2012年中考数学专题复习第二章《方程(组)与不等式(组)》第10讲_一元一次不等式组
【答案】B
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考
点
训
练
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二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2011·黄冈)要使式子 为________．
a＋2≥0， a＋2 【解析】要使 有意义，则 a a≠0，
a＋2 有意义，则 a 的取值范围 a
∴a 的取值
范围是 a≥－2 且 a≠0.
【答案】a≥－2 且 a≠0
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解得 25＜n≤28. 而 n 是整数，所以其取值为 26,27,28，对应 36－n 的值为 10,9,8， 所以共有三种购买方案： ①购买篮球 26 个，排球 10 个；②购买篮球 27 个，排球 9 个；③购买 篮球 28 个，排球 8 个．
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中考典例精析
方法总结：
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列一元一次不等式组解决实际问题时，往往要根据题意求出不等式组
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中考典例精析
2 【解答】(1)设篮球的单价为 x 元，则排球的单价为 x 元，据题意 3 2 得 x＋ x＝160，解得 x＝96. 3 2 所以 x＝64，即篮球和排球的单价分别为 96 元、64 元． 3 (2)设购买的篮球数量为 n，则购买的排球数量为 36－n，由题意得 36－n＜11， 96n＋6436－n≤3 200，
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考点知识精讲
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【点拨】不等式组的每个不等式解集的公共部分即为不等式组的解 集，在数轴上表示解集时，注意“●”表示包括这个点，“○”表示不包 括这个点．(1)由 2x－4＜0 得 x＜2，由 x＋1≥0 得 x≥－1，所以不等式
2x－4＜0 组 x＋1≥0
的解集是－1≤x＜2.故选 A.(2)由数轴知不等式组的解
考点知识精讲
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第10讲
考点知识精讲
一元一次不等式组
中考典例精析 举一反三
考点训练
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考点知识精讲
考点一 一元一次不等式组的有关概念
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一元一次不等式 1.定义类似于方程组，把几个含有相同未知数的_______________合
起来，就组成了一个一元一次不等式组.
公共部分 2.解集几个不等式的解集的________叫做由它们所组成的不等式组
答案：A
5 B．m＜ 3
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举
x－3≥0 3．不等式组x 2＜3
A．9 B．12
一
反
三
)
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的所有整数解之和是( C．13 D．15
答案：B
x－3x－2≤4 4．解不等式组1＋2x 3 >x－1 2x－1>1 5．解不等式组 x－1 x－2≤ 2
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利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题
的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求
的是不等量关系，列出的是不等式，解不等式组所得的结果通常为解集， 根据题意需从解集中找出符合条件的答案.
在列不等式时，“不超过”“不多于”等用“≤”连接，“至少
”“不少于”等用“≥”连接.
【答案】A
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考
点
训
练
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x－4≤8－2x 4．(2010 中考变式题)不等式组 2 x>－3
解为( )
的最小整数
A．－1 B．0 C．1 D．4
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考
点
训
练
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x－4≤8－2x① 【解析】 2 x>－3 ②
2 ，由①得 x≤4，由②得 x>－ ， 3
示出来．
，并将解集在数轴上表
【点拨】求不等式组的解集时，应先求出每个不等式的解集，再确 定出不等式组的解集．
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中考典例精析
2x＋1＞x－5 ① 【解答】(1)∵ 4x≤3x＋2 ②
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解不等式①，得 x＞－6， 解不等式②，得 x≤2， ∴原不等式组的解集为－6＜x≤2.
5x－9＜3x－1 ① (2) 3 1 1－2x≤2x－1 ②
点
训
练
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x－a>0 中考预测题)已知不等式组 b－2x>0
2 012
的解集是
－1<x<1，则(a＋b)
＝________. x>a x－a>0 【解析】解 得 b b－2x>0， x<2.
a＝－1 由题意得 b 2＝1
训练时间：60分钟
分值：100分
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考
点
训
练
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一、选择题(每小题4分，共32分)
1 x＋1>0 1． (2010 中考变式题)不等式组3 2－x ≥0
1 A．－ <x≤2 3 C．x ≥2 B．－3<x≤2 D．x<－3
的解集是(
)
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考
1 x＋1>0 【解析】 3 2－x≥0
技类书籍30本，人文类书籍60本． (1)问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费
用是570元，试说明在(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 答案：三种方案 最低费用22 320元
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考
点
训
练
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一元一次不等式组
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考点知识精讲
2x－4＜0， (1)(2011·大连)不等式组 x＋1≥0
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的解集是(
)
A．－1≤x＜2 B．－1＜x≤2 C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2 (2)(2011·武汉)如图所示，数轴上表示的是某不等式组的解集， 则这个不等式组可能是( )
x＋1＞0 A. x－3＞0 x＋1＜0 C. x－3＞0 x＋1＞0 B. 3－x＞0 x＋1＜0 D. 3－x＞0
方向一定要改变.
