(完整版)一元二次方程复习+培优
一元二次方程复习+培优 一．概念 定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的 形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
例: 若（m+1）(2)1mmx+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________． 练习： 1、在4(1)(2)5xx,221xy,25100x,2280xx，
2340xx,213xx,22a，223213xxx，22)12)(3(xxx中，是
一元二次方程有_________个 。 2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________. A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0 3、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是___________.
4、一元二次方程)1(2)2)(1(2xxx的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
二．一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有：_____________________________________________________. 例：用适当的方法解下列方程
（1）0222xx （2）)5(2)5(32xx
（3 ）10)1)(2(xx （4）22)6()2(xx （5）2(23)3(23)40xx （6）0)12(22aaxax （7）0)2(23222abxbax 练习： 1..方程29180xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 。
2.方程2230xx的解是_______________________
3（2015绵阳）关于m的一元二次方程22720nmnm的一个根为2，则22nn
= ．
4..一元二次方程02cbxax的一个根是1，且a,b满足等式122aab，求此一元二次方程。
三．根的判别式 1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: acb42 ⑴ 当0时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。 2．一元二次方程有实数根0 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明acb42恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方 式+正数”的形式。
例：已知关于x的方程0)21(4)12(2kxkx。 （1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时， 求△ABC的周长。
练习： 1.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
A.k>-74 B.k≥-74 且k≠0 C.k≥-74 D.k>74 且k≠0 2.若一元二次方程 2x（kx－4）－x2＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ） A.－1 B.2 C.3 D.4
3.当k 时，222(1)5xkxk是完全平方式. 4.下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0 5.（2009,潍坊）关于x的方程068)6(2xxa有实数根，则整数a的最大值是( ） A.6 B.7 C.8 D.9 6.（2011 ,佳木斯）若关于x的一元二次方程0122xnx无实数根，则一次函数 nxny)1(的图像不经过（ ）象限。
A.一 B.二 C.三 D.四 7.（2012, 荆门）关于x的方程02)2(2xaax只有一解（相同的解算一解），则 a的值为（ ） A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2 8.（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)ymx和关于x的一元二次方程2(1)10mxmx中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________．
9（2016江苏省扬州市）已知M=219a，N=279aa（a为任意实数），则M、N的大小关
系为（ ） A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定 10．（2016河北省）a，b，c为常数，且222()acac，则关于x的方程20axbxc
根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 四．一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 设21xx、是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则abxx21，acxx•21 2．设21xx、是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，
则：0,0)1(21xx时，有•002121acxxabxx
0,0)2(21xx时，有
•002121acxxab
xx
0,0)3(21xx时，有021•acxx
3.以两个数21xx、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x(xx)xxx
例.1.设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1) x13x24+x14x23； 2112)2(xxxx
2.(2013·湖北荆门)设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x13＋2014x2
－2013＝ ．
练习： 1. 已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；
2111xx ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。
2. 关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.
3.方程0322mxx的一个根为另一个根的2倍，则m= . 4（2016四川省达州市）设m，n分别为一元二次方程2220180xx的两个实数根，则23mmn
= ． 5（2016江苏省南通市）设一元二次方程2310xx的两根分别是1x，2x，则21222(3)xxxx= ．
6（2016湖北省黄石市）关于x的一元二次方程22210xxm的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ． 7.一元二次方程250xxc有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则
c= ．（只需填一个） ． 8.（2015日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足23mm，23nn，那么代数式2222015nmnm= ． 9.（2015十堰）已知关于x的一元二次方程222320xmxm．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为1x，2x，且满足22121231xxxx，求实数m的值．
10、（2009 淄博）已知设21,xx是关于x的方程022axx的两个实数根，且23221xx ，（1）求1x，2x及a的值；（2）求21213123xxxx的值。
