人教高中数学A版必修一课件 第3章 函数的概念及其表示 第2课时 分段函数
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8 [∵函数 f(x)＝
1．函数
f(x)＝xf－fx3＋，5x≥，1x0<，10，
x－3，x≥10， ffx＋5，x<10，
则 f(7)＝________.
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))
＝f(11)＝8.]
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分段函数的解析式 【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形 ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于 底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有 公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积 y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，决实际问题，培养
提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)
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分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着 不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．
[思路点拨] 可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线 段CD三类分别求解．
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[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. (1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
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[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 第三课时 分段函数
2
学习目标
核心素养
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能 1.通过分段函数求
画出分段函数的图象．(重点，难点)
值问题培养数学运
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问 算素养．
题．(重点、难点)
2．利用分段函数解
图象如图所示．
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1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函 数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养 学生的建模素养．
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2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计 算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之 间的函数解析式，并画出函数的图象．
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1．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、 值域分别是各段函数的定义域、值域的并集． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中， 根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图 象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分 段函数的图象．
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把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题． [解] (1)f(x)＝|x|－2＝x－－x2－，2x，≥x<0，0. (2)函数的图象如图所示．
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
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分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可， 作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
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(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3， 即 a＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3， 即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， 解得 a＝1 或 a＝－3.
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∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
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(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12 (7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 12x2，x∈[0，2]，
y＝2x－2，x∈2，5]， －12x－72＋10，x∈5，7].
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[思路点拨] (1)分－2<x<0和0≤x≤2两种情况讨论，去掉绝对值可
把f(x)写成分段函数的形式；
(2)利用(1)的结论可画出图象；
(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值
域．
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[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－2 x＝1， 当－2<x<0时， f(x)＝1＋－x2－x＝1－x， ∴f(x)＝11， －0x，≤－x≤22<，x<0. (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
则
D [∵f(3)＝23≤1， ∴f(f(3))＝232＋1＝193.]
A.15
B．3
C.23
D.193
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3．函数 y＝f(x)的 图象如图所示，则其解 析式为________．
2x，0≤x≤1，
f(x)＝2，1<x<2， 3，x≥2
[当0≤x≤1时，设
f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.
2x，0≤x≤1，
综上f(x)＝2，1<x<2， ] 3，x≥2.
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4．已知 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，. (1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
[解] (1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数 f(x)的定义域为 R.由图象知，当－1≤x≤1 时， f(x)＝x2 的值域为[0,1]， 当 x>1 或 x<－1 时，f(x)＝1， 所以 f(x)的值域为[0,1]．
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[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：
2，0<x≤5， y＝34，，51<0<x≤x≤101，5，
5，15<x≤20.
函数图象如图所示：
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分段函数的图象及应用 [探究问题] 1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能．f(x)＝x2－－2x， ，xx<≥22.， 函数f(x)的图象如图所示．
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1．下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f(x)＝x22x＋，1x，<11.≤x≤5， ②f(x)＝xx＋ 2，1x，≥x2∈. R，
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6
2x＋3，1≤x≤5， ③f(x)＝x2，x≤1.
④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥<05，.
A．①②
B．①④
C．②④
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2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意 义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
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【例3】 已知函数f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示f(x)；
0 [∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－ 1)＝－1＋1＝0，
∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]
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分段函数的求值问题
【例 1】
x＋1，x≤－2，
已知函数 f(x)＝x2＋2x，－2<x<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值．
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1．分段函数求函数值的方法： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时， 应从内到外依次求值．
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2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区 间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
D．③④
B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系 的定义域有重叠部分，故选 B.]
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2．函数 y＝x－，xx，≥x0＜，0 的值域
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8 [∵函数 f(x)＝
1．函数
f(x)＝xf－fx3＋，5x≥，1x0<，10，
x－3，x≥10， ffx＋5，x<10，
则 f(7)＝________.
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))
＝f(11)＝8.]
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分段函数的解析式 【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形 ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于 底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有 公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积 y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，决实际问题，培养
提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)
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分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着 不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．
[思路点拨] 可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线 段CD三类分别求解．
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[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. (1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
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[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 第三课时 分段函数
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学习目标
核心素养
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能 1.通过分段函数求
画出分段函数的图象．(重点，难点)
值问题培养数学运
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问 算素养．
题．(重点、难点)
2．利用分段函数解
图象如图所示．
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1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函 数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养 学生的建模素养．
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2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计 算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之 间的函数解析式，并画出函数的图象．
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1．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、 值域分别是各段函数的定义域、值域的并集． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中， 根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图 象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分 段函数的图象．
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把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题． [解] (1)f(x)＝|x|－2＝x－－x2－，2x，≥x<0，0. (2)函数的图象如图所示．
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
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分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可， 作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
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(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3， 即 a＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3， 即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， 解得 a＝1 或 a＝－3.