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中考典例精析
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(2011·铜仁)为鼓励学生参加体育锻炼，学生计划拿出不超过3 200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3∶2，单
价和为160元．
(1)篮球和排球的单价分别为多少元？ (2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于 11个，有哪几种购买方案？ 【点拨】本题考查一元一次不等式组的应用．
，的解集在数轴上表示
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考
点
训
练
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x＋1≥－1 【解析】解不等式组1 2x＜1
D.
【答案】D
，得－2≤x＜2，故选
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考
范围是( )
点
训
练
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7．(2010中考变式题)如果点P(m,1－2m)在第四象限，那么m的取值
1 A．0<m< 2 C．m<0
1 B．－ <m<0 2 1 D．m> 2
珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，
圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了________支． 【解析】设签字笔购买了x支，则圆珠笔购买了(15－x)支，由题
意得26<2x＋1.5(15－x)<27，解得7<x<9，∵x取正整数，∴x＝8.
【答案】8
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考
12．(2012
点
训
练
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x>－3 ，解不等式组得 x≤2，
根据
“大小小大中间找”得解集为－3<x≤2.
【答案】B
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考
点
训
练
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2．(2010中考变式题)解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是
(
)
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考
x>－2 A. x≥3 x<－2 C. x≥3 x>－2 B. x≤3 x<－2 D. x≤3
集是－1＜x＜3，所以只有 B 符合题意．
【解答】(1)A (2)B
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中考典例精析
2x＋1＞x－5 (1)(2011·天津)解不等式组 4x≤3x＋2
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,并把解集在数轴上
表示出来．
5x－9＜3x－1 (2)(2011·新疆)解不等式组 3 1 1－2x≤2x－1
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考
点
训
练
x>2 的不等式组 x>m
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10． (2010 中考变式题)若关于 x
的解集
是 x>2，则 m 的取值范围是________．
【解析】根据大大取大，得m≤2.
【答案】m≤2
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考
点
训
练
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11．(2010中考变式题)某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆
m>0 【解析】由题意得 1－2m<0
1 ，解得 m> . 2
【答案】D
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考
点
训
练
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8．(2012中考预测题)大运会期间北京球迷一行56人从旅馆乘出
租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆
车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的 车未坐满；若全部安排B队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，
不变，只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用.
考点三 一元一次不等式组的特殊解
一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数 解等. 不等式组的特殊解，包含在它的解集中.因此，解决此类问题的关键 是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解.
中考数学一轮教材复习-第二章 方程(组)与不等式(组) 一次方程(组)与分式方程的解法
B.①-③
C.①-②
的变形得到了-3y=4.
B
D.②+③
(2)第三步的依据是 等式的性质2(或等式两边乘同一个数,或除以同一
.
(3)从第
三
步开始出错.
(4)请直接写出原方程组的解:
7
=− ,
6
4
=−
3
个不为0的数,结果仍相等)
.
(5)请你根据平时的学习经验,写出解二元一次方程组的基本思
C.如果a=b,那么ac=bc
D.如果a=b,那么a2=b2
（第二章 方程（组）与不等式（组））
考点2 二元一次方程组的解法(10年1考)
+ = 12,
2 [2015贵阳11题4分]方程组ቊ = 2 的解为
= 10,
.
ቊ
=2
3 + = 4,
2-1 [2024宿迁模拟]若实数x,y满足方程组ቊ − = 2, 则x+y=
子），结果仍相等.即若a=b，则a±c=② b±c
一元
一次
方程
及其
边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，
结果仍相等.即若a=b，则ac=③ bc
；若a=b，c≠0，即 =④
波
必要条件
只含有⑤ 一 个未知数，未知数的次数是⑥
概念
都是整式的方程
[一般形式：ax+b=0（a≠0）]
（第二章 方程（组）与不等式（组））
概念：分母中含有⑮ 未知数的方程叫分式方程
分式
方程
及其
解法
解分式
一般
分式
步骤
方程 乘⑯ 最简公分母
中考数学一轮复习 第二章 方程与不等式 第一节 一次方程(组)课件
2021/12/8
第九页，共二十九页。
知识点三 一次方程(yī cìfānɡ chénɡ)(组)的应用 1．用一次方程(组)解决日常生活中的行程问题、工程问题、
营销中的利润问题、储蓄问题、折扣问题和其他一些常见
问题．
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第十页，共二十九页。
2．列方程解应用题的一般步骤为：(1)审，即审清题意， 分清题中的已知量和未知量；(2)设，即设出关键未知数； (3)列，即找出题干中的等量关系(guān xì)，列方程；(4)解，即解 方程；(5)验，即检验结果是否正确或是否有实际意义； (6)答，即回归题中，规范作答．
3．一元一次方程：在一个方程中，只含有
整式(zhěnɡ
__一__个_未(yī知ɡè数) ，而
且方程中的代数式都是 __sh_ì)__，未知数的指数都是____，这1
样的方程叫做一元一次方程．
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第二页，共二十九页。
4．等式的基本(jīběn)性质
(1)等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得的结果仍
答：大宿舍(sùshè)有30间，小宿舍有20间．
2021/12/8
第二十六页，共二十九页。
7．(2017·长清二模)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品， 已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙 商品2件共需230元，求甲、乙两种商品每件的进价分别(fēnbié)是多少
元？
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第二十七页，共二十九页。
解：设甲种商品(shāngpǐn)每件的进价为x元，乙种商品每件的进价 为y元，
由题意得解得
答：甲种商品(shāngpǐn)每件的进价为30元，乙种商品每件的进价 为70元．
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
2012中考数学复习精讲第二单元方程与不等式(组)
x+1 2r—3 ［解析］在方程的两边同时乘6,6X 子 -6X =1X6,
所以 3(x+l)—(2x—3)=6.
4.已知5是关于x的方&x-2a=7的解，则。的值为 —
［解析］将x=5代入方程3X5—M=7,解得n=4.
一、2x — 1 10x — 1
5.解方程：一j ————=1.
解：去分母，得2(2x-l)-(10x-l)=6； 去括 号，4x—2—10x+l=6；
克力的重量+1个果冻的重量=50克.设每块巧克力重x克，每
个果冻重y克，则有 3x=2y,
x=20, , r 解得 “ 故选C.
x+j=50,
ly=30.
14.某地居民生活用电基本价格为0.50元/度，规定每月基本 用电量1=. 为0度，超过部分电量11==1=的' 每度电价比基本用电量的每 度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费 56元，则〃的值=40 .
移项，4x—10x=6+2—1； 合并同类项，—6X=7；
7 系数化为1, x=—%
第6讲
6.B^nx2,n-1+3J4-2// = —7是关于x, y的二元一次方程，则n 的值是
(C )
m = lf
3 〃=一
3
m= C. l9
m = l9 D.S 5 n=2
〃=!
［解析］方程"〃-】+3成一2〃 = _7是二元一次方程，则 M—1
2012版中考数学精品课件含1011一次方程组53张4
方法二：①＋②，得5x=10.∴x=2，
把x=2代入①，得4-y=3.∴y=1.
∴方程组的解是
x y
2 .
1
5.(2010·百色中考)二元一次方程组 2xx33yy41的解是( )
(A)
x y
1 1
(C)
x y
2 2
(B)xy
1 1
(D)
x y
2 1
【解析】选A.把两式相加，得3x=3，x=1，把x=1代入第一
()
(A)xxyy1 2
(B) 51xxy2y
3
3
(C)
2x
z
0
3x
y
1 5
(D)
x x
2
5 y
3
7
【解析】选D.根据二元一次方程组的定义判定：A是二元二次
方程组，B是分式方程组，C是三元一次方程组，只有D满足 二 元一次方程组的定义.
3.(2009·杭州中考)
已知
x 1 y 1
是方程2x-ay=3的一个解,
(4)解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验所得结果的正确性及合理性； (6)写出答案.
【例3】(2010·郴州中考)受气候等因素的影响，今年某些农 产品的价格有所上涨.张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、 乙两种蔬菜共获利13 800元.其中甲种蔬菜每亩获利1 200元， 乙种蔬菜每亩获利1 500元.则甲、乙两种蔬菜各种植了多少 亩？ 【思路点拨】
二元一次方程组的解法
1.代入法解二元一次方程组的步骤 (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未 知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得 到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求出未知数的值；
#2012版中考数学(含1011真题)第10讲方程(组)与不等式(组)的实际应用(77张)
60
60
答：提速后的火车速度约为352 km/h.
2012版中考数学复习指导
7.(2011·威海中考)为了参加2011年威海国际铁人三项(游泳， 自行车，长跑)系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑 项目进行专项训练.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为 每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段 和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段 的长度.
答:从甲地到乙地全程是6.5 km.
2012版中考数学复习指导
4.(2010·绵阳中考)在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦 为孤岛.当时洪水流速为10千米／时，张师傅奉命用冲锋舟去 救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与以 最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等.请你计算出该冲锋 舟在静水中的最大航速为_____. 【解析】设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米∕时,那 么 2 1.2 ,解得x=40.
x10 x10
答案：40千米/时
2012版中考数学复习指导
5.(2010·潜江中考)元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这 样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：良马 _____天可以追上驽马. 【解析】设良马x天可以追上驽马,那么150(x+12)=240x, 解得x=20. 答案：20
∴x=300是原方程的解.
答：该地驻军原来每天加固300米.
2012版中考数学复习指导
8.(2010·青海中考)某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工
后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，求原计划
每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的
2012届中考数学复习课件：第2章 方程(组)与不等式(组)第1讲 一次方程与方程组
5．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价 40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲、乙两种商品原来的单价 分别为x元、y元，则下列方程组正确的是( ) x＋y＝100 A. 1＋10%x＋1－40%y＝100×1＋20%
x＝48， 解之得 y＝52. 所以甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．
②乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为 70×57%＋30×37% ×100%＝ 100
51%>49.6%. (说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生的优分率合适，就得分)
剃须刀由刀片和刀架组成，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃 须刀(刀片可更换)，有关销售策略与售价等信息如下表所示：
【点拨】本组题主要考查方程(组)的应用，正确列出方程(组)的关键在于弄清题意，找 出能够表示应用题全部含义的一个等量关系，并列出代数式表示这个等量关系的左边和右 边．
【解答】 ①(35.2－1.01)÷1.01≈34 答：1999年的成交金额比1995年约增加了34倍． ②设2000年成交金额为x亿元，则2009年成交金额为(3x－0.25)亿元，所以x＋3x－0.25 ＝153.99 解得x＝38. 56. ∴3x－0.25＝115.43>100 ∴2009年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关． (2)①设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人． x＋y＝100， 由题意可列方程组 60%x＋40%y＝49.6%×100.
6．(2008· 杭州)课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔 同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头(只)？如果假设鸡有x只，兔有y只，请 你列出关于x，y的二元一次方程组；并写出你求解这个方程组的方法．
中考数学 第1部分 教材同步复习 第二章 方程(组)与不等式(组)2.1 一次方程与方程组课件
知识要点·归纳
知识点一 等式与方程
1．等式 (1)概念：用等号来表示相等关系的式子叫做等式． (2)等式的基本性质 ① 等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，等 式仍然成立． ② 等式两边同时乘以或除以同一个不为0的整数，等式仍 然成立．
知识点二 一元一次方程及解法
1．定义：一元一次方程是指含有一个_未__知__数__，并且未知 数的最高次数是_一___次的整式方程．
2．判断方法：判断一个方程是否为一元一次方程，一定 要把它化到最简，然后再看：①是否只含有一个未知数；②未 知数的次数是1；③系数不为0.只有这三个条件同时满足，才是 一元一次方程．
个方程即可求解；(2)加减消元法，将第一个方程变形为 2x－y ＝ 4，再与第二个方程相加，即可消去 y＝2x－ 4① 3x＋y＝1② 将①代入②，得 3x＋2x－4＝1， ∴ x＝1. 将 x＝1 代入①，可得 y＝－2. 故方程组的解为xy＝ ＝－ 1，2.
