定积分高考试题精选
定积分高考试题精选
1、（2013江西卷（理））若222
2
123111
1,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为 （ ）
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
【答案】B
2、（2013北京卷（理））直线l 过抛物线C: x 2
=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ）
A ．
4
3
B ．2
C ．
83
D ．
162
3
【答案】C 3、（2013湖南卷（理））若
20
9,T
x dx T =⎰
则常数的值为_________.
【答案】3
4、（2013湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25
731v t t t
=-+
+（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是（ ）
A ．125ln5+
B ．11
825ln 3
+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+ 【解析】令 ()257301v t t t =-+
=+，则4t =。
汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫
-+=+ ⎪+⎝
⎭⎰，故选C 。
【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 5、【2012湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为
A ．2π5
B ．43
C ．32
D ．π2
【答案】B
【解析】根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为
1
2311114
(1)()33
S x dx x x --=-+=-+=⎰. 6、【2012江西理11】计算定积分
=+⎰
-dx x x 1
1
2)sin (___________。
【答案】
3
2
【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。
【解析】
3
2)cos 31()sin (1
131
1
2=-=+--⎰x x dx x x 。
7、【2012山东理15】设0a >.若曲线y x =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2
a ，则a =______.
【答案】9
4
=a
【解析】由已知得2
23023032|32a a x x S a a ====⎰，所以3221
=a ，所以9
4=a 。
8、【2012上海理13】已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,2
1
(B 、)0,1(C ，函数
)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 。
【答案】
4
5 【解析】当2
1
0≤
≤x ，线段AB 的方程为x y 10=， 当121≤<x 时。
线段BC 方程为12
110
50--=
--x y ，整理得1010+-=x y ， 即函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤<+-≤≤==1
21,10102
10,10)(x x x x x f y ，
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,10102
10,10)(22
x x x x x x xf y ，
函数与x 轴围成的图形面积为
dx x x dx x )1010(1021
2
1210
2+-=+⎰⎰
12
12321
3
)5310(310
x x x +-
+=45=。
9、【2012福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，
则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A.
14 B. 15 C. 16 D. 1
7
【答案】Ｃ.
【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积61
|)2132()(102231
0=-=-=⎰x x dx x x S ，而正
方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为6
1
．故选Ｃ．
10、(2011新课标卷理科9)由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为
（A ）103 （B ）4 （C ）163
（D ）6
【答案】C 解析：因为⎩⎨
⎧-==2
x y x y 的解为⎩⎨
⎧==2
4
y x ，所以两图像交点为)2,4(，
于是面积⎰⎰
=--=
4
04
)2(dx x dx x S 31604)22
1(04322
23
=--x x x 故选C
点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。
求曲线围成的图形的面积，就是
要求函数在某个区间内的定积分。
11、(2011湖南卷理科6)由直线0,3
,3
==
-=y x x π
π
与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为
A.
2
1
B. 1
C. 23
D. 3
答案：D
解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=3)023
(20
3sin 2cos 2
3
=-⋅==⎰
π
π
x xdx 。
故
选D 评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识. 12、(2011陕西卷理科11)设2
0lg ,0
()3,0
a x x f x x t dx x >⎧=⎨
+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a = 【答案】1
【解析】((1))(lg1)(0)f f f f ==233
0003|a a t dt t a =+⎰==11a =⇒=
13、（2010山东卷理科7）由曲线y=2x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为
（A ）
1
12
(B)
14
(C)
13
(D)
712
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为123
0x -x )dx=
⎰（111
1-1=3412
⨯⨯,故选A 。
【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
14、(2010湖南卷理科5)
4
21
dx x ⎰等于（ ）
A 、2ln2-
B 、2ln 2
C 、ln 2-
D 、ln 2
【解析】因为()/
1ln x x
=，所以44221ln ln 4ln 2dx x x ==-⎰，故选D
15、(2010宁夏卷13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方
法近似计算积分
1
()f x dx ⎰
，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，
由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分
1
()f x dx ⎰
的近似值为 。
【答案】1
N N
解析：
10
()f x dx ⎰
的几何意义是函数()(0()1)f x f x ≤≤其中的图像与轴、直线0x =和直线1x =所
围成图形的面积，根据几何概型易知
1
1
()N f x dx N
≈
⎰
． 16、（2010陕西卷理科13）从如图所示的长方形区域内任取一个点 ()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.
【解析】本题属于几何概型求概率，∵131031
2===
⎰
x dx x S 阴影
331=⨯=长方形S ，∴所求概率为3
1
==
长方形
阴影S S P . 17、(09福建理4)
22
(1cos )x dx π
π-+⎰等于
A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2 答案：D
解析：∵2
2
sin (
sin )[sin()]22222
x
x x x
π
πππ
π-
=+=+--+-=+原式.故选D。
定积分高考题
一、选择题（共16小题）1、（2011?湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A、B、1C、D、解答：解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．2、（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A、B、C、D、解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．3、（2009?广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在乙车前面B、t1时刻后，甲车在乙车后面C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，乙车在甲车前面分析：利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．解答：解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙过的路程=v乙dt=c+d+b；从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D 错．故答案为A4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A、B、2﹣ln3C、4+ln3D、4﹣ln3解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．故选D．5、A、B、C、D、解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==所以P（A）=．故选B．6、A、B、C、D、解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A、B、4C、D、6解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为S=．8、（2011?福建）（ex+2x）dx等于（）A、1B、e﹣1C、eD、e2+1解答：解：∫10（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+1﹣1=e9、（2010?湖南）dx等于（）A、﹣2ln2B、2ln2C、﹣ln2D、ln2解答：解：∵（lnx）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln210、（2009?福建）（1+cosx）dx等于（）A、πB、2C、π﹣2D、π+2解答：解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．11、已知则∫﹣aacosxdx=（a＞0），则∫0acosxdx=（）A、2B、1C、D、分析：根据定积分的几何意义知，定积分的值∫﹣aacosxdx=（a＞0）是f（x）=cosx的图象与x轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题．解答：解：原式=∫﹣a0cosxdxdx+∫0acosxdx．∵原函数y=cosx为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，则∫0acosxdx==．故选D．12、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为（）A、B、C、D、1 解：联立曲线与直线得，解得或设曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为A则A=∫12[3x﹣（x2+2）]dx=|12=13、下列计算错误的是（）A、∫﹣ππsinxdx=0B、∫01=C、cosxdx=2cosxdx D、∫﹣ππsin2xdx=0解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π 故选D14、计算的结果是（）A、4πB、2πC、πD、分析：根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．解答：解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积=π×4=π15、若∫0k（2x﹣3x2）dx=0，则k等于（）A、0B、1C、0或1D、以上均不对解答：解：∫0k（2x﹣3x2）dx=∫0k2xdx﹣∫0k3x2dx=x2|0k﹣x3|0k=k2﹣k3=0，解可得k=0若k=1．16、如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A、1B、C、D、解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=18、如图所示解答：解：阴影部分的面积为∫02（x2）dx，而∫02（x2）dx=（x3）|02=，19、由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为18 ．解答：解：解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）选择y为积分变量∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S==（y2+4y﹣y3）|﹣24=1820、由曲线和直线y=x﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是ln2+1 ．解答：解：联立两条直线的方程，得和∴曲线y=与直线y=x﹣4，x=2，x=1所围成的图形面积为=（﹣x2+lnx+4x）|12=ln2+121、（2010?陕西）解答：解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为22、（2008?山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若，0≤x0≤1，则x0的值为．解答：解：∵f（x）=ax2+c（a≠0），∴f（x0）=∫01f（x）dx=[+cx]01=+c．又∵f（x0）=ax02+c．∴x02=，∵x0∈[0，1]∴x0=．23、（2002?天津）求由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1 所围图形的面积．解答：解：如图，因为y=x2，4y=x2是偶函数，根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可．解方程组和，得交点坐标（﹣1，1），（1，1），（﹣2，1），（2，1）．选择x为积分变量，则S=2[]=．24、若y=f（x）的图象如图所示，定义，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）．（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）?x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．解答：解：由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；由定积分的几何意义可知，必然）?x0∈[0，1]，使S1=S2，此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F（1）=∫01f（t）dt=f（x0），故（4）正确．继续阅读。
高考数学定积分应用选择题