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∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
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(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12 (7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 12x2，x∈[0，2]，
y＝2x－2，x∈2，5]， －12x－72＋10，x∈5，7].
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[思路点拨] (1)分－2<x<0和0≤x≤2两种情况讨论，去掉绝对值可
把f(x)写成分段函数的形式；
(2)利用(1)的结论可画出图象；
(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值
域．
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[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－2 x＝1， 当－2<x<0时， f(x)＝1＋－x2－x＝1－x， ∴f(x)＝11， －0x，≤－x≤22<，x<0. (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
则
D [∵f(3)＝23≤1， ∴f(f(3))＝232＋1＝193.]
A.15
B．3
C.23
D.193
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3．函数 y＝f(x)的 图象如图所示，则其解 析式为________．
2x，0≤x≤1，
f(x)＝2，1<x<2， 3，x≥2
[当0≤x≤1时，设
f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.
2x，0≤x≤1，
综上f(x)＝2，1<x<2， ] 3，x≥2.
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4．已知 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，. (1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
[解] (1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数 f(x)的定义域为 R.由图象知，当－1≤x≤1 时， f(x)＝x2 的值域为[0,1]， 当 x>1 或 x<－1 时，f(x)＝1， 所以 f(x)的值域为[0,1]．
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[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：
2，0<x≤5， y＝34，，51<0<x≤x≤101，5，
5，15<x≤20.
函数图象如图所示：
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分段函数的图象及应用 [探究问题] 1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能．f(x)＝x2－－2x， ，xx<≥22.， 函数f(x)的图象如图所示．
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1．下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f(x)＝x22x＋，1x，<11.≤x≤5， ②f(x)＝xx＋ 2，1x，≥x2∈. R，
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2x＋3，1≤x≤5， ③f(x)＝x2，x≤1.
④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥<05，.
A．①②
B．①④
C．②④
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2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意 义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
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【例3】 已知函数f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示f(x)；
0 [∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－ 1)＝－1＋1＝0，
∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]
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分段函数的求值问题
【例 1】
x＋1，x≤－2，
已知函数 f(x)＝x2＋2x，－2<x<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值．
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1．分段函数求函数值的方法： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时， 应从内到外依次求值．
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2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区 间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
D．③④
B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系 的定义域有重叠部分，故选 B.]
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2．函数 y＝x－，xx，≥x0＜，0 的值域
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人教A版必修第一册3.1.2函数的表示法PPT课件
课本P72,习题3.1 3 ， 7 P101 7
例如，当x=2时， M(2)=max{f(2),g(2)}=max{3,9}=9,请分别用图 像法和解析法表示M(x)
P73页13.函数f (x) [x]的函数值表示不超过x的最大整数， 例如，[3.5] 4，[2.1] 2.当x (2.5,3]时， 写出函数f (x)的解析式，并画出函数的图像。
2.求抽象函数的定义域的方法：
已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域:
已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域:
(1)定义域是指x的取值范围; (2)f(x)与f(g(x))这两个括号的范围是一致的
探索点二 求函数的值域 (金版 P49)
【例 2】 (1)函数 y= 的值域为 (-∞,2)∪(2,+∞) .
4
x, x 0
3
y x, x 0
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
在定义域内不同部分上,有不同的 解析表达式的函数通常叫做分段函数
分段函数：对于一个函数，在定义域的不同部 分，有不同的表达式，图象由不同的几段构成.
（1）分段函数是一个函数， 不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域是各段值域的并集．
测 试
成绩 序 第1次
号 姓名
第2次
第3次 第4次
第5次 第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件
题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】
．
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
人教A版必修一数学课件：1.2.2函数的表示法(第2课时分段函数及映射)
研修班
3
x＋2，x≤－1 2 已知函数 f(x)＝x ，－1<x<2 ，求 f(f(f(－3))) 2x，x≥2 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数 f(x)是分段函数； ②本例是求值问题． 解答本题需确定 f(f(－3))的范围，为此又需 确定 f(－3)的范围，然后根据所在定义域代入相 应解析式逐步求解．
2018/12/1 研修班 8
对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值
的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作 出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一
样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
2.写出下列函数的解析式并作出函数图象： (1)设函数y＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2； (2)设函数y＝f(x)，当x≤－1时，f(x)＝x＋1；当－1＜x＜1时，f(x)
2018/12/1
研修班
2
1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各
是什么？ 【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是
各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．函数是映射吗？ 【提示】 对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映
射，是从非空数集到非空数集的映射．
2018/12/1
2018/12/1
研修班
4
【解析】 ∵－3≤－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1 ∴f(f(－3))＝f(－1)＝1，
∵－1<1<2，
∴f(f(f(－3)))＝f(1)＝1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相
应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层
人教A版必修第一册高中数学3.1函数的概念及其表示精品课件
C．{0，1}
D．[0，＋∞)
将 x＝－1，0，1 分别代入 f(x)＝x2 中，得 f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1.根据集合中元素的互异性可知函数 的值域为{0，1}，故选 C.
