函数的单调性函数极值的第一判别法35页PPT
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大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法全文
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值．
例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
函数的单调性 PPT精品课件
3 x 证明：令 f ( x) sin x x , 则 f (0) 0, 3!
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1
函数的极值与导数 课件
互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
高数 函数的单调性与极值
(x) (x)
2xarcx tlan 1n (x2)2arctxan
式中 在 0 与 x 之间，由于 arctan与 x 同号，
则无论 x为什么值，总有 fБайду номын сангаас(x)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立
9
例5 证明 f (x) (1 1)x 在 (0, ) 内单调增加。
x 证明 此函数为幂指函数，两边取对数
定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点， 但驻点未必是极值点。寻求函数的极值点首先要找 y f (x) 的驻点以及不可导的点，再判断其是否为
极值点。
14
定理 3 (极值第一判别法)
设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域 内有导数, 当x由小到大x通 0时,过
(1) (2)
f f
高等数学
第十八讲
主讲教师: 王升瑞
1
第九节
第二章
函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值及其求法
2
一、 函数的单调性
定理 1. 设函数 f (x) 在开区间 I 内可导, 若 f(x)0
(f(x)0),则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) .
I 称为单调递增(递减) 区间。
证: 无妨设 f(x) 0 ,x I,任取 x 1 ,x 2 I(x 1 x 2 )
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法一：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
f(x)2arcx t1 a 2x x n 21 2x x22arcxtan
当 x0 时 f(x)0 f(x)
f(x)f(0)0
当 x0 时 f(x)0 f(x)
单调性和极值
主 要 内 容 教 学 要 求
一、函数的最大值与最小值 二、曲线的凹凸性和拐点 一、会求简单应用题的最大(小)值 二、会用导数判断曲线的凹凸性
三、会求曲线的拐点
若函数 f ( x ) 在[a , b] 上连续，除个别点外处处可导，
并且至多有有限个导数 为零的点，则 f ( x )在 [a , b] 上的最大值与最小值存在 .
（2）如果在( a , b )内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调减少．
注意：
（1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间， 结论仍然成立． （2）如果在 (a, b) 内 f ' ( x) 0(或 0) ，但等号只 在有 限个点处成立，那么函数 f ( x )在 [a , b] 上仍然是单调
三、小结 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
1．曲线的凹凸定义和判定法
知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解． 但仅限于此还不够，例如函数曲线
但它们上升的方式 y x 2 与 y x 在 (0,) 内都是上升的，
却有明显的区别
3 2 f ( x ) x 6 x 15x 1 的定义域为一切实数， 解 函数
f '( x) 3x2 12x 15 3( x 1)( x 5)
，令 f ' ( x) 0
，得 x1 1, x2 5
为表达简洁明了，列表表示
由上可知，函数的单调增区间为 (,1] 和[5, )
．
的必要条件；
（2）极值点也不一定是驻点，极值点可能是驻点也可能是 不可导点．例如，y x 在 x 0 处不可导, 但 x 0 是极小值点．
函数的单调性极值与最值
lim
x x0
f (x) x x0
由 f (x0 ) 0知, 存在 0,当0 x x0 时,
故当 x0 x x0 时，f (x) 0;
当x0 x x0
由第一充分条件知
时，f (x) f (x) 在 x0
0, 取极大值
一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称 为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值
统称为极值 .
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
x 2 , x5 为极大点, x1 , x4 , x6为极小点,
2 5
(
2 5
,
)
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
定理2 (极值第二充分条件) 二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
证: (1)
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
当
f (x) f (x0 )
充分接近 o((时x ,
x上f0)(式nx)0左)(x端正x0负) 号由右f 端(nn) (第!x0一) (x项确x0定)n
,
故结论正确 .
y
f (x) 24 x (5x2 3), f (1) 0
三次函数的单调区间和极值课件
-6 -6
-8 -8
5
10
18
结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
19
例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
14
(3)当 a1时， x( ,a)(1, ),f'(x)0 x(a,1)f'(x)0 f(x)单调增(区 ,a)和 间 (1, )， f(x)单调减 (a,区 1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
分类整合， 转化与化归
9
三次函数与其导函数图象之间的关系
减区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
10
思考根据上表三次函数的单调性与极值有哪 些重要的结论？
11
热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
莆田华侨中学数学组 何高萍 高二（6）班
1
引例：指出下列函数的单调区间和极值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .