第八讲 吸引子与混沌
i 1, 2,3 ，所有方向都是收缩的。
方 n1
0 B. 周期吸引子： Re(1 ) 0, Re(2 ) 0, Re(3 )，意味着在 向上作周期运动，而其他方向是收缩的。
8.2 连续系统
C. 准周期吸引子： Re(1 ) Re(2 ) 0, Re(3 )，即只在 0 上收缩，而其他方向上作周期运动。 D. 混沌吸引子： Re(1 ) 0, Re(2 ) 0, Re(3 ) (或 0 方向 n3
和两个单向Lyapunov指数不同，面积Lyapunov指数 为负(收缩）, 不能保证 面积元在每个方向都是收缩的。
8.3
8.3.1 一维
定义8.3 记
离散系统
x1 F ( x0 ), x2 F ( x1 ) F 2 ( x0 ),
由复合函数微分公式可得
则定义
d F n ( x0 ) dF xn x0 d x0 dx
1 t F 1 lim dt t t 0 x 1 t G 2 lim dt t t 0 y
（8.5）
8.2 连续系统
这里定义的二维问题Lyapunov指数，是指沿 x 和 Lyapunov指数。
y 方向的两个单向
我们还可以定义另一种二维Lyapunov指数-面积Lyapunov指数：
OABC OABC ，
O： ( x u, y v, z w)
A ： ( x d x u
u v d x , y v d x, x x w z w d x) x
图8.1
从而
u v w O A (1 , , )d x x x x
x0
dF dx
x1
dF dx
x0
xn1
1 xn 1 n1 d F ( xk ) ( x0 ) lim ln lim ln n n x0 n n k 0 dx
为离散系统的Lyapunov指数。
（8.7）
m ) 在稳定的不动点处 x* ， 0 ；对于稳定的周期 m 的解： xn F ( xn ，也
8.2 连续系统
临近轨道之间距离趋向零；而当 ( x) 0时，两个临近轨道之间距离会越来越 大。 B. Lyapunov指数与轨道本身有关，不同轨道具有不同的Lyapunov指数。
当 x x 为平衡点时，则
*
1 t ( x ) lim Re( F ( x)) d t Re( F ) x x* Re( F ( x* )) t t 0
F ( x, y , z ) x G ( x, y , z ) y z H ( x, y , z )
在某平衡点 ( x , y , z ) 附近可展为
（8.2）
F x F y F z G x G y G z ， H x H y H z
8.1 吸引子
（1）有阻尼的单摆运动
2 0 sin
则
d 2 0 dt
（2）Van der Pol方程
y x x2 2 0 x 2 ( 2 1) y y ac
8.1 吸引子
则
d x2 0 2 ( 2 1) dt ac 0
按定义，对耗散系统来说
（8.1）
d 0 dt
所以吸引子只对耗散系统成立。
8.1 吸引子
耗散系统有四种吸引子(具体说明见8.2.1节)： A. 不动点式的定常吸引子：一维系统中稳定的不动点，二维系统的稳定结点 和焦点；
B. 周期吸引子；
C. 准周期吸引子；
D. 混沌吸引子。
下面举三个力学耗散系统的例子。
大气动力学的基本方程可简化为：
, , b 0
（8.9）
首先，体积变化率为
y z dV x F b 1 0 dt x y z
从而(8.9) 是三维耗散系统。
8.5
Lorenz吸引子（连续系统）
yz bx, z y, y 1 x 0 bx 1 x 0, y 2 bx, z y
8.1 吸引子
类似地
u v w , 1 , )d y y y y u v w OC ( , , 1 )d z z z z 此时平行六面体 O AB C 的体积为 OB (
1 V V
u v w x x x u v w 1 d xd yd z y y y u v w 1 z z z
1 x(t ) 1 t ( x) lim ln lim Re( F ( x)) d t t t x(0) t t 0
由定义8.2可知∶
（8.4）
时，两个
x(t ) )t e ( x。这意味着从总体上来说，当 A. 当 t 时， x(0)
( x) 0
xx y y zz
8.2 连续系统
则可得三个特征值与特征方向： 。所以 (i , n Re(2 ) Re(3 ) （8.3 0） dt x y z
该平衡点为吸引子。现进一步将其分类如下： A. 定常吸引子： Re(i ) 0,
*
C. Lyapunov指数是刻划两个积分曲线之间（同步）发散或收缩的速率，而不 是轨道本身发散或收缩的速率。
8.2 连续系统
(2) 二维
1 d x F x x d t 1 d y G y y d t