例题解析
例 8．已知函数 f(x)＝2x－＋21x(x>1)，则它的值域为(D )
A. (0，＋∞)
B．(－∞，0)
因为 x∈0，13，所以 1－3x∈[0，1]，所以 1－3x∈[0，1]，令 t＝
1－t2
1－t2
t2
1
所以 x＝ 3 ，所以 y＝ 3 ＋t＝－3＋t＋3，t∈[0，1]．
1－3x，则 t∈[0，1]，
t2
1
3
因为函数 y＝－3＋t＋3图象的对称轴方程为 t＝2，所以 t∈[0，1]时，y 的值随 t 的增大而增大，所以 y∈
A.12，32
B.12，52
C.－12，32
D．[0，2]
0≤x＋12≤2，
1
3
因为函数 f(x)的定义域是[0，2]，所以有0≤x－12≤2，解得2≤x≤2.故选 A.
例题解析
例 7.．已知函数 f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为( C )
A．{－1，0，1}
B．[0，1]
例题解析
例 2．下列说法正确的是( C ) A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是非空的数集 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
由函数的定义可知，函数的定义域和值域为非空的数集．
例题解析
例 3．判断正误
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． y （ x）2
分段函数-(新教材)人教A版高中数学必修第一册全文课件
分段函数-【新教材】人教A版高中数 学必修 第一册 优秀课 件-ppt 分段函数-【新教材】人教A版高中数 学必修 第一册 优秀课 件-ppt
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第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T) 第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T)
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第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T) 第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T)
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02-第一节 函数的概念及其表示-课时2 函数的表示法高中数学必修一人教A版
上时，他与C点的距离越来越大，故C错误，D正确.
3.已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象为如图所示的曲线
,其中 1,3 , 2,1 , 3,2 ,则 2
A.3
B.2
=( B
1
2
3
2
3
0
C.1
【解析】 由题知 2 = 1, 1 = 2,所以 2
)
D.0
3
水资源费
污水处理费
1.5
1.4
（1）试写出用户所交水费（元）与用水量 m3 之间的函数解析式；
【解析】 依题意得，当0 ≤ ≤ 180时， = 5；
当180 < ≤ 260时， = 7 − 180 + 5 × 180 = 7 − 360；
（5）解方程组法:已知关于 与
知条件构造出另外一个关于 与
1
1
或 与 − 的表达式,可根据已
或 与 − 的等式,通过解方
程组求出 .
（6）赋值法:通过取某些特殊值代入题设中的等式,可使抽象的问题具体化、
简单化,从而找到规律,求出解析式.
17.已知 是定义在上的函数， 0 = 1，且对任意的实数，都有
[0,2] ∪ {2,3} = [0,2] ∪ {3}.故选D.
−, ≤ 0,
7.（多选）设函数 = ቊ 2
若 = 4，则实数的值可以是
, > 0,
( AD
A.2
)
B.−2
C.4
D.−4
> 0,
≤ 0,
【解析】 因为 = 4，所以ቊ
或ቊ 2
解得 = −4或 = 2.故
4
3.已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象为如图所示的曲线
,其中 1,3 , 2,1 , 3,2 ,则 2
A.3
B.2
=( B
1
2
3
2
3
0
C.1
【解析】 由题知 2 = 1, 1 = 2,所以 2
)
D.0
3
水资源费
污水处理费
1.5
1.4
（1）试写出用户所交水费（元）与用水量 m3 之间的函数解析式；
【解析】 依题意得，当0 ≤ ≤ 180时， = 5；
当180 < ≤ 260时， = 7 − 180 + 5 × 180 = 7 − 360；
（5）解方程组法:已知关于 与
知条件构造出另外一个关于 与
1
1
或 与 − 的表达式,可根据已
或 与 − 的等式,通过解方
程组求出 .
（6）赋值法:通过取某些特殊值代入题设中的等式,可使抽象的问题具体化、
简单化,从而找到规律,求出解析式.
17.已知 是定义在上的函数， 0 = 1，且对任意的实数，都有
[0,2] ∪ {2,3} = [0,2] ∪ {3}.故选D.
