中考一轮复习教案：与圆有关的计算
与圆有关的计算辅导教案1．会计算圆的弧长和扇形的面积．2．会计算圆锥的侧面积和全面积．3．了解正多边形与圆的关系.课前热身1．用一个圆心角为120°，半径为18cm 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径应等于（）A.9cmB.6cmC.4cmD.3cm 2．圆内接正方形半径为2，则面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16 3．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（）A．15πB．25πC．35πD．45π4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，则阴影部分的面积为( )A．2 πB．πC．23πD．3π5．一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的表面积为cm2．6．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．7．在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是r = ．遗漏分析知识精讲【基础知识重温】1. 圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为.2.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .r lπ.（其中为的半径，为的长）；3. 圆锥的侧面积公式：S=rl圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.四、例题分析题型一弧长、扇形的面积例1.(2016·贵州安顺）如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是（结果保留π）．例2.(2016·浙江台州）如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则AB 的长是．【趁热打铁】1.圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18D．362.半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．题型二圆锥的侧面积和全面积例.（2016·四川自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）+cm2 A．12πcm2B．26πcm2C．41πcm2D．(44116)π【趁热打铁】1.如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）A．34πB．32πC．34D．322.若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（）A. 15πB. 20πC.24πD.30π3.一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（）A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm题型三阴影部分的面积例.（2016·四川广安）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=43，则S阴影=（）A．2π B．83π C．43π D．38π【趁热打铁】1如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）2.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．2332π-B．233π-C．32π-D．3π-题型四正多边形和圆例.（2016·四川广安）．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．38B．34C．24D．28【趁热打铁】1若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．23D．43 2. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG 的边长为．牛刀小试1、小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm2、如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A ．3B ．6C ．3πD ．6π 3、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．2233π-B ．2433π-C ．4233π-D ．23π 4、如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDE F 的边长为22时，则阴影部分的面积为（ ）A ．42-πB ．84-πC ．82-πD ．44-π5、如图，圆O 的半径为2，点A 、C 在圆O 上，线段BC 经过圆心O ，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，图中阴影部分面积为 .6、如图，CD 为⊙O 的弦，直径AB 为4，AB ⊥CD 于E ，∠A=30°，则的长为 （结果保留π）．3CDAB OBC巩固练习1．如图，点A 在以BC 为直径的⊙O 内，且AB=AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，得到扇形ABC ，剪下扇形ABC 围成一个圆锥（AB 和AC 重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S 1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S 2，则=（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 4．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是（ ） A ．1cm B ．3cm C ．6cm D ．9cm13232312S S 3435235．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ）A ．3πB ．6πC ．9πD ．12π 6．如图，在等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（ ）A ．B ．πC ．D ．2 7．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、E D 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．1.25πC ．3+πD ．8﹣π 8．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是（ ）A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm 9．如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）22π222A ．πcmB ．2πcmC ．3πcmD ．5πcm 10．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D ，C ．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 课堂小结强化提升1． 如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为 ．2．如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为3的圆O ，则劣弧AB 的长度为 ．3326π326π-336π-3．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是．4．小杨用一个半径为36cm、面积为324πcm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为cm．5．如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC 绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为cm2（结果保留π）．6．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．7．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是．8．一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为cm．9．如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6cm，则图中阴影部分的面积是．课后作业1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；3（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，AB=，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ．（1）求∠ABE 的大小及的长度；（2）在BE 的延长线上取一点G ，使得上的一个动点P 到点G 的最短距离为，求BG 的长．22DEF DE 2223．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB=8．（1）利用尺规，作∠CAB 的平分线，交⊙O 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CD ，OD ，若AC=CD ，求∠B 的度数；（3）在（2）的条件下，OD 交BC 于点E ．求出由线段ED ，BE ，所围成区域的面积．（其中表示劣弧，结果保留π和根号）BD BD4．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．。
2014中考数学复习课件23与圆有关的计算-第一轮复习第六单元圆
例 12(2013· 乐山)如图， 小方格都是边长为 1 的正方 形， 则以格点为圆心， 半径为 1 和 2 的两种弧围成的“叶 状”阴影图案的面积为 2π－4 .
