高等数学随堂课件反常积分概念
合集下载
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
感谢您的观看
THANKS
比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
高等数学课件5第四节 反常积分ppt
lim
t b
t a
f
(
x
)
dx
b
a
f (x) 在 [a , b) 上的反常积分(或瑕积分).
这时称反常积分
收敛;
否则, 称反常积分 发散.
定义6. 设函数 f ( x)在[a, b]上除点c (a c b)外连续,
点 c 为f (x)的瑕点.
若 瑕 积 分ac
f
(
解:
原式
1 p
0
td(e
pt
)
1 p
([te
pt
]0
e
0
pt dt )
a
udv
[uv]a
a
vdu
1 p
( lim te t
pt
0
[
1 p
e
pt
]0
)
0
1 p2
( lim e
t
pt
1)
1 p2
.
定义2. 设 f ( x)在(, b)上连续.
b
f
( x) dx
lim
t
tb
f
( x) dx
若极限存在,则称无穷限积分
2
1)3
]13
1
1
lim 3( x 1)3+ 3 3 3 4 lim 3( x 1)3
x1
x1
3(1 3 4 ).
例12.
讨
论
反
常
积
分
1 1
dx x2
的
收
敛
性.
解:
lim
x0
1 x2
,
x
0是
1 x2
的瑕点.
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分
解
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
§5.7 反常积分 高等数学上课件
a a
穷区间 (, b] 上的反常积分，记为 b f ( x)dx ，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
. 24
解 法 2 ： x t t ， d a s 2 t x n ， e d c t
0(11x2)2dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2cos2tdt.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
二、无界函数的反常积分
定义 4 设函数 f ( x)C(a,b]，且 lim f ( x) ，取 0 ，
xa
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间(a,b] 0 a
上的反常积分，记为
b a
f
(
x)dx
，即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
lim ln x ab lim [lb n a)( ln ] ,
0
a 0
当 q 1 时 ， a b ( x d a ) q l 0 x a b i ( x d a m ) qx
, q1
lim1 (xa)1qb
01q
a
(b a )1q 1q
,
q1
故反常积分
(q 积分)
lim (1)lim (11), 0 x 1 0
穷区间 (, b] 上的反常积分，记为 b f ( x)dx ，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
. 24
解 法 2 ： x t t ， d a s 2 t x n ， e d c t
0(11x2)2dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2cos2tdt.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
二、无界函数的反常积分
定义 4 设函数 f ( x)C(a,b]，且 lim f ( x) ，取 0 ，
xa
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间(a,b] 0 a
上的反常积分，记为
b a
f
(
x)dx
，即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
lim ln x ab lim [lb n a)( ln ] ,
0
a 0
当 q 1 时 ， a b ( x d a ) q l 0 x a b i ( x d a m ) qx
, q1
lim1 (xa)1qb
01q
a
(b a )1q 1q
,
q1
故反常积分
(q 积分)
lim (1)lim (11), 0 x 1 0
《反常积分课件》课件
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
《反常积分课件》课件
对函数f(x)在[a, b]上，当b->+∞或a->-∞时，求极 限∫f(x)dx。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
《反常积分的概念》课件
02
反常积分在解决一些物理问题时，可以提供更精确、更可靠的
解决方案。
反常积分在物理问题中，可以用于研究物理系统的稳定性和动
03
态行为等。
在工程问题中的应用
01
反常积分在工程问题中主要用 于解决一些复杂的控制系统问 题，例如控制系统的稳定性、 响应特性和优化设计等。
02
反常积分在解决一些工程问题 时，可以提供更高效、更实用 的解决方案。
在数学分析中的应用
01
反常积分在数学分析中主要用于解决一些难以用常 规积分处理的积分问题。
02
反常积分在解决一些数学问题时，可以提供更简单 、更直观的解决方案。
03
反常积分在数学分析中，可以用于研究函数的性质 ，例如函数的连续性、可积性和可微性等。
在物理问题中的应用
01
反常积分在物理问题中主要用于描述一些非线性的物理现象， 例如波动、振动和混沌等。
反常积分的概念
contents
目录
• 反常积分概述 • 反常积分的计算方法 • 反常积分的收敛性判断 • 反常积分在数学物理中的应用 • 反常积分的扩展与展望
01 反常积分概述
定义与特点
定义
反常积分分为两种，一是无穷区间上 的反常积分，另一是瑕积分，它们都 拓展了定积分的概念。
特点
反常积分与定积分的不同之处在于， 其积分区间可能是无穷区间，或者被 积函数在积分区间内可能无界。
在工程领域的应用
在解决一些工程问题时，如信号处理、控制 系统分析和图像处理等，反常积分也发挥了 重要作用。
THANKS
感谢观看
无穷区间性质
反常积分在无穷区间上的积分值可能为无穷大或有限值，取决于被 积函数的性质。
《高数54反常积分》课件
无穷区间上的反常积分的计算
无穷区间上的反常积分是指积分区间 为无穷的积分。这类积分的计算方法 包括：利用极限思想，将无穷区间转 化为有限区间，然后进行计算。
在计算过程中，需要注意无穷区间的 取法，以及函数在无穷区间上的行为 。
无界函数的反常积分的计算
无界函数的反常积分是指被积函数在 积分区间上无界的积分。这类积分的 计算方法包括：利用瑕点处理，将被 积函数在瑕点处的值进行适当处理， 然后进行计算。
反常积分的定义基于定积分的定义，但需要考虑积分区间的变
03
化和极限的处理。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分
积分区间为无穷区间，例如从0到正无穷大或从负无穷大到0。
无界函数的反常积分
被积函数在积分区间内无界，例如函数在某一点或某一段区间内无 界。
混合型反常积分
同时具有无穷区间和无界函数的反常积分。
THANKS
感谢观看
无界函数的反常积分
无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的积分。无界函数的 反常积分可能存在也可能不存在。
无界函数的反常积分可以通过极限的方法来研究，将被积函数在积分区间 内进行分段处理，然后求和得到原积分的值。
无界函数的反常积分在解决实际问题中也有着广泛的应用，例如在处理某 些物理现象或工程问题时，可能会遇到无界函数的反常积分。
反常积分与定积分的转化
无穷限的反常积分
对于形如 $int_{0}^{+infty} f(x) dx$ 的反常积分，可以转化为定积分 $int_{0}^{a} f(x) dx$（其中 $a$ 是某个正数），然后求极限得到结果。例如，$lim_{a to +infty} int_{0}^{a} e^{-x} dx = lim_{a to +infty} [-e^{-x}]_{0}^{a} = 1$。
高等数学5.4反常积分
b b a
这时也称反常积分
a
f x dx 收敛
如果上述极限不存在，则称反常积分 发散．
a
f x dx
设函数 f x 在区间 , b 上连续，如果 类似地，
f x dx，（a b）存在，则称此极限为函数 极限 alim a
b
f x 在无穷区间
解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点 为心的对称区间的特性，得 xdx A xdx 因此积分收敛. lim 0 0， 2 1 x 2 Alim A 1 x A 我们说，上述两种方法都是错误的.
例2计算积分
-
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数 f x 在区间 a , 上连续， 取b>a，
f x f x dx 则称此极限为函数 存在， 如果极限 blim a
b
在无穷区间 a , 上的反常积分，记作 即
a
f x dx，
a
f x dx lim f x dx .
类似可记 注: 式子
b
f x dx lim F x . F x F b x
b
lim F x lim F x f x dx F x x x
c
lim f x dx
b b
c a
lim f x dx .
这时也称反常积分
这时也称反常积分
a
f x dx 收敛
如果上述极限不存在，则称反常积分 发散．
a
f x dx
设函数 f x 在区间 , b 上连续，如果 类似地，
f x dx，（a b）存在，则称此极限为函数 极限 alim a
b
f x 在无穷区间
解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点 为心的对称区间的特性，得 xdx A xdx 因此积分收敛. lim 0 0， 2 1 x 2 Alim A 1 x A 我们说，上述两种方法都是错误的.
例2计算积分
-
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数 f x 在区间 a , 上连续， 取b>a，
f x f x dx 则称此极限为函数 存在， 如果极限 blim a
b
在无穷区间 a , 上的反常积分，记作 即
a
f x dx，
a
f x dx lim f x dx .
类似可记 注: 式子
b
f x dx lim F x . F x F b x
b
lim F x lim F x f x dx F x x x
c
lim f x dx
b b
c a
lim f x dx .
这时也称反常积分
反常积分法课件
3、
0
x ne xdx（
n 为自然数
）；4、
2 dx 0 (1 x)2
；
5 、 2 xdx ； 1 x1
6 、
x ln x 0 (1 x 2 )2
dx
；
7 、
1
ln
n
xdx
.
0
三 、 求 当 k 为何值时
， 广 义 积 分 b dx a (x a)k
(b a)
收 敛 ？ 又 k 为何值时 ， 这 广 义 积 分 发 散 ？
的瑕点是哪几点？
01
02
思考题解答
1
ln
x
0
x
dx 1
积分
x0,可能x 的 瑕1 点是
lim lnx lim1 1, x1
x014x 1 x1 x
03
的瑕1点l是nx dx
0 x1
x0.
不是瑕点,
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
1 xp 发散；
0 1x2
6、 广 义 积 分x f(t)d的 t 几 何 意 义 是 ______________
________________________.
二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ； 2、 dx
；
x2 2x 2
1
因此当q 1时反常积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时反常积分发散.
例6 计算反常积分
2 dx .