−, ≤ 0,
7.（多选）设函数 = ቊ 2
若 = 4，则实数的值可以是
, > 0,
( AD
A.2
)
B.−2
C.4
D.−4
> 0,
≤ 0,
【解析】 因为 = 4，所以ቊ
或ቊ 2
解得 = −4或 = 2.故
4
人教A版高中数学必修第一册 第2课时 分段函数【课件】
• 求分段函数函数值的方法
• 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后 代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
－2x，x＜－1，
1．已知函数 f(x)＝2，－1≤x≤1， 2x，x＞1.
(1)求 f－32，f21，f29，ff12； (2)若 f(a)＝6，求 a 的值．
题型 3 分段函数在实际问题中的应用
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长
温度为 15～20 ℃的新品种蔬菜，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关
闭后，大棚里温度 y(℃)随时间 x(h)变化的函数图象，其中 AB 段是恒温
阶段，BC 段是双曲线 y＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
• (2)条件：自变量x在不同取值范围内，有着 ____________；
• (3)结论：这样的函数称为分段函数．
• 【答案】不同的对应关系
微思考
• 分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系 不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
• 【提示】分段函数是一个函数而不是几个函 数．
|课堂互动|
• (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先 应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化 为分段函数，然后分段作出函数图象．
• (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象， 在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其 图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要 特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
• 对于应用题，要在分析题意的基础上，弄清变 量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根 据图象求关系式，则要分段用待定系数法求出，最 后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义 域的各个“分点”．
高中数学必修第一册3.1函数的概念及其表示课件
那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w
（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
对于任一个给定的天数d，都有唯一确
定的工资w与之对应；
= 350
变量w和d之间是否是函数关系?它们各自的变化范围是什么 ?
试用集合 A，B 表示?
= 350
集合A
集合B
一一对应
1
2
3
4
5
6
350
记作:y=f(x) , x∈A
注意：
（1）x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函
数的定义域；
（2）与x的值相对应的 y值 叫做函数值；函数值组成的
集合
叫做函数的值域。
C={y|y=f(x), x∈A}
深化概念
高中和初中函数概念的区分和联系
①
定义的扩大：初中强调变量之间的关系；高中是在映射概念和集合的概念的基础上进
∈ , , , , , , , . ,
∈ . , . , . , . , . , . , . , . , . , .
集合B
集合A
（3）对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B
中都有唯一确定的元素 y 与之对应。
不同点
分别通过解析式、图象、表格刻画变量之间的对
应关系
函
数
的
概
念
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的
对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x，
在集合B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，
就称f : A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
700
1050
1400
1750
2100
解析法
实例2：
（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
对于任一个给定的天数d，都有唯一确
定的工资w与之对应；
= 350
变量w和d之间是否是函数关系?它们各自的变化范围是什么 ?
试用集合 A，B 表示?
= 350
集合A
集合B
一一对应
1
2
3
4
5
6
350
记作:y=f(x) , x∈A
注意：
（1）x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函
数的定义域；
（2）与x的值相对应的 y值 叫做函数值；函数值组成的
集合
叫做函数的值域。
C={y|y=f(x), x∈A}
深化概念
高中和初中函数概念的区分和联系
①
定义的扩大：初中强调变量之间的关系；高中是在映射概念和集合的概念的基础上进
∈ , , , , , , , . ,
∈ . , . , . , . , . , . , . , . , . , .
集合B
集合A
（3）对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B
中都有唯一确定的元素 y 与之对应。
不同点
分别通过解析式、图象、表格刻画变量之间的对
应关系
函
数
的
概
念
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的
对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x，
在集合B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，
就称f : A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
700
1050
1400
1750
2100
解析法
实例2：
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.函数的单调性课件 a高一第一册数学课件
则函数y=x+ 的a 单调增区间(qū jiān)是(-∞，- ]和a[ ，+∞)，a 单调减区间是 x
(- ，a0)和(0， ). a (2)若a<0，其图象如图2所示，
函数y=x+ 在a (-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+ 的单调增区间a
为(-∞，0)和x(0，+∞).
x
12/8/2021
第1课时 函数(hánshù)的单调性
12/8/2021
第一页，共四十八页。
必备知识·自主(zìzhǔ)学习
导 1.怎样描述函数的图象上升、下降的性质？ 思 2.什么是函数的单调区间？
1.函数(hánshù)的单调性 (1)定义
函数
增函数
减函数
图示
条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，
12/8/2021
第十六页，共四十八页。
类型二 利用定义证明函数(hánshù)的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明函数f(x)= 在区间1 (2，+∞)上单调递减. x2 4
四步
内容
理解 题意
条件：函数f(x)= ，1x∈(2，+∞)
x2 4
结论：函数f(x)在(2，+∞)上单调递减
思路 任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2⇨f(x1)>f(x2)⇨函数在(2，+∞)上单 探求 调递减
12/8/2021
第九页，共四十八页。
3.(教材二次开发：例题改编(gǎibiān))若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取值范围是