5.2 图形的全等
2全等图形
第2讲全等图形一、教学目标理解全等图形的概念，识别全等图形的对应点、对应边和对应角。
二、知识点梳理1、全等图形我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
两个全等图形重合时，互相重合的点叫做对应点，互相重合的线段叫做对应线段，互相重合的角叫做对应角。
（1）全等图形的形状相同，大小相等。
（2）两个图形是否全等于它们的位置无关。
2、全等三角形及其性质（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
如所示，△ABC和△A´B´C´完全重合，因此它们是全等的，我们用符号“≌”来表示全等，记作“△ABC≌△A´B´C´”，读作“三角形ABC全等于三角形A´B´C´”（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
如图所示，△ABC≌△A´B´C´，则有对应角相等：∠A=∠A´，∠B=∠B´，∠C=∠C´；对应边相等：AB=A´B´，AC=A´C´，BC=B´C´。
在写两个三角形全等时，应该把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。
如△ABC与△A´B´C´，点A与点A´，点B与点B´，点C与点C´是对应颠倒，记作△ABC≌△A´B´C´，而不要写成△ABC≌△B´C´A´。
三、典型例题讲解例1 观察图13-2-1中的各个图形，指出其中的全等图形。
例2如图13-2-2，△ABC与△ADE全等，写出其对应顶点、对应边和对应角。
例3如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm。
求AB，BC，AC 的长及△ABC的周长。
例4如图13-2-3，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果AD=9 cm，ED=2.4 cm，∠BAF=60°，则AF=______cm，EF=______cm，∠FEC=_______。
图形的相似与全等
图形的相似与全等相似和全等是几何学中常用的概念，用来描述图形之间的关系。
在本文中，我们将讨论图形的相似性和全等性，并且探讨它们之间的区别以及它们在几何学中的应用。
一、相似性相似性是指两个图形在形状上相似，但尺寸可能不同。
两个相似的图形有着相同的形状和对应的角度，但是它们的大小可能不一样。
相似性可以通过比较两个图形的边长比例来判断。
如果两个图形的对应边的比例相等，则它们是相似的。
例如，在三角形中，如果两个三角形的对应边长的比例相等，则它们是相似的。
相似三角形的各个角度是相等的，但是它们的边长和面积可以不同。
相似性在测量图形的尺寸时非常有用，因为它允许我们通过测量较小图形的尺寸来推导出较大图形的尺寸。
相似性也适用于其他图形，如矩形、圆形和多边形。
当两个图形相似时，它们的形状是相同的，只是尺寸不同。
相似性在建筑、地图制图和工程设计等领域有广泛的应用。
二、全等性全等性是指两个图形在形状和尺寸上完全相同。
当两个图形全等时，它们的所有边长、角度和面积都相等。
全等性可以通过比较两个图形的边长和角度来确定。
以三角形为例，如果两个三角形的三个对应边长和对应角度都相等，则它们是全等的。
全等三角形的形状和尺寸完全一样，它们可以互相重合。
全等性在测量和构造几何图形时非常重要，因为全等的图形可以用来证明其他几何定理和推导出其他图形的性质。
除了三角形，其他图形如矩形、圆形和多边形也可以存在全等的情况。
全等性在几何学中起着重要的作用，它提供了一种精确测量和比较图形的方法。
三、相似性与全等性的区别相似性和全等性之间存在着一些重要的区别。
首先，相似性只要求两个图形在形状上相似，而全等性要求两个图形在形状和尺寸上完全相同。
相似的图形可以有不同的尺寸，而全等的图形尺寸必须完全相同。
其次，相似性可以通过比较边长的比例来判断，而全等性需要比较边长和角度。
在确定两个三角形是否相似时，我们只需要比较两个三角形的边长比例。
但是，要确定两个三角形是否全等，我们需要比较边长和角度。
全等图形课件
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11.1 全等图形
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自学要求
• 1.大声朗读课本104页， 并用色笔圈出重点词语 • 2.完成105页议一议的 第一题
10
定义:像前面这些能完全
重合的图形叫做全等图形 (congruent figures)特征：如果两个图形全 ，它们的形状和大小一 定都相同。
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14
找出下图中的全等图形
谈一谈这节课你的收获
艺术家 M.C.埃舍尔
把自己称为一个 “图形艺术家”他 专门从事于木板画。 在1956年举办的艺 次画展得到了许多 数学家的称赏，在 他的作品中数学的 原则和思想得到了 非同寻常的形象化。
习题11.1 P107页 2、3、4
你能在方格纸上利用全等图形的 有关知识设计一 幅精美的图案吗?