11.（2009 茂名）设21,xx是关于x的方程0142kxx的两个实数根，那么是否存在实数k，使得2121xxxx•成立？请说明理由。 12.（2015鄂州）关于x的一元二次方程22(21)10xkxk有两个不等实根1x，2x． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根1x，2x满足1212xxxx，求k的值．
历年中考演练 1.（2018成都）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a-1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。
2.（2017成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a= ．
3. （2016成都）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围
4.（2015）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0 5（2015成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号） ①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程． ②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
(完整word版)一元二次方程提高培优
一、选择题：1、关于x 的方程2322+=-x x ax 是一元二次方程，则（ ）A 、0≠aB 、1≠aC 、a>0D 、0≥a2、关于x 的方程0)2(22=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ）A 、a ≠1B 、a ≠－2C 、a ≠1且a ≠－2D 、a ≠1或a ≠－23、对于任意实数x ，多项式x 2-5x+8的值是一个（ ）A 、非负数B 、正数C 、负数D 、无法确定4、一个多边形有9条对角线，则这个多边形有边（ ）A 、6条B 、7条C 、8条D 、9条5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A 、()072=+-x x xB 、02=++c bx axC 、5112=+x x D 、2221x bx x a -=+ 6、某商品连续两次降价20%后价格为a 元，则原价为（ ）元。
A 、1.2a B 、44.1aC 、0.64aD 、64.0a7、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或28、若032=+-a x x 的左边是完全平方式，则a 的值为（ ） A 、9 B 、49C 、9±D 、49±9、关于x 的方程0362=+-x mx 有实数根，则m 的非负整数值是（ ）A 、0、1B 、0、1、2C 、1、2、3D 、0、1、2、310、已知m 、n 是方程0719992=++x x 的两个根，则=++++)82000)(61998(22n n m m （） A 、1990 B 、1992 C 、-1992 D 、1999二、填空：11、-221x 29+x ＝2______)(21-x12、当x= 时，最简二次根式x x 32+与15+x 是同类二次根式。
13、已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且关于x 的一元二次方程()()()04322=---++c a x c a x b c 有两个相等的实数根，那么这个三解形是 。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
一元二次方程(单元测试培优卷)(解析版)
第21章一元二次方程单元测试（培优卷）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24·安徽合肥·期末）若关于x 的方程()211540mm x x +++-=是一元二次方程，则m 的值是（）A ．1B ．1-C ．0D ．1±【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；结合一元二次方程的定义，可以得到关于m 的方程和不等式，求解即可得到m 的值．【详解】解： 关于x 的方程()211540mm x x +++-=是一元二次方程，∴21012m m +≠⎧⎨+=⎩，解得1m =．故选：A ．2．（2024·广东梅州·模拟预测）关于方程2320x x -+=的根的说法中，正确的是（）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．两个实数根的和为2D ．两个实数根的积为-3【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，先求出一元二次方程根的判别式的值，再根据判别式的值即可得到答案.【详解】解：对于方程²320x x -+=，∵()22434121b ac ∆=-=--⨯⨯=，∴0∆>，∴方程²320x x -+=有两个不相等的实数根，故选：B3．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”1.414≈）（）A ．20.3%B ．25.2%C ．29.3%D ．50%4．（24-25八年级上·上海·假期作业）小明解方程22102x x --=的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（）212102x x --=解：2420x x --=……①2x 4x 2-=……②()222x -=……③12x =，22x =…④A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤．【详解】解：出错的步骤是③，应该是在②步的基础上，两边同时加上4，得()226x -=，故选：C ．5．（20-21·山东烟台·期末）根据表的对应值：x﹣11 1.1 1.2x 2＋12x ﹣m﹣26﹣2﹣0.590.84可以判断方程x 2＋12x ﹣m ＝0必有一个解x 满足（）A ．﹣1＜x ＜1B ．1＜x ＜1.1C ．1.1＜x ＜1.2D ．﹣0.59＜x ＜0.84【答案】C【分析】根据表中的数据可得 1.1x =时，0.590y =-<，当 1.2x =时，0.840y =>，可判断当2120x x m -=+时，1.1 1.2x <<，即可求解．【详解】解：根据表中的数据可得 1.1x =时，0.590y =-<，当 1.2x =时，0.840y =>∴2120x x m -=+时，1.1 1.2x <<故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键.6．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，∴()()22410m ∆=--+>，解得：0m <，10m +≠ ，1m ∴≠-，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠-．故选：A ．7．（24-25九年级上·全国·假期作业）设a ，b 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20228．（24-25九年级上·全国·假期作业）从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为x 尺，则下列方程符合题意的是（）A ．()()22242x x x -+-=B ．()()22224x x x +-=+C ．()()22242x x x -+=+D ．()()22224x x x ++=+【答案】A【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理．先根据题意用木条的长为x ，表示出门框的长、宽、以及竹竿长是直角三角形的三个边长，然后根据勾股定理列方程即可．