常州2019-2020第一学期高三期末(一模)数学试卷及答案
常州市教育学会学业水平监测高三数学2020.1一、填空题：1.已知集合21,0,1,|0ABxx，则AB
2.若复数z满足1,zii则z的实部为3.右图是一个算法的流程图，则输出的S的值是
4.函数21xy
的定义域是
5.已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是
7.已知函数23
1,0,
1()
,0,
xxfx
xx
则((8))ff
8.函数3sin(2),[0,]3yxx
取得最大值时自变量x的值为
9.等比数列na中，若12341,4,2,aaaa成等差数列，则17
aa
10.已知cos22
cos
，则tan2
11.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2222:1(0,0)xy
Cab
ab的右顶点为A,过A做x轴
的垂线与C的一条渐近线交于点B,若2OBa，则C的离心率为12.已知函数()lg(2),fxx互不相等的实数,ab满足()()fafb，则4ab的最小值为13.在平面直角坐标系xOy中，圆222:22210Cxaxyaya上存在点P到点（0,1）的距离为2，则实数a的取值范围是14.在ABC中，,3A点D满足23ADAC
，且对任意,xRxACABADAB恒
成立，则cosABC
二、解答题：15.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，已知31,cos
3aB
。
（1）若3A，求sinC的值；（2）若2b，求c的值.
16.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，APAD，点,MN分别是线段,PDAC的中点。求证：（1）//MN平面PBC；（2）.PCAM
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,FF，椭圆右顶点为A，点2
F在圆
22(2)1xy
上。（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知
132AMAN
，求直线1
FM的斜率。
18.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为102cm的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得,,,ABCD四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P-EFGH的底面边长为x（cm）.(1)若要求包装盒侧面积S不小于752cm
，求x的取值范围；
(2)若要求包装盒容积3()Vcm最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的容积。19.已知函数22()(2)ln1().
2
afxaxxxxaR
（1）若曲线()yfx在1x处的切线的斜率为2，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围。
20.设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列nA，nB满足：存在正数L,当nm时，
都有nnABL，则称数列nA，n
B是“(,)mL接近的”。
已知无穷数列na满足32841aa，无穷数列nb
的前n项和为1,1nSb，且
11
()1
,*.
2nnn
nn
SbbnN
bb
（1）求数列na
的通项公式；
（2）求证：对任意正整数m,数列na
，21na是“(,1)m接近的”；
（3）给定正整数m(m5),数列1na，2
nbk
（其中kR）是“(,)mL接近的”，求
L的最小值，并求出此时的k(均用m表示)。（参考数据ln20.69）附加题21-1．已知点(,)ab在矩阵1324A
对应的变换作用下得到点（4,6）.
（1）写出矩阵A的逆矩阵；（2）求a+b的值。
21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点(23,)6P
的圆的极坐标方程。
22.批量较大的一批产品中有30％的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中的优等品的个数.（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X).
23.设集合1,2,A
1
110|333,,0,1,2,,nn
nnniAttaaaaaAin
,
*.nN
(1)求1
A中的所有元素的和，并写出集合nA中元素的个数；（2）求证：能将集合nA(2,*)nnN
分
成两个没有公共元素的子集12,,,ssBbbb和12,,,,,*
llCcccslN
，使得
2222221212slbbbccc
成立.高三数学Ⅰ答案第1页（共7页）
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ参考答案2020年1月
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.1,12.13.104.，05.26.1077.518.129.64
10.2211.212.1413.
2171,10,217114.
26
135
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）
解：（1）在ABC中，0B，则sin0B，
因为3cos3B，所以2236sin1cos1()33BB．…………………………3分在ABC中，ABC，所以sinsin(())sin()CABAB，…………5分所以sinsin()sincoscossin333CBBB33163623236．……………………………8分（2）由余弦定理得2222cosbaacBc
，则
22
3(2)12
3cc
，…………10分
所以223103cc，3(3)()03cc，……………………………12分因为303c，所以30c，即3c．……………………………14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取PC，BC的中点,EF，连结ME，EF，FN，
三角形PCD中，M，E为PD，PC的中点，所以∥EMCD，12EMCD；三角形ABC中，F，N为BC,AC的中点，
所以∥FNAB，12FNAB，因为四边形ABCD是矩形，所以∥ABCDABCD，，高三数学Ⅰ答案第2页（共7页）
从而∥EMFN，=EMFN，所以四边形EMNF是平行四边形.……………………4分所以∥MNEF，又EF平面PBC，MN平面PBC，所以∥MN平面PBC.……………………………6分（2）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.因为四边形ABCD是矩形，所以ADCD.……………………………8分又因为PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又AM平面PAD，所以CDAM.……………………………10分因为APAD，M为PD的中点，所以AMPD，又因为PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AM平面PCD．……………………………12分又PC平面PCD，所以PCAM．……………………………14分17．（本小题满分14分）
解：（1）圆A:22(2)1xy的圆心)0,2(A，半径1r，与x轴交点坐标为)0,3(),0,1(
点2
F在圆A:22(2)1xy上，所以)0,1(2F，从而2a，1c，
所以3122222cab，所以椭圆C的标准方程为13422yx.……4分（2）由题，设点),(11yxM，0,2011yx；点),(22yxN，0,022yx.则11(2,)AMxy，22
(2,)
ANxy，由
13
2
AMAN知点A，M，N共线.……5分
直线AM的斜率存在，可设为k（k>0），则直线AM的方程为(2)ykx，
由22(2)(2)1ykxxy，，得222212111kxkkkyk，，或222212111kxkkkyk，，所以222211(2)11kkkNkk，，……………………………7分
无锡2019-2020第一学期高三期末(一模)数学试卷及答案
无锦市普通高申2019罕默学期高三期申调研考试卷一、旗空题：本大题共14小题，每小题5ft ，共70ft.1.集合A ＝｛中＝2k-1,keZ},B={l,2,3,4} .!l!�A n B ＝一·2.四翻z ＝叫（a,b E R ），由耻＝9+i （牌1为副单位），!l!�a+b ＝·3.禀楼高二（4）班统计全班同学申午在食堂用餐时闯，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15分用时为8分钟，还高4人用时为10分钟，则高二（4) f1在全保同学申午用暴平均用时为一分钟．4.函数f (x )=(a-I)'-3（叫“2)l提飞一一一·5.等差数列｛a.} （公差为0），真申叭，何成等t撒列，则这憎撒列的公比为一一·6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题申随机抽取2道做窑，小李会真申的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为一一一一一·.4 7. 7:H是方保ABCD-A 1B 1Ci D 1申，AB=l ,AD=2,A4=l,E 为BC 的申点，则点d到平面.A,.DE 的距离是一一一一一·、、、、、、、？、l ···”””8.姐图所示的百ml呈图申，输出n的喧为一一一一一·A " I ／：…···：t ：）！门』．． 』－：.；..，＿9.因C (x+I)2 +(y-2)2 =4关于勤y=2x-I 的晰、圆的施为·10.正方形ABCD 的边长为2，因O 内切子正方形ABCD,MN 为因0的一条动重径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM -PN 的取僵范围是一一一一一·2 2 11.双曲线C ：二：＿＿二－＝l 的左右El!!嘿为A,B ，以AB 为重自乍因O ,P 为双曲线右4 3年｜G;旦巳户N ／’《－＼＼、〉飞＼丁f 宫支上不同于El!!嘿B 的任一点，连接PA 交因。
江苏省苏锡常镇四市2019届高三一模考试数学试卷(有答案)
2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试卷一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A ∩B = ．答案：{}=0A B ⋂。
2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i )2 的虚部为 ．答案：2312()4i i =---，即虚部为-4。
3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 ．答案：()1,0。
4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的2 只球颜色相同的概率为 ．答案：12解析：232412C C =。
5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 ．答案：406、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 ．答案：7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=， 则实数a = ．答案：2log 3 解析：222133(1)1log 1log log 3222f a a a -=⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ． 答案：700127解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为76127002270012127x x x x x -+++==⇒=-。
9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ． 答案：2π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，圆柱的侧面积为224222r h rh πππ+≤=。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准
A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
2019-2020年高三一模考试数学文试题 含解析
天津市南开区xx 高三一模数学（文）试题【试卷综述】试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.【题文】第 Ⅰ 卷【题文】一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】（1）i 是虚数单位，复数=（ ）．（A ）–i （B ）i（C ）––i （D ）–+i【知识点】复数代数形式的乘除运算．B4【答案】【解析】A 解析：()()()()5225522925252529i i i i i i i i ----===-++-,故选A. 【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．【题文】（2）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数z=x –2y 的最小值是（ ）．（A ）0（B ）–6 （C ）–8（D ）–12【知识点】简单线性规划．E5 【答案】【解析】D 解析：由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，作出可行域如图，联立，解得，即C （﹣4，4），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于﹣4﹣2×4=﹣12．故选：D．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【题文】（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉(A∩B)，条件q：x∉(A∪B)，则p是q的（）．（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】【解析】C 解析：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C 【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题文】（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（）．（A）8+4（B）8+4（C）（D）8+2+2【知识点】由三视图求面积、体积．B4【答案】【解析】A 解析：由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，面积S=4，棱锥的高为2，故棱锥的侧面有两个是直角边长为2的等腰直角三角形，有两个是三边长为2，2，2的三角形，故棱锥的表面积为：4+2×+2×=8+4，故选：A．【思路点拨】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【题文】（5）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（）．（A）4x2–12y2=1 （B）4x2–y2=1（C）12x2–4y2=1 （D）x2–4y2=1【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】B 解析：∵双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–y=0，∴，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线x=1上，∴c=1．联立3111a bìï=ïíï+=ïî,解得1434a b ì=ïïíï=ïî．∴此双曲线的方程为4x 2–y 2=1．故选B ． 【思路点拨】利用双曲线的渐近线的方程可得，再利用抛物线的准线x=1=c 及c 2=a 2+b 2即可得出．【题文】（6）函数y=log 0.4(–x 2+3x+4)的值域是（ ）．（A ）(0，–2]（B ）[–2，+∞) （C ）(–∞，–2] （D ）[2，+∞)【知识点】函数的值域．B1【答案】【解析】B 解析：；∴有；所以根据对数函数log 0.4x 的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B ．【思路点拨】先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．【题文】（7）已知函数f (x )=sin ωx –cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f (x )的图象向左平移个单位得到函数y=g (x )的图象，则y=g (x )是减函数的区间为（ ）．（A ）(–，0) （B ）(–，)（C ）(0，) （D ）(，)【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．B4 【答案】【解析】D 解析：∵函数f （x ）=sin ωx ﹣cos ωx=2sin （ωx ﹣），又∵函数f （x ）=sin ωx ﹣cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于=， 故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f （x ）=2sin （2x ﹣），将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位可得y=g （x ）=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x 的图象，令+2k π≤2x ≤+2k π，即+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，故函数y=g （x ）的减区间为[+k π，+k π]，k ∈Z ，当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间，又∵（，）⊆[，]，故选：D ．【思路点拨】由已知可求出函数f （x ）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g （x ）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．【题文】（8）已知函数f (x )=|mx |–|x –1|（m ＞0），若关于x 的不等式f (x )＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）．（A ）0＜m ≤1 （B ）≤m ＜（C ）1＜m ＜ （D ）≤m ＜2【知识点】函数的零点与方程根的关系B4【答案】【解析】B 解析：f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x﹣1|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式f（x）＜0的解集中的3个整数解为0，﹣1，﹣2；故只需使，解得，≤m＜；故选：B．【思路点拨】f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x﹣1|的图象，由数形结合求解即可．2019-2020年高三一模考试数学文试题含解析【题文】二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
2018~2019学年常州市高三上学期期末考试数学
2019 届高三模拟考试试卷(八)数学 (满分 160分，考试时间 120分钟 ) 2019.1一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1.已知集合 A＝ {0 ， 1} ， B＝ { － 1， 1} ，则 A∩B＝Ｗ .2.已知复数 z 满足 z(1＋ i)＝ 1－ i(i 是虚数单位 )，则复数 z＝Ｗ .3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数为9.1， 9.3，x， 9.2， 9.4，且这 5 个分数的平均数为9.3，则实数x＝Ｗ.值为4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出Ｗ.y 的值为1，则输入的实数x 的Read xIf x≥ 1 Then2y← x － 2x－ 2Elsey← x＋ 1x－ 1End IfPrint y(第4 题 )5. 函数 y＝1－ ln x的定义域为Ｗ.6. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课程，则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为Ｗ .x2y27. 已知双曲线C：a2－ b2＝ 1(a>0 ，b>0) 的离心率为2，直线x＋y＋ 2＝ 0 经过双曲线 C 的焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为Ｗ .(第8 题 )8. 已知圆锥 SO，过 SO 的中点圆柱的下底面落在圆锥的底面上P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱 PO，(如图 )，则圆柱 PO 的体积与圆锥 SO 的体积的比值为Ｗ .y 1 x9. 已知正数 x， y 满足 x＋x＝ 1，则x＋y的最小值为Ｗ .10.若直线 kx－ y－ k＝ 0 与曲线 y＝e x(e 是自然对数的底数 )相切，则实数 k＝Ｗ.11. 已知函数 f(x)＝ sin(ωx ＋ φ)( ω>0， φ ∈ R )是偶函数，点 (1， 0)是函数 y ＝f(x)图象的对称中心，则 ω最小值为Ｗ .12. 已知平面内不共线的三点→ →O ，A ，B ，满足 |OA|＝1，|OB|＝ 2，点 C 为线段 AB 的中点，∠ AOB 的平分线交线段→→Ｗ .AB 于点 D .