初中数学各章节目录(北师大新版)
初中数学各章节目录（北师大新版）七年级（上）第1章丰富的图形世界1.1 生活中的立体图形1.2 睁开与折叠1.3 截一个几何体1.4 从三个方向看物体大的形状第2章有理数及其运算2.1 有理数2.2 数轴2.3 绝对值2.4 有理数的加法2.5 有理数的减法2.6 有理数的加减混淆运算2.7 有理数的乘法2.8 有理数的除法2.9 有理数的乘方2.10 科学技数法2.11 有理数的混淆运算2.12 用计算器进行运算第3章整式及其加减3.1 字母表示数3.2 代数式3.3 整式3.4 整式的加减3.5 探究与表达规律第4章基本平面图形4.1 线段、射线、直线4.2 比较线段的长短4.3 角4.4 角的比较4.5 多边形和圆的初步认识第5章一元一次方程5.1 认识一元一次方程5.2 求解一元一次方程5.3 应用 --水箱变高了5.4 应用 --打折销售5.5 应用 --“希望工程”义演5.6 应用 --追赶小明第6章数据的采集与整理6.1 数据的采集6.2 普查与抽样检查6.3 数据的表示6.4 统计图的选择七年级（下）第 1章整式的乘除1.1 同底数幂的乘法1.2 幂的乘方与积的乘方1.3 同底数幂的除法1.4 整式的乘法1.5 平方差公式1.6 完整平方公式1.7 整式的除法第 2章订交线与平行线2.1 两条直线的地点关系2.2 探究直线平行的条件2.3 平行线的性质2.4 用尺规作角第 3章变量之间的关系3.1 用表格表示的变量间关系3.2 用关系式表示的变量间关系3.3 用图像表示的变量间关系第 4章三角形4.1 认识三角形4.2 图形的全等4.3 探究三角形全等的条件4.4 用尺规作三角形4.5 利用三角形全等测距离第 5章生活中的轴对称5.1 轴对称现象5.2 探究轴对称的性质5.3 简单的轴对称图形5.4 利用轴对称进行设计第 6章概率初步6.1 感觉可能性6.2 频次的稳固性6.3 等可能事件的概率八年级（上）第 1章勾股定理1.1 探究勾股定理1.2 必定是直角三角形吗1.3 勾股定理的应用 1.4 角均分线第2章实数第 2章一元一次不等式（组）2.1 认识无理数 2.1 不等关系2.2 平方根 2.2 不等式的基天性质2.3 立方根 2.3 不等式的解2.4 估量（不讲） 2.4 一元一次不等式2.5 用计算器开方（不讲） 2.5 一元一次不等式与一次函数2.6 实数 2.6 一元一次不等式组2.7 二次根式第 3章图形的平移与旋转第3章地点与坐标 3.1 图形的平移3.1 确立地点 3.2 图形的旋转3.2 平面直角坐标系 3.3 中心对称3.3 轴对称与坐标变化 3.4 简单的图案设计第4章一次函数第 4章因式分解4.1 函数 4.1 因式分解4.2 一次函数与正比率函数 4.2 提公因式法4.3 一次函数的图像 4.3 公式法4.4 一次函数的应用第 5章分式与分式方程第5章二元一次方程组 5.1 认识分式5.1 认识二元一次方程组 5.2 分式的乘除法5.2 求解二元一次方程组 5.3 分式的加减法5.3 应用 --鸡兔同笼 5.4 分式方程5.4 应用 --增收节支第 6章平行四边形5.5 应用 --里程碑上的数6.1 平行四边形的性质5.6 二元一次方程与一次函数6.2 平行四边形的判断5.7 用二元一次方程组确立一次函数6.3 三角形的中位线5.8 三元一次方程组6.4 多边形的内角和与外角和第6章数据的剖析6.1 均匀数6.2 中位数与众数6.3 从统计图剖析数据的集中趋向6.4 数据的失散程度第7章平行线的证明7.1 为何要证明7.2 定义与命题7.3 平行线的判断7.4 平行线的性质7.5 三角形内角和定理八年级（下）第1章三角形的证明1.1 等腰三角形1.2 直角三角形1.3 线段的垂直均分线九年级（上）第 1章特别的平行四边形1.1 菱形的性质与判断1.2 矩形的性质与判断1.3 正方形的性质与判断第 2章一元二次方程2.1 认识一元二次方程2.2 用配方法解一元二次方程2.3 公式法2.4 因式分解法2.5 一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第 3章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率3.2 用频次预计概率第4章图形的相像4.1 成比率线段4.2 平行线分段成比率4.3 相像多边形4.4 探究三角形相像的条件4.5 相像三角形判断定理的证明4.6 利用相像三角形测高4.7 相像三角形的性质4.8 图形的位似第5章投影与视图5.1 投影5.2 视图第6章反比率函数6.1 反比率函数6.2 反比率函数的图像与性质6.3 反比率函数的应用九年级（下）第1章直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1.2 30、 45、 60 度角的三角函数1.3 三角函数的计算1.4 解直角三角形1.5 三角函数的应用1.6 利用三角函数测高第 2章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.3 确立二次函数的表达式2.4 二次函数的应用2.5 二次函数与一元二次方程第3章圆3.1 圆3.2 圆的对称性3.3 垂径定理3.4 圆周角与圆心角的关系3.5 确立圆的条件3.6 直线与圆的地点关系3.7 切线长定理3.8 圆内接正多边形3.9 弧长与扇形面积。
几何形的全等变换
几何形的全等变换几何学中的全等变换指的是通过一系列变换操作，使得一个图形与另一个图形完全重合。
全等变换是几何学中非常重要的内容，它有助于我们理解和分析各种几何形态，并在解决问题时提供了便利。
本文将介绍几何形的全等变换，包括平移、旋转、翻转和对称。
1. 平移：平移是指在平面上沿着某个方向将一个图形整体移动一定的距离。
平移保持原图形的形状和大小不变，只是位置发生了改变。
平移变换可用矢量表示，如向量AB表示从点A到点B的平移向量。
在平移过程中，所有点都按照相同的方向和距离移动。
2. 旋转：旋转是指围绕某个点为中心，按照一定的角度将一个图形旋转。
旋转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。
旋转变换可用角度表示，如逆时针旋转θ度表示为Rθ。
在旋转过程中，图形中的所有点都按照相同的角度进行旋转。
3. 翻转：翻转是指将一个图形关于某条直线翻转，形成一个关于这条直线对称的新图形。
翻转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向发生了改变。
翻转有两种形式：水平翻转和垂直翻转。
水平翻转可用词可矩阵表示，如对于点P(x, y)的水平翻转变换为(-x, y)。
垂直翻转同理可得。
4. 对称：对称是指将一个图形关于某个中心点进行对称，形成与原图形相似但相反方向的新图形。
对称变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。
对称有两种形式：轴对称和中心对称。
轴对称是指围绕一条直线对称，中心对称是指围绕一个中心点对称。
几何形的全等变换在很多领域有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平移变换用于设计建筑的布局和平面图的布置；旋转变换用于设计圆形的柱体和建筑物的旋转平面；翻转变换用于设计对称的立面和对称的建筑物；对称变换用于制作左右对称的室内控制装饰。
此外，全等变换在计算机图形学、模式识别等领域也得到了广泛应用。
通过运用全等变换，可以将一个图像或图形与另一个进行匹配，从而实现目标检测、图像配准等任务。
全等变换还被用来设计游戏角色和动画效果，增强视觉体验。
三角形全等五个判定方法
一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
要点诠释；一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，两个全等形的周长相等，面积相等。
二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
四、全等三角形的判定五、全等三角形证明方法1.证明线段相等的方法(1)证明两条线段所在的两个三角形全等。
(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等。
(3)等式性质2.证明角相等的方法(1)利用平行线的性质进行证明；(2)证明两个角所在的两个三角形全等；(3)利用角平分线的判定进行证明；(4)同角(等角)的余角(补角)相等；(5)对顶角相等。
3.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明4.辅助线的添加(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形。
5.证明三角形全等的思维方法(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件。
(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质。
几何中的全等性质
几何中的全等性质在几何学中，全等性质是关于图形形状和大小相等的重要概念。
全等图形具有相同的边长、角度和面积，它们可以通过平移、旋转和翻转来一一对应。
全等性质是几何学中的基础，对于解决各类几何问题具有重要的作用。
1. 定义和性质全等性是指在几何中，两个图形各个对应部分的边长、角度及面积都相等，符号表示为“≌”。
全等性质是由一系列公理和定理来确立的，其中最基本的定理是SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。
- SSS全等定理：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