【详解】解：∵竹竿的长为x 尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．∴门框的长为()4x -尺，宽为()2x -尺，由勾股定理可得：()()22242x x x -+-=．故选：A ．9．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x 2+ax ＝b 2的解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，以点A 为圆心作弧交AB 于点D ，使AD ＝AC ，则该方程的一个正根是（）A ．CD 的长B ．BD 的长C ．AC 的长D ．BC 的长10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，有下列说法：①若0a b c -+=，则方程()200ax bx c a ++=≠必有一个根为1；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程()200ax bx c a ++=≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程()200ax bx c a ++=≠的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的是（）A ．只有①B ．只有②④C ．只有①②③D ．只有①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）一元二次方程2320x x --=的二次项系数和常数项的和是.【答案】1【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式()200ax bx c a ++=≠这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中2ax 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项可得答案．【详解】解：一元二次方程2320x x --=的二次项系数和常数项分别为3，2-，即()321+-=，故答案为：12．（2024·江西·二模）已知关于x 的方程2²120x mx --=的一根是6-，则该方程的另一根为.【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得13．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）若x ＝﹣1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣2＝0的一个根，则2021﹣2a +2b 的值等于．【答案】2017【分析】把x ＝﹣1代入方程ax 2+bx ﹣2＝0（a ≠0）得a ﹣b ＝2，再把2021﹣2a +2b 变形为2021﹣2（a ﹣b ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：把x ＝﹣1代入方程ax 2+bx ﹣2＝0（a ≠0）得a ﹣b ﹣2＝0，∴a ﹣b ＝2，∴2021﹣2a +2b ＝2021﹣2（a ﹣b ）＝2021﹣2×2＝2021﹣4＝2017．故答案为：2017．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键．14．（2024·河北张家口·三模）若关于x 的一元二次方程2()4x a -=的两个根均为正整数，写出满足条件的一个a 的值为．【答案】4（答案不唯一）【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可．【详解】解：∵2()4x a -=，∴2x a -=±，∴12x a =+，22x a =-，∵关于x 的一元二次方程2()4x a -=的两个根均为正整数，∴2020a a +>⎧⎨->⎩，且a 为正整数，解得2a >，且a 为正整数，∴a 可以为4,故答案为：4（答案不唯一）．15．（23-24·浙江宁波·期中）新定义：关于x 的一元二次方程()210a x c k -+=与()220a x c k -+=称为“同族二次方程”．例如：()25670x -+=与()26670x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程()()22480m x n x ++-+=与()22110x -+=是“同族二次方程”，则代数式22025mx nx ++的最小值是．【答案】2020【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m 与n 的方程组，求出方程组的解得到m 与n 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：2(2)(4)80m x n x ++-+= 与22(1)10x -+=是“同族二次方程”，22)(11(2)(4)8()2m x x n x m ∴=+-++-++，()()22(2)(4)82223m x n x m x m x m ∴++-+=+-+++，∴2(2)438m n m -+=-⎧⎨+=⎩，解得510m n =⎧⎨=-⎩，22025mx nx ∴++25102025x x =-+25(1)2020x =-+，则代数式22025mx nx ++的最小值是2020．故答案为：2020．16．（23-24·浙江湖州·阶段练习）“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为1S ，空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若12S S =，则mn的值为．图1图2依题意得，212S a =∵12S S =，12S S +=∴21212S S m ==，三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程：(1)()214x -=；(2)()440x x x -+-=；(3)2210x x --=（用公式法解）(4)2420x x --=(用配方法解）；18．（23-24·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？【答案】(1)20%(2)2592【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据题意列出一元二次方程求解即可；（2）根据题意列式计算即可．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，依题意，得：()2150012160x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）()2160120%2592⨯+=（个）．∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．19．（23-24·四川广安·期末）已知关于x 的方程2810x x m -++=．(1)若4是方程的一个根，求m 的值及另一个根；(2)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．20．（23-24·江苏苏州·期中）对于实数,a b ，定义新运算“ ”：()22()a ab a b a b ab b a b ⎧-≥=⎨-<⎩，例如：42 ，因为42>，所以2424428=-⨯= ．(1)求()12- 和()12- 的值；(2)若12,x x 是一元二次方程2320x x --=的两个根，且12x x <，求1223x x x + 的值．【答案】(1)3；6-(2)4-【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算：（1）根据题目已知定义计算即可；（2）先根据一元二次方程根的定义得到22232x x -=，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可．【详解】（1）12>- ()()2121123∴-=-⨯-= ；12-< ()2121226∴-=-⨯-=- ；（2）2x 是一元二次方程2320x x --=的根，222320x x ∴--=22232x x ∴-=12x x < ，()2212212221222123332x x x x x x x x x x x x x ∴+=-+=--=- 根据根与系数的关系得12123,2x x x x +==-，1223224x x x ∴+=--=- ．21．（2024·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用15750元，请问：(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过20人？(2)该单位这次共有多少员工去旅游？【答案】(1)超过20人(2)该单位这次共有35名员工去旅游【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．（1）先根据共支付给旅行社旅游费用15750元，确定旅游的人数的范围；（2）根据每人的旅游费用⨯人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵人数不超过20人，人均费用为600元，∴600201200015750⨯=<，∴员工人数一定超过20人，∴该单位这次去旅游，员工超过了20人；（2）解：设该单位这次共有x 名员工去旅游，根据题意列方程得：[60010(20)]15750x x --=，整理得28015750x x -+=，即(45)(35)0x x --=，解得145x =，235x =，当145x =时，60010(20)350420x --=<，故舍去1x ；当235x =时，60010(20)450420x --=>，符合题意．答：该单位这次共有35名员工去旅游．22．（2024·浙江·专题练习）有一个定理：若1x 、2x 是一元二次方程20(0ax bx c a ++=¹，a 、b 、c 为系数且为常数）的两个实数根，则12b x x a+=-、12c x x a ⋅=，这个定理叫做韦达定理．如：1x 、2x 是方程2210x x +-=的两个实数根，则122x x +=-、121x x ⋅=-．若1x ，2x 是方程212(1)02x m x m +--=的两个实根．试求：(1)12x x +与12x x ⋅的值（用含有m 的代数式表示）；(2)2212x x +的值（用含有m 的代数式表示）；(3)若212()1x x -=，试求m 的值．23．（23-24·山东烟台·期中）如图，Rt ABC △中，90B Ð=°，6cm AB =，8cm BC =．(1)如图1，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动（到达点B 即停止运动），点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动（到达点C 即停止运动）．如果点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发．①经过多少秒钟，PBQ 的面积等于28cm ；②线段PQ 能否将ABC 分成面积为1:3的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；(2)如图2，若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm/s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm/s 的速度移动，P ，Q 同时出发，直接写出几秒后，PBQ 的面积为21cm ．。
(完整版)第二章一元二次方程培优奥赛讲义
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题）1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为．3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是．4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是．5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为．6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=．7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=．10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为．14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染．15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．二．解答题（共18小题）16．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．17．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？18．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y=2+3﹣2．求2x﹣3y的值．19．若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．21．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．22．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求k可能取值．23．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2=0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0．解得：x1=2，x2=﹣1∵x≥0，故x=﹣1舍去，∴x=2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0．解得：x1=﹣2，x2=1∵x＜0，故x=1舍去，∴x=﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1=2，x1=﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4=0．24．阅读材料并解决下列问题：因为x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2，所以x2+5x+6=（x+3）（x+2），所以方程x2+5x+6=0用因式分解法解得：x1=﹣2，x2=﹣3．又如x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），所以方程x2﹣5x+6=0用因式分解法解得x1=2，x2=3．一般地，因为x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），所以x2+（a+b）x+ab=0，即（x+a）（x+b）=0的解为x1=﹣a，x2=﹣b．请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：（1）x2+8x+7=0（2）x2﹣11x+28=0．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值26．某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？27．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．28．如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．（1）求通道的宽度；（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？