高考数学定积分应用选择题1. 定积分在几何应用中，计算一个矩形的面积，面积为10平方单位，则该矩形的长和宽分别为（）A. 2, 5B. 10, 2C. 5, 2D. 2, 22. 定积分在物理应用中，一个物体从静止开始沿直线加速运动，已知初速度为2m/s，加速度为5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程3. 定积分在物理应用中，已知物体沿直线运动的位移s与时间t 的关系为s=3t^2-2t+1，求物体在t=1秒时的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程4. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线加速运动，已知初速度为5m/s，加速度为2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程5. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线加速运动，已知初速度为3m/s，加速度为4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程6. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为5m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程7. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为3m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程8. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为2m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程9. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为1m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程10. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为2m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程11. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为3m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分D. 积分方程12. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为4m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程13. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为5m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程14. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为6m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程15. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为7m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程16. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为8m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程17. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为9m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程18. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为10m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程19. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为11m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程20. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为12m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程21. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为13m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程22. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为14m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程23. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为15m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程24. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为16m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程25. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为17m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程26. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为18m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程27. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为19m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程28. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为20m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程29. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为21m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程30. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为22m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程31. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为23m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程32. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为24m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程33. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为25m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程34. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为26m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程35. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为27m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程36. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为28m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程37. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为29m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程38. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为30m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程39. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为31m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程40. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为32m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程41. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为33m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程42. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为34m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程43. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为35m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程44. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为36m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程45. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为37m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程46. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为38m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程47. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为39m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程48. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为40m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程49. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为41m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程50. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为42m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程。
定积分试题及答案大学
定积分试题及答案大学一、选择题1. 定积分的几何意义是表示曲线与x轴之间的有向面积。
（）A. 正确B. 错误答案：A2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx的值是唯一的。
（）A. 正确B. 错误答案：A3. 定积分∫[a,b]kf(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx，其中k为常数。
（）A. 正确B. 错误答案：A二、填空题1. 设f(x)=x^2，计算定积分∫[0,1]x^2dx的值为____。
答案：1/32. 若∫[0,1]f(x)dx=2，则∫[0,2]f(x)dx=____。
答案：43. 设f(x)=2x，求定积分∫[1,2]2xdx的值为____。
答案：4三、解答题1. 计算定积分∫[0,π]sin(x)dx。
解：根据定积分的计算公式，我们有∫[0,π]sin(x)dx = [-cos(x)] | [0,π] = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
2. 设f(x)=x^3+3x^2+2x-1，求定积分∫[-1,1]f(x)dx。
解：首先计算不定积分F(x)=∫f(x)dx，得到F(x)=x^4/4+x^3+x^2-x+C。
然后计算定积分∫[-1,1]f(x)dx = F(1)-F(-1) = [(1)^4/4+(1)^3+(1)^2-1] - [(-1)^4/4+(-1)^3+(-1)^2-(-1)]= (1/4+1+1-1) - (1/4-1+1+1) = 0。
3. 求曲线y=x^2与x轴及直线x=1，x=2所围成的面积。
解：根据定积分的几何意义，所求面积为S = ∫[1,2]x^2dx = [x^3/3] | [1,2] = (2^3/3) - (1^3/3) = 7/3。
高三数学积分试题
高三数学积分试题1.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分.2.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.3.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．4.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设旋转体的体积为V，1则=．故旋转体的体积为：．故选A．5. 2．=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】=∵，∴圆的面积的四分之一，即．6.设函数的定义域为，若对于给定的正数k, 定义函数则当函数时，定积分的值为【答案】【解析】由定义可知，当时，，即，则＝＝＝＝．【考点】定积分的运算．7.定积分的值为____________.【答案】【解析】．【考点】定积分．8.定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.【答案】9【解析】因为F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))==x2-4x+9,故A(0,9),又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4.所以解得B(3,6),所以S=(x2-4x+9-2x)dx=(-3x2+9x)=9.9.若S1＝x2d x，S2＝d x，S3＝e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为()．A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1【答案】B【解析】S1＝＝；S2＝ln x＝ln 2<ln e＝1；S3＝e x＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S2<S1<S3.10.若，，则、的大小关系为 .【答案】【解析】，，.【考点】积分的计算.11.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．3B．C．3或D．3或【答案】B【解析】∵，第二项的系数为，∴，∴.【考点】1.二项展开式的系数；2.积分的计算.12.设，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，选C.【考点】1.分段函数；2.定积分13.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，作出，和的图像，如图所示，则阴影部分面积为S==.【考点】定积分的几何意义.14.由曲线，，直线所围成的区域的面积为___________【答案】【解析】画出这三条曲线可以看出，它们所围成的图形的面积为.【考点】定积分的几何意义.15.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】,所以,解得,当时,,当时, ,故选C.【考点】定积分的应用，二项式定理的应用，二项式定理的通项以及组合数的计算.16.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】如图，所求面积为阴影部分面积，其面积为四边形的面积减去不规则图形的面积，故,选D.【考点】定积分.17.已知.（Ⅰ）写出的最小正周期；（Ⅱ）求由，，，以及围成的平面图形的面积．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】1.解答第（Ⅱ）问，首先要正确画出示意图．2.要注意的是，当面积在轴上方的时候，定积分算出来是正数；当面积在轴下方的时候，定积分算出来是负数.很多考生没有注意到这一点而导致出错：.3.充分运用对称性，否则就要计算三个定积分了．试题解析：（Ⅰ）∵,∴.∴的最小正周期为.（Ⅱ）设由，，，以及围成的平面图形的面积为，∵，∴.∵，∴.∴由，，以及围成的平面图形的面积为.【考点】考查三角函数的化简计算、定积分的应用.18.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.【答案】36【解析】把0到4的积分根据题意分成2段，再分别求积分，即.【考点】考查积分的运算.19.如图，设是图中边长为2的正方形区域，是函数的图象与轴及围成的阴影区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，两个阴影部分的面积相等，即阴影部分的面积为：，向中随机投一点，则该点落入中的概率，故选B.【考点】微积分基本定理，几何概型.20.设的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】所以常数项为-160.【考点】定积分；二项式定理。
