高考立体几何文科大题及答案

故 ∥平面
（III）设平面 的一个法向量为 ，并设 ＝（
即
取 ，则 ， ，从而 ＝（1，1，3）
取平面 D的一个法向量为
故二面角 的大小为
9、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC BD。
SD 平面ＡＢＣＤ， BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得AC BE.
(II)解法1： SD 平面ABCD，ＣＤ 平面ＡＢＣＤ， SD CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
连接cqdp分别是abae的中点所以所以dcpqpq平面acddc平面acd所以pq平面acdbqaqbcac所以abcq而dc平面abcdcebeb平面abceb平面abe所以平面abe平面abc所以cq平面abe由知四边形dcqp是平行四边形所以cqdp所以dp平面abe所以直线ad在平面abe内的射影是ap所以直线ad与平面abeapdrtdcacadcaqcqdp所以addpdap4解法1四边形abcd是正方形acbdpdabcd底面pdacac平面pdb平面aecpdb平面设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角分别为dbpb的中点oepdoepd又pdabcd底面oe底面abcdoeao在rtaoeoepdabao45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45解法2如图以d为原点建立空间直角坐标系dxyzacdpacdbacdpacdbac平面pdb平面aecpdb平面pdab设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角eaeoaeoeaeo45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45edabcd在线段ad的垂直平分线上同理点f?在线段bc的垂直平分线上
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC 平面ABCD,BE 平面BCE,
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以 就是 与平面 所成的角，
且
所求角为
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°,∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF= ,则
在Rt⊿BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ = ,
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ，
设
则 ，
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面 .
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时， ，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 .
5、
6、【解析】(1)由于EA=ED且
点E 在线段AD的垂直平分线上,同理点F 在线段BC的垂直平分线上.
又ABCD是四方形
线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线
即点E F 都居线段AD的垂直平分线上.
所以,直线E F 垂直平分线段AD.
(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE 中,由于ME =1, .
（Ⅱ）求三棱锥 的侧面积。
16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体 中， ∥ ， ， ，四边形 为平行四边形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直线 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面 ，故AF⊥平面 ，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。
（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..
设AC=2，则AG= 。又AB=2，BC= ，故AF= 。
3.（2009浙江卷文）如图， 平面 ， ， ， ， 分别为 的中点．（I）证明： 平面 ；（II）求 与平面 所成角的正弦值．
4.（2009北京卷文）如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面 ；（Ⅱ）当 且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，点 在 上， 。求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面 平面 .
（Ⅱ）在 中， ，所以
而DC 平面ABC， ，所以 平面ABC
而 平面ABE，所以平面ABE 平面ABC，所以 平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以 平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在 中， ，
所以
4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
6.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和 是平面ABCD内的两点， 和 都与平面ABCD垂直，（Ⅰ）证明：直线 垂直且平分线段AD： （Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD 平面PEG
参考答案
1、【解析】（I）解法一：作 ∥ 交 于N，作 交 于E，
连ME、NB，则 面 ， ,
设 ，则 ,
在 中， 。
在 中由
解得 ，从而 M为侧棱 的中点M.
解法二:过 作 的平行线.
（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过 作 ∥ 交 于 ,作 交 于 ,作 交 于 ,则 ∥ , 面 ,面 面 , 面 即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形 中过点 作 交 于点 ，则点 为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证 ，则 即为所求二面角.
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则 。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量 则
又 =（-1，1，0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1, z= , =(1,1, ).
又平面 的法向量 =（0，1，0）
由二面角 为60°知， =60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以 与平面 所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接 ，在 中， 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，又 平面ACD，DC 平面ACD，所以 平面ACD
（I）求证： ；
（II）设线段 、 的中点分别为 、 ，求证： ∥
（III）求二面角 的大小。
9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝ a(0< ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的 （0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求 的值。
（II）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。
12.（2009四川卷文） 如图，正方形 所在平面与平面四边形 所在平面互相垂直，△ 是等腰直角三角形，
（I）求证： ；
（II）设线段 、 的中点分别为 、 ，
求证： ∥
（III）求二面角 的大小。
13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱 中，AB=1， ，∠ABC=60 .
由 得2AD= ，解得AD= 。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（Ⅰ）设 ，则
，
，由是侧棱 的中点。
法2：设 ，则
又
故 ，即
，解得 ，
所以 是侧棱 的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，又 ， ，
设 分别是平面 、 的法向量，则
且 ，即 且
分别令 得 ，即
，
∴
二面角 的大小 。
2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF ，从而EF DA。