这是在单向Lyapunov指数(定义8.2)基础上导出的（为简单起见，假定限制在实 数域内）。从而
非线性力学导论
8.1 吸引子
这一讲从介绍吸引子入手，引出混沌的定义。由于混沌的现象太复杂，迄 今为止没有统一的定义，所以我们从介绍混沌的一些特征入手，举出两个经典 的混沌例子，最后给出诸多的混沌定义中的一个(离散系统，8.7.2节)
8.1 吸引子
定义8.1 若某一点附近的相体积随时间的变化而缩小，称为吸引子。 考虑平行微六面体，其体积为 d x d y d z 。 其位移函数为 u , v, w 。经 t 时刻后，
设 J J n1 J 0的特征值为
1, ，则可定义 2
1 1 lim ln 1 n n 1 2 lim ln 2 n n
为两个Lyapunov指数，注意这里对应的不是 x, y 方向，而是特征方向 （渐近）。
8.3
从而
离散系统
1 2 0 det J 1, 1 1 2 1
面积变化为
A x y
而
F F x x y x y G G y x y x y
x x J , y y
F x J G x
有 0。
8.3
8.3.2 二维
离散系统
F x Jk G x F y G y x xk , y yk
xn xn1 x0 J n1 J n1 J 0 y y y ， n n1 0
Re(1 ) 0,
Re(2 ) 0, Re(3 ) 0；或
dt
Re(1 ) 0, Re(2 ) 0, Re(3 )）。 0
它是整体稳定（ d 0 且是一有界映射），而局部不稳定（伸长与折叠）。
8.2 连续系统
8.2.2 连续系统的Lyapunov指数
我们还可以用Lyapunov指数来描述吸引子的一个重要特征：刻划两个临近 轨道之间发散或收缩的速率。
（3）强迫耗散的Duffing方程
x ac x ac
y x 2 2 y 0 x 02 x3 A cos z y z
这里通过引入新变量 z 化为自治系统。
d 2 0 dt
8.2 连续系统
8.2.1 连续系统的吸引子
设系统为
(1) 一维
dx F ( x) dt 比较两个临近轨道 x(t ) 和 x(t ) x(t，则 ) d x F ( x x) F ( x) F ( x) x dt
相对变化率为
8.2 连续系统
1 d x F ( x) x dt t x(t ) ln F ( x) d t x(0) 0 定义8.2 连续系统的Lyapunov指数 定义为
对守恒系统： 1 2 lim
对耗散系统：
（8.8）
1 1 ln 1 2 lim ln det J n n n n
，可以和连续系统同样讨论。 1 2 0
8.4
它往往呈现出下列特征：
混沌的特征
通常人们所说的混沌是指在确定性非线性系统中形式上混乱的非周期运动,
F y G y
8.2 连续系统
所以面积变化率为
x y x y A
F G x y x y
（8.6）
1 t 1 d A 1 t F G lim d t lim d t 1 2 t t 0 A d t t t 0 x y
吸引子(KAM定理)。
通常吸引子的所有Lyapunov指数为负，而混沌吸引子的体积Lyapunov指数 为负、但某个Lyapunov指数为正，反映局部不稳定和全局稳定的特点。混沌吸 引子只能用分数维表征，即所有的轨道均趋向容量维（面积或体积）为零的集 合。
8.5
Lorenz吸引子（连续系统）
bx yz x y z y z y z xy
现求(8.9) 的平衡点。由方程
lorenz混沌吸引子轨道原理
lorenz混沌吸引子轨道原理
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种描述混沌现象的数学模型，它是由美国数学家Edward Lorenz在20世纪60年代提出的。
这个模型可以用来解释许多自然现象，如气象学中的天气预报、流体力学中的湍流现象等。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的核心是混沌吸引子。
混沌吸引子是一种奇异的吸引子，它具有无限细节和复杂性。
在Lorenz混沌吸引子轨道原理中，混沌吸引子是一种吸引轨道，它可以吸引周围的轨道，使它们最终趋向于混沌吸引子。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的基本方程是Lorenz方程。
这个方程描述了一个三维空间中的动力学系统，它包含了三个变量：x、y和z。
这个方程的形式非常简单，但是它却可以产生出极其复杂的轨迹。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的一个重要应用是天气预报。
天气系统是一个非常复杂的动力学系统，它包含了许多变量和参数。