若 |OC|＝ 3，则 |OD|＝213. 过原点的直线l 与圆 x 2＋y 2＝ 1 交于 P ， Q 两点，点 A 是该圆与 x 轴负半轴的交点，以 AQ 为直径的圆与直线l 有异于 Q 的交点 N ，且直线 AN 与直线 AP 的斜率之积等于 1，那么直线 l 的方程为 Ｗ.14. 若数列 { a n } ，{ b n } 满足 b n ＝ a n ＋ 1＋ (－ 1)n a n (n ∈ N * )，且数列 { b n } 的前 n 项和为 n 2.已知数列 { a n － n} 的前 2 018 项和为 1，则数列 { a n } 的首项 a 1＝Ｗ.二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .15. (本小题满分 14 分 ) 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1 中，点 M ，N 分别是棱 AB ， CC 1 的中点 .求证：(1) CM ∥平面 AB 1N ；(2) 平面 A 1BN ⊥平面 AA 1B 1B.16. (本小题满分 14 分 )在△ ABC 中， a ， b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且 b 2－23 b csin A ＋c 2＝ a 2.3(1) 求角 A 的大小；(2) 若 tan Btan C ＝ 3，且 a ＝ 2，求△ ABC 的周长 .17. (本小题满分 14 分 )x2 y2y2x2在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 1：a 2＋b 2＝ 1 的焦点在椭圆C 2： a 2＋ b 2＝ 1 上，其中6 6)是椭圆 C 1， C 2 位于第一象限的交点 .a>b>0，且点 ( 3 ，3(1) 求椭圆 C 1， C 2 的标准方程；(2) 过 y 轴上一点 P 的直线 l 与椭圆 C 2 相切，与椭圆→ 3 →C 1 交于点 A ， B ，已知 PA ＝ PB ，5求直线 l 的斜率 .18.(本小题满分 16 分 )某公园要设计如图①所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图②所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴 AF ＝BE＝1.6m，两根竖轴 CH ＝DG ＝ 1.2m，记景观窗格的外框 (图②实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为 l m.(1)2π，且两根横轴之间的距离为0.6 m，求景观窗格的外框总长度；若∠ ABC＝3(2)由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 5 m，当景观窗格的面积 (多边形ABCDEFGH 的面积 )最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与 BC 的长度 .19.(本小题满分 16 分 )已知数列 { a n} 中， a1＝ 1，且 a n＋1＋ 3a n＋ 4＝0， n∈N* .(1) 求证： { a n＋1} 是等比数列，并求数列{ a n} 的通项公式；(2)数列 { a n} 中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分 16 分 )已知函数m(x)＝ x2，函数 n(x)＝ aln x＋1(a∈R ).(1)若 a＝ 2，求曲线 y＝ n(x)在点 (1，n(1)) 处的切线方程；(2)若函数 f( x)＝m(x)－ n(x) 有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围；(3)若函数 g(x)＝ n(x)－ 1＋ e x－ ex≥ 0 对 x∈ [1，＋∞ )恒成立，求实数 a 的取值范围 .(e 是自然对数的底数， e≈ 2.718 28⋯ )2019 届高三模拟考试试卷(八 )数学附加题 (满分 40 分，考试时间30 分钟 )21. 【选做题】在 A ，B ， C三小题中只能选做 2 题，每小题10 分，共20 分 .若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. ( 选修 42：矩阵与变换)1 x已知点(1， 2)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点(7， 6).求：2 y(1) 矩阵A；(2) 矩阵A的特征值及对应的特征向量.B. ( 选修 44：坐标系与参数方程 )在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线2x＝ 1＋2 t，πl 的参数方程为1(t 为参数 )，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝ 2 2sin(θ＋4 )，求直线y＝2tl 被曲线 C 所截的弦长 .C. ( 选修 45：不等式选讲)已知 a>0 ，b>0 ，求证： a＋ b＋1≥ab＋a＋ b.【必做题】第 22，23题，每小题10 分，共20 分 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在空间直角坐标系C，A 分别在 x 轴和 y 轴上，且Oxyz 中，已知正四棱锥PABCDAB＝2，点 M 是棱 PC 的中点 .的高OP＝ 2，点B， D和(1)求直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值；(2)求二面角 APBC 的余弦值 .23. 是否存在实数a，b， c，使得等式 1·3·5＋ 2·4·6＋⋯＋ n(n＋ 2)(n＋ 4)＝n（n＋1）(an24＋ bn＋c)对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a， b，c 的值；若不存在，请说明理由 .2019 届高三模拟考试试卷 (八)(常州 )数学参考答案及评分标准33 2π1. {1}2. － i3. 9.54. 35. (0， e]6. 57. y ＝ ± 3x8. 89. 4 10. e11. 22 12. 313. y ＝ ± 3x 14.3215. 证明： (1) 令 AB 1 交 A 1B 于点 O ，连结 OM ， ON ，在正三棱柱 ABCA 1B 1 C 1 中， BB 1 ∥CC 1， BB 1＝ CC 1，且四边形 AA 1B 1B 是平行四边形，所以 O 为 AB 1 的中点 .1因为 M 为 AB 的中点，所以OM ∥BB 1，且 OM ＝ 2BB 1.因为 N 为 CC 1 的中点， CN ＝12CC 1，所以 OM ＝ CN ，且 OM ∥ CN ，所以四边形 CMON 是平行四边形， (5 分 ) 所以 CM ∥ON.又 ON? 平面 AB 1N ， CM ?平面 AB 1N ，所以 CM ∥平面 AB 1 N.(7 分 )(2) 在正三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中， BB 1⊥平面 ABC ， CM ? 平面 ABC ，所以 BB 1⊥ CM .(9 分 ) 又 CA ＝ CB ， M 为 AB 的中点，所以 CM ⊥ AB. 又由 (1)知 CM ∥ON ，所以 ON ⊥ AB ， ON ⊥ BB 1.因为 AB ∩ BB 1＝ B ， AB ， BB 1? 平面 AA 1B 1 B ，所以 ON ⊥平面 AA 1B 1B.(12 分 ) 又 ON? 平面 A 1BN ，所以平面A 1BN ⊥平面 AA 1B 1 B.(14 分 )16. 解： (1) 由余弦定理得2222－ 2 3 2 2 a ＝ b － 2bccos A ＋ c ，又 b 3 bcsin A ＋ c ＝ a ，22223 22 3 所以 b － 2bccos A ＋ c ＝ b －3 bcsin A ＋ c ，即 2bccos A ＝ 3 bcsin A.(3 分 )2 2从而 sin A ＝ 3cos A ，若 cos A ＝0，则 sin A ＝0，与 sinA ＋ cos A ＝1 矛盾，所以 cos A ≠π0，所以 tan A ＝ 3.又 A ∈ (0， π )，所以 A ＝ 3 .(7 分 ) (2) tan B ＋ tan C ＝ tan(B ＋ C)＝ tan(π－ A)＝ tan 2π＝－ 3.(9 分 )1－tan Btan C 3 又 tan Btan C ＝3，所以 tan B ＋ tan C ＝－ 3×(－2) ＝2 3，解得 tan B ＝ tan C ＝ 3.(11 分 )又 B ， C ∈ (0， π )，所以 B ＝ C ＝π π，所以△ ABC 是正三角形 .3 .因为 A ＝ 3由 a ＝ 2 得△ ABC 的周长为 6.(14 分)x2y2c217. 解： (1) 椭圆 C 1： a 2＋ b 2＝ 1 的焦点坐标为 ( ±c ， 0)，代入椭圆 C 2 的方程得 b 2＝ 1，点 ( 6 6 C 1， C 2 的方程得 C 1： 2 2 3 ，3 )的坐标代入椭圆 3a 2＋3b 2＝ 1，2 cb 2＝ 1，所以a 2＝ b 2＋ c 2， 解得 a 2＝ 2， b 2＝c 2＝1.(3 分 )223a 2＋ 3b 2＝ 1，所以椭圆 C 1， C 2 的标准方程分别为 x 2＋y 2＝1， y 2＋ x 2＝ 1.(5 分 )2 2(2) 由题意知直线l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，m)，y22（kx ＋m ） 222＋ x＝ 1，＋x 2＝1，即 (1＋ k)x 2＋ kmx ＋ m－ 1＝0，联立 2消去 y 得22 2y ＝ kx ＋m ，22＝ k 2m 2－ 4(1＋ k )(m－ 1) ＝0，即 k 2＋ 2－ m 2＝ 0.(7 分 ) 2 22x ＋ y 2＝ 1，2联立 2消去 y 得 x＋ (kx ＋ m)2 ＝1，即 (1＋ k 2)x 2＋ 2kmx ＋ m 2－ 1＝0. y ＝ kx ＋m ，22因为直线 l 与椭圆 C 1 相交，有＝ 4k 2m 2－ 4(1＋ k 2)(m 2－ 1)＝ 4(k 2－ 1m 2＋ 1)＞ 0 (*) ，2 2 2－ 2km ± 4（ k 2－1m 2＋ 1） x 1，2＝2 2.(9 分 )1＋ k 2）2（ 2→3 →3 因为 PA ＝ 5PA ，即 (x 1， y 1－ m)＝5(x 2， y 2－ m)，有 5x 1＝ 3x 2，所以 － 2km ＋ 4（ k 2－ 1m 2＋ 1）－ 2km － 4（ k 2－ 1m 2＋1） 52 2＝ 32 21＋ k2）1＋ k2）2（ 22（ 2－ 2km －21 2 1－ 2km ＋21 214（ k－ m ＋ ）4（k－ m＋ ）或 52 2 ＝ 3221＋ k 2）1＋k2） ，2（2（22化简得 km ＝ 42 1 2 121 2 1 2 2 2121).(12 分 ) k － m ＋ 或 km ＝－ 4 k－ m ＋，即 k m ＝ 16(k－ m ＋22222 2因为 k 2＋ 2－ m 2＝ 0，解得k 2＝ 2， k 2＝ 4，m 2＝4或符合 (*) 式，m 2＝6，所以直线 l 的斜率为 ± 2或 ±2.(14 分 )18. 解： (1) 记 CH 与 AF ， BE 的交点为 M ， N ，在△ BCN 中，由∠ ABC ＝ 2π π，其中 CN ＝ HM ＝1 (1.2－ 0.6)＝ 0.3(m) ，可得∠ CBN ＝3 6 2所以 BC ＝CN＝ 0.3 ＝3(m) ， BN ＝CN ＝ 0.3 ＝ 3 3 (m).(2 分 )sin ∠ CBNπ5tan ∠ CBNπ10sin 6tan 6所以 CD ＝ BE － 2BN ＝1.6－33＝ 8－33，则5 5AB ＋ BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋ FG ＋ GH ＋ HA ＝ 2AB ＋ 2CD ＋ 4BC ＝ 1.2 ＋ 16－ 6 3 ＋ 12 ＝5 5 34－6 35(m).(5 分 )答：景观窗格的外框总长度为34－ 6 35(m).(6 分)(2) AB ＋ BC ＋ CD ＋DE ＋ EF ＋ FG ＋ GH ＋ HA ＝ 2AB ＋ 2CD ＋ 4BC ≤ 5，设∠ CBN ＝ α，α ∈ (0， π2 )， BC ＝ r ，则 CN ＝ r sin α ， BN ＝ r cos α， 所以 AB ＝ CH － 2CN ＝ 1.2－ 2rsin α ， CD ＝ BE － 2BN ＝ 1.6－ 2rcos α ，所以 2(1.2－2r sin α )＋ 2(1.6－ 2r cos α )＋ 4r ≤ 5，即 4r (sin α ＋ cos α － 1)≥3 .(8 分 )5设 景 观 窗 格 的 面 积 为S ， 有S ＝ 1.2× 1.6 － 2r 2sin α cos α ≤48－259sin α cos α3200（ sin α＋ cos α － 1） 2[当且仅当4r (sin α ＋ cos α － 1)＝ 5时取等号 ].(9 分 )令 t ＝sin α＋ cos α ∈ (1， 2]，则 sin αcos α ＝ t 2－ 12 .t 2－1所以 S ≤48－9 2 2＝ 48－ 9 (1＋ 2 )，其中 1＋ 2≥ 1＋ 2 (当且仅当 t ＝2，25 200（ t － 1） 25 400 t － 1 t －1 2－ 1π即 α ＝ 4 时取等号 ).(12 分 )所以 S ≤48－ 9248－ 9248－ 9741－ 9 2，25 400(1＋t － 1)≤25400(1＋2－ 1 )＝ 25 400(3＋ 22)＝400 200即 S ≤ 741 9 23π时，取等号 ] ，400－200 [ 当且仅当4r (sin α ＋ cos α － 1)＝ 5且 α＝4 所以当且仅当r ＝3（2＋1）且 α＝ π时， S 取到最大值 .(15分 )204答 ： 当 景观 窗 格 的面 积最 大 时 ，此 景 观 窗格 的设 计方 案中 ∠ABC ＝3π且 BC ＝43（ 2＋ 1）20m.(16 分 )19. (1) 证明： 由 a n ＋1＋ 3a n ＋ 4＝ 0 得 a n ＋1＋ 1＝－ 3(a n ＋1) ，n ∈ N *.(2 分 )其中 a 1＝ 1，所以 a 1＋ 1＝ 2≠ 0，可得 a n ＋ 1≠ 0，n ∈ N *.(4 分 )a n ＋1 ＋1*所以 a n ＋ 1 ＝－ 3，n ∈ N ，所以 { a n ＋ 1} 是以 2 为首项，－ 3 为公比的等比数列 .(6 分)所以 a n ＋ 1＝2( －3) n － 1，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 2(－ 3)n － 1， n ∈ N *.(8 分 )(2) 解： 若数列 { a n } 中存在三项 a m ， a n ， a k (m ＜ n ＜k)符合题意，其中 k － n ，k － m ，n － m都是正整数， (9 分)分以下三种情形：① a m 位于中间，则 2a m ＝ a n ＋ a k ，即 2[2( － 3)m － 1－ 1]＝ 2(－ 3)n － 1－ 1＋ 2(－ 3)k －1－ 1，所以 2(－3) m＝ (－ 3)n＋ (－ 3)k，两边同时除以 (－ 3)m，得 2＝(－ 3)n －m＋ (－ 3)k － m是 3 的倍数，舍去；② a n 位于中间，则 2a n ＝ a m ＋a k ，即 2[2( －3) n － 1－ 1]＝ 2(－ 3)m － 1－ 1＋2(－ 3) k － 1－1，所以 2(－ 3)n＝ (－ 3)m＋ (－3) k，两边同时除以 (－ 3)m，得 2(－ 3)n －m＝ 1＋ (－ 3)k － m，即 1＝ 2(－ 3)n － m － (－ 3)k － m是 3 的倍数，舍去；③ a k 位于中间，则 2a k ＝ a m ＋ a n ，即 2[2( － 3)k － 1－ 1]＝ 2(－ 3)m － 1－ 1＋ 2(－ 3)n － 1－ 1，所以 2(－ 3)k＝ (－3) m＋ (－ 3)n，两边同时除以 (－3) m，得 2(－ 3)k － m＝ 1＋ (－ 3)n － m，即 1＝ 2(－ 3)k － m－ (－ 3)n － m是 3 的倍数，舍去 .(15 分 ) 综上可得，数列 { a n } 中不存在三项满足题意 .(16 分 )20. 解： (1) 当 a ＝ 2 时， n( x)＝ 2ln x ＋1，∴ 2，∴ n ′ (1)＝ 2.n ′( x)＝ x又 n(1) ＝1，∴ 切线的方程为 y － 1＝ 2(x － 1)，即 y ＝ 2x － 1.(3 分 )(2) f(x) ＝x 2－aln x － 1，定义域为 (0，＋∞ )，其图象是一条不间断的曲线 .f ′ (x)＝ 2x － a ＝ 2－ a2x ，x x ① 若 a ≤ 0，则 f ′(x)＞ 0 对 x ∈ (0，＋∞ )恒成立，∴ y ＝ f(x)在 (0，＋∞ )上单调递增 .又 f(1)＝ 0，∴ y ＝ f(x)在(0，＋∞ )上只有一个零点，符合题意.② 若 a ＞ 0，令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝a或 x ＝－a22(舍去 ).xaa a(0，2)2 (2，＋∞ )f ′(x)－＋f(x)极小值 f(a2)1° 若a＞1，即 a ＞2，此时 a ＞a，则 f(a)＜ f(1) ＝0， f(a)＝ a 2－ aln a － 1.22 2令 F2－ aln a － 1，a ≥ 2，则 F ′1(a)＝a 1 (a)＝ 2a － ln a － 1，1令 F 2(a)＝2a － ln a － 1，则 F ′2(a)＝ 2－ a ＞ 0 对 a ∈ [2，＋∞ )恒成立，∴ F 2(a)＝ 2a － ln a －1 在 [2，＋∞ ) 上单调递增，∴ F 2(a)≥ F 2(2)＝ 3－ ln 2 ＞ 0，即 F ′对 a ∈ [2，＋∞ )恒成立，1(a)>0∴ F 1(a)＝ a 2－ aln a － 1 在[2，＋∞ )上单调递增，∴ F 1(a)≥ F 1(2)＝ 3－ 2ln 2>0 ，即 f( a) ＞0.aa∵ f(2)＜ 0，且函数 f(x)在 ( 2，＋∞ )上单调递增，∴ 函数 f(x)在 (a，＋∞ )上有且只有一个零点 .2而函数 f(x) 在(0，a2)上单调递减，且有一个零点x ＝ 1，故函数 f(x) 在(0，＋∞ )上有两个零点，不符题意，舍去.2°若a＝ 1，即 a ＝ 2，则函数 f(x)在 (0， 1)上单调递减，∴f(x)＞ f(1) ＝ 0，2函数 f( x)在 (1，＋∞ )上单调递增，∴f(x)＞ f(1) ＝ 0，故函数 f(x) 在(0，＋∞ )上有且只有一个零点，适合题意.3°若a＜ 1，即 0＜ a ＜ 2，此时 0＜ e －1＜ e 0＝ 1， 0＜a＜ 1.2a2∵ 函数 f(x)在 (a，＋∞ )上单调递增，∴ f(a＝ 0.22) ＜f(1)又 f(e －1a )＝e － 2a ＞ 0，∴ 函数 f(x)在 (0， 1)内必有零点，又 1 是函数 f(x)的零点，故不符题意，舍去 .(9 分 )综上， a ≤0 或 a ＝ 2.(10 分 )(3) 当 x ≥1 时， g(x)＝ aln x ＋e x－ ex.xx令 G(x)＝ e － ex ， x ≥ 1，则 G ′(x)＝ e －e ≥ 0 对 x ∈ [1，＋∞ )恒成立，① 若 a ≥ 0，则当 x ≥ 1 时， ln x ≥0，∴ g(x)＝ aln x ＋ e x－ ex ≥ 0 恒成立，符合题意 .(11分 )② 若 a ＜ 0， g ′ (x)＝ a＋ e x－ e ，令 xH (x)＝ a＋ e x － e ， x ≥ 1，则 xH ′(x)＝ e x－ a2＞ 0 恒成立， x∴ H (x)＝ax ＋e x－ e 在 [1，＋∞ )上单调递增，且 H (1)＝ a ＜ 0.∵ a ＜ 0，∴ 1－ a ＞1，∴ G(1－ a)＞ G(1)＝ 0，即 e 1－a＞ e(1－ a).(12 分 )∴ H (1－ a)＝ a＋ e 1－ a－ e ＞ a ＋ e － ea － e ＝a－ea ＝1＋(1 －a)－ 2－ (e － 1)a.1－ a1－ a 1－ a 1－ a∵ a ＜ 0， 1－ a ＞ 1，∴1＋ (1－ a)＞ 2， (e － 1)a ＜0，∴ H (1－ a)＞ 0.1－ a∵ H (x)＝ a＋e x－ e 在 [1，＋∞ )上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，且H (1)＝ a ＜x0，∴ 存在唯一的 x 0∈ (1， 1－ a)，使 H(x 0 )＝ 0，即 g ′(x 0)＝ 0，当 x ∈ (1， x 0)时， g ′ (x)＜ 0，∴ 函数 y ＝ g(x)在 (1， x 0)上单调递减，此时 g(x)＜ g(1) ＝ 0，不符合题意，舍去 .(15 分 )综上， a ≥ 0.(16 分 )2019 届高三模拟考试试卷 (八)(常州 ) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1)1 x 1 71＋ 2x ＝ 7， x ＝ 3， 1 3 由题意y2＝，即 解得 所以 A ＝2 .(3262＋ 2y ＝ 6， y ＝ 2， 2分 )(2) f(λ)＝λ－ 1 － 3 2－ 2＝ (λ－ 1)( λ－2) －6＝ λ－ 3λ－ 4，λ－ 2令 f(λ)＝ 21， λ 2＝ 4.(5 分 )0，得 λ－ 3λ－4＝ 0，解得 λ＝－1－ 2x － 3y ＝0， x ＝ 3， 所以属于 λ＝－ 1 的一个特征向量为 3当 λ＝－ 1 时， 取 ； 1－ 2x － 3y ＝0， 1－ 2y ＝－ 2，3x － 3y ＝0，取x ＝ 1， 1当 λ＝ 4 时，所以属于 λ＝ 4 的一个特征向量为.(9 分 )2－ 2x ＋2y ＝ 0，y ＝ 1，21故矩阵 A 的特征值为 λ＝－1 3 11， λ 2＝ 4，对应的特征向量为，.(10 分)－2 1B. 解：直线 l 的普通方程为 x － 2y －1＝ 0，曲线 C 的直角坐标方程 ( x －1)2 ＋ (y －1) 2＝ 2，(4 分 )所以曲线 C 是圆心为 C(1， 1)，半径 r ＝ 2的圆 .(6 分 )所以圆心 C(1， 1)到直线 l 的距离为 d ＝|1－ 2－ 1|＝ 21＋（－.(8 分 )2）23所以直线 l 被曲线 C 所截的弦长为2 r 2－d 2＝ 22－ 2＝ 433 3 .(10 分 )C. 