第一章 复数与复变函数解读
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复变函数与积分变换第一章(1).
第一章复数与复变函数本章讨论复数的概念，相关的运算，几何表示;复变函数的概念。
第一节复数及其代数运算本节给出复数的概念，以及相应的运算。
1.1.复数在平面上的几何表示1.1.1复数的概念Z = AT-Fiy 其中，兀』为实数，，为虚单位，I 2=-1 实部：Re(z) = X 虚部：Im(z) = y(real part) (imaginary part) 注：与实数不同，一般虬 任意两个复数不能匕较大小. 例：2 + 2T>l, l+iv3 + 4d, —lvzvl 的！1.1.2 复数的平面几何表示(1)点表示(复平面表示)x 轴—实轴 y 轴—虚轴平面—复平面(z 平面) 平面内横坐标为兀, 纵坐标为y 的点.----- 对应 —对应?=兀+巧 < ----- 实数对(乂」)<——>⑵•向量表示复数z与从原点o至U点Z = x +4y的向量一一对应。
注：(1)平面内起点为Z],终点为乙2的向量2忆2对应的复数G 一Z](2)平面内向量经过平移后，对应的复数是不变的。
J长度 ------------- 濮"斑・[方向-------------- 角I复数-my复数的模:称向量嬴的长度厲为复如的模,£己作|z性质：（l）z < x + y x < Zy y < z(2) |z2 - Z||的几何意义:TS -Z］对应着向量牛2 ______________O/• 1^1 ~Z2|表示悬1与Z2间的距离。
Z2例：方程|z-l+i =10表示平面内以点为圆心，半径为10的圆周以实轴的正向为始边，以向量云为终边的角的弧度笏称为复魏:的辐角记作Argz （argument:辐角，变元）Argz有无穷多个值，每两个值相差2兀的整数倍。
辐角主值：满足条件-兀＜&0＜兀的辐角気记作arg Z注：Argz = argz + Ikn (k = 0,±l,+2,…)给定复数z的辐角，辐角主值的算a.确定复数z = x + iy所处复平面的象限及对应的向量;b.从图形上确定circtg— e argz G (-兀，创x 2 2及二者的关系；得到argz;c.辐角Argz = argz 2kn (k =0,±l,...).例：求复数=2-2i,z? =-1 +孙的辐角，辐角主值。
第一章 第三节、复变函数
2.单(多)值函数的定义: 如果z的一个值对应着一个w的值, 那末
我们称函数 f ( z )是单值的. 如果z的一个值对应着两个或两个以上
w的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义域和值域:
集合E 称为 f ( z )的定义集合 (定义域) ; 对应于E中所有 z 的一切 w 值所成的集合F , 称为函数值集合.（值域）
例2：考虑映射 w = αz , 其中 α ≠ 0.
解：令 其中 α = Re , z = re , w = ρ e R, θ 0是α的模和辐角，，是z的模和辐角, rθ
iθ iϕ iθ 0
显然，这个映射可以看作 ρ , ϕ 是 w的模和辐角, 是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
ω = e z = re , w = α z = Rre = Rω , 于是 w = w( ρ , ϕ ) = ( Rr ,θ + θ 0 ). 这表示一个
ρ = Rr , ϕ = θ + θ 0 .
o
例3：考虑函数 w = z .
显然，映射
w = z = x + iy = x − iy.
y z θ -θ x
w= z
是关于实轴的对称映射
o
z
解：令 z = re , w = ρ e
ϕ
1 例4：考虑映射 w = . z iθ iϕ
则
1 1 −θ 1 w = ρe = θ = e ， 于是，＝ , ϕ = −θ . ρ re r r 其中， =| w |, ϕ = Arg w, r =| z |, θ = Arg z. ρ
| f ( z ) − A |=| (u − a ) + i (v − b) | = (u − a ) + (v − b) <| u − a | + | v − b |< ε
复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
n 的内接正 边形的顶点，当 k 0 时，w0 称为主值。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
答疑解惑
1、复数能否比较大小，为什么？
答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的； 而复数是无序的，所以不能比较大小。
假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保 持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取和加以讨论：
而z 1 0的根为z0 1
则 z4 1 0 的其余三个根即为所求
由 z4 1 0 得
z 4 1 cos 0 2k i sin 0 2k
4
4
张
长
华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 cos 0 i sin 0
1 2
r1
2
3 2
r1i
3 2
r2
2
1 2
r2i
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例5 求方程 z3 z2 z 1 0 的根。并将
z3 z2 z 1分解因式。
解 ∵ (z 1)(z3 z2 z 1) z4 1 ，
满足 arg ( z) 的
辐角主值: 辐角值（仅有一个），
记作arg(z). - arg( z)
即：
注 ：z 0的辐角不确定，Arg (0)无意义
z 0时，Arg( z ) arg( z ) 2k ( k 0,1,2, )
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
答疑解惑
1、复数能否比较大小，为什么？
答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的； 而复数是无序的，所以不能比较大小。
假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保 持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取和加以讨论：
而z 1 0的根为z0 1
则 z4 1 0 的其余三个根即为所求
由 z4 1 0 得
z 4 1 cos 0 2k i sin 0 2k
4
4
张
长
华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 cos 0 i sin 0
1 2
r1
2
3 2
r1i
3 2
r2
2
1 2
r2i
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例5 求方程 z3 z2 z 1 0 的根。并将
z3 z2 z 1分解因式。
解 ∵ (z 1)(z3 z2 z 1) z4 1 ，
满足 arg ( z) 的
辐角主值: 辐角值（仅有一个），
记作arg(z). - arg( z)
即：
注 ：z 0的辐角不确定，Arg (0)无意义
z 0时，Arg( z ) arg( z ) 2k ( k 0,1,2, )
第一章 复数与复变函数——工程数学
3 2i 2 3i
解：法一（商的公式）
z1 z2
(
x1x2 x22
y1 y2 y22
)
i(
x2 y1 x22
x1 y2 y22
)
3
2 22
(2) 32
3
i
2 (2) 33 22 32
i
法二（共轭性质）
___
___
z1 z2
z1 z2
___
z2 z2
z1 z2 | z2 |2
(3 2i)(2 (2 3i)(2
称x为z的实部(Re al), 记 Re z x 称y为z的虚部(Imaginary),记 Im z y
例如：z 2 i, 则 Re z 2, Im z 1
特别地，当y 0时,则z x为实数；
当x 0且y 0时,则z iy, 称为纯虚数；
2020/6/19
5
定义2：设两复数z1 x1 iy1与z2 x2 iy2，则z1 z2 x1 x2，y1 y2
2020/6/19
3
第一章 复数与复变函数
➢ 1.1 复数 ➢ 1.2 复数的三角表示 ➢ 1.3 平面点集的一般概念 ➢ 1.4 无穷大与复球面 ➢ 1.5 复变函数
2020/6/19
4
第一节 复数
➢ 一、复数的基本概念
定义1：设x与y都是实数，称x iy为复数，
记为：z x iy
称i为虚数单位，且定义i2 1或i 1
9
例 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数， 4． 证明：z1 z2 z1z2 2Re z1 z2 证明：z1 z2 z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1 iy1)(x2 iy2)
复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
复变函数第一章张建国
z = r = 1+ 3 = 2 ．
于是从（1.1.2）即得
1 3 ． cos θ = − , sin θ = − 2 2
3
利用（1.1.7） ，算得辐角主值与辐角分别为
2π arg z = , − 3
2π Argz = − + 2 kπ , 3
Hale Waihona Puke k 为整数．如果 θ 取主值，那么 z 的三角式与指数式分别为
Arg (
z1 ) = Argz1 − Argz 2 ． z2
（1.1.11）
根据复数与向量的对应关系， 公式 （1.1.8） 说明： 表示乘积 z1 z 2 的 向量是由表示 z1 的向量旋转一个角度 Argz 2 并伸长 （缩短） 到 z 2 倍得 到的．特别地当 z 2 = 1 时，乘法就变成了只是旋转，例如： iz 相当于 将 z 所对应的向量沿逆时针方向旋转
结合律： z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3 , 分配律： z1 ( z 2 + z 3 ) = z1 z 2 + z1 z 3 .
由于实数是复数的特例，我们在规定复数的四则运算时的一个基 本要求是复数的运算法则施行于实数时，能够与实数运算的结果相一 致． 复数 x − iy 称为 z = x + iy 的共轭复数，记作 z ．显然有 z = z ， 所以 x + iy 与 x − iy 互为共轭复数．关于复数的共轭运算，不难证明如 下性质：
z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) = r1e iθ1 ， z 2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r2 e iθ 2 ，
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
第一章复数及复平面
复数的四则运算:
复数的四则运算定义为:
(a1 + ib1 ) ± (a2 + ib2 ) = (a1 ± a2 ) + i (b1 ± b2 )
(a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = (a1a2 b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 )
(a1 + ib1 ) a1a2 + b1b2 a2b1 a1b2 ) = 2 2 +i 2 2 (a2 + ib2 ) a2 + b2 a2 + b2
其中,a,b,c,d是实常数. 解:利用 zz = x 2 + y 2 ,
z + z = 2 x, z z = 2y
得:azz + β z + β z + d = 0
1 其中,β = (b + ic ). 2
例2
设
z1 + z 2 = z1 + z 2 , z1 z 2 = z1 z 2
z1 , z2 是两个复数,证明:
π
有四个根.
复球面与无穷大:
在点坐标是(x,y,u)的三维空间中,把 xOy 面看作是 z 平面.考虑球面S:
x + y + u = 1, z = x + iy
2 2 2
取定球面上一点N(0,0,1)称为球极. 我们可以建立一个复平面C到S-{N}之间的 一个1-1对应(球极射影):
x'+iy ' z = x + iy = 1 u'
+ i sin( Argz 1 + Argz 2 )]
=| z1 || z 2 | [cos( Argz 1 + Argz 2 )