（）A．B．C．D．八．弧长的计算（共6小题）22．（2023•金东区一模）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（）A．2πB．πC．2πD．π23．（2023•温州二模）一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是．24．（2023•瓯海区模拟）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是m．25．（2023•武义县一模）如图，小聪探索发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P，Q时，的长度保持不变．若⊙O的半径为3cm，则的长为cm．26．（2023•秀洲区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为．27．（2023•海曙区一模）某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．九．扇形面积的计算（共5小题）28．（2022秋•杭州期末）若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（）A．2πB．4πC．12πD．24π29．（2022秋•滨江区期末）已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（）A．24B．22C．12D．630．（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（）A．10π﹣8B．5π﹣8C．25π﹣64D．50π﹣6431．（2022秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为点E，连接OC并延长交⊙O于点F，∠CDB＝30°，CD＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．32．（2023•永嘉县二模）一扇形面积是3π，半径为3，则该扇形圆心角度数是．一十．旋转的性质（共8小题）33．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在线段AB上，则B、D两点间的距离为（）A．B．C．6D．34．（2023•桐乡市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AB的中点，将线段AD绕着点A逆时针旋转一定角度得到AE，使AE∥BC，连接ED，EB分别交AC于点M，N．若AC＝10，则MN的长为（）A．B．C．D．35．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且A，B，E三点在同一条直线上，若∠C＝36°，则旋转角α的度数是（）A．82°B．83°C．84°D．85°36．（2023•绍兴模拟）如图，△A'B'C是将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点B'落在边AB上时得到的，边AC与A'B'交于点D，若∠A＝28°，∠B＝63°，则∠A'DA＝．37．（2023•拱墅区校级三模）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝°．38．（2023•拱墅区校级二模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝4，AC＝2，求AB的长．39．（2023•玉环市二模）如图，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD，若AE⊥CD，则旋转角是（）A．25°B．30°C．45°D．50°40．（2023•瓯海区模拟）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE 绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（）A．8B．7C．9D．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（）A．1B．2C．3D．42．（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）3．（3分）如图为一条圆柱形排水管的横截面，已知圆心O到水面的距离OC是3dm，水面宽AB是8dm，排水管的截面的直径是（）A．16dm B．10dm C．8dm D．6dm4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（）A．83°B．84°C．86°D．87°5．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140°B．100°C．80°D．40°6．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A．B．4C．5D．67．（3分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的格点D有（）（点D与点A、B、C均不重合）．A．3个B．4个C．5个D．6个8．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（0，3）9．（3分）如图，∠DCE的顶点C在量角器外圈的160°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，则∠DCE的度数是（）A．30°B．40°C．45°D．60°10．（3分）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（）A．1+B．+2C．2﹣2D．1+二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1.8cm，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的直径等于cm．12．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，OM＝3，BM＝2，则CD的长为．13．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．14．（4分）如图，已知扇形AOB，∠AOB＝120°，半径OA＝4，点E在弧AB上一动点（E与A、B不重合），过点E作EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，则△CDE面积的最大值为．15．（4分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝1cm，∠BCD＝22.5°，则⊙O的半径为cm．16．（4分）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，则EF的长为．三．解答题（共9小题，满分66分）17．（5分）如图，在四边形ABCD中，请用尺规作图法在BC上找一点E，使得点E到AD、CD的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）18．（6分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标；②⊙D的半径＝（结果保留根号）；③的长为．19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC＝8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE＝2．（1）求⊙O的半径；（2）求线段AD的长．20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P2的值．21．（9分）如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝3∠BAC，求∠ADC的度数．22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．（1）求证：．（2）当，的度数之比为4：5时，求四边形ABDE四个内角的度数．23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．（1）求∠BAC的度数．（2）求∠BAD的度数．24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．求证：＝．25．（10分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求的长．。
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
圆的基本性质复习
第三章 圆的基本性质复习(三)【知识要点】1．在半径为R 的圆上，n 0的圆心角所对的弧长l 的的计算公式为180n R l π=2．由弧长公式可推出：180l n R π=，180l R n π= 3．如果扇形的半径为R ，圆心角为n 0，扇形的弧长为l ，那么扇形面积的计算公式为：213602n R S lR π== (注意：要根据已知条件选择适当的公式来求扇形面积)。
4．如果弓形的面积是S ，弓形所在扇形的面积是S 1，圆心角是n 0，扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面积是S 2，则（1）当n ＝1800时，S=S 1；（等于半圆）（2）当n ＜1800时，S=S 1-S 2；（小于半圆）（3）当n > 1800时，S=S 1+S 2 （大于半圆）5．圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫做面锥的侧面．无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面如果记圆锥的高线长为h ，地面半径为r ，母线长为l ，则h 2+r 2=2l .6．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l ，弧长是圆锥的底面周长C =2лr ，侧面积S 侧=лr l 。
7．圆锥的侧面积与底面积的和叫圆锥的全面积（或表面积）．S 全=2rl r ππ+。
【基本题型】1. 己知扇形的圆心角为1200，半径为6，则扇形的弧长是（ ）A. 3πB. 4π C . 5π D . 6π2. 已知1000的圆心角所对弧长为5π cm ，则这条弧所在圆的半径为（ ）A. 7cm B 8cm C. 9cm D. 10cm3. 弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是（ )A.0360π B. 0180π C. 090π D.6004. 在⊙O 中，300的圆心角所对的弧长是圆周长的 ；300的圆周角所对的弧长是圆周长的 。
5. ⊙O 的周长是24π，则长为6π的弧所对的圆心角为 ，所对的圆周角为 。
九上 第三章 圆的基本性质(知识点总结)
第三章 圆的基本性质（知识点总结）1、在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O 。
2、以3cm 为半径画圆，能画多少个？以点O 为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？-----半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？ 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
3、与圆有关的概念（1）弦和直径；（2）弧和半圆；（3）等圆；（4）同心圆4、点与圆的位置关系。
（1）点在圆外＜＝＞点到圆心的距离大于半径（2）点在圆上＜＝＞点到圆心的距离等于半径（3）点在圆内＜＝＞点到圆心的距离小于半径5、过已知点作圆（1）经过一个点，能作出多少个圆？（2）经过两个点，如何作圆，能作多少个？（3） 经过三个点，如何作圆，能作多少个？6、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心到各顶点距离相等。
“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内。
一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。
锐角三角形外心在圆内；直角三角形外心在圆上；钝角三角形外心在圆外。
7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等所以a 、经过圆心b 、垂直于弦c 、平分弦d 、平分弧，a 四者中有一对量相等，其它所对的量也相等8、在同圆中，已知两平行弦长，要求两弦间的距离，要考虑两种情况：两弦分布在圆心同侧；两弦分布在圆心两侧，根据2221）（l r d -=得，当两弦在圆心同侧21d d d +=；在圆心异侧则21d d d -=。