证明： 因为 a ＞ 0， b ＞ 0，由柯西不等式可得 (a ＋ b ＋ 1)(b ＋ 1＋ a)≥ (ab ＋ a ＋ b)2，当且仅当a ＝b ＝ 1时取等号，所以 (a ＋ b ＋ 1)2≥ ( ab ＋ a ＋ b)2.b 1 a因为 a ＋ b ＋ 1＞ 0， ab ＋ a ＋ b ＞0，所以 a ＋ b ＋ 1≥ ab ＋ a ＋ b.(10 分)22. 解： (1)记直线 AM 与平面 PAB 所成角为 α，A(0，－ 1， 0)， B(1， 0，0)， C(0， 1，0)， P(0，0， 2)，1→ →→ 3M (0，2， 1)，则 AB ＝ (1， 1，0)， PA ＝(0，－ 1，－ 2)， AM ＝ (0，2， 1).→ x ＋ y ＝0，n ·AB ＝ 0，即 取 n ＝ (2，－2， 设平面 PAB 的法向量为 n ＝ (x ，y ，z)，所以 →－ y －2z ＝ 0，＝0，n ·PA1)；→→24 13所以 sinn ·AM＝＝ ， (5 分 )α ＝ |cos 〈 n ， AM 〉 |＝→3913|n|·|AM |3× 2即直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值为4 1339 .(6 分 )→ ＝ →(2) 设平面 PBC 的法向量 n 1＝( x ，y ， z)， BC (－ 1， 1，0) ，PB ＝ (1， 0，－ 2).→由n 1·BC ＝0，即 －x ＋y ＝ 0， 取 n 1＝ (2，2，1)，所以 cos 〈n ，n 1〉＝ n · n 1 ＝ 1 ＝→x －2z ＝ 0，|n|× |n 1|3×3n 1· PB ＝0，1 .(9 分 )91由图可知二面角APBC 的余弦值为－9.(10 分 )23.解： 在 1·3·5＋ 2·4·6＋⋯＋ n(n ＋2)( n ＋4) ＝n （ n ＋ 1） (an 2＋ bn ＋ c)中， 42 6 (4a ＋ 2b ＋ c)；令 n ＝ 3，得 168＝ 12令 n ＝ 1，得 15＝(a ＋ b ＋ c)；令 n ＝ 2，得 63＝ 4 (9a44a ＋b ＋c ＝ 30，＋3b ＋c)，即 4a ＋ 2b ＋ c ＝ 42， 解得9a ＋ 3b ＋ c ＝ 56，下面用数学归纳法证明：a ＝ 1，b ＝ 9， (3 分 )c ＝ 20.等式 1·3·5＋ 2·4·6＋⋯＋ n(n ＋ 2)(n ＋ 4)＝n （n ＋1）(n2＋ 9n ＋ 20)对于一切正整数 n 都成4立 .当 n ＝ 1 时，等式成立；假设当 n ＝k 时，等式成立，即1· 3· 5＋ 2·4·6＋⋯＋ k(k ＋ 2)(k ＋ 4)＝k （ k ＋1）24(k ＋ 9k ＋ 20).(4 分 )当 n ＝ k ＋ 1 时，则1 ·3· 5＋ 2·4·6＋⋯＋ k(k ＋ 2)(k ＋ 4)＋ (k ＋ 1)( k ＋ 3)(k ＋ 5)＝ k （ k ＋ 1） 2＋ 9k ＋ 20)＋ (k ＋4 ( k1)(k ＋ 3)( k ＋ 5) ＝ 1k(k ＋ 1)(k ＋ 4)(k ＋ 5) ＋ ( k ＋ 1)(k ＋ 3)(k ＋ 5) ＝ 12＋ 8k ＋ 12) ＝4 4 (k ＋ 1)(k ＋ 5)( k（k ＋ 1）（ k ＋ 1＋ 4） [( k ＋ 1＋ 1)(k ＋ 1＋ 5)] ＝ （k ＋ 1） [（ k ＋ 1）＋ 1][( k ＋ 1)2 ＋ 9(k ＋ 1) ＋ 20] ，44即等式对 n ＝ k ＋ 1 也成立 .(8 分 )n （ n ＋1）2综上可得， 等式 1·3·5＋ 2·4·6＋⋯＋ n( n ＋ 2)( n ＋4)＝(n ＋ 9n ＋ 20)对于一切正整数 n 都成立 .a ＝ 1，所以存在实数 a ， b ， c 符合题意，且 b ＝ 9， (10 分 ) 1， 4， 8，11－12， 15c ＝ 20.。
2019-2020学年人教A版广东省东莞市高三第一学期期末文科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三第一学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．35．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm29．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣112．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040二、填空题13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为．14．已知，则＝．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为．三、解答题（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．解：∵，∴，∴．故选：A．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．3【分析】利用等差数列通项公式求出a1+3d＝3，再由S7＝＝7（a1+3d），能求出结果．解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，∴S7＝＝7（a1+3d）＝21．故选：B．5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＝，由双曲线的离心率公式，计算可得所求值．解：P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝x上，可得＝，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝，故选：D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【分析】设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S．解：设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S≈5cm2．故选：C．9．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．【分析】根据三角函数的图象平移得出函数g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称轴方程即可．解：函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝sin[（x﹣）﹣]＝sin（x﹣）＝﹣cos x的图象，则函数y＝g（x）＝﹣cos x；所以函数g（x）的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z；即x＝2kπ，k∈Z；令k＝1，得x＝2π，所以x＝2π是g（x）的一条对称轴方程．故选：C．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040【分析】分析可知，函数f（x）与g（x）均关于（1，0）对称，根据对称性即可得解．解：∵f（x）＝﹣f（2﹣x），∴f（x）关于（1，0）对称，∵g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），∴g（2﹣x）＝a（e1﹣x﹣e x﹣1）＝﹣a（e x﹣1﹣e1﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）关于（1，0）对称，∵方程f（x）＝g（x）有2019个解，即y＝f（x）与y＝g（x）有2019个交点，∴必有一个交点的横坐标为1，且其余2018个交点关于关于（1，0）对称，共1009对，而且每对横坐标之和为2，∴．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为2018 ．【分析】推导出f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，当a ≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，由此能求出a的值．解：∵函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，∴f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，无解，当a≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，解得a＝2018．故答案为：2018．14．已知，则＝．【分析】利用换元法结合三角函数的诱导公式进行化简即可．解：设θ＝α+，则sinθ＝，α＝θ﹣，则＝cos（θ﹣﹣）＝cos（θ﹣）＝cos（﹣θ）＝sinθ＝，故答案为：15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为4π．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝2sin C cos B，由sin C≠0，可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可得B＝，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求R的值，进而即可得解△ABC外接圆的面积．解：∵b cos A+a cos B＝2c cos B，∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos B，∴sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得cos B＝，∵B∈（0，π），∴可得B＝，∵，∴设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝4，可得R＝2，∴△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π．故答案为：4π．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为π．【分析】连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，由此能求出结果．解：连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，设正四棱锥的底面正方形的边长为x，则2x2＝4R2，解得x＝，∴这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为：＝π．故答案为：π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用已知条件和定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）因为{a n}是正数等比数列，且a1＝1，a2+a3＝12，所以，即q2+q﹣12＝0，分解得（q+4）（q﹣3）＝0，又因为a n＞0，所以q＝3，所以数列{a n}的通项公式为；（2）因为{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n﹣a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，所以，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（30+1）+（31+3）+…+（3n﹣1+2n﹣1），＝（30+31+…+3n﹣1）+（1+3+…+2n﹣1），＝，＝．