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析1.．【答案】【解析】=.考点:定积分2.由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【答案】2π【解析】y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为S＝dx＝(x－sin x)＝2π．3.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．4.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【解析】．5.已知通过点(1，2)，与有一个交点，交点横坐标为，且．如图所示:设与所围成的面积为S，则S取得最小值为．【答案】【解析】由通过点(1，2)可得，即，由与联立方程组，解得．则与所围成的面积S为．∵由得，由得或，所以当时，S取得极小值，即最小值．此时，最小值．6.设函数，若，则x的值为______．【答案】【解析】，又，∴．7.下列结论中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.①积分的值为2；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．【答案】①③【解析】，①正确；时，与的夹角为钝角或为，②不正确；由几何概型概率的计算公式得，时，不等式成立的概率是，③正确；，令在是减函数，在是增函数，所以，函数的无最小值，④不正确；综上知，答案为①③.【考点】定积分，平面向量的数量积，几何概型，指数函数的性质.8.已知，若，则= ( )A．1B．-2C．-2或4D．4【答案】D【解析】，即，解得，（因为），故选D.【考点】定积分基本定理9.．给出下列命题：①已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；②在进制计算中，；③若，且，则；④ “”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；⑤设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是个。
【解析】①由线性回归方程的意义可得结论正确；②，正确③由正态分布函数的性质可知正确；④由定积分的知识得：a=，所以根据周期公式知T=4，正确；⑤根据函数f（x）在单调递增和是一个奇函数，然后进行整体运算.【考点】（1）线性回归方程；（2）正态分布函数；（3）定积分；（4）函数的性质.10.由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，由曲线与直线的交点为.方法一：则封闭的平面图形的面积为.方法二：.【考点】定积分的简单应用11.已知函数与的图象所围成的阴影部分（如图所示）的面积为，则_____.【答案】【解析】，解得.【考点】定积分的几何意义.12.由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()A．B．2－ln 3C．4＋ln 3D．4－ln 3【解析】如图所示，所求面积为S＝3－d x－＝8－ln x－4＝4－ln 3，故选D.13.d x＝________.【答案】π【解析】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x＝×4π＝π.14.________．【答案】1【解析】.【考点】定积分的应用.15.设a＝，b＝，c＝，则下列关系式成立的是()．A．<<B．< <C．D．【答案】C【解析】a＝＝ln x＝ln 2，b＝＝ln x＝ln3，c＝＝ln x＝ln5，所以，，，因为，()6＝32＝9，所以，()10＝25＝32，()10＝52＝25，所以<，即<<，所以16.把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为( )A．4B．C．D．2【答案】D【解析】函数的图像向左平移后，得到，得交点为，，则与的图像所围成的图形的面积为．【考点】三角函数平移变化，定积分．17.若，则f（2016）等于（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】，选D.【考点】1、分段函数及函数的周期性；2、定积分.18.= .【答案】0．【解析】因为是奇函数，所以=0．【考点】定积分的计算．19.由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】【解析】.【考点】1.积分的运算；2.利用积分求面积.20.已知，，记则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知，联想到定积分的几何意义得：为在上的定积分，即为曲边梯形的面积，而梯形的面积（如图），，故选C．【考点】定积分的几何意义．21.已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 ( )A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知及牛顿-莱布尼茨公式得．由已知要求选项能推出，但不能推出选项．，但不能推出，故选C．【考点】1．定积分的计算；2充分、必要、充要条件的判断．22.在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y ＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为__________．【答案】【解析】根据题意画出图象如图，则,，则区域的面积，区域的面积为，由题意知，化简得，解得.【考点】定积分的计算.23.已知，直线交圆于两点，则．【答案】．【解析】由定积分的几何意义可知，，圆心到直线的距离．【考点】1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．24.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．【答案】【解析】曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：=.【考点】定积分的计算25.曲线，所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.【考点】曲边梯形面积.26.若，，，则从小到大的顺序为 .【答案】【解析】，，，故.【考点】微积分基本定理.27.＝．【答案】3【解析】，或画出函数的图象，可以求出它在区间与轴围成的面积是3，由定积分的几何意义知答案为3.【考点】定积分的计算、定积分的几何意义.28.曲线和曲线围成的图形面积是．【答案】【解析】解得，或，则所求面积为 .【考点】定积分29.设，则二项式展开式中的第四项为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，选A.【考点】微积分基本定理，二项式定理.30.在的展开式中的常数项为p，则 .【答案】11【解析】，令，即，，则.【考点】二项展开式的通项、定积分的运算.31.设函数，其中则的展开式中的系数为（）A．-360B．360C．-60D．60【答案】D【解析】令的系数为【考点】定积分函数导数与二项式定理点评：本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算（首要找到被积函数的原函数）函数求导数及二项式定理：的展开式中通项为32.设的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】所以常数项为-160.【考点】定积分；二项式定理。
高三数学积分试题