使用Lorenz混沌吸引子轨道原理，可以对天气系统进行建模，并预测未来的天气情况。
除了天气预报，Lorenz混沌吸引子轨道原理还可以应用于其他领域，如金融市场、生物学、化学等。
在金融市场中，Lorenz混沌吸引子轨道原理可以用来预测股票价格的波动。
在生物学中，它可以用来研究生物体内的混沌现象。
在化学中，它可以用来研究化学反
应的动力学过程。
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种非常重要的数学模型，它可以用来解释许多自然现象和社会现象。
它的应用范围非常广泛，可以帮助我们更好地理解和预测世界的变化。
混沌名词解释
吸引子：吸引子是指非线性系统最终形成的运动状态在相空间中的不变流形或点集（例如，平衡，简谐运动和极限环等），相空间中其他点（运动态）都被吸引到这些点集或不变流形中，故称吸引子。
奇怪吸引子；也称为“随机吸引子”·“混沌吸引子”.它是相空间中无穷多个点的集合，这些点对应于系统的混沌状态。
人们称混沌这种具有无穷次自相似结构的吸引子为奇怪吸引子。
在状态空间中伸缩和折叠的无穷次变换将形成分数维的奇怪吸引子。
奇怪吸引子在有限的相空间几何体内，具有无穷嵌套的自相似结构。
它对初始条件十分敏感，在参数变化时各层次的”空洞“发生填充和移位等变化。
运动是遍历的，混合的和随机的。
吸引子键波与混沌系统同步关系的研究
－ｌ 【 ｌ●
文献标识码： 文章编号： ０３—０９（ ０） Ｂ １０ ４２ ０７ ３—０９ —０ 中图分类号： Ｎ １ ２ ０ ０８ ３ Ｔ ９１
吸引子键 波与混沌系统 同步关 系的研究
Ｒｅ ｅ ｒｈ ｏ ｌｔｏ ｓ ｉ ｆＣｈ ｏ ｔａ ｔ ｒｗ ｉ ａ ｓＳ ｎ ｈ ｏ ｉａｉ ｎ Ｓ ｔｍ ｓ ａ ｃ ｎ ｔ Ｒｅａｉ ｎ ｈ ｐ ｏ ａ ｓ ｈｅ Ａｔｒ ｃ ｏ ｔ Ｃｈ ｏ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ｙｓｅ ｈ
沌振 荡 电路 之 一 ，如 图 １ 示 。 所
Ｒ
Ａｂｓｒ ｃ ： ｅｏ ｅｉ ｒ ｖ ｄ Ｃｈ ａ Ｓｃｒ ｕ ｔ ａ ｌ ａ ｓ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉ ｉｓｉ ｔ ａ ｔ Ｏｎ ｆｔ ｈ ｍｐ ｏ ｅ ｕ ’ ｉｃ ｉ ｓｗｅ ｌ ｓｉ ａ ａ ｔ ｒｓ ｃ ， ｔｃ ｔ ｓ
验给出了混沌系统同步 与混 沌吸引子键波 之间的关 系，为混沌
同步 系统 在保 密通信的 实际应用奠定 了一定的基础 。
２ 改 进型 Ｃ ｕ ｈ ａ电路 及 其特性
１８ 年 ， ９ ３ 蔡少棠教授首次提出 了著名的蔡氏 电路， 它是迄今 为止在非线性 电路 中产生复杂动 力学 行为 的最有效而简单的混
预测等特性 ，使得混沌 保密通信具有 极高 的保 密度 ，已成为 目 前信息科学 关注和研究的热点之一 。混沌 同步的发现 ，使得
ａ ｐ ｉａ ｉ ｎｏ ｃ ａ ｓｓ ｎ ｈ ｏ ｉａ ｉｎ ｓ ｓｅ ｉ ｅ ｏ＇ ｃ ｍｍｕ ｉａｉ ｎ ｐ ｌ ｔ ｆ ｈ ｏ ｙ ｃ ｒ ｎｚ ｔ ｙ ｔｍ ｎｓ ｃ ／ ｏ ｃ ｏ ｏ ｅ ｎ ｃ ｔｏ ．
Ｋ ｅ ｒ ｓ Ｃｈ ａ ｃｒ ｕ ｔ ｃ ａ ｔ ｔ ａ ｔ ｒ ｂ ｎ — ｖ ｙ ｃ ｒ ｎｚ ｔ ｎ； ｃ ａ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｕ ｉ ｉ ｈ ｏ ｉ ａ ｔ ｃｏ ； ｏ ｄ ｗａ ｅｓ ｎ ｈ ｏ ｉａ ｉ ｃ ； ｃ ｒ ｏ ｈｏ ｓｓｅ ｓ ｃｒ ｎｚ ｔ ｎ ｙ ｔ ｍ ｙ ｈ ｏ ｉａ ｉ ｎ ｏ
吸引子与混沌现象的数学描述
吸引子与混沌现象的数学描述在现代科学中，吸引子和混沌现象是两个非常重要的概念。
这两个概念在本质上都是基于数学模型的，指的是某些动态系统在一定条件下呈现出的复杂动态行为。
虽然吸引子和混沌现象是两个不同的概念，但它们却具有相似的数学描述方法。
一、吸引子在动态系统中，吸引子指的是某个点或一组点在一定条件下的稳定性状态。
如果一个点在一定条件下始终向一个特定的状态靠近，那么这个状态就是吸引子。
这个状态可以是一个点、一条线、一个形状或者是一个集合。
举个例子：我们可以把一个摆放在斜面上的球看作是一个动态系统，斜面的角度和球的初速度是这个系统的两个参数。
在这个系统中，球的状态可以用球的位置和速度来表示。
如果斜面的角度和球的初速度固定不变，那么球将一直在重力的作用下沿着斜面滚动，最终停在特定的位置。
这个停止的位置就是球的吸引子，它是这个系统的一个稳定状态。
吸引子的数学表示方法可以用动态系统的微分方程或离散映射来描述。
比如在上面的斜面球的例子中，可以用牛顿第二定律和库仑摩擦定律来描述。