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．【分析】（1）直接根据资料画出发芽数y与温差x的散点图即可；（2）先求出相关系数r，判断r是否大于0.75，再说明建立模型的合理性；（3）直接根据条件求出线性回归方程，再将x＝8代入回归方程中计算出发芽数．解：（1）散点图如图所示（2）≈＝，∵y与x的相关系数近似为0.952＞0.75，说明y与x的线性相关程度较强，从而建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型是合理的．（3）①由最小二乘估计公式，得≈＝，，∴，②当x＝8时，（颗），∴估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗，19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．【分析】（1）由已知可得AD⊥AP，AD⊥AB，得到AD⊥平面ABP，则AD⊥BM；再证明BM ⊥AP；由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADP，从而得到BM⊥DP；（2）取BP中点N，连结DN，由题意AD⊥平面ABP，由V M﹣BDP＝V D﹣BMP，即可求得点M到平面BDP的距离h．【解答】（1）证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AP，AD⊥AB，又AP∩AB＝A，AP，AB⊂平面ABP，∴AD⊥平面ABP．∵BM⊂平面ABP，∴AD⊥BM；由已知得，AB＝AP＝BP＝2，∴△ABP是等边三角形，又∵点M是AP的中点，∴BM⊥AP；∵AD⊥BM，AP⊥BM，AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面ADP，∴BM⊥平面ADP，∵DP⊂平面ADP，∴BM⊥DP；（2）解：取BP中点N，连结DN，∵AD⊥平面ABP，AB＝AP＝AD＝2，∴，∴DN⊥BP，在Rt△DPN中，，∴，∵AD⊥平面ABP，∴，∵V M﹣BDP＝V D﹣BMP，∴，又，∴，即点M到平面BDP的距离为．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可求，（2）分离系数可得，对于x∈（2，4）恒成立，构造函数，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），结合导数与函数的性质可求．解：（1）由题得f'（x）＝e x﹣2a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有极值．②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减当x∈（ln2a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝ln2a时取到极小值，∵f（x）的极值为0，∴f（ln2a）＝0，∴e ln2a﹣2aln2a＝0即 2a（1﹣ln2a）＝0，∴，（2）由题得e x﹣2ax≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，∴对于x∈（2，4）恒成立，令，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），又，令G（x）＝e x x﹣e x﹣2x，则G'（x）＝e x x﹣2＞0在x∈（2，4）上恒成立，∴G（x）在（2，4）上单调递增，∴G（x）＞G（2）＝2e2﹣e2﹣4＝e2﹣4＞0，∴H'（x）＞0∴，在（2，4）上单调递增，∴，∴，21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．【分析】（1）m＝1时可求得x＝1与抛物线的交点P，Q的坐标，设在P处的切线方程，与抛物线联立用判别式为零求出斜率，进而求出在P处的切线方程，同理求出在Q处的切线方程，两式联立求出交点即N的坐标，证出N与点M关于原点O对称；（2）故G做GM⊥x轴交于M，求得M关于原点的对称点M'，则GM'为抛物线的切线，将直线GM'与抛物线联立可得判别式为零，证得直线GM'与抛物线相切．解：（1）解法一：证明：当m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2），设在点P处的切线的斜率为k（k≠0），联立得，由，得k＝1，故在点P处的切线方程为y＝x+1，同理，求得在点Q的切线方程为y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与点M关于原点O对称；解法二：m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2，由y2＝4x得，故或，所以在点P处的切线方程为y﹣2＝x﹣1即y＝x+1，在点Q处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与M关于原点O对称；（2）解法一：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，联立得，∵，所以y0y＝p（x+x0）与抛物线y2＝2px相切．解法二：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，由y2＝2px得，∴或，所以在点G（x0，y0）处的切线斜率为或故点G（x0，y0）处的切线方程为或，由得或所以在点G（x0，y0）处切线方程为，整理得，即y0y＝p（x+x0）．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．解：（1）圆C的方程可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝8，圆心为C（2，3），半径为，∴圆C的参数方程为（α为参数）直线l的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ＝﹣3，∵，∴直线l的直角坐标方程为x+y+3＝0．（2）：曲线C是以C（2，3）为圆心，半径为的圆，圆心C（2，3）到直线l：x+y+3＝0的距离，所以，此时直线PQ经过圆心C（2，3），且与直线l：x+y+3＝0垂直，k PQ•k l＝﹣1，所以k PQ＝1，PQ所在直线方程为y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1．联立直线和圆的方程，解得或当|PQ|取得最小值时，点P的坐标为（0，1）所以，此时点P的坐标为（0，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤1分别解不等式即可；（2）先由（1）得到f（x）的最大值s，然后利用基本不等式即可证明≥3成立．解：（1），①当x≤﹣1时，﹣3≤1恒成立，所以x≤﹣1；②当﹣1＜x＜2时，2x﹣1≤1，即x≤1，所以﹣1＜x≤1；③当x≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意；综上，不等式的解集为（﹣∞，1]．（2）证明：由（1）知f（x）max＝3＝s，于是，所以≥＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以．。
2019-2020学年江苏省常州市七年级(下)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省常州市七年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．数学课本一张纸的厚度大约是（）A．0.1mm B．1cm C．1dm D．1m2．下列计算中，正确的是（）A．a3×a＝a4B．（a3）2＝a5C．a+a＝a2D．a6÷a2＝a33．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（）A．2cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，5cmC．1cm，2cm，3cm D．2cm，3cm，6cm4．如果a＜b，那么下列不等式中，成立的是（）A．a+5＞b+5B．﹣2a＜﹣2b C．b﹣a＜0D．1﹣a＞1﹣b 5．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（）A．4B．6C．8D．106．在下列命题中，假命题的是（）A．平行于同一直线的两条直线平行B．过一点有无数条直线与已知直线垂直C．两直线平行，同旁内角互补D．有两个角互余的三角形是直角三角形7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．8．4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（）A．a＝1.5b B．a＝2b C．a＝2.5b D．a＝3b二.填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．计算：2x（x﹣3y+1）＝．10．因式分解：x2﹣4＝．11．某球形病毒颗粒直径约为0.0000001，将0.0000001用科学记数法表示为．12．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：．13．如图，点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，DE∥OB，交OA于点E，若∠AED ＝50°，则∠1＝°．14．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集是x＞1，则a的值为．15．已知2x﹣6y+6＝0，则2x÷8y＝．16．如图，AB∥CD，∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，若∠AEC＝80°，则∠AGC＝°．三、解答题（本大题共9小题，共68分.第17、19、20、22.24题每题8分，第18、21、23题每题6分，第25题10分）17．计算：（1）（π﹣3.14）0﹣（）﹣3+（﹣3）2；（2）（a﹣2b）2﹣（3a+2b）（2b﹣3a）．18．因式分解：（1）a2b﹣ab；（2）12m3n﹣3mn．19．解方程组或不等式组：（1）；（2）．20．已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：（1）（a+b）2；（2）a3b+ab3．21．如图，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠BED＝∠CFG，请问：FG与BC平行吗？说明理由．22．2020年初，由于新冠病毒的蔓延，口罩市场出现热销，小明的爸爸用18000元购进甲、乙两种型号的口罩，在自家药店销售，销售完后共获利3900元，进价和售价如表所示：甲种型号口罩乙种型号口罩价格型号进价（元/袋）2030售价（元/袋）2536（1）小明爸爸的药店购进甲、乙两种型号的口罩各多少袋？