解析：如图，连接 AB，根据轴对称与旋转对称的 性质，从图中可知，S
2
阴影
＝ 2(S
扇形
AOB － S△AOB) ＝
90π×2 1 2×( － ×2×2)＝2π－4. 360 2
例 8．(2013· 德州)如图，扇形 AOB 的半径为 1， ∠AOB＝90° ，以 AB 为直径画半圆，则图中的阴影部 分的面积为( C )
1 A. π 4
1 B．π－ 2
1 C. 2
1 1 D. π＋ 4 2
解析：因为扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB＝90° ， 1 所以 AB＝ 2，△AOB 的面积为 ，扇形 AOB 的面积为 2 90×π×1 π π 1 ＝ ， 所以弓形的面积为 － .又因为半圆的面 360 4 4 2 1 22 π π π 1 积为 π×( ) ＝ ，所以阴影部分的面积为 － ( － ) 2 2 4 4 4 2 1 ＝ .故选 C. 2
例 5 如图， 在 Rt△ ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A＝30° ， AB＝2.将△ ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至△ AB′C′ 的位置，B，A，C′三点共线，则线段 BC 扫过的区域 5 面积为 π . 12
3 解析：在 Rt△ABC 中，AC＝AB· cos 30° ＝2× ＝ 2 3.∠BAB′ ＝ ∠CAC′ ＝ 150° . 把 △AB′C′ 按逆时针旋转 到△ABC 的位置， 则阴影部分恰好为一个完整的扇环， 150π× 22 150π× 32 所以 S 阴影＝S 扇形 BAB′－S 扇形 CAC′＝ － ＝ 360 360 5 π. 12
2012年中考数学第一轮复习第28课 和圆有关的计算
第28课 和圆有关的计算第一部分 讲解部分（一）课标要求1.会计算圆的弧长、扇形的面积。
2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
（二）知识要点1.圆的弧长、扇形面积及圆锥侧面积的计算： （1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π==（n 指圆心角，R 指扇形多对应的圆的半径，l 指扇形弧长，S 指扇形面积）；（3）圆锥的侧面积：rl S π=侧（ｒ指底面圆的半径，l 指母线长）。
2.圆内正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R n ， 边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行.（三）考点精讲考点一 ：求弧长例1 （2010年江苏省苏州市）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于 ．(结果保留根号及π)．分析:本题可以直接根据弧长公式180n Rl π=求解。
解: 由格点图可知，扇形OAB 的圆心角等于90°，弧AB 所在的圆O 的半径等于22，根据弧长公式得弧AB 的长度是：ππ21802290=⨯． 评注：求一条弧的弧长，一般要知道两个量：（1）这条弧所在的圆的半径；（2）这条弧所对的圆心角．考点二 ：求扇形的面积αnβnABCDEOa r n nnR例2 （2010年山东省菏泽市）如图，△OAB 中，OA=OB ，∠A=30°,⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA 、OB 于C 、D 两点 ，连结CD ，且CD=34，求扇形OCED 的面积．分析：先求出扇形所在圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式求解。
解：连接OE ，∵OA =OB ，E 是AB 的中点，∴OE ⊥AB . 在△OAB 和△OCD 中，∠COD =∠AOB ,OC =OD ,OA =OB ,∴∠OCD =∠OAB ,∴CD ∥AB .又∵∠A =30°,∴∠OCD =30°,OE ⊥CD ,CF =23,∠COD =120°,OC =2332=4,S 扇形OCED=120π×1616π3603=.评注：本题利用扇形的面积计算公式解决问题．扇形的面积公式是：3602R n S π=扇形，计算扇形的面积，首先要根据已知条件求扇形所在的圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可．考点三 ：圆内正多边形的有关计算例3（2011年安徽省芜湖市）如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为_______。
2014年中考数学第一轮复习导学案：与圆有关的计算
与圆有关的计算◆课前热身1.⊙O 的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4， 则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ）A．10 D2.如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ． 24πcm B ． 26πcm C ． 29πcm D ． 212πcm3.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是A ．40°B ．80°C ．120°D ．150°4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8 米，所对的圆心角为100°，则弧长是 米．(π≈3) 【参考答案】 1. C 2. D 3. C 4. 3◆考点聚焦1．理解正多边形的有关概念，•并能熟练完成正多边形的有关计算及画出正多边形．其中相关公式的理解记忆及其灵活运用是本节重点之一．2．灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积．•其中求组合图形和不规则图形的周长和面积是本节的难点．3．能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图，•这也是本节120 BOA6cm的重点和中考热点． ◆备考兵法本节出现的面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，•所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、•旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）•根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积．常考题型：圆中的计算问题多以选择题、填空题的形式出现，通过作图、识图、•阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形的面积计算方法和解题规律，正确区分圆锥及侧面展开图中各元素的关系是解决本节问题的关键． ◆考点链接1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 .2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯ = = .3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）5. 扇形面积公式：（1）n°圆心角的扇形面积是S 扇形=______；（2）弧长为L 的扇形面积是S 扇形=_____．6.