二、混沌现象混沌现象是指一些动态系统在一定条件下表现出的异常复杂的行为，这种复杂性不是由于随机变量所引起的，而是由于系统的初值极其敏感所引起的。
混沌现象的一般表现是系统的状态在时间上呈现出无规则的、长期的、非周期性的改变。
混沌现象是非线性动力学的重要表现形式，主要由一些分形结构和奇异吸引子所构成。
分形结构是指在任何尺度上都有相似形式的结构，也就是“自相似”的结构；奇异吸引子指的是一个吸引子的形状复杂、带有分形性质的吸引子。
混沌现象虽然看上去很难理解，但是它却具有重要的应用价值。
比如，混沌现象的产生是由于系统的初值过于微小的变化造成的，这使得混沌现象被广泛用于编码和加密保密等领域。
混沌现象的数学描述方法主要有三种：Lyapunov指数、Poincare截面和吸引子的分形特性。
其中，Lyapunov指数是用来描述动态系统对初始条件的敏感度；Poincare截面是指在一个高维空间中，通过给定的截面来观察系统的状态变化；吸引子的分形特性是指吸引子的形状具有分形特性，也就是不管放大多少倍，都具有相似的形状。
动力学系统中的混沌控制与吸引子建模
动力学系统中的混沌控制与吸引子建模混沌现象是非线性动力学系统中的一种特殊现象，具有高度复杂、不可预测的特性。
混沌控制与吸引子建模是研究如何控制并分析混沌现象的方法之一。
本文将对混沌控制与吸引子建模的基本原理和应用进行探讨。
首先，我们需要了解什么是动力学系统。
动力学系统通常用方程组描述，其演化是由系统当前状态以及一些规定的转移函数决定的。
例如，天气系统、电力系统和流体力学系统都可以用动力学系统进行建模。
在一些复杂的动力学系统中，当外界干扰较小或被忽略时，系统的行为可逐渐趋于混沌状态。
混沌的特点包括非周期性、敏感依赖于初始条件和浑沌吸引子等。
混沌现象的出现给系统的控制和预测带来了极大的挑战。
混沌控制是指在混沌动力学系统中通过改变系统的初始条件、参数或添加控制信号等方法，使系统的行为趋于期望的状态或轨道，以达到某种控制目的的过程。
混沌控制基本上包括两种方法：开环控制和闭环控制。
开环控制是指在没有反馈的情况下，通过调整混沌动力学系统的初始条件或参数来控制系统的行为。
开环控制的缺点是对系统的初始条件敏感，较大的扰动可能导致系统无法控制。
因此，对于复杂的混沌系统，通常采用闭环控制。
闭环控制是通过引入反馈控制，将系统的输出与期望的轨道进行比较，并根据差异做出调整。
闭环控制可以有效降低系统对初始条件的敏感性，提高控制性能。
其中，最为常见的控制方法是使用滑模控制、时间延迟控制和自适应控制方法。
滑模控制通过引入滑动面来实现控制，通过改变滑动面的斜率和截距来调整系统状态，从而使系统的输出轨道逼近期望的轨道。
时间延迟控制是利用系统自身的延迟特性来建立控制策略，通过延迟的反馈信号来控制系统的行为。
自适应控制是指通过实时调整控制参数来适应系统的动态变化，以实现对混沌系统的控制。
除了混沌控制，吸引子建模也是一种常用的方法来分析和描述混沌系统。
吸引子是指系统状态的某个稳定集合，系统的轨道在该集合附近 oscillate，并最终趋于该集合。
具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析
第!"卷第#期宁夏大学学报!自然科学版"$"%&年&月!'()*!"+(*#,(-./0)(1+2/34205/267.829:!+09-.0);<27/<7=>292(/";7?@$"%&!文章编号#"$A #B $#$C !$"%&""#B "$$!B "A具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析王文静$!安新磊$!于欢欢!兰州交通大学数理学院$甘肃兰州D #""D ""摘!要#对一个具有隐藏吸引子的混沌系统进行了基本的动力学分析$找出了系统的平衡点$通过分岔图与]:0B-/(6指数分析了参数对该系统动力学行为的影响*利用U 09)0Q 软件仿真出系统的相图$分析了系统的吸引子是隐藏的*最后$求得该系统的哈密顿能量函数$验证了能量函数的正确性$并对系统的能量转移进行了讨论*关键词#隐藏吸引子%周期解%]:0?-/(6指数%哈密顿能量分类号#!中图"J !%A @A 文献标志码#K收稿日期#$"%&B "%B %%基金项目#甘肃省自然科学基金资助项目!%D ,P A P K "&E"作者简介#王文静!%&&#&"$女$硕士研究生$主要从事非线性动力学研究*!!吸引子理论是混沌学的重要组成部分$常见的吸引子有#'0/>7.\()$V 7)(-8(6B S N 0Q (92/8I :$](.7/M $P (88)7.