1 x ln x
2
1
dx x ln x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学分析 第 十一章 反常积分
§1 反常积分概念
反常积分讨论的是 无穷区间上的积分和无界 函数的积分，是定积分概 念的推广.
一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
*点击以上标题可直接前往对应内容
反常积分的背景
反常积分的背景
在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性; 被积函数的有界性. 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间
a
a
F F a lim F u F a. u
两类反常积分的定义
例4 讨论无穷积分 t e pt dt p 0 的收敛性. 0
解
t e ptdt
t e pt p
1 p2
e pt
C,
因此
t e ptdt
0
t e pt p
1 p2
e pt
0
1 1
(0 0) 0
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
,
于是火箭从地面上升到距地心为 r( R) 处需作功
r R
mgR x2
2
dx
mgR
2
1 R
1 r
.
当 r 时, 其极限 mgR 就是火箭无限远离地球需
ห้องสมุดไป่ตู้
作的功．于是自然把这一极限写作上限为 的积分
R
mgR2 x2
dx
lim r
r R
mgR2 x2
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F(a )
F(b) lim F(u). ua
1
例6 计算瑕积分0 ln x dx.
解
1
ln
xdx
的瑕点为
0.
因此,
0
1 ln xdx lim
x ln x 1
1
dx
上的“积分”或无界函数的“积分”. 例1 (第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火
箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初 速度 v0 至少要多大？ 解 设地球半径为 R,火箭质量为 m, 地面上的重 力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x( R)
后退 前进 目录 退出
反常积分的背景
dx
mgR.
由机械能守恒定律初速度v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2 ) , R 6.371106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
反常积分的背景
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R, 桶底有 一半径为 r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔 直至流完桶中的水, 共需多少时间？ 解 桶内水位高度为 h x 时, 流出水的速度为
p2
p2 .
两类反常积分的定义
例5 讨论瑕积分
1 dx 0 xq
q 0 的收敛性.
解
1 dx u xq
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当0
q
1时，
1 0
dx xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
两类反常积分的定义
a
其中 a 是( ， ) 内任意一点 .
注1 无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值与a的选 取无关.
注2 无穷积分(3)是有无穷积分(1)和(2)定义的，
因此 f 在任何有限区间上必须是可积的.
定义2
设函数 f 定义在(a, b]上, 在a 的任意右邻域内无界,
但在任何内闭区间 [u, b] (a, b] 上有界且可积.
确切含义为
u
R2
t lim
dx
uh 0 r2 2g h x
lim uh
2 R2 g r2
h hu
2h g
R r
2
.
两类反常积分的定义
两类反常积分的定义
定义1
设函数 f 定义在 [ a, +)上, 且在任何有限区间
[a, u] 上可积. 若存在极限
u
lim f ( x)dx J ,
v 2g(h x). 在时间dt 内, 桶中液面降低的微小量为dx, 它们
之间应满足 πR2dx vπr 2dt, 因此
dt
R2
dx , x 0,h.
r2 2gh x
于是流完一桶水所需时间形式上为
反常积分的背景
h
t
R2
dx.
0 r2 2gh x
但由于被积函数是 [0,h) 上的无界函数,所以它的
解
u dx 1 xp
1 1 p ln u,
u1 p
1
, p 1, p 1,
因此,
lim
u
u dx 1 xp
1, p1 ,
p 1, p 1.
1
O
p1 p1
p1
y
1 xp
p1
p1
1
p1 x
若 f (x) 的原函数为 F (x), 无穷积分的牛顿－莱布尼
茨公式写作
f ( x) dx F ( x)
如果存在极限
b
lim f ( x)dx J ,
ua u
则称此极限为无界函数 f 在(a, b]上的反常积分,
记作
b
J f ( x)dx, a
并称 b f ( x)dx 收敛.若极限 lim b f ( x)dx不存在,
a
ua u
则称 b f ( x)dx 发散.
a
通常称a 为 f 的瑕点. 又称
b f ( x)dx 为瑕积分.
a
两类反常积分的定义
类似定义瑕点为 b 时的瑕积分
b
u
f ( x) dx lim f ( x) dx.
a
ub a
其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,
在任何 [a,u] [a,b]上可积.
若 f 的瑕点 c (a,b) , 定义
b
0
0
lim0 ln 1 1. 0
1. f ( x) 在 [a, )上非负连续, 且 f ( x)dx 收敛, a
是否必有lim f ( x) 0? x
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分), 记作
J a f (x)dx,
(1)
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
a
a
两类反常积分的定义
类似定义 b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
u u
(2)
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx. (3)
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
u
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx.
uc a
vc v
若
c f ( x)dx 和
b f ( x)dx 都收敛,则称
b
f ( x)dx
a
c
a
收敛.