29．阳谷县2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1440万元．（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户含第1000户每户每天奖励9元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？30．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？31．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？32．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？33．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．34.如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）参考答案一．填空题（共15小题）1．2012；2．﹣1；3．；4．1；5．12；6．219；7．0或16；8．1＜m＜5；9．﹣；10．；11．﹣；12．8；13．11；14．8；729；15．10x+（x2+3）=3（x+x2+3）；。
一元一(二)次方程(组)及应用——专题培优、拔高复习讲义(含答案)
一元一（二）次方程（组）及应用——专题培优、拔高复习讲义 中考考点梳理：一、一元一次方程的概念1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。
二、一元二次方程1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
三、★★★一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题附详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k ）²-4×2（k-1）=4k²-8k ＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k 为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂= ∴S=++ x 1+x 2 = == ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m 时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x ）dm ，宽为（6-2x ）dm ，根据长方体底面面积为12dm 2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-； （2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.8．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0，1﹣k ﹣3+3k ＝0解得k ＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+=24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD36x =，∴四边形ABCD面积=4+9+x36x+≥13+236xx⋅=25．当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）2cm ；（2）85s 或245s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】 试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。
一元二次方程培优专题(教师版)
一元二次方程培优专题Part1 可化为一元二次方程的高次方程在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法．1．因式分解法：如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式分解法．2．整体换元法：在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的．Part2可化为一元二次方程的分式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的分式方程时，通常有两种转化方法．1．去分母法：在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解．2．整体换元法：在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候可以考虑整体换元法，实现化简的目的．注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义，分母不为0，在这个过程中可能产生增根．Part3 可化为一元二次方程的绝对值方程在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时，通常有两种转化方法．1．分类讨论法：遇到绝对值方程时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论．第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于0时，x的取值，由此划分x取值．第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程．第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内．第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根．2．整体换元法：在遇到一个特定的方程时，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换元法．注意：在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性．Part4 可转化为一元二次方程的根式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时，通常有两种转化方法．1．两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程．2．整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换元法．特别注意：在根式中解的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根．【例1】解方程：（1）x x x 53+5+6=0（2）()x x x x 222-2-3=2-4-7（3）()()=x x 331999-+-19981【答案】（1）由题意得()x x x 42+5+6=0，所以x =0或x x 42+5+6=0，当x x 42+5+6=0时，得()()x x 22+2+3=0， 此时方程无解．综上所述，原方程得解为x =0． （2）令t x x 2=-2-3，则x x t 2-2=+3，代入原方程得：()t t 2=2+3-7，即得到t t 2-2+1=0，()t 2-1=0，t =1， 将t 的表达式代入得x x 2-2-3=1，即x x 2-2-4=0，解得x =1±所以x x 12=1+=1-（3）令t x =1999-，则x t -1998=1-，则()=t t 33+1-1，所以t t 23-3+1=1， 得t 1=0，t 2=1，将t 的代数式代入得到x 1=1999，x 2=1998．【例2】解分式方程：（1）x x x x2142++=1+2-42-（2）()()x x x x 222+16+1+=7+1+1【答案】（1）把第三个分式的分母x 2-变形为x -2，得()()x x x x x 142+-=1+2+2-2-2． 方程两边都乘以()()x x +2-2，得()()()x x x x x -2+4-2+2=+2-2， 即x x 2-3+2=0，解得x 1=1，x 2=2．检验：把x =1化入最简公分母，它不等于0，所以x =1是原方程的根； 把x =2代入最简公分母，它等于0，所以x =2是增根． 因此原方程的根是x =1．（2）设x y x 2+1=+1，那么x x y 2+11=+1，于是原方程变形为y y 62+=7． 方程的两边都乘以y ，约去分母，得y y 22-7+6=0．解这个方程，得y 1=2，y 23=2．当y =2时，x x 2+1=2+1，去分母，整理得x x 2-2-1=0．所以x =，当y 3=2时，x x 2+13=+12，去分母，整理得x x 22-3-1=0．所以x ．检验：把x x 分别原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根．综上：原方程的根是x 1x 2，x 3，x 4 【例3】（1）x x x x x2212-6++2+=0 （2）x x x x 4322+3-16+3+2=0（3）x x x x x 54326-41+97-97+41-6=0【答案】（1）换元的方法x 1=1，x 2=-2x 3=-2（2）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22322+3-16++=0，即x x x x 2211⎛⎫⎛⎫2++3+-16=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令t x x1=+，则x t x 2221+=-2，所以方程可化为：()t t 22-2+3-16=0，即：t t 22+3-20=0，解得t 1=-4，t 25=2，解得x x 1+=-4，或x x 15+=2，∴x 1=-2+x 2=-2x 31=2，x 4=2．（3）观察知x =1为原方程的一个解，于是x -1必为左边代数式的一个因式．于是有()()x x x x x 432-16-35+62-35+6=0．得x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0， 下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0， 显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令y x x 1=+，则y x x2221=++2，所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2，x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．于是原方程的解为x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3，x 5=1．【例4】解方程()||x x 22-1-32-1+2=0．【答案】原方程可写为||||x x 22-1-32-1+2=0，令||t x =2-1，得t t 2-3+2=0，即()()t t -1-2=0，解得t 1=1，t 2=2．由||x 2-1=1，得x 1=0，x 2=1．由||x 2-1=2，得x 33=2，x 41=-2．∴原方程的根为x 1=0，x 2=1，x 33=2，x 41=-2． 【例5】解方程：（1）||x x 2-2-1-4=0（2）()()x x x -2+3=3+【答案】（1）令,x 2-1=0得x 1=2，以12为分界点把数轴划分为两个区间，分别求解． ①当x 1<2时，则x 2-1<0，原方程可化为x x 2+2-5=0．所以x =x =；②当≥x 12时，则≥x 2-10，原方程可以化为x x 2-2-3=0，所以x =3或x =-1（舍去）．综上所述，原方程的解为x 1=-1-，x 2=3．（2）分情况讨论：令()()x x -2+3=0得x =2或x =-3，以-3和2为分界点把数轴划分为四个区间，分别求解．①当≥x 2时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即x 2=9， 解得：x 1=3，x 2=-3（舍去）；②当≤x -3<2时，方程化为()()x x x --2+3=3+，即x x 2+2-3=0， 解得：x 3=1，x 4=-3；③当x <-3时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即=9x 2， 解得：x 5=3（舍去），x 6=-3（舍去），综上所述，原方程的解为x 1=3，x 2=1，x 3=-3．【例6】解方程：（12 （2=（3【答案】（12；两边平方，得x x +8=5+20+4，x --4；两边平方整理，得x x 2+3-4=0，解得x 1=-4，x 2=1；经检验，x 2=1是增根，舍去，x 1=-4是原方程的根．（2）x x x 2+1+-3+=4；x +2=()x x x x 22+4+4=42-5-3；x x 27-24-16=0；()()x x 7+4-4=0，∴x 14=-7，x 2=4；经检验，x 14=-7是增根，舍去；x 2=4是原方程的根．（3）y =，y 1=，于是原方程可变形为y y 2-=1化为整式方程得y y 2--2=0，解之得y 1=2，y 2=-1；当y =22，解得x =10，当y =-1=-1，无实数解；经检验x =10是原方程的解． 【例7】x 7x 7，两边同时平方得x x x x x 2227+9+13=49+7-5+13-14整理得x x 249-14=14两边同时除以()x x 7≠0，得x 7-2=， 两边同时平方得x x x x 2249-28+4=28-20+52， 整理得()()x x 3+47-12=0，解得x 14=-3，x 212=7，经检验，x 4=-3是原方程的增根，则原方程的解为：x 12=7．【课后作业】1.解方程：()()x x x x 22++1+=22. （1）x x x x x x 2+11+5-=-33-3（2）x x x x 2213--2=1-1-3. （1）x x x x 2⎛⎫⎛⎫+5+6=0 ⎪ ⎪+1+1⎝⎭⎝⎭（2）()()x x x x x x 22228+23-1+=11-1+2 （3）x x x x 2318⎛⎫2-+12=-5 ⎪⎝⎭4. 解方程：（1）x x x x 4326-35+62-35+6=0（2）22+229+x x x x x 54326-9+77-6=05. 解方程：||||x x x -3+2=06.解方程：（13（25=0【作业答案】1. 令x x y 2+=，原方程为y y 2+-2=0，y 1=-2，y 1=1．由y 1=-2，得x x 2++2=0，因为<△0，所以无解．由y 2=1，得x x 2+-1=0，x =． 2. （1）x =-4，x =1（舍去，增根）；（2）x 1=-3，x =1（增根）；3.（1）x 12=-3，x 23=-4；（2）设x xy x 22+2=-1，得y 13=8，y 2=1，由y 13=8，得x 11=-5，x 2=-3，由y 2=1，得x 1=-2．（3）先别忙着把x x 23⎛⎫2- ⎪⎝⎭展开．把等号右边各式都移到等号左边，得x x x x 2318⎛⎫2-+12-+5=0 ⎪⎝⎭．可变形为x x x x 233⎛⎫⎛⎫2-+62-+5=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设x y x 32-=， 原方程可化为y y +6+5=0．所以y 1=-1，y 2=-5．由x x 32-=-1，得x x 22+-3=0，得x 13=-2，x 2=1．由x x 32-=-5，得x x 22+5-3=0．得x 3=-3，x 41=2．经检验，这四个根都适合．所以原分式方程的解是x 13=-2，x 2=1，x 3=-3，x 41=2．4. （1）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1），令y x x1=+，则y x x 2221=++2，所以方程（1）可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2，x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．