正多边形：正多边形的定义：________相等，________也相等的多边形叫做正多边形． 正多边形和圆的关系，把圆分成n （n≥3）等份．（1）依次连结各______所得的多边形是这个圆的_______；（2）经过各分点作圆的切线，•以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的________． 与正多边形有关的概念：（1）正多边形的中心：正多边形_________（或_____）的圆心；（2）正多边形的半径：正多边形的_________的半径；（3）正多边形的边心距：•_________•到正多边形一边的距离，•也是正多边形_______的半径；（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角．◆典例精析例1（黑龙江哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ）．A ．36πB ．48πC ．72πD ．144π 【答案】C.【解析】我们知道圆锥的侧面积展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：21×9×2л×8=72л 例2（湖北襄樊）如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC .BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】5π42-【解析】本题考查直角三角形，扇形面积，由图可知阴影部分的面积=半圆AC 的面积+半圆BC 的面积-Rt ABC △的面积，所以S 阴影=221115π2124π42222π+-⨯⨯=- ，故填5π42-. 例3（湖北黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧拱门，•黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：•这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm ，BD=200cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少．【答案】解：设圆心为O ，⊙O 与BD 相切于点E （如图）． 连结AC ，OE 相交于点F ，由题易知四边形ABDC 为矩形． ∵BD 切⊙O 于点E ，∴OF⊥AC，∴EF=AB=20cm，AF=100cm ．设⊙O 半径为rcm ，则OF=（r －20）cm ．在Rt△AOF 中，由勾股定理得r 2=（r －20）2+1002，C AB∴r=260（cm ）．∴圆弧形拱门的最高点离地面的高度为2r=2×260=520cm．【点评】在弓形有关计算中，常构造以半径，弦长的一半是半径与弓高的差所构成的直角三角形来解决问题． ◆迎考精练 一、选择题1.（湖南长沙）如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则A O B ∠所对的弧AB 的长为（ ） A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π2.（山东东营）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( )A ．10cmB ．30cmC ．40cmD ．300cm3.(陕西省)若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．64.（湖北仙桃）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）．A.9°B.18°C.63°D.72°5.（广东广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（ ）A.125 B.135 C.1310 D.13126.（山东济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A ．230cm B ．230cm π C ．260cm π D ．2120cm二、填空题1.（河南）450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D .E 在OB 上，点F 在 AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .2.（长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．3.（辽宁锦州）将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是第2题图3，则圆锥的侧面积是____.4.（浙江台州）如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ． 三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为 ．5.（江苏省）已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．6. (湖北黄冈) 矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．7. (湖北鄂州)已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为1S ,把Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为2S ，则1S ：2S 等于_________ 三、解答题1.（浙江杭州）如图，有一个圆O 和两个正六边形1T ，2T ．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称1T ，2T 分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．B 'A 'CAB 第4题（1）设1T ，2T 的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求a r :及b r :的值； （2）求正六边形1T ，2T 的面积比21:S S 的值．2.（湖南衡阳）如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是243cm ，OA=2cm ，求OC 的长．3.（新疆）如图，已知菱形ABCD 的边长为1.5cm ，B C ，两点在扇形AEF 的上，求的长度及扇形ABC 的面积．【参考答案】BCD AEF选择题 1. B【解析】本题考查了圆的弧长公式。
数学中考一轮复习学案 第24节 圆的有关概念与性质（含解析）