（2）由于需求量大，口罩很快售完，小明的爸爸决定再一次购进甲、乙两种型号的口罩共800袋．如果要使这800袋口罩全部售完后所得利润不低于4500元，那么至少需购进多少袋乙种型号的口罩？23．（1）比较x2+4与4x的大小：（用“＞”或“＝”或“＜”或“≥”或“≤”号填空）①当x＝1时，x2+44x；②当x＝2时，x2+44x；③当x＝﹣1时，x2+44x；④自己再任意取一些x的值，计算后猜想：x2+44x．（2）无论x取什么值，x2+4与4x总有这样的大小关系吗？请说明理由．24．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是．（填序号）（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是．（写出一个即可）（3）若方程2x﹣1＝x+2，x+5＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．25．【基本模型】：如图1，BO平分△ABC的内角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，试证明：∠BOC＝∠A；【变式应用】：（1）如图2，直线PQ⊥MN，垂足为点O，作∠PON的角平分线OE，在OE上任取一点A，在ON上任取一点B，连接AB，作∠BAE的角平分线AC，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点F，请问：∠F的大小是否随着点A，B位置的变化而变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其度数；（2）在（1）的基础上，若FC∥MN，则AB与OE有何位置关系？请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．数学课本一张纸的厚度大约是（）A．0.1mm B．1cm C．1dm D．1m解：∵0.1mm＜1cm＜1dm＜1m，且经测算数学课本的厚度约为10mm，∴数学课本一张纸的厚度大约是0.1mm．故选：A．2．下列计算中，正确的是（）A．a3×a＝a4B．（a3）2＝a5C．a+a＝a2D．a6÷a2＝a3解：A．a3•a＝a4，故本选项符合题意；B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；C．a+a＝2a，故本选项不合题意；D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意．故选：A．3．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（）A．2cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，5cmC．1cm，2cm，3cm D．2cm，3cm，6cm解：A、2+2＝4，不能组成三角形，故本选项不合题意；B、3+4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意；C、1+2＝3，不能组成三角形，故本选项不合题意；D、2+3＜6，不能组成三角形，故本选项不合题意．故选：B．4．如果a＜b，那么下列不等式中，成立的是（）A．a+5＞b+5B．﹣2a＜﹣2b C．b﹣a＜0D．1﹣a＞1﹣b 解：A、不等式a＜b两边都加上5可得a+5＜b+5，故本选项不合题意；B、不等式a＜b两边都乘以﹣2可得﹣2a＞﹣2b，故本选项不合题意；C、不等式a＜b两边都减去b可得a﹣b＜0，不等式a﹣b＜0都乘以﹣1可得b﹣a＞0，故本选项不合题意；D、不等式a＜b两边都都乘以﹣1可得﹣a＞﹣b，不等式﹣a＞﹣b两边都加上1可得1﹣a＞1﹣b，故本选项符合题意．故选：D．5．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（）A．4B．6C．8D．10解：多边形的内角和是：3×360＝1080°．设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝1080，解得：n＝8．即这个多边形的边数是8．故选：C．6．在下列命题中，假命题的是（）A．平行于同一直线的两条直线平行B．过一点有无数条直线与已知直线垂直C．两直线平行，同旁内角互补D．有两个角互余的三角形是直角三角形解：A、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；D、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；故选：B．7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故选：D．8．4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（）A．a＝1.5b B．a＝2b C．a＝2.5b D．a＝3b解：由题意可得：S2＝4×b（a+b）＝2b（a+b）；S1＝（a+b）2﹣S2＝（a+b）2﹣（2ab+2b2）＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣2b2＝a2﹣b2；∵S1＝S2，∴2b（a+b）＝a2﹣b2，∴2b（a+b）＝（a﹣b）（a+b），∵a+b＞0，∴2b＝a﹣b，∴a＝3b．故选：D．二.填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．计算：2x（x﹣3y+1）＝2x2﹣6xy+2x．解：2x（x﹣3y+1）＝2x2﹣6xy+2x．故答案为：2x2﹣6xy+2x．10．因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．11．某球形病毒颗粒直径约为0.0000001，将0.0000001用科学记数法表示为1×10﹣7．解：0.0000001＝1×10﹣7，故答案为：1×10﹣7．12．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：和为零的两数互为相反数．解：“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：和为零的两数互为相反数，故答案为：和为零的两数互为相反数．13．如图，点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，DE∥OB，交OA于点E，若∠AED ＝50°，则∠1＝25°．解：∵DE∥OB，∴∠AED＝∠AOB＝50°，∵点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，∴∠1＝∠AOC＝×50°＝25°．故答案为：25．14．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集是x＞1，则a的值为a＝5．解：由2x﹣a＞﹣3，得x＞，∵不等式2x﹣a＞﹣3的解集是x＞1，∴＝1，解得，a＝5，故答案为：5．15．已知2x﹣6y+6＝0，则2x÷8y＝．解：2x﹣6y+6＝0，2（x﹣3y）＝﹣6，x﹣3y＝﹣2，∴2x÷8y＝2x÷23y＝2x﹣3y＝2﹣3＝．故答案为：．16．如图，AB∥CD，∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，若∠AEC＝80°，则∠AGC＝140°．解：过G作GM∥AB，过E作EN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GM，EN∥AB∥CD，∴∠BAG＝∠AGM，∠MGC＝∠DCG，∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠NEC，∵∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，∴设∠GAF＝x°，∠FAE＝2x°，∠EAB＝4x°，∠GCF＝x°，∠FCE＝2x°，∠ECD ＝4x°，∴∠BAG＝7x°，∠GCD＝7x°，∠AEN＝4x°，∠NEC＝4x°，∴∠AGM＝7x°，∠MGC＝7x°，∠AEC＝8x°，∵∠AEC＝80°，∴8x＝80，∴x＝10，∴∠AGC＝14x°＝140°，故答案为：140．三、解答题（本大题共9小题，共68分.第17、19、20、22.24题每题8分，第18、21、23题每题6分，第25题10分）17．计算：（1）（π﹣3.14）0﹣（）﹣3+（﹣3）2；（2）（a﹣2b）2﹣（3a+2b）（2b﹣3a）．解：（1）（π﹣3.14）0﹣（）﹣3+（﹣3）2＝1﹣8+9＝2；（2）（a﹣2b）2﹣（3a+2b）（2b﹣3a）＝a2﹣4ab+4b2﹣（4b2﹣9a2）＝a2﹣4ab+4b2﹣4b2+9a2＝10a2﹣4ab．18．因式分解：（1）a2b﹣ab；（2）12m3n﹣3mn．解：（1）原式＝ab（a﹣1）；（2）原式＝3mn（4m2﹣1）＝3mn（2m+1）（2m﹣1）．19．解方程组或不等式组：（1）；（2）．解：（1），①×2得：2x+4y＝0③，③﹣②得：7y＝﹣7，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：x﹣2＝0，解得：x＝2，方程组的解为；（2），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＞1，不等式组的解集为：1＜x＜2．20．已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：（1）（a+b）2；（2）a3b+ab3．解：（1）原式＝（a﹣b）2+4ab＝52+4＝29；（2）原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a﹣b）2+2ab]＝1×（25+2）＝27．21．如图，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠BED＝∠CFG，请问：FG与BC平行吗？说明理由．解：FG∥BC，理由是：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴DE∥CF，∴∠BED＝∠BCF，∵∠BED＝∠CFG，∴∠CFG＝∠BCF，∴FG∥BC．22．2020年初，由于新冠病毒的蔓延，口罩市场出现热销，小明的爸爸用18000元购进甲、乙两种型号的口罩，在自家药店销售，销售完后共获利3900元，进价和售价如表所示：甲种型号口罩乙种型号口罩价格型号进价（元/袋）2030售价（元/袋）2536（1）小明爸爸的药店购进甲、乙两种型号的口罩各多少袋？（2）由于需求量大，口罩很快售完，小明的爸爸决定再一次购进甲、乙两种型号的口罩共800袋．如果要使这800袋口罩全部售完后所得利润不低于4500元，那么至少需购进多少袋乙种型号的口罩？解：（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，则，解得：，答：小明爸爸的药店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩400袋；（2）设需购进a袋乙种型号的口罩，根据题意得，（25﹣20）（800﹣a）+（36﹣30）a≥4500．