（2）观察知x =-1为原方程的一个解，于是x +1必为左边代数式的一个因式．于是有()()x x x x x 432+16-35+62-35+6=0．得-x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0， 下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0， 显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令y x x 1=+，则y x x2221=++2，所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2或x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．于是原方程的解为x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3，-x 5=1．5. （1）当x <0时，原方程化为x x 2-3-2=0，解得x =x =（舍去）；（2）当≥x 0时，原方程化为x x 2-3+2=0，解得x =1或x =2；综上所述，原方程有3个解：x 1，x 2=1，x 3=2．6.（1）先把一个根号移到右边，然后两边同时平方，最后解得x =1；（2）换元法，最后得到x 3=5．。
初中数学培优：一元二次方程
初中数学培优：一元二次方程一、用换元法解一元二次方程【典例】若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6＝0，则x﹣y的值是（）A．﹣2或3B．2或﹣3C．﹣1或6D．1或﹣6【解答】解：设x﹣y＝m，则原方程可化为：m2+m﹣6＝0，解得m1＝2，m2＝﹣3，所以，x﹣y的值2或﹣3．故选：B．【巩固】已知方程2+1+32+1=0，如果设2+1=y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是．【解答】解：2+1+32+1=0，设2+1=y，则原方程化为：1+3y＝0，即1+3y2＝0，故答案为：1+3y2＝0．二、含绝对值解一元二次方程【典例】已知方程x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，则满足该方程的所有根之和为（）A．2−6B．1−6C．0D．1【解答】解：当2x﹣1≥0时，即x≥12，原方程化为：x2﹣2x﹣3＝0，∵（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，∵﹣1＜12，∴x2＝﹣1（舍去），∴x＝3，当2x﹣1＜0，即x＜12时，原方程化为：x2+2x﹣5＝0，∴（x+1）2＝6，∴x+1＝±6，∴x1＝﹣1+6，x2＝﹣1−6，∵﹣1+6＞12，∴x1＝﹣1+6（舍去），∴x＝﹣1−6．则3+（﹣1−6）＝2−6．故选：A．【巩固】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．三、一元二次方程求值类问题【典例】设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+3α+αβ＝．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，∴αβ＝﹣7，α2+3α﹣7＝0，∴α2+3α＝7，∴α2+3α+αβ＝7﹣7＝0；故答案为：0．【巩固】已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则2−2019+20202+1的值为（）A．2017B．2018C．2019D．2020【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，则2−2019+20202+1=2020a﹣1﹣2019a+20202020=a﹣1+1=2+1−1=2020−1＝2019．故选：C．巩固练习1．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x﹣1的值为（）A．±2B．0或﹣4C．0D．2【解答】解：由y＝x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0，分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0，解得，y1＝﹣3，y2＝1，当x2+3x＝﹣3时，Δ＝32﹣3×4＝﹣3＜0，方程无实数根，当x2+3x＝1时，Δ＝9+4×1＝13＞0．∴x2+3x﹣1＝0故选：C．2．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]＝x2﹣3，2x≥x2﹣3，解此不等式得：﹣1≤x≤3．现将x的取值范围分为5类进行求解（1）﹣1≤x＜0，则[x]＝﹣1，原方程化为x2﹣1＝0，解得x＝﹣1；（2）0≤x＜1则[x]＝0，原方程化为x2﹣3＝0，无解；（3）1≤x＜2，则[x]＝1，原方程化为x2﹣5＝0，无解；（4）2≤x＜3，则[x]＝2，原方程化为x2﹣7＝0，解得x=7；（5）x＝3显然是原方程的解．综合以上，所以原方程的解为﹣1，7，3．故选：C．3．定义新运算△：a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1），其中b为正整数．如果（x △3）△（2x）＝13，则x＝（）A．1或−138B．1或0C．−138D．1【解答】解：∵a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1）＝ab+[1+2+…+（b﹣1）]＝ab+(K1)2，∴（x△3）△（2x）＝（3x+3）△（2x）＝（3x+3）（2x）+(2K1)(2p2＝8x2+5x＝13，∴（x﹣1）（8x+13）＝0，x1＝1，x2=−138．但x2=−138使得2x不是正整数，与△运算的定义不符，∴x＝1．故选：D．4．用配方法解方程x2+6x+5＝0，配方后所得的方程是（）A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝﹣4C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4【解答】解：把方程x2+6x+5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x＝﹣5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9＝﹣5+9，配方得（x+3）2＝4．故选：C．5．对于实数m，n，先定义一种新运算“※”如下：m※n=2+，(≥p2+，(＜p，若x※（﹣2）＝10，则实数x的值为．【解答】解：分两种情况：当x≥﹣2时，∵x※（﹣2）＝10，∴x2+（﹣2）＝10，x2＝12，x＝23或x＝﹣23（舍去）；当x＜﹣2时，∵x※（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x＝10，∴x＝6（舍去）；综上所述：x＝23，故答案为：23．6．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0的较大根为a，方程x2+2006x﹣2007＝0的较小根为b，则a﹣b＝．【解答】解：（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0，原方程可化为，20072x2+（﹣20072+1）x﹣1＝0，（x﹣1）（20072x+1）＝0，解得x1＝1，x2=−120072．∵所求方程x2+2006x﹣2007＝0，则原方程可化为，（x﹣1）（x+2007）＝0，解得x3＝1，x4＝﹣2007．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0的较大根为x1＝1，方程x2+2006x﹣2007＝0的较小根为x4＝﹣2007；则a﹣b＝1﹣（﹣2007）＝2008．