第四章图形的性质第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．■知识点二：垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．■知识点三：圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．■知识点四：圆周角定理及推论①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．②圆内接四边形的任意一组对角互补．■考点1.圆的有关概念◇典例：（2017年黑龙江大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ 为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为．【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，在Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理；圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________■考点2.垂径定理及其推论◇典例：（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理，勾股定理【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．◆变式训练1.（2018年山东省烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．2.（2018年浙江省绍兴市）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）■考点3. 圆心角、弧、弦的关系◇典例（2017•牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD ≌△COE，由此可得出结论．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA■考点4. 圆周角定理及其推论◇典例：1.（2018 年广西梧州市）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=2，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=__________度．【考点】圆周角定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．解：∵OA=2，OB=2，AB=2，∴OA 2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．◆变式训练1.（2018年四川省南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°2.（2017•锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°一、选择题1.（2018年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°2.（2018年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A．B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°3.（2018年浙江省衢州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°4.（2018年湖北省襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C． D．25.（2018年四川省甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD二、填空题6.（2018年广东省）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．7.（2018年青海省）如图，A．B、C是错误!未找到引用源。
圆证明及计算复习计划教案人教版教案
圆的证明与计算复习圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比拟关键。
一、考点分析：. 圆中的重要定理:()圆的定义:主要是用来证明四点共圆.()垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等 .()三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.()圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.()切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系 .()切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.()切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.. 圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第问主要是判定切线；第问主要是与圆有关的计算：①求线段长〔或面积〕；②求线段比；③求角度的三角函数值〔实质还是求线段比〕。
三、解题秘笈：、判定切线的方法：〔〕假设切点明确，那么“连半径，证垂直〞。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；〔〕假设切点不明确，那么“作垂直，证半径〞。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径〔过圆上一点〕；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：〔〕如图，是⊙的直径，⊥，∥交⊙于点，求证：为⊙的切线；〔〕如图，以△的直角边为直径作⊙，交斜边于，点为的中点，连结，求证：是⊙的切线.〔〕如图，以等腰△的一腰为直径作⊙，交底边于，交另一腰于，假设⊥于〔或为中点〕，求证：是⊙的切线.〔〕如图，是⊙的直径，平分∠，交⊙于点，过点作直线⊥，交的延长线于点，交的延长线于点，求证：是⊙的切线.CCAADDEOOFBAOB AEFOBBD CCDE、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
2020深圳中考数学一轮复习宝典课件 第1部分 第6章 第3讲 与圆有关的计算
度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
︵ 2．如图，圆内接正方形 ABCD，在BC上有一点 E，则 tan∠AEB
的值为( A )
A．1
B．
3 3
C．
3 2Leabharlann D． 33．已知扇形的弧长为 6π cm，该弧所对的圆心角为 90°，则此扇
形的面积为( A )
A．36π cm2
B．72π cm2
线 BD 于点 E，则阴影部分的面积为( C )
A．π
B．32π
C．6－π
D．2 3－π
——基于深圳考纲的 1 个中考考点
考点 1 与圆有关的计算(6 年 1 考) 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年
考情分析 11 题
1．(2016·深圳，11 题，3 分)如图，在扇形 AOB 中∠AOB＝90°，
第一部分 单元知识复习
第六章 圆
第3讲 与圆有关的计算
——基于课程标准的 4 个复习要点
知识清单
序号 知识点名称
序号
知识点名陈
正多边形的相
混淆正多边形的有关
知识点 1
易错点 1
关概念
概念，在求解时出错
求不规则图形的面积 知识点 2 圆的相关计算 易错点 2
时出错
导学对点练 知识点 1：正多边形的相关概念
A．1
B．1.5
C． 3
D．2
6．数学与我们的日常生活息息相关，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点
O 为圆心的扇形，如图所示，已知雨刮器摆动的角度为 120°，
雨刮器的总长为 1，雨刮器上有橡胶的部分(即线段 AC 的长)为35.