吸引子$以及其他混沌系统的吸引子$这些吸引子都位于不稳定的固定点的邻域$称之为自激吸引子*$"%"年$G -M /798(6等在经典的a N -0系统中首次发现了一类特殊的混沌吸引子$这些吸引子的吸引盆不包含平衡点的邻域!特别地$没有奇点或者仅有稳定奇点的动力系统中的混沌吸引子都是隐藏的"$将其称为隐藏吸引子'%&!(*近年来$关于隐藏吸引子问题的研究已成为混沌领域的热点*隐藏吸引子不是由不稳定平衡点激发的$它与自激吸引子有着完全不同的动力学特征'A (*在实际的工程应用中$隐藏的振荡行为是不期望的动力学行为$因而对于隐藏吸引子动力学行为的研究有着重要的工程应用意义*生物个体的新陈代谢+信号传播+动力系统以及多体系协作$能量供给是非常关键的因素'E (*非线性混沌系统都伴随着一定的能量转换和迁移'D (*稳定性是非线性系统需要考虑的一个重要指标'C($通过求出系统的能量函数$我们可以将复杂系统的状态分析转移到系统的能量函数上来'C (*本文对一个具有隐藏吸引子的混沌系统进行了基本的动力学分析$基于亥姆霍兹定理计算了其哈密顿能量函数$并对系统的能量损耗进行分析*%!具有隐藏吸引子的动力系统&U &!V *C *G %W K MG =//系统的描述,010.2和;?.(99'&(提出了系统!%"所示的一个特殊三维自治系统^5%4$^4%65*4\$^\%656$546<5\/1$!%"式中#5$4$\为系统状态变量%$$<为系统参数(当$%%A $<%%$初始状态!5$4$\"%!"$"@A $"@A "$仿真时间为.%%""8时$系统!%"生成一个混沌系统(此时吸引子在各坐标上的投影和时间序列见图%和$(&U '!平衡点与稳定性基于上述参数条件$令系统!%"的^5%"$^4%"$^\%"求得系统的平衡点为!"$"$\"$其中\*,$并且系统没有其他的平衡点!即\轴是该系统的线平衡"(对于平衡点的稳定性$通过其,0<(Q 20/矩阵%"%"6%\46%6%A 46\6%A 56>@A5!$"及特征多项式第#期王文静等#具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析图&!吸引子在三个坐标平面的投影图'!仿真时间/X&11A内的时间序列3!'"%'#6\'$*'!#"计算得'%%"$!'$$#%\_\$6槡!$(!!"从计算结果看$一个特征值为"$另外两个特征值分别为'$$#%\_\$6槡!$(由图%的投影可知$\的范围为!6$$%"(当\*!6$$""时$'%%"$P7'$'"(X O'$%"$P7'#'"$X O'#'"$由P(-9N B`-.W29M稳定判据知$此时平衡点是稳定的%当\*'"$%"时$'%%"$P7'#%"$X O'#'"$平衡点是不稳定的(&U(!隐藏吸引子定义&!如果吸引子的吸引盆不包含平衡点的邻域$则这些吸引子被称作隐藏吸引子(例如$在没有稳定点+没有不稳定的稳定点或无穷多个稳定点!如具有线平衡点"的非线性系统中$观察到的吸引子$都是隐藏吸引子(在许多实际系统中!如a N-0电路"$各种自激吸引子与隐藏吸引子!吸引子"共存(以下将讨论系统!%"的隐藏吸引子(通过U09)0Q数值仿真$可得在参数$%%A$<%%条件下系统!%"的相图!图#"(在此参数下$系统吸引子是隐藏的$原因为在平衡线上有无数的不稳定点$其中只有极小的部分接触混沌吸引子的盆地(因此$平衡不能帮助找到吸引子(通过仿真$可以从图#看出$蓝色部分为此系统的隐藏吸引子$红色部分为系统的平衡点'%"((图(!系统!&"在初值!1Y1$1U2$1U2"条件下的吸引子$!动力学分析'Y&!O=%#B*G9映射图\(2/<0.7映射是分析复杂动力系统的有效方式$可通过观察截面上截点的分布情况$判断系统的混沌性*若运动是混沌的$则其\(2/<0.7截面上是一些成片的具有分形结构的密集点*由初值为!"$"@A$"@A"$!"$i"@A$"@A"状态下的截面!图!"可知$系统为混沌系统*'Y'!参数的影响为了能够研究系统!%"的复杂动力学行为$运用数值方法对系统在不同参数条件下的动力学行为进A$$宁夏大学学报!自然科学版"第!"卷行分析!表%"$得到了%周期吸引子$$周期吸引子和混沌吸引子!图A "*图E 给出了不同参数值$的]:0?-/(6指数谱及在固定参数<j %时系统!%"关于$的分岔图和时间序列图*图-!不同初值下的O =%#B *G 9映射图表&!不同参数条件下系统!&"的动力学行为参数值吸引子]:0?-/(6指数相图$j $!$<j %周期%'"$i "@"!EA $i "@!E %D (图#0$j %&$<j %周期$'"$i "@%C #$$i "@#%!!(图#Q $j %A $<j %混沌'"@"D %D $"$i "@A $#$(图#<图2!系统!&"在不同参数下的相图!!表%中$固定参数<$参数$分别为$!