2．解法：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元” 化成“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组， 进而再转化为解一元一次方程．
知识点五 一次方程(组)的应用
1．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)把握题意，搞清楚什么是条件，求什么；(2)设未知数： a.直接设未知数，问什么，设什么，b.间接设未知数；(3)找出 能包含未知数的等量关系(一般情况下设几个未知数，就找几个 等量关系)，列出方程(组)；(4)求出方程(组)的解(注意排除增根)； (5)验根(看是否符合题意)；(6)写出答案(包括单位、名称)．
3．解法步骤：
步骤
具体做法
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(若未知数的 去分母
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程与方程组及应用(精讲)
(5) 方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．
, 中考重难点突破 )
6 / 10
一元一次方程及解法
【例 1】 (1) 已知关于 x 的方程 2x＋ a－ 5＝0 的解是 x＝ 2，则 a 的值为 ___ _____．
0.5x ＋ 2
0.3 （ 0.5x ＋2） 131
(2) 解方程：
－x＝
－.
0.03
3
值
解答
二元一次方 考查利用消
21
程组的解法 元法解二元
6
9
一次方程组
纵观怀化七 年中考，一
次方程 ( 组) 及应用在中
考中除
2014 年没
有涉及到
外，其他各
年份均有所
命题规律 体现，其中
填空题出现 4 次，选择
题出现 1 次，解答题
出现 3 次， 大多数难度
中偏下，注 重考查基
础.
命题预测
预计 2017 年，本考点
x＋3y ＝－ 1. x＝ 2，
解： y＝－ 1.
一次方程 ( 组 ) 的应用 ( 高频考点 )
【例 3】 ( 2015 菏泽中考 ) 食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添
加剂对人体无 害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的
A、 B 两种饮料均需加入同种添加剂， A 饮料每
审
审清题意，分清题中的已知量、未知量
设
设① __未知数 __，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题， 需设两个未知数
列
弄清题意，找出② __相等关系 __；根据③ __相等关系 __，列方程 ( 组 )
解
解方程 ( 组 )
中考数学一轮总复习讲解 第二章 方程与不等式
中考数学一轮总复习讲解第二章方程与不等式第6讲一元一次方程与分式方程及其应用第7讲二元一次方程组及其应用第8讲一元二次方程及其应用第9讲方程(组)的应用第10讲不等式与不等式组第11讲一元一次不等式的应用第6讲一元一次方程与分式方程及其应用1．一元一次方程及解法2.分式方程及解法3.列方程解应用题的一般步骤1．(2016·杭州)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为( )A ．518＝2(106＋x )B ．518－x ＝2×106C ．518－x ＝2(106＋x )D ．518＋x ＝2(106－x )2．(2017·宁波)分式方程2x ＋13－x ＝32的解是____________________． 3．(2017·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：____________________.4．(2017·金华)解分式方程：2x ＋1＝1x －1.【问题】给出以下五个代数式：2x －4，x －2，x ，12，3. (1)选取其中的几个代数式，组成一个一元一次方程和一个分式方程；(2)解出(1)中所选的一元一次方程和分式方程．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元一次方程和分式方程的概念，以及它们的解法．类型一 等式性质和方程的解的含义例1 (1)(2017·杭州)设x ，y ，c 是实数，( )A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB ．若x ＝y ，则xc ＝ycC ．若x ＝y ，则x c ＝y cD ．若x 2c ＝y 3c，则2x ＝3y (2)已知关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a ＝________.(3)已知关于x 的方程3x ＋n 2x ＋1＝2的解是负数，则n 的取值范围为______________．1．(1)已知等式3a ＝2b ＋5，则下列等式中不一定成立的是( )A ．3a －5＝2bB ．3a ＋1＝2b ＋6C ．3ac ＝2bc ＋5D ．a ＝23b ＋53(2)如果方程x ＋2＝0与方程2x －a ＝0的解相同，那么a ＝____________________．(3)(2017·成都)已知x ＝3是分式方程kx x －1－2k －1x ＝2的解，那么实数k 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2类型二 一元一次方程的解法例2 解方程：x －x －12＝2－x ＋23.2．解方程：(1)(2016·贺州)解方程：x 6－30－x 4＝5；(2)7x －12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)．类型三 分式方程的解法例3 (2015·营口)若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m3－x ＝2有增根，则m 的值是() A ．m ＝－1 B ．m ＝0 C ．m ＝3 D ．m ＝0或m ＝3例4 (1)(2017·湖州)解方程：2x －1＝1x －1＋1；(2)(2017·陕西模拟)解方程：2－x x －3＝13－x －2.3．解分式方程：(1)x x －3＝x －63－x＋3；(2)x x ＋1－4x 2－1＝1.类型四 一元一次方程和分式方程的应用例5 (2015·宁波)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？4．(2017·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？【探索规律题】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【方法与对策】根据寻找的规律，每增加1张这样的餐桌可增加4人求解即可．这是探索规律题(图形的变化类)，并利用方程思想来解决．它是中考热点题之一．【解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根】解分式方程：x 2－4x x 2－1＋1＝2x x ＋1.第7讲二元一次方程组及其应用二元一次方程组及解法1．(2017·舟山)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝( ) A ．1 B ．3 C ．－14D .742．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2xC .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2yD .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x3．(2016·金华)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，x ＋y ＝2.【问题】对于二元一次方程2x ＋y ＝10.(1)求其正整数解；(2)若x ＋y ＝7，求x ，y 的值；(3)对于(1)、(2)中的x ，y 值的求法，你有何体会？.类型一 二元一次方程(组)的有关概念例1 (1)(2016·永康模拟)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程x －ay ＝3的一个解，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)(2017·南宁)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝5的解，则3a －b ＝________；(3)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，则m ＝________，n ＝________.1．