重庆市2019届中考一轮复习《6.3与圆有关的计算》讲解含答案
第三节 与圆有关的计算课标呈现 指引方向1．会计算扇形的弧长、扇形的面积．2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 考点梳理 夯实基础1．弧长公式：180n rl π=（n 为圆心角的度数，r 为圆的半径，该公式涉及f ，n ，r 三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．） 2．有关阴影部分面积的求法(1)扇形的面积公式： S=213602n r lr π=（n 为圆心角的度数．r 为圆的半径．l 表示弧长）．(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．3．圆柱的侧面展开图是 矩形 ，圆柱侧面积= 底面周长×高 ，圆柱全面积= 侧面积+2×底面积 ． 4．正多边形与圆的相关概念(1)正多边形：各边 相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形．(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．(3)正n 边形酌内角和= 180°(n-2) ；正n 边形的每个内角度数= 180(2)n n ︒- ；正n 边形外角和=360°；正n 边形的每个外角度数=360n︒．考点精析 专项突破考点一 弧长与扇形面积的有关计算【例1】(1)（2019济南）扇形的半径为30cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是 ( ) A.20πcm B.10 πcm C.10 cm D.20 cm 【答案】A(2)（2019宜宾）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是 ( ) A.31π B.61π C.91π D.12π 【答案】D解题点拨：根据扇形的弧长公式180n rl π=与面积公式S=213602n r lr π=计算即可．考点二 组合图形面积的有关计算【例2】（2019重庆A 卷）如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是 .A ．4πB ．124π+C ．2πD ．122π+【答案】A解题点拨：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法：②转化法：③割补法，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 考点三 正多边形与圆【例3】（2019南京）己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ( )A ．1B ．3C ．2D ．23【答案】B解题点拨：把正六边形分解为六个等边三角形，借助勾股定理进行计箅即可．课堂训练 当堂检测1．若一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C2．（2019成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4．则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ） A.2，3π B.23，π C ．3，3π D ．23，43π【答案】D3．（2019台州）如图，△ABC 的外接圆O 的半径为2，∠C =40°，则AB 的长是 ．【答案】98π4．（2019宁波）如图，半圆O 的直径AB=2，弦CD ∥AB ，∠COD= 90°，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】4π中考达标/模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）A ．6B ．9C ．18D ．36 【答案】C2．（2019吉林）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A ．3π B ．6πC ．53π D ．56π 【答案】C3．（2019泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）2·1·c ·n ·j ·y A ．38B ．34C ．24D ．28【答案】D4．（2019资阳）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．2233π-B ．2433π-C ．4233π-D ．23π【答案】A5．（2019潍坊）如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=23，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．153342π- B ．153322π- C ．7346π- D ．7326π- 【答案】A二、填空题6．（2019桂林）正六边形的每个外角是________度。
中考第一轮复习课圆刘娜详案
中考第一轮复习课圆（第一课时）教学目标：1．立足教材，打好基础，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2．通过数学活动，唤醒学生对圆的基本知识的记忆，自己归纳总结本部分内容。
同时使其积累解决问题的经验，为下一步概括提升做准备。
3. 通过题组练习，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：圆的相关性质，将本部分的知识有机结合．难点：把数学知识转化为自身素质. 积累数学经验，增强用数学的意识．教学时间：3课时【课时分布】圆的部分在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排.教学过程：一、做中感悟活动一：找圆心问题1：(展示圆形纸片)你能找到这个圆的圆心吗？并说说你的依据。