7．设实数x满足方程|x2﹣1|﹣x|x+1|＝0，则x的值为．【解答】解：|x2﹣1|﹣x|x+1|＝0，∴|x+1|（|x﹣1|﹣x）＝0．当|x+1|＝0时，x＝﹣1；当|x﹣1|﹣x＝0时，得|x﹣1|＝x．若x≥1，得x﹣1＝x，矛盾，舍去．若x＜1，得1﹣x＝x，解得x=12．综上所述，x＝﹣1或12．故答案为﹣1或12．8．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+20202+1的值．【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+20202020K1+1＝a+1−1=2+1−1=2020K1+1−1＝2020﹣1＝2019．9．已知关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）与x2+cx+d＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab＝cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6＝0与x2﹣2x﹣3＝0互为“同根轮换方程”．（1）若关于x的方程x2+4x+m＝0与x2﹣6x+n＝0互为“同根轮换方程”，求m的值；（2）若p是关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程2+2B+12=0的实数根，当p、q分别取何值时，方程x2+ax+b＝0（b≠0）与2+2B+12=0互为“同根轮换方程”，请说明理由．【解答】解：（1）∵方程x2+4x+m＝0与x2﹣6x+n＝0互为“同根轮换方程”，∴4m＝﹣6n．设t是公共根，则有t2+4t+m＝0，t2﹣6t+n＝0．解得t=K10．∵4m＝﹣6n．∴t=−6．∴（−6）2+4（−6）+m＝0．∴m＝﹣12．（2）当公共解为p时，∴p2+ap+b＝0，p+q＝﹣2a，p×q=12b，∴p＝﹣3a，q＝a，∴当p＝﹣3a，q＝a（a≠0）时，方程x2+ax+b＝0（b≠0）与2+2B+12=0互为“同根轮换方程”，当公共解为q时，∴q2+2aq+12b＝0，p+q＝﹣a，p×q＝b，∴p＝2a，q＝﹣3a，∴当p＝2a，q＝﹣3a（a≠0）时，方程x2+ax+b＝0（b≠0）与2+2B+12=0互为“同根轮换方程”，设公共解为x0，∵p是关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程2+2B+12=0的实数根，∴p+x0＝﹣a，q+x0＝﹣2a，p×x0＝b，q×x0=12b，∴x0＝﹣3a，p＝2a，q＝a，b＝﹣6a2，∴当p＝2a，q＝a（a≠0）时，方程x2+ax+b＝0（b≠0）与2+2B+12=0互为“同根轮换方程”，10．阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝．②已知关于x，y的方程组1r1J12r2J2的解是=9=5，关于x，y的方程组12−21r1J1−122−22r2J2−2的解是．【解答】解：（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理，得：a2﹣9＝27，即a2＝36，解得：a＝±6，则2x+2y＝±6，∴x+y＝±3；（2）①令a＝x2+4x+3，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝（x+2）4；②由方程组12−21r1J1−122−22r2J2−2得12−21+1+1=122−22+2+2=2，整理，得：1(−1)2+1=12(−1)2+2=2，∵方程组1r1J12r2J2的解是=9=5，∴方程组1(−1)2+1=12(−1)2+2=2的解是：(−1)2=9 =5∴x﹣1＝±3，且y＝5，解得：=4=5或=−2=5，故答案为：（x+2）4，=4=5或=−2=5．11．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=5时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．【解答】解：（1）∵x＝2是方程的一个根，∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，∴m＝0或m＝1；（2）∵Δ＝（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）＝1，∴x=2r3±12∴x1＝m+2，x2＝m+1，∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴AC＝m+2，AB＝m+1．∵BC=5，△ABC是等腰三角形，∴当AB＝BC时，有m+1=5，∴m=5−1；当AC＝BC时，有m+2=5，∴m=5−2，综上所述，当m=5−1或m=5−2时，△ABC是等腰三角形．12．已知方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求m n•n m的值．【解答】解：将一元二次方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0分解因式解得[（m﹣1）x﹣（m+2）]（x﹣m）＝0∴=r2K1或x＝m（m≠1）将一元二次方程，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0分解因式解得[（n﹣1）x﹣（n+2）]（x﹣n）＝0∴=r2K1或x＝n（n≠1）∵方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0有一个公共根，且m，n都是正整数，且m≠n≠1=解得mn＝m+n+2由奇偶性可知，m，n都为偶数∵m≠n≠1∴m＝2，n＝4或n＝2，m＝4∴m n•n m＝24•42＝16×16＝256。
中考数学一元二次方程组(大题培优 易错 难题)及详细答案
中考数学一元二次方程组(大题培优易错难题)及详细答案一、一元二次方程1．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．2．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3．解方程：233230 2121x xx x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3,∴3121xx=--或3321xx=-．解得x=15或x=1．经检验：x=15或x=1都是原方程的解．∴原方程的解是x=15或x=1．【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1x2＝11＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝3 2 .∴x－1＝.∴x1＝1x2＝1(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【解析】 【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得： x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.7．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n . 【解析】 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.8．关于x 的方程()2204kkx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404kk k =+-⋅>， 1k ∴>-， 又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x kx x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。