(1)(2016·毕节)已知关于x ，y 的方程x 2m－n －2＋4y m＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n的值为( )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝43(2)已知x 、y 是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，2x ＋4y ＝5的解，则代数式x 2－4y 2的值为____________________．类型二 二元一次方程(组)的解法例2 解方程(组)：(1)方程x ＋3y ＝9的正整数解是________；(2)(2015·成都)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，3x －2y ＝－1，(2)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－x ＋y 4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.2．解方程组：(1)(2015·聊城)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，2x ＋y ＝4；(2)1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3.类型三 二元一次方程组的综合问题例3 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝11，2ax ＋3by ＝3的解相同，求a ，b 的值．例4 (2016·枣庄)P n 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：P n ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b)(其中，a ，b 是常数，n ≥4)(1) 通过画图，可得四边形时，P 4＝ (填数字)；五边形时，P 5＝ (填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值．3．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝n ，3x ＋5y ＝n ＋2的解x ，y 的和为12，求n 的值．4.当m 取什么值时，方程x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，mx －y ＝0有公共解．类型四 二元一次方程组的应用例5 (2015·佛山)某景点的门票价格如下表：某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？5．八(1)班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；(2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．【实际应用题】1．(2017·自贡)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组__________________．2．(2017·济宁)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，可列方程组是____________．【二元一次方程的解，二元一次方程组的解理解不清】方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －7y ＝0，x －2y ＋1＝0的解对方程2x －3y ＝－5而言( )A ．是这个方程的唯一解B ．是这个方程的一个解C ．不是这个方程的解D ．以上结论都不对第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法2.一元二次方程根的判别式1．(2015·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是()A．－1 B．1 C．－4 D．42．(2017·舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝33．(2017·丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0；②x2－2x＝8；③1x－3－2x3－x＝1.(1)是一元二次方程的是__________；(2)求出(1)中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？(3)通过(1)(2)问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？类型一 一元二次方程的有关概念例1 (1)关于x 的方程(a －6)x 2－8x ＋6＝0有实数根，则整数a 的最大值是________． (2)若x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个解，且a ≠b ，则a 2－b 22a －2b的值为________．(3)关于x 的方程a(x ＋m)2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1，(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a(x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是________．1．(1)(2016·南京模拟)关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2＋x －2＝0是一元二次方程，则a 满足( )A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠±1D ．为任意实数(2)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为____________________．类型二 一元二次方程的解法例2 解下列方程： (1)(3x －1)2＝(x ＋1)2； (2)2x 2＋x －12＝0.2．解方程：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7；(2)x(x－2)＋x－2＝0.类型三一元二次方程根的判别式例3(1)(2017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．(2)(2015·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．【解后感悟】在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，需要把握根的三种存在情况：b2－4ac≥0，方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2－4ac＜0，无实数根．3．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是()A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝04．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是____________________．5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值．（a－2）2＋b2－4类型四 与几何相关的综合问题例4在宽为20m ，长为32m 的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m 2，则道路的宽为________m .(2)(2016·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a ＝1，则b ＝________．(3)(2015·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是________．6．(1)(2016·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )A .12B .35C ．2－3D ．4－2 3(2)一个直角三角形的两条边长是方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于 .(3)有一块长32cm ，宽24cm 的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是____________________cm .类型五一元二次方程在生活中的应用例5(1)(2017·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为________．(2)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有________队．