高三数学积分试题1.．【答案】【解析】=.考点:定积分2.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分.3.直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．4【答案】D【解析】由已知得，，故选D.【考点】定积分的应用.4. [2014·汕头模拟]设f(x)＝，则等于()A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】本题画图求解，更为清晰，如图，＝＋＝x3＋(2x－x2)＝＋(4－2－2＋)＝.5.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于() A．B．2C．D．【答案】C【解析】由C：x2＝4y，知焦点P(0,1)．直线l的方程为y＝1.所求面积S＝＝＝.6.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为．7.设函数的图象与直线轴所围成的图形的面积称为在上的面积，则函数上的面积为．【答案】【解析】用积分表示面积.【考点】定积分8.设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（）A．2B．e C．2e D．【答案】D【解析】，∴.【考点】定积分.9.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于()A．2B．3C．6D．8【答案】B【解析】(2x-1)dx=2xdx-1·dx=x2-x=t2-t,由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).【方法技巧】定积分的计算方法(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)应用微积分基本定理:求定积分f(x)dx时,可按以下两步进行,第一步:求使F'(x)=f(x)成立的F(x);第二步:计算F(b)-F(a).10.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.【答案】-1【解析】f'(x)=-3x2+2ax+b,∵f'(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).=-(-x3+ax2)dx=a4=,∴a=-1.S阴影11.________．【答案】1【解析】.【考点】定积分的应用.12.dx + .【答案】+1【解析】，，所以的图像是半圆，由定积分的几何意义可知，所以。
【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1
【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1未命名一、单选题1．由曲线2y x = ，3y x =围成的封闭图形的面积为（ ） A ．13B ．14C ．112D ．7122．由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为( )A ．6B ．4C ．103D ．1633．若20sin a xdx π=⎰，则函数1()x f x ax e -=+的图象在1x =处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=4．二项式()()310mx m ->展开式的第二项的系数为-3，则22mx dx -⎰的值为（ ）A ．3B ．73C ．83D ．25．已知函数()())11001x x f x x ⎧+-≤≤=<≤，则()1-1x f x d ⎰的值为( ) A ．1+2π B ．1+24π C ． 1+4π D ．1+22π6．1(e )d x x x --=⎰A ．11e --B ．1-C ．312e-+D ．32-7．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．125488．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（ ）A．6B ．13C ．23D ．439．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<10．平面直角坐标系中，过坐标原点O 作曲线:x C y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112e - B ．2e C ．12e -D ．32e -11．正方形的四个顶点 分别在抛物线 和 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( )A ．B ．C ．D ．12．曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为（ ） A ．152B ．154C ．154ln 24- D ．158ln 22- 13．曲线()22f x x =，()22g x x x =-以及直线14x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．132B ．116C ．18 D ．1414．曲线 ， 和直线 围成的图形面积是（ ） A ． B ．C ．D ．15．()22310xk dx +=⎰，则k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．若1201ln 2,5,sin 4a b c xdx π-===⎰，则a ，b ，c ，的大小关系（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<17．已知()6cos 1x t dx π-=⎰，则常数t 的值为（ ）A ．3π-B ．1π-C ．32π-D ．52π-18．已知函数()f x 满足()()4f x f x =-，()524f x dx =⎰，则()51f x d x -⎰等于（ ）A ．0B ．2C ．8D ．不确定19．函数()1f x x=与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ） A ．2ln21-+B ．2ln 21-C ．ln 2-D ．ln 220．由曲线y ＝x 2和曲线y =（ ）A ．13B ．310C ．14D ．1521．在812x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中3x 的系数为m ,则()120x mx dx +=⎰（ ） A ．176B ．206C ．236D ．26622．已知函数3,1()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨≥⎪⎩＜，（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =，x 轴围成的区域为E ，直线x e =与1y =围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（ ） A ．58eB ．18eC ．43eD ．12e23．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．824．已知曲线cos y x =，其中30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该曲线与坐标轴围成的面积等于（ ）A ．1B ．2C ．52D ．325．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( ) A．43π B．23π C．43π D．23π 26．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．785427．用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．528．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2πC ．22πD ．221π-29．函数()2,? 0,2,x x f x x -≤=<≤，则()22f x dx -⎰的值为 （ ） A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．830．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（）A ．16B．6C ．13D ．2331．111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．e 2-B ．eC ．e 1+D ．e 1-32．已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5，则0⎰＝（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π33．在4(1)(21)x x +-的展开式中，2x 项的系数为a ，则0(2)ax e x dx +⎰的值为（ ）A ．1e +B ．2e +C ．23e +D ．24e +34．1012x dx ⎫=⎪⎭⎰（ ） A ．14π+ B ．12π+ C ．124π+D ．14π+35．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．2536．