指数及指数函数习题及答案

1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12

)－1.5，则(D) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2

【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，

y 3＝(12

)－1.5＝21.5， ∵y ＝2x 在定义域内为增函数，

且1.8>1.5>1.44，

∴y 1>y 3>y 2.

2．若()142a ＋1<()143－2a ，则实数a 的取值范围是(A)

A.()12，＋∞

B.()1，＋∞ C ．(－∞，1)

D.()－∞，12 【解析】 函数y ＝()14x

在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12

.故选A.

3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有(B)

A ．f(13)

B ．f(23)

C ．f(23)

D ．f(32)

) 【解析】 因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43

)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)

)．故选B.

4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是(A)

A ．(0，12)

B ．(12，＋∞)

C ．(－∞，12)

D ．(－12，12

) 【解析】 根据指数函数的概念及性质求解．

由已知得，实数a 应满足⎩⎨⎧ 1－2a>01－2a<1，解得⎩⎨⎧

a<12a>0， 即a ∈(0，12

)．故选A.

5．设a>0，f(x)＝e x a ＋a e x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝___1___. 【解析】 依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，

∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ， ∴(a －1a )(e x －1e x )＝0. ∴a －1a

＝0，即a 2＝1. 又a>0，∴a ＝1.

6．下列空格中填“>、<或＝”．

(1)1.52.5____<___1.53.2，(2)0.5－1.2____<___0.5－1.5.

【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x .

因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．

又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.

(2)考察指数函数y ＝0.5x .

因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．

又因为－1.2>－1.5，所以0.5

－1.2<0.5－1.5.

7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<()1a 1－2x (a>0且a ≠1)．

【解析】 原不等式可以化为a 2x －1>a 12

，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，

所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34

； 当0

. 综上可知：当a>1时，x>34；当0

.

8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．

【解析】 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－()x －322

＋174， 则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32

时，u 是增函数． 又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0

所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在[)32，＋∞上是减函数，在(]－∞，32上是增函数．

当0

9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x .

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求函数的单调增区间，并证明．

【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3

－(－x)＝3－x ＋3x ＝f(x)且x ∈R ， ∴函数f(x)＝3x ＋3－x 是偶函数．

(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．

现证明如下：

设0≤x 1

＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2

＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2

. ∵0≤x 13x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)