(3)商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是________．(4)将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货________个．7．(1)(2016·宁波市镇海区模拟)毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级(1)班人数为____________________人．(2)(2017·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第____________________个图形有94个小圆．【探索研究题】1．(1)(2017·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3(2)(2017·宁波市北仑区模拟)已知m是方程x2－2017x＋1＝0的一个根，则代数式m2－2018m＋m2＋12017＋3的值是________．【忽视一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”】已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________．第9讲方程(组)的应用1．(2017·杭州)某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则()A．10.8(1＋x)＝16.8B．16.8(1－x)＝10.8C．10.8(1＋x)2＝16.8D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.82．(2017·台州)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差()A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟【问题】小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．(1)按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？(2)通过(1)解答，请你谈谈方程应用性问题，应注意哪些方面？解题的一般步骤怎样？类型一一元一次方程的应用例1(1)七年级(2)班有46人报名参加文学社或书画社．已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多10人，两社都参加的有20人，则参加书画社的有________人．(2)有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可以燃烧6小时，细蜡烛可以燃烧4小时，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍，则停电时间是________小时．(3)一件商品成本为x元，商店按成本价提高40%后作为标价出售，节日期间促销，按标价打8折后售价为1232元，则成本价x＝________元．(4)自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费，超过10吨的部分按每吨1.5元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0元，则王老师家三月份用水________吨．1．(1)(2016·聊城)在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是()A.27 B．51C．69 D．72(2)(2015·丽水模拟)诗云：“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”请回答：____________________.(3)如图是由若干个粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链条．已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米．设铁环间处于最大限度的拉伸状态．若要组成1.75米长的链条，则需要____________________个铁环．类型二二元一次方程组的应用例2(1)若买3支圆珠笔、1本日记本共需10元；买1支圆珠笔、3本日记本共需18元，则日记本的单价比圆珠笔的单价多________元．(2)如图，将图1的正方形剪掉一个小正方形，再沿虚线剪开，拼成如图2的长方形．已知长方形的宽为6，长为12，则图1正方形的边长为________．(3)商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是________cm.2．(1)(2017·安徽模拟)如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为____________________元．(2)如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组是____________________．(3)为了合理使用电力资源，缓解用电紧张状况，我国电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(如图表)．已知王老师家4月份使用“峰谷电”95千瓦时，缴电费43.40元，问王老师家4月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时？设王老师家4月份“峰电”用了x千瓦时，“谷电”用了y千瓦时，根据题意可列方程组____________________.类型三一元二次方程的应用例3(1)如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m.(2)某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低________元．(3)美化环境，改善居住环境已成为城乡建设的一项重要内容，某区计划用两年时间使全区绿化面积增加21%，则这两年全区绿化面积的年平均增长率应是________．3．(1)(2017·宁海模拟)某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有____________________家商家参加了交易会．(2)平行四边形ABCD的边长如图所示，四边形ABCD的周长为____________________．(3)(2017·杭州模拟)两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元．随着生产技术的进步，成本逐年下降，第2年的年下降率是第1年的年下降率的2倍，现在生产1吨甲种药品成本是2400元．为求第一年的年下降率，假设第一年的年下降率为x，则可列方程____________________．类型四分式方程的应用例4(1)(2017·慈溪模拟)某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作________件．(2)(2017·瑞安模拟)在“校园文化”建设中，某校用8000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿色植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格为________元．(3)(2017·宁波模拟)某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y＝axx＋12，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄(x≤13)．如果一个儿童服药量恰好占成人服药量的一半，那么他的年龄是________．4．(1)(2016·淄博)某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是____________________．(2)某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为____________________．(3)(2017·绍兴模拟)目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，求小刚每消耗1千卡能量需要行走____________________步．【实际应用题】(2017·衢州)根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：(1)求2016年第一产业生产总值；(精确到1亿元)(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？(精确到1%)(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率．