- SAS全等定理：如果两个三角形的一条边和该边两侧的两个角分别相等，则这两个三角形全等。
- ASA全等定理：如果两个三角形的一对角和两条夹角分别相等，则这两个三角形全等。
除了这些基本的全等定理外，还有很多其他的性质和定理可以用来判定两个图形是否全等。
2. 判定全等的方法判定两个图形是否全等的方法主要有以下几种:- 根据定义直接判断：通过分析两个图形的边长、角度和面积是否相等，来判断它们是否全等。
这种方法常用于对称图形或简单图形的判定。
- 利用全等定理：根据全等定理和性质，比较两个图形之间的对应边长、角度和面积，如果已知满足全等定理的条件，则可以判定两个图形全等。
- 利用已知图形的完全信息：如已知两个图形的对应点坐标或顶点坐标，利用坐标计算可以判定是否全等。
- 利用其他全等图形：如果已知两个图形与一个或多个全等图形之间存在对应关系，可以间接判定它们是否全等。
3. 全等的应用全等性质在几何学中应用广泛，以下是一些常见的应用场景:- 构造相等图形：对于给定的一个图形，利用全等性质可以构造与之全等的其他图形，从而得到更多的图形信息。
- 证明几何命题：在解决几何问题时，通过证明两个图形全等，可以得到一些结论和定理，用以回答问题。
- 计算未知值：通过求解全等图形之间的对应关系，可以计算出未知的边长、角度或面积。
- 图形的折叠和拼接：利用全等性质，可以将一个图形折叠或拼接起来，得到与原来全等的新图形。
1图形的全等
B A D G E F C
讨 论
在日常生活中，可以看到很多全等 在日常生活中， 形，你能举出一些与同学们一起交 流一下吗？看谁举出的例子多。 流一下吗？看谁举出的例子多。
这节课你学到 了什么呢？ 了什么呢？
1.我知道了什么叫全 我知道了什么叫全 等图形; 等图形 2.我能找出两个全等 我能找出两个全等 图形的对应点、 图形的对应点、对 应角和对应边; 应角和对应边 3.我还知道了全等多 我还知道了全等多 边形的对应边相等、 边形的对应边相等、 对应角相等。 对应角相等。 4.我知道如何判定多 我知道如何判定多 边形全等。 边形全等。
B
如图∆ABC≌ ∆DEF，且∠A＝∠D， ≌ 如图 ， ＝ ， ∠B＝∠E你能指出它们之间其他的对 ＝ 你能指出它们之间其他的对 应顶点、对应角和对应边吗？ 应顶点、对应角和对应边吗？
A F
M
·
B
C
·N
E
D
∠C＝____AB＝____ ＝ ＝ AC＝____BC＝____ ＝ ＝ 如果M是 的中点 的中点， 如果 是AB的中点，你 知道点M的对应点 的对应点N在哪 知道点 的对应点 在哪 吗？
探索发现
B A C A´ ´ B´ ´ C´ ´
性质： 性质： 全等三角形的对应边相等、 全等三角形的对应边相等、对 应角相等。 应角相等。
找一找
A D
B
C E
F
A与D，B与E，C与F 对应顶点是 __________________________; AB与DE，BC与EF，CA与FD
对应边是 ∠ABC与∠ DEF， ∠ BCA与∠ EFD， ∠ BAC与∠E DF ____________________________;
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5.2 图形的全等
2 图形的全等
教学目标：
借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠
图形等过程，了解图形全等的意义，了解全等图形的特征．
教学重点难点：
图形的全等与全等图形的特征的了解是本节课的重点，
识别全等图形及通过实践活动得出全等力形既是重点也是
难点．
教学方法：
实践操作法和观察法
活动准备：
把课本当中的图画在白纸上，带好剪刀和复写纸
教学过程：
一、看一看
．引导学生观察课本两组图形．
．多举一些学生比较熟悉的能全等或不全等图形的实
例，让学生进行想象全等力形与不全等图形的区别．例如：
同一张底片冲印出两张相同尺寸的相片与两张不同尺
寸的相片．
同一人的两只手掌与一大人左手掌和一小孩的左手掌．
一个三角形和一个四边形
．把下列两组图形投影出来：
通过观察，说出两组图形中上、下两个图形的异同之处，
与同学交流你的看法．
二、做一做
．用复写纸印出任一封闭图形．
２．把两张纸叠在一起，用剪子随意剪出一个图形．
三、议一议
．从“做一做”中得到的两个图形有什么特征？
这两个图形能够重合，它们的形状和大小都相同．
．在看一看中，你的看法如何？
形状相同且大小也相同的两个图形能够重合，反之亦
然．
形状不同或大小不同的两个图形不能重合，不能重合的
两个图形大小一定不相同．
．能够重合的两个图形称为全等图形．
全等图形的形状和大小都相同
四、做一做
按课本做一做的要求进行实践活动．（注意：把划分出
的两个图形叠在一起应重合，通过数小正方形个数可知划分
出的图形中应含有6个小正方形．
小结：
本节课学习了能够重合的图形称为全等图形，全等图形
的形状和大小都相同．
教后记：
本节课学生的掌握情况较好，对于全等图形的理解较准
确，但在分图形的过程中却遇到了一些困难．应加强这方面
的练习．