$%&$%A 时$得到的相图分别见图A 0$A Q $A <(由图A 可知$上述参数值下$系统!%"的运动状态分别为%周期+$周期和混沌$即系统既具有周期态也存在混沌现象(由图E 和D 的]:0?-/(6指数谱+分岔图及5!."的时间序列图可以看出$当$*'%!$%D(时$系统没有周期行为$处于混沌状态!$%%%A "%当越过$%%D 之后$系统出现周期现象$呈现典型的$$周期!$$%%D @#"$$周期!$#%%&"$%周期!$!%$!"(由此可以得出$系统!%"具有典型的倒倍周期现象$从分岔图和时间序列图中可以更清晰地看出$系统具有混沌向周期态发展的趋势(图3!关于参数 的Z "*ME #=Q 指数谱和分岔图E$$第#期王文静等#具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析图4!状态变量 ! "的时间序列图#!`0O2)9(/函数为了分析系统!%"的`0O2)9(/能量函数$将系统!%"简记为^5%3!5"$!A"式中5*,#$3!5"为光滑函数(由文献'E(知$3!5"满足以下关系#3!5"%3)!5"*3`!5"$!E"式中#3)!5"为涡旋场%3`!5"为梯度场(能量的变化来自于电场的做功$K!5$4$\"作为`0O2)9(/能量$它满足以下方程##K[.3)!."%"$!D"^K%>K>.%#K[3)!."$!C"则$对于系统!%"$可以得到3)!5"%465656$5>@A4$!3`!5"%"4\6>?@A<5\(!&"由!&"式可知$`0O2)9(/能量函数K!5$4$\"服从以下偏微分方程#47K75*!65"7K74*!656$54"7K7\%"(!%""求解!%""式$有K!5$4$\"%%$$5$64*\(!%%"同时$可以验证其微分系数与时间的关系$即^K%%$$.$5.^56^4*^\%$5.!4"6!65*4\"*!6\6$546<5\"%$54*564\656$546<5\%64\6<5\%"*!6%"!4\"*!6<5\"%#K[.3`(以下讨论由!%%"式中定义的`0O2)9(/能量对系统!%"的能量转移(当参数$%%@A$<%%$初始值为!"@!!E$"$"@A$"@A"时$系统!%"的能量仿真图如图C所示(显然$一些尖峰的出现$使系统进入准周期时轨道增长缓慢(一旦发生混沌$能量和时间响应的一些尖锐峰值同时显著地出现(但更为显著的是$振幅的较大值对应于较小的能量值$仅仅是因为剧烈的混沌振荡消耗了大量的能量(图5!状态变量 和R*H%0/=#能量 的时间响应图D$$宁夏大学学报!自然科学版"第!"卷从这些观测和能量守恒定律来看$当系统!%"具有复杂的振荡时$能量以大振幅振荡*例如$混沌运动比准周期运动消耗更多的能量$以平滑的幅度体现在能量函数上*研究还发现$瞬态混沌现象对能量函数的振荡有较大的变化*!!结语本文针对,010.2B ;.(99系统$通过数值仿真$模拟出此系统的运动轨迹$判断了系统在一定条件下是混沌的$并分析了系统的一些更为复杂的动力学行为$包括周期吸引子$混沌吸引子以及隐藏吸引子*利用分岔图和]:0?-/(6指数谱等$发现了系统由混沌通向周期的现象*最后$讨论计算了系统的`0O 2)9(/能量函数进而分析系统的能量转移*参考文献#'%(!赵汇涛*非线性动力系统的分支周期解与隐藏吸引子'H (*昆明#昆明理工大学$$"%!*'$(!,K F K P X ;$;\P J [[,a *=)7O 7/90.:b-0>.092<<N 0B (92<1)(W 8W 29N/(7b -2)2Q .20',(*\N :82<8]7997.8;7<B 92(/K Z 7/7.0)K 9(O 2<h ;()2>;9097\N :82<8$$"%#$#D D !&"#E &&B D "$*'#(!UJ ]K X =U $,K F K P X ;$;\P J [[,a $790)*;2O ?)7<N 0(92<1)(W 8W 29N(/7890Q )77b-2)2Q .2-O ',(*X /97./0B 92(/0),(-./0)(1V 21-.<092(/0/>a N 0(8$$"%#$$#!%%"#D *'!(!^=X S N (-<N 0(*H :/0O 2<0)Q 7N 062(.8(10<N 0(92<8:8B 97O W 29N/(7b -2)2Q .20',(*\N :82<8]7997.8K $$"%%$#D E !$"#%"$B %"C *'A (!包涵$包伯成$林毅$等*忆阻自激振荡系统的隐藏吸引子及其动力学特性',(*物理学报$$"%E $E A !%C "#%B %$*'E (!王春妮$王亚$马军*基于亥姆霍兹定理计算动力学系统的哈密顿能量函数',(*物理学报$$"%E $!$!"