(精确到1%)【寻找等量关系欠仔细】要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( )A .12x(x ＋1)＝28B .12x(x －1)＝28C ．x(x ＋1)＝28 D ．x(x －1)＝28第10讲不等式与不等式组1．不等式的概念及性质2.一元一次不等式(组)的解法及应用1．(2015·嘉兴)一元一次不等式2(x ＋1)≥4的解在数轴上表示为( )2．(2015·丽水)如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是( )A ．x ≥2B ．x>2C ．x>－1D ．－1<x ≤23．(2017·湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1，12x ≤1的解集是( )A ．x ＞－1B ．x ≤2C ．－1＜x ≤2D ．x ＞－1或x ≤24．(2016·金华)不等式3x ＋1＜－2的解集是____________________．5．(2017·衢州)解下列一元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧12x ≤2，3x ＋2＞x.【问题】给出以下不等式：①2x ＋5<4(x ＋2)，②x －1<23x ，③1x －1>0，④x －1≤8－4x.(1)上述不等式是一元一次不等式的是________；(2)上述不等式中，选取其中二个一元一次不等式，并求其公共解． (3)选取其中一个一元一次不等式，使其只有一个正整数解．(4)通过以上问题解答的体会，解一元一次不等式(组)要注意哪些问题？类型一 不等式的基本性质例1 (1)若x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3＞y －3 B .x 3＞y3C ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y(2)若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a ＋c ＞b ＋cD ．a ＋b ＞c ＋b(3)设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c1．(2016·大庆)当0<x<1时，x 2、x 、1x 的大小顺序是( )A ．x 2<x<1xB .1x <x<x 2C .1x <x 2<xD ．x<x 2<1x类型二 一元一次不等式的解法例2 解不等式：x ＋12＋x －13≤1.2．(1)(2016·绍兴)不等式3x ＋134>x3＋2的解是____________________．(2)(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．类型三 一元一次不等式组的解法例3 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），2x －1＋3x2<1，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．3．解不等式组：(1)(2015·泰州)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x ，12x ＋3<－1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋2）＞x ＋8，x 4≥x －13，并把它的解集在数轴上表示出来．类型四 不等式的解的应用例4 (1)(2017·丽水)若关于x 的一元一次方程x －m ＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤2(2)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( )A ．m ＞－23B ．m ≤23C ．m ＞23D ．m ≤－234．(1)(2016·通州模拟)如果不等式(a －3)x>a －3的解集是x>1，那么a 的取值范围是( ) A ．a<3 B ．a>3 C ．a<0 D ．a>0(2)(2017·金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3（x －2），x<m 的解是x ＜5，则m 的取值范围是( )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜5【阅读理解题】(2017·湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．【求不等式组中字母系数范围出错】如果一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>3，x<a 关于x 的整数解为4，5，6，7，则a 的取值范围是( )A ．7<a ≤8B ．7≤a<8C ．a ≤7D ．a ≤8第11讲 一元一次不等式的应用1．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为____________________元/千克．2．(2016·衢州)光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月(按30天计)共发电550度．(1)求这个月晴天的天数；(2)已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本(不计其他费用，结果取整数)．【问题】铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm ，长与宽的比为3∶2.(1)请你根据以上信息，求出该行李箱的长的最大值；(2)通过问题(1)的解决，请你从分析问题和解决问题角度谈谈看法．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理利用不等式(组)解决实际问题的分析方法和一般步骤，以及要注意的问题．类型一列不等式求字母的取值范围的应用例1 (1)(2017·江西)函数y ＝x －2中，自变量x 的取值范围是________． (2)(2015·临海模拟)点(a ，a ＋2)在第二象限，则a 的取值范围是________．(3)(2017·上海市杨浦区模拟)若一次函数y ＝(1－2k)x ＋k 的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是________．(4)对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若⎣⎡⎦⎤x ＋410＝5，则x 的取值是________．1．(1)(2016·兰州)双曲线y ＝m －1x在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .(2)(2017·济宁模拟)已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为____________________．(3)(2015·武威)定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b ＝a(a －b)＋1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－5，那么不等式3⊕x<13的解集为____________________．类型二不等式的应用例2(1)(2017·南京模拟)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为________cm；(2)(2017·杭州模拟)某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打________折；(3)(2017·株洲模拟)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，则孔明买球拍________个．2．(1)如图是某机器零件的设计图纸，在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸，正确的是()(2)(2017·绍兴模拟)小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3(2x－100)＜1000，则下列何者可能是小美告诉小明的内容？()A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元(3)(2017·杭州市江干区模拟)某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对____________________道题，成绩才能在80分以上．类型三不等式与方程(组)结合的应用例3(2017·宁波)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举。