计算2131dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．ln21+ B ．2ln 21+ C ．3ln23+D ．3ln 21+37．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()1,+∞38．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（ ）A ．43B ．54C ．65D ．39．若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<40．定积分)232sin x x dx -+⎰的值是（ ）A ．πB ．2πC ．2π+2cos2D ．π+2cos241．如图所示，阴影部分的面积为（）A ．()41f x dx -⎰B ．()41f x dx --⎰C ．()()3413f x dx f x dx --⎰⎰D ．()()4331f x dx f x dx --⎰⎰42．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．443．已知()12201,log 3,cos6a x dxbc π=-==⎰，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<44．定积分()1214d x x x --=⎰（ ）A ．0B ．1-C ．23-D ．2-45．由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．16B ．13C ．56D ．2346．函数f x （）在区间[15]-， 上的图象如图所示，0()()xg x f t dt =⎰，则下列结论正确的是（ ）A ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x <（）B ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x >（）C ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x >（）D ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x <（） 47．若函数f (x)＝ ＋x ，则＝ A ．B ．C ．D ．48．已知225sin )a x dx -=⎰，且2am π=.则展开式212(1)m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中x 的系数为（ ） A ．12B ．-12C ．4D ．-449．设，则的展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．120D ．-120二、填空题50．设抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线围成的图形面积为6，则抛物线的方程为________.51．若曲线y =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．52．由曲线3y x =（x ≥0）与它在1x =处切线以及x 轴所围成的图形的面积为___________．53．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 54．定积分=⎰____________.55．若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；56．已知1a -=⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______．57．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dx x ⎰=______．58．如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动，点 恰好经过原点．设顶点 的轨迹方程式 （ ），则对函数 有下列判断： ①函数 是偶函数；②对任意的 ，都有 ； ③函数 在区间 上单调递减； ④．其中判断正确的序号是 ．59．222(3)x sinx dx --=⎰______．60．由x 的正半轴、2y x =和4x =所围成的封闭图形的面积是______61．12xdx ⎰的值为________．62．0=⎰_________.63．(434sin x dx -⎰的值为__________.64．若04sin n xdx π=⎰,2⎛⎝nx 的展开式中常数项为________．65．如图,在平面直角坐标系xoy 中,将直线y 2x=与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V 圆锥1=⎰π（2x ）2dx 310|1212x ππ==据此类比：将曲线y ＝x 2（x ≥0）与直线y ＝2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V ＝_____．66．若()12143a x dx --=⎰，则a =______. 67．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 68．(12x dx +=⎰________69．1||-1x e dx ⎰值为______．70．22sin )x dx -+=⎰___________71．已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =________.72．33(sin cos x x dx -+=⎰______.73．设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解，这种随机试验在数学上称为随机模拟法，也称为蒙特卡洛法。
大学定积分测试题及答案
大学定积分测试题及答案一、单项选择题（每题 2 分，共 20 分）1. 以下哪个函数的定积分在区间 [0,1] 上的值是 1？A. f(x) = 2xB. f(x) = x^2C. f(x) = x^3D. f(x) = x2. 计算定积分∫(0 to 1) x dx 的结果是：A. 0B. 1/2C. 1D. 23. 以下哪个函数的原函数是 e^x？A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)4. 定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx 的值是：A. 0B. 1C. π/2D. π5. 函数F(x) = ∫(0 to x) (t^2 + 1) dt 的导数是：A. 2x + 1B. x^2 + 1C. 2xD. 16. 定积分∫(0 to 1) (x^2 - 3x + 2) dx 的值是：A. 0B. 1/3C. 1D. -1/37. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = |x|8. 定积分∫(-1 to 1) x^2 dx 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 49. 函数F(x) = ∫(0 to x) cos(t) dt 的原函数是：A. sin(x)B. -cos(x)C. cos(x)D. -sin(x)10. 定积分∫(0 to 1) e^x dx 的值是：A. e - 1B. eC. 1D. 0二、多项选择题（每题 2 分，共 20 分）1. 以下哪些函数的定积分在区间 [0,1] 上的值是 0？A. f(x) = 0B. f(x) = 1C. f(x) = xD. f(x) = -x2. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的结果可以表示为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 03. 以下哪些函数的原函数是 ln(x)？A. 1/xB. -1/xC. x/(x+1)D. 1 - 1/x4. 定积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值是：A. 0B. 2C. -2D. π5. 函数F(x) = ∫(0 to x) (t - 1) dt 的导数是：A. x - 1B. 1C. -1D. x6. 以下哪些函数是奇函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = |x|7. 定积分∫(-1 to 1) x^3 dx 的值是：A. 0B. 1C. -1D. 28. 以下哪些函数的原函数是 arctan(x)？A. 1/(1+x^2)B. 1/(1-x^2)C. x/(1+x^2)D. 1/x9. 定积分∫(0 to 1) (1/x) dx 的值是：A. ln(1)B. ln(2)C. 1D. ∞10. 以下哪些函数的定积分在区间 [0,1] 上的值是 1？A. f(x) = 1B. f(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f(x) = x三、判断题（每题 2 分，共 20 分）1. 定积分∫(0 to 1) x dx 的值是 1/2。