##"B #A *'D (!;J +Z _2/)2/$,X +^-:2/$UK,-/*=/7.3:>7?7/>B 7/<7(/9N 77)7<9.2<0<92629278(10/7-.(/',(*a N 2/787\N :82<8V $$"%A $$!!%$"#%B E *'C (!徐耀群$何少平$刘健*三角函数自反馈混沌神经网络能量函数研究'a (--中国智能自动化会议$$""&#A C B E #*'&(!,K F K P X ;$;\P J [[,a *;2O ?)7<N 0(92<1)(W 8W 29N 0)2/77b -2)2Q .2-O ',(*a N 0(8;()29(/8h F .0<90)8$$"%#$A D !!"#D &B C !*'%"(!H 5H G J^;G XH $,K F K P X;$G K \X [K +X K G [$790)*`2>>7/099.0<9(.82/>:/0O 2<0)8:897O 8',(*\N :8B 2<8P 7?(.98$$"%E $E #D #C *!"#*H %B7#*0"A %A =CI <*=/%B K "A /9H A:%/<R %>>9#7//G *B /=G A Z $#F Z H #G /#F $&#"/#P H /$0J K J $#E J $#!;<N (()(1U 09N 7O 092<80/>\N :82<8$]0/M N (-,20(9(/35/267.829:$]0/M N (-D #""D "$a N 2/0"7F A /G *B /#[N 280?7.89->2789N 7>:/0O 2<8(10<N 0(92<8:897O W 29NN 2>>7/099.0<9(.8$W N 7.7Q :Q 0)0/<7(2/9(19N 78:897O281(-/>(-90/>9N 72/1)-7/<78(1?0.0O 797.8(/9N 7>:/0O 2<Q 7N 062(.280/0):M 7>9N .(-3N 9N 7Q 21-.<092(/>203.0O0/>9N 7]:0?-/(62/>74*[N 7?N 087>203.0O82O -)097>Q :U09)0Q8N (W 89N 099N 7099.0<9(.8(19N 78:897O28N 2>>7/*F 2/0)):$9N 7`0O 2)9(/20/7/7.3:1-/<92(/(19N 78:897O28(Q 902/7>$9N 7/298<(..7<9/7882867.2127>$0/>9N 77/7.3:9.0/817.(19N 78:897O281-.9N 7.>28<-887>*+9":=G >A #N 2>>7/099.0<9(.%?7.2(>2<8()-92(/%]:0?-/(62/>74%`0O 2)9(/7/7.3:!责任编辑+校对!张!刚"C$$。
将混沌吸引子说清楚来,太精彩了
将混沌吸引子说清楚来,太精彩了"吸引子分为三类：第一类是最简单的吸引子，可以称为定点吸引子或不动点吸引子。
海纳百川，大海就是百川的定点吸引子；落叶归根，树根是一个定点吸引子；热力学系统的平衡态是该系统的定点吸引子。
在相空间中，定点吸引子是一个点，它将周围的轨道全部吸引过来。
第二类是所谓极限环吸引子。
这是比较高级的吸引子。
系统在远离平衡态时，经过若干分叉点之后，由于自组织作用，系统可以进入一个规则而又稳定的周期震荡状态。
极限环吸引子在相空间中是一个封闭的环，它将周围的轨道吸引到这个周期性的循环之中。
这两类吸引子分别描述了系统的两类不同的长期行为：周期性的重复某种运动系列。
其中第二类吸引子正是普里戈金的耗散结构模型所致力于描述的。
它揭示了在非线性系统中，自组织如何从无序中创造出有序结构。
但是，如果系统进一步分叉，更加远离平衡态，有可能达到一种新的稳定态，即第三类吸引子，即各种环面的吸引子。
这种吸引子被称为奇异吸引子或混沌吸引子。
奇异吸引子就是混沌，混沌就是奇异吸引子。
它仍然表征着系统的稳定定态。
它们并不与周期变化相对应，但是，系统从任一初始状态出发，最终都会演化到"相空间"的某一局域上。
混沌吸引子与一般吸引子不同，混沌现象的轨线进入吸引子后，两条距离非常近的轨线将发生指数分离，而两个状态点也迅速分开，此时，吸引子外的所有运动轨线都将进入吸引子之内，而内部的轨线又迅速分开。
从吸引子外部看，是聚集的过程；从吸引子内部看，是分散的过程。
系统在宏观演化上是有规律可循的，而从微观上看，我们又无法指出系统具体的演化轨道。
系统对初始条件依赖的敏感性，使系统运动出现随机偶然性的特点。
"上述整段话，就是从数学语言翻译出来的日常语言同，这个日常语言讲清楚了混沌吸引子吗？所谓"道理是什么"就是指这个道理对应什么现实情况，道理本质是什么，就是更深刻地谈道理，谈出道理的为什么来。
混沌即奇异吸引子的判定方法
混沌即奇异吸引子的判定方法
1. 嘿，看看轨道的稳定性呀！就像一辆车在崎岖路上会不会跑偏，要是系统的轨道总是乱跑，那可能就是混沌啦，比如天气系统有时候就很不稳定呢！
2. 观察一下有没有奇怪的周期性呀！如果老是找不出规律的周期，哎，那说不定就是混沌即奇异吸引子呢，就好比心跳有时候没有明显规律一样！
3. 哇哦，检查下它的敏感依赖性呗！稍微一点改变就变得完全不一样，这很可能就是混沌啊，想想蝴蝶效应，一只蝴蝶扇动翅膀可能引发大风暴呢！
4. 留意是否存在分形结构呀！像那种奇妙的复杂图案，可能就是混沌的特征呢，海洋中的漩涡不就是很复杂的模样么！
5. 感受它的不可预测性呀！今天这样明天完全不知道会咋样，这不就是混沌嘛，就像你永远不知道小孩下一步会干啥惊人举动！
6. 想想看是不是有奇怪的吸引域呢！如果吸引的方式很特别很奇怪，那大概就是混沌即奇异吸引子喽，好比一个人总会被一些特别的东西吸引！
7. 研究下它的 Lyapunov 指数呀！一旦大于零，嘿，那混沌很可能就
出现啦，就像股票的波动很难捉摸一样！
8. 观察有没有奇怪的混合特性呢！一会儿这样一会儿那样，混沌可能就在其中，像音乐的各种音符混合！
9. 注意系统的长期行为呀！总是那么难以捉摸，混沌说不定就藏在里面呢，就像人的心情总是变化无常！总之呀，通过这些方法去判断，就能发现那神秘的混沌即奇异吸引子啦！。
混沌理论2017
混沌
Content
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混沌的概念 混沌与分岔的起源与发展 混沌的特点 混沌现象举例 分岔的概念 混沌的研究方法 分岔的研究方法 混沌在现代科技领域的应用
一、混沌的概念
混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（ Tian-yan Li ）和约克（ Yorke ）于 1975 年 首先提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
三、混沌的特点
3.
长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
三、混沌的特点
4.
分形性
分形 (Fractal) 这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
二、奇异Rossler(罗斯洛)吸引子 Rossler非线性微分方程组来源于化学动力学的研 究，该方程组如下：
dx dt y z , dy x ay, dt dz dt b z ( x c).
(6.2)
其中 a 0.2, b 0.2, c 5.7 。系统 (6.2) 也不能形成极限 环，更不能达到一个稳定状态，得到的只是一个确定性 的混沌。也像其他混沌系统一样，Rossler系统对初值 非常敏感。不管两个初始状态如何地接近，最终还是发
具有混沌分形吸引子或斥子的动力系统
沌分形（ 相等时） Ａ 吸引子．ｉ Ｆ Ｓ ∑ Ａ＝ ｄ ＝， １ ｍ
ｉ １ ：
ｉ ａ ｔｃ Ｄｙ ａ ｃ ｌＳ ｓｅ ． ｐ ｉｇ ｒＶｅ ｌｇ， ｒｉ ． ｎ Ｃｈ ｏｉ ｎ ｍｉａ ｙ ｔｍｓ Ｓ ｒｎ ｅ — ｒａ Ｂｅｌｎ
数学学习与研究
２ １． ０ ０３
（ 等时 ） 由于 （ ＿ 落 在 与 Ｆ 的 距 离 最 多 为 （ ａ ｛ ｆ Ａ相 ， ， ） ｙ ｍ ｘＡ
ｉ １， … ， ； ｔ＝ ２， Ｏ≤ ｆ ≤ ｋ；ｔ∈ Ｎ ， ∈Ｎ｝ 的范 ｉ ｚ ）
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许 多 领 域 都 在 开 展 “ 沌 ” 象 的 研 究 ， 它 更 好 地 为 工 农 混 现 使
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［ ］ ａｅｂ ｔ Ｇ Ｉ］ｏｓ ．ｏｅｈＤ Ｄ （ ｄ ） １８ ） ４ Ｂｒｎ ｌ ｔ ． ．ｏｓＧ Ｊｓｐ ． ． Ｅ ｓ （９ ３ ． ａ
ｌ＝ １
寻 找 各 种 动 力 系 统 的 混 沌 吸 引 子 或 斥 子 ， 动 力 系 统 是
研 究 的 重 要 课 题 ． 混 沌 ” 象 出现 在 几 乎 所 有 的 自然 学 科 ， “ 现 它把许多学科和领域联系在一起 ， 混沌 成为一个 共用词 ， 使
Ｎ， ∈ ， Ｆ＝ ｎ＿ Ｅ） 由于， Ｆ ｚ Ｎ｝ 让 广（ ， （ ）：Ｆ Ｆ是分形不 变集 ，
［ ］ ｈ ｍｐｏ ． Ｔ ａ ｄ Ｓｅ ａｔ Ｂ （ ９ ６ Ｎ ｎ ｎ ａ ３ Ｔ ｏ ｓｎ Ｊ Ｍ． ． ｎ ｔ ｒ Ｈ． ． １ ８ ） ｏ ｌ ｅ ｒ ｗ ｉ