（还有其他解法吗？）方法一：把圆形对折，两条不同折痕的交点即为圆心方法二：把圆形对折，折痕为直径，在取折痕的中点即为圆心（理论依据：圆的轴对称性，直径的中点是圆心）问题2：(在黑板上画一个圆)你能找到这个圆的圆心吗？并说说你的依据。
（还有其他解法吗？）方法一：把直角的顶点放在圆线上，沿直角两边向下取三角板和圆的交点，连线两交点，利用三角板找出这条线段的中点这个点就是圆心；（或者再这样做另一条线段，两线段的交点就是圆心）（理论依据，直角所对的弦是直径，直径的中点是圆心）方法二：因为不在同一直线三点确定一个圆，所以任意找两条不同的弦（直径除外），再作这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心。
方法三：任做一个弦，在做这个弦的中垂线，这条中垂线就是直径，取直径的中点就是圆心（理论依据是:垂径定理的逆定理）。
（设计意图：一个开放性的问题，题面结构简洁。
难度不大，各种不同的方法对应着圆不同的知识点，体会圆的轴对称性和中心对称性，由此展开对于所学知识的唤醒）问题3：判断：若A B ∥CD ，AB=CD 则AC 与BD 的交点O 就是圆心（ ）（理论依据：同弧或等弧所对圆周角相等，圆的中心对称性）二、 抽象概括活动二：反思讨论（1）解决刚才的几个问题用到了圆的哪些知识？圆的轴对称性垂径定理的逆定理，直径的中点是圆心，圆的旋转不变性和中心对称性 圆心角与圆周角相关性质（90°圆周角所对的弦是直径，同弧或等弧所对圆周角相等）（2）你认为解题的关键是什么？解题过程中你遇到了怎样的困难？原因是什么？关键确定直径。
2020广东中考数学一轮复习宝典课件第1部分 第6单元 第3章 与圆有关的计算
(1)求证：BC 是⊙O 的切线；
证明：如图 1，连接 OD， ∵AD 平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD， ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线；
(2)已知 AD＝2 3，试求 AB·AE 的值；
A． 3cm B．2 3cm C．2cm D．4cm
易错点 2：公式混乱
例 2.(2019·东台模拟)已知正六边形的边长为 1cm，分别以
它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得
到的三条弧的长度之和为多少 cm(结果保留 π)( C )
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
易错点拨：弧长公式记错．
3．圆锥的侧面展开图 (r 为底面圆半径；R 为扇形的半径，即圆锥的母线长；n 为弧 所对的圆心角的度数； l 是扇形的弧长，l＝n1π8R0 ＝2πr)
例 4.★(2018·广东广州)已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面
积为 65πcm2，圆锥的母线是 1313 cm.
例 5.(2019·广东清远模拟)如图，用圆心角为 120°，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是
2.★(2017·绵阳)如图，A 是半径为 2 的⊙O 外的一点，OA
︵ ＝4，AB 是⊙O 的切线，点 B 是切点，弦 BC∥OA，则BC的长为
(A )
A．23π
B．83π
C．π
D．32π＋ 3
3．★(2018·南宁)如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若
直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝( A )
B．2
专题三 圆的综合题 课件(共21张PPT)2025年中考数学人教版一轮复习考点探究(广西)
10 5
，
∴AB＝5x＝6 10 ，∵AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC，∴BD＝CD＝6，∴AD＝
AB2－BD2 ＝18，设⊙O的半径为r，∴OD＝18－r，在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋
BD2，即r2＝(18－r)2＋62，解得r＝10，
1．(2022北部湾)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点 D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.
1 2
AD.∵OA＝OB，∠PAO＝60°，∴△OAB是等
边三角形，∴AD⊥OB.∵OA＝OD，∴AF＝
1 2
AD，∴DE＝AF，在Rt△AOF中，AF
＝OA×cos30°＝
3
×
3 2
＝32
，∴DE＝AF＝32
.
3．(2024贵州)如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上， PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE.
(1)求证：ED是⊙O的切线； (2)若AD平分∠PAO，OA＝ 3 ，求DE的长．
(1)证明：如图，连接OD，OB，记OP与AD的交点为G，∵点B在⊙O上，PC是经
过圆心O的直线，∴点B关于PC的对称点D必在⊙O上，∴OD是⊙O的半径．∵点A在
⊙O上，∴∠PAD＝
1 2
∠BOD，∵点B和点D关于PC对称，∴∠POD＝
＝BDDE
，∴
AB 13m
＝
13m 2m
＝B3mD
，∴AB＝132m
，BD＝3
13m 2
.∵AB＝
AC，∠ADC＝90°，∴DC＝ 3
13m 2
，BC＝2BD＝3
13