两类反常积分的定义
例3 讨论无穷积分 dx 的收敛性. 1 xp y
§1 反常积分概念
反常积分讨论的是 无穷区间上的积分和无界 函数的积分，是定积分概 念的推广.
一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
*点击以上标题可直接前往对应内容
反常积分的背景
反常积分的背景
在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性; 被积函数的有界性. 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间
a
a
F F a lim F u F a. u
两类反常积分的定义
例4 讨论无穷积分 t e pt dt p 0 的收敛性. 0
解
t e ptdt
t e pt p
1 p2
e pt
C,
因此
t e ptdt
0
t e pt p
1 p2
e pt
0
1 1
(0 0) 0
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
,
于是火箭从地面上升到距地心为 r( R) 处需作功
r R
mgR x2
2
dx
mgR
2
1 R
1 r
.
当 r 时, 其极限 mgR 就是火箭无限远离地球需
ห้องสมุดไป่ตู้
作的功．于是自然把这一极限写作上限为 的积分
R
mgR2 x2
dx
lim r
r R
mgR2 x2
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F(a )
F(b) lim F(u). ua
1
例6 计算瑕积分0 ln x dx.
解
1
ln
xdx
的瑕点为
0.
因此,
0
1 ln xdx lim
x ln x 1
1
dx
上的“积分”或无界函数的“积分”. 例1 (第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火
箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初 速度 v0 至少要多大？ 解 设地球半径为 R,火箭质量为 m, 地面上的重 力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x( R)
后退 前进 目录 退出
反常积分的背景
dx
mgR.
由机械能守恒定律初速度v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2 ) , R 6.371106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
反常积分的背景
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R, 桶底有 一半径为 r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔 直至流完桶中的水, 共需多少时间？ 解 桶内水位高度为 h x 时, 流出水的速度为
p2
p2 .
两类反常积分的定义
例5 讨论瑕积分
1 dx 0 xq
q 0 的收敛性.
解
1 dx u xq
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当0
q
1时，
1 0
dx xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
两类反常积分的定义
a
其中 a 是( ， ) 内任意一点 .
注1 无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值与a的选 取无关.
注2 无穷积分(3)是有无穷积分(1)和(2)定义的，
因此 f 在任何有限区间上必须是可积的.
定义2
设函数 f 定义在(a, b]上, 在a 的任意右邻域内无界,
但在任何内闭区间 [u, b] (a, b] 上有界且可积.
确切含义为
u
R2
t lim
dx
uh 0 r2 2g h x
lim uh
2 R2 g r2
h hu
2h g
R r
2
.
两类反常积分的定义
两类反常积分的定义
定义1
设函数 f 定义在 [ a, +)上, 且在任何有限区间
[a, u] 上可积. 若存在极限
u
lim f ( x)dx J ,
v 2g(h x). 在时间dt 内, 桶中液面降低的微小量为dx, 它们
之间应满足 πR2dx vπr 2dt, 因此
dt
R2
dx , x 0,h.
r2 2gh x
于是流完一桶水所需时间形式上为
反常积分的背景
h
t
R2
dx.
0 r2 2gh x
但由于被积函数是 [0,h) 上的无界函数,所以它的
解
u dx 1 xp
1 1 p ln u,
u1 p
1
, p 1, p 1,
因此,
lim
u
u dx 1 xp
1, p1 ,
p 1, p 1.
1
O
p1 p1
p1
y
1 xp
p1
p1
1
p1 x
若 f (x) 的原函数为 F (x), 无穷积分的牛顿－莱布尼
茨公式写作
f ( x) dx F ( x)
如果存在极限
b
lim f ( x)dx J ,
ua u
则称此极限为无界函数 f 在(a, b]上的反常积分,
记作
b
J f ( x)dx, a
并称 b f ( x)dx 收敛.若极限 lim b f ( x)dx不存在,
a
ua u
则称 b f ( x)dx 发散.
a
通常称a 为 f 的瑕点. 又称
b f ( x)dx 为瑕积分.
a
两类反常积分的定义
类似定义瑕点为 b 时的瑕积分
b
u
f ( x) dx lim f ( x) dx.
a
ub a
其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,
在任何 [a,u] [a,b]上可积.
若 f 的瑕点 c (a,b) , 定义
b
0
0
lim0 ln 1 1. 0
1. f ( x) 在 [a, )上非负连续, 且 f ( x)dx 收敛, a
是否必有lim f ( x) 0? x
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分), 记作
J a f (x)dx,
(1)
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
a
a
两类反常积分的定义
类似定义 b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
u u
(2)
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx. (3)
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
u
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx.
uc a
vc v
若
c f ( x)dx 和
b f ( x)dx 都收敛,则称
b
f ( x)dx
a
c
a
收敛.
两类反常积分的定义
例3 讨论无穷积分 dx 的收敛性. 1 xp y