解这个不等式，得a≥500．答：至少需购进500袋乙种型号的口罩．23．（1）比较x2+4与4x的大小：（用“＞”或“＝”或“＜”或“≥”或“≤”号填空）①当x＝1时，x2+4＞4x；②当x＝2时，x2+4＝4x；③当x＝﹣1时，x2+4＞4x；④自己再任意取一些x的值，计算后猜想：x2+4≥4x．（2）无论x取什么值，x2+4与4x总有这样的大小关系吗？请说明理由．解：（1）①当x＝1时，x2+4＝1+4＝5，4x＝4，∴x2+4＞4x；②当x＝2时，x2+4＝4+4＝8，4x＝8，∴x2+4＝4x；③当x＝﹣1时，x2+4＝1+4＝5，4x＝﹣4，∴x2+4＞4x；④再任意取一些x的值，计算后可以得到：x2+4≥4x，故答案为：①＞；②＝；③＞；④≥；（2）x2+4﹣4x＝（x﹣2）2，∵（x﹣2）2≥0，∴x2+4≥4x．24．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是①．（填序号）（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是x ﹣3＝0．（写出一个即可）（3）若方程2x﹣1＝x+2，x+5＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．解：（1）解不等式组得﹣1＜x＜4，解①得：x＝1，﹣1＜1＜4，故①是不等式组的关联方程；解②得：x＝﹣，不在﹣1＜x＜4内，故②不是不等式组的关联方程；解③得：x＝4，不在﹣1＜x＜4内，故③是不不等式组的关联方程；故答案为：①；（2）解不等式组得：＜x＜因此不等式组的整数解可以为x＝3，则该不等式的关联方程为x﹣3＝0．故答案为：x﹣3＝0．（3）解方程2x﹣1＝x+2得，x＝3，解方程x+5＝2（x+）得，x＝4，不等式组，得：，由题意，x＝3和x＝4是不等式组的解，∴，解得m＜﹣10，∴m的取值范围为m＜﹣10．25．【基本模型】：如图1，BO平分△ABC的内角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，试证明：∠BOC＝∠A；【变式应用】：（1）如图2，直线PQ⊥MN，垂足为点O，作∠PON的角平分线OE，在OE上任取一点A，在ON上任取一点B，连接AB，作∠BAE的角平分线AC，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点F，请问：∠F的大小是否随着点A，B位置的变化而变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其度数；（2）在（1）的基础上，若FC∥MN，则AB与OE有何位置关系？请说明理由．【解答】【基本模型】证明：∵∠OCD＝∠OBC+∠BOC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，又∵CO平分∠ACD，BO平分∠ABC，∴∠OCD＝∠ACD，∠OBC＝∠ABC，∴∠OCD﹣∠OBC＝（∠ACD﹣∠ABC），∴∠BOC＝∠A；【变式应用】解：（1）∠F的大小不变；理由如下：∵PQ⊥MN，∴∠PON＝90°，∵OE是∠PON的平分线，∴∠AOB＝∠PON＝45°，∵∠BAC＝∠ABF+∠F，∠BAE＝∠ABO+∠AOB，∴∠F＝∠BAC﹣∠ABF，∠AOB＝∠BAE﹣∠ABO，∵AC、BF分别平分∠BAE、∠ABO，∴∠BAC＝∠BAE，∠ABF＝∠ABO，∴∠BAC﹣∠ABF＝（∠BAE﹣∠ABO），∴∠F＝∠AOB＝22.5°；（2）AB⊥OE，理由如下：∵FC∥MN，∴∠FBO＝∠F＝22.5°，∵BF平分∠ABO，∴∠ABO＝2∠FBO＝45°，∴∠OAB＝180°﹣∠AOB﹣∠ABO＝90°，∴AB⊥OE．。
苏州市2019~2020高三数学一模试卷含答案
江苏 2020 届高考备考系列试卷 第 3 页 (共 4 页)
19. (本小题满分 16 分)
已知数列 {an} 满足 2Sn = nan + a1，a3 = 4，其中 Sn 是数列 {an} 的前 n 项和．
(1) 求 a1 和 a2 的值及数列 {an} 的通项公式；
(2)
设 Tn =
1
1
1
+
(0, b)，若 ∠F1PF2 = 120◦，则该双曲线的离心率为
.
x ⩾ 0
8.
若
x，y
满足约束条件
xx
− +
y y
⩽0 −1 ⩽
0
，则 z = x + 3y 的最大值为
.
9. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已
知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 π，弧长为 4π cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 5
。
，因此
【点评】将双曲线与三角函数对称性勾连到一起，利用三角函数得到 b 与 c 的关系，从而建立 a 与 c 的关 系，属于中档题。
8．若 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
【答案】3.
【分析】由约束条件画出（x,y）的区域，再考察 z=x+3y 的最大值。
【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3.
【解答】[5，7)之间的
=0.24+0.20=0.44，因此车辆总数=440÷0.44=1000。所以[8，9)之间通过的车辆
数为 1000×0.10=100 辆。 【点评】考察对学生频率分布直方图的读取和理解，颇具新意。
常州市名校2019-2020学年高一下期末统考数学试题含解析
常州市名校2019-2020学年高一下期末统考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,则实数ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,结合正弦函数的单调性,即可求得答案. 【详解】()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数可得0262263,,22362k k k Z k Z k k πππωωππππωϕπωϕπ⎧<≤--+≤-⎧⎪⎪⎪∈∴∈⎨⎨≤+⎪⎪+≤+⎩⎪⎩，， 当03πϕ-<≤时，满足整数ω至少有12，,舍去当0ϕ>时，0,(0,2]k ω=∈，30πωϕ<≤要使整数ω有且仅有一个, 须123πϕ≤<,解得:63ππϕ<≤ ∴实数ϕ的取值范围是,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A ． 【点睛】本题主要考查了根据三角函数在某区间上单调求参数值,解题关键是掌握正弦型三角函数单调区间的解法和结合三角函数图象求参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于难题.A ．22a b >B ．22a b >C ．||||a b >D ．11a b< 【答案】B 【解析】【分析】通过反例可排除,,A C D ；根据2xy =的单调性可知B 正确. 【详解】当1a =-，2b =-时，22a b <，a b <，则,A C 错误； 当1a =，1b =-时，11a b>，则D 错误； 由2xy =单调递增可知，当a b >时，22a b >，则B 正确 本题正确选项：B 【点睛】本题考查不等关系的判断，解决此类问题常采用排除法，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中,已知3a=2,58a a +=16,则10a 为( )A ．8B ．128C ．28D ．14【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得10a 的值. 【详解】依题意112221116a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1107127a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故101914a a d =+=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题. 4．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k 则C ．132k k k <<D ．321k k k <<【答案】C 【解析】试题分析：由图可知10k <，230k k >>，所以231k k k >>，故选C ． 考点：直线的斜率．5．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩的可行域,再根据线性规划的方法,结合2y x z =-的图像与z 的关系判定最小值即可. 【详解】画出可行域,又2z x y =-求最小值时, 故2y x z =-的图形与可行域有交点,且2y x z =-往上方平移到最高点处.易得此时在()0,1处取得最值2011z =⨯-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用,需要根据题意画图,根据函数的图形性质分析.属于中档题. 6．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】 利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小. 【详解】 由正弦定理得，则，，则，所以，，由三角形的内角和定理得，故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情形，考查计算能力，属于中等题.7．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下： 甲：7，7，8，8，1； 乙：8，9，9，9，1．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12x x ，表示，方差分别用2212s s ，表示，则 A ．221212x x s s >>， B ．221212x x s s ><， C ．221212x x s s <<， D ．221212x x s s <>，【答案】D 【解析】 【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案. 【详解】 由题意可得127788108999108955x x ++++++++====，，()()()()()222222178788888108655s -+-+-+-+-==，()()()()()222222289999999109255s -+-+-+-+-==. 故221212x x s s <>，.本题考查了数据的平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力. 8．函数22sin 2cos sin 3y x x x =+--的最大值是（）A ．34B ．34-C ．3D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】令sin ,[1,1]t x t =∈-，再计算二次函数定区间上的最大值。