(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )练习、设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169C.⎝⎛⎭⎫43，157 D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11) 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．1、 [答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .A.112B.14C.13D.7122、[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112.练习； [答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3、[答案] A[解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4、[答案] B[解析] ⎠⎛1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案] A[解析] 如右图，S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.6、[答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. 7、[答案] D ；[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.9、[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11、[答案] A ；[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12、[答案] C ；[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13.13、 [答案] －1或13；[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15、[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16、 [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0. 17、 [答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.18、 [解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0. 因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。
高三数学积分试题
高三数学积分试题1.若函数，则____________.【答案】【解析】∵，∴.【考点】利用微积分基本定理求解定积分的知识.2.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分.3.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由图可知阴影部分面积由几何概型可知概率为.选.【考点】定积分的应用，几何概型.4.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A．B．4C．D．6【答案】C【解析】用定积分求解，选C5.抛物线与直线及y=0所围成的图形的面积．【答案】【解析】由题意，作出图形(如图所示)，解方程组得或 (舍去)，所以与直线的交点为(2，4)，所以所求面积为．6.设函数，若，则x的值为______．【答案】【解析】，又，∴．7.在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，∴，∴，故选A.【考点】1.积分的运算；2.几何概型.8.计算定积分(x2+sinx)dx=.【答案】【解析】(x2+sinx)dx=x2dx+sinxdx=2x2dx+0=.9.给出下列命题：①函数y＝在区间[1,3]上是增函数；②函数f(x)＝2x－x2的零点有3个；③函数y＝sinx(x∈[－π，π])图象与x轴围成的图形的面积是S＝sin x d x；④若X～N(1，σ2)，且P(0≤X≤1)＝0.3，则P(X≥2)＝0.2，其中真命题的序号是________．【答案】②④【解析】①y′＝，由y′>0得－2<x<2，即函数的增区间为(－2,2)，①错误；②正确；③当－π≤x≤0时，sin x≤0，S＝|sin x|d x，所以②错误；④P(X≥2)＝＝0.2，所以④正确．10.已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=,则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为( )A．e2+e B．C．e2-e D．【答案】D【解析】画出概率密度曲线，随机变量X落在区间(1,2)内的概率相当于和以及密度曲线和围成的阴影部分面积，.【考点】1、函数的图象；2、定积分的运算和几何意义.11.若函数f(a)＝，则f等于【答案】p＋1【解析】因为f(a)＝=.所以.故填p＋1.本题考查定积分的知识点，易错点：求函数的导数的逆运算易错，最后结果的两组数对减易错.【考点】1.定积分的知识.2.函数的导数的逆运算.12.若函数，，则的值为__________.【答案】【解析】由题意知，，所以，解得.【考点】1.分段函数；2.定积分13.已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 ( )A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知及牛顿-莱布尼茨公式得．由已知要求选项能推出，但不能推出选项．，但不能推出，故选C．【考点】1．定积分的计算；2充分、必要、充要条件的判断．14.若则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】积分的运算.15.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．【答案】【解析】曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：= .【考点】定积分的计算16.曲线和曲线围成的图形面积是．【答案】【解析】解得，或，则所求面积为 .【考点】定积分17.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】,所以,解得,当时,,当时, ,故选C.【考点】定积分的应用，二项式定理的应用，二项式定理的通项以及组合数的计算.18.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意由定积分的几何意义可得如图所示阴影部分的面积为，所以点取自阴影部分的概率为．【考点】定积分的几何意义及几何概率．19.若，则常数T的值为．【答案】3【解析】.【考点】定积分.20.如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．(1) 求、及数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.【答案】(1) ，，；(2) ；(3)见解析.【解析】(1)利用导数求直线切线和切线的方程，从而易得的值，再得直线的方程，知点在直线上，所以，既得通项公式；(2)观察图形利用定积分求表达式；(3)分别求得及表达式，再用数学归纳法、二项式定理及导数的方法证明即可.试题解析：(1) 由，设直线的斜率为，则.∴直线的方程为.令，得， 1分∴，∴. ∴.∴直线的方程为.令，得. 2分一般地，直线的方程为，由于点在直线上，∴. 3分∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴. 4分（2）. 6分（3）证明： , 8分∴，.要证明，只要证明，即只要证明. 9分证法1：（数学归纳法）①当时，显然成立；②假设时，成立，则当时，，而，，，时，也成立，由①②知不等式对一切都成立. 14分证法2：.所以不等式对一切都成立. 14分证法3:令,则,当时, ,∴函数在上单调递增. ∴当时, .∵N, ∴, 即.∴.∴不等式对一切N都成立. 14分【考点】1、利用导数求切线方程；2、数列的运算；3、定积分计算图形面积.21.如图，在矩形ABCD中，AB =2．AD =3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率为。