2020北京高三延庆一模数学试题及答案
延庆区高三模拟考试试卷数学2020. 3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
（1）已知复数2i 2i z a a =--是正实数，则实数a 的值为（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）1±（2）已知向量(1,)a k =r ，(,2)b k =r ，若a r 与b r方向相同，则k 等于（A ）1（B）（C） （D（3）下列函数中最小正周期为π的函数是（A ）sin y x =（B ）1cos 2y x = （C ）tan 2y x = （D ）|sin |y x =（4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（A ）1y x =（B ）tan y x = （C ） e e x x y -=- （D ）2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩ （5）某四棱锥的三视图所示，已知，则它的表 面积为（A ）8 （B ）12 （C）4+（D ）20（6）251(2)x x+的展开式中，4x 的系数是正（主）视图侧（左）视图俯视图（A ）160 （B ）80 （C ）50 （D ）10（7）在平面直角坐标系xOy 中，将点(1,2)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于（A ） （B ） （C （D ）25- （8）已知直线,a b ，平面,αβ，b αβ=I，//a α，a b ⊥，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9） 某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取lg20.3010=） （A ）6 年（B ）7年 （C ）8年（D ）9年（10） 已知双曲线22:1169x y C -=的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF ∆的面积为（A （B ）2（C ）32 （D ）92 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知集合{|1}kM x x=>-，且3M -∈，则k 的取值范围是 ． （12）经过点(2,0)M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是 ． （13）已知函数22()sin sin 2cos f x x x x =+-，则()12f π= ．（14）某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种.（15）在ABC ∆中，10AB =，D 是BC 边的中点. 若6AC =，60A ∠=︒，则AD的长等于 ；若45CAD ∠=︒，AC =，则ABC ∆的面积等于 . 三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB =，PD PC ⊥，O 是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC上的一点，//PA 平面BDE . （Ⅰ）求证：E 是PC 的中点； （Ⅱ）求证：PD 和BE 所成角等于90︒.（17）（本小题14分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，1016a =， . （Ⅰ）判断2024是否是数列{}n a 中的项，并说明理由； （Ⅱ）求n S 的最值.从 ①810a =，②88a =，③820a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（18）（本小题14分）A ，B ，C 三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：OEDABP（Ⅰ）试估计A 班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率； （Ⅲ）从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率. （19）（本小题14分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中0a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围. （20）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为(F ，且经过点(C ，,A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点的直线与G 交于,P Q 两点（点在第一象限），且与线段交于点. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）若3PQ =，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的4倍，求直线的方程. （21）（本小题14分）在数列{}n a 中，若*n a ∈N ，且1, ,23, nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数（1,2,3,n =L ），则称{}n a 为“J 数列”.设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）若110a =，求3n S 的值； （Ⅱ）若317S =，求1a 的值；O l Q AB M l BOP ∆ΔBMQ l（Ⅲ）证明：{}na中总有一项为1或3.延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. C 2．D．3．D 4．C 5. B6．B 7．A 8. C 9. B 10. A二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）11．(,3)-∞；12. 2)y x=+； 13；14．16,29； 15．7,42.10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.正切两角和公式15. 在ACD∆中，sin2sin45AC CD=∠︒，在ABD∆中，sin1sin3AB BD=∠∠，相除得：3sin35∠=，所以sin sin(453)10A∠=︒+∠=，所以1sin422ABCS AB AC A∆=⋅⋅=.三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结AC，设AC与BD交于F，联结EF，…………1分因为//PA平面BDE，平面PAC I平面BDE=EF,所以//PA EF…………4分因为ABCD是正方形，EDCPFOADCB132所以 F 是AC 的中点所以 E 是PC 的中点 …………6分 （Ⅱ）（法一）因为 PO ⊥平面ABCD ，所以 PO BC ⊥ …………7分 因为 ABCD 是正方形， 所以 BC CD ⊥因为PO CD O =I所以 BC ⊥平面PDC …………10分 所以 BC PD ⊥ 因为 PD PC ⊥ 因为BC PC C =I所以 PD ⊥平面PBC …………13分 因为 BE ⊂平面PBC 所以 PD BE ⊥所以 PD 与BE 成90︒角. …………14分 （法二）连接OF ，因为 PO ⊥平面ABCD ，所以 PO ⊥CD ， PO ⊥OF . ………7分因为 ABCD 是正方形，所以OF CD ⊥.所以 ,,OF OC OP 两两垂直.以,,OF OC OP 分别为x 、y 、z 建立空间直角坐标系O xyz -.………8分 则(0,0,2)P ，(0,2,0)D -，(4,2,0)B ，(0,1,1)E ， ………9分(0,2,2)PD =--u u u v ，(4,1,1)BE =--u u u v, ………10分 0(4)(2)(1)(2)1PD BE ⋅=⨯-+-⨯-+-⨯u u u v u u u v（………1分）0= ………13分所以所以 PD 与BE 成90︒角. ………14分17. 解：选① （Ⅰ）因为10816,10a a ==，所以3d = …………2分所以 187102111a a d =-=-=- …………4分 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =- …………6分令 3142024n -=，则32038n = 此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项. …………8分 不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半； 只有结果，正确给1分.（Ⅱ）（法一）令0n a >， 即 3140n ->，解得：142433n >= ∴当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a < …………11分 ∴当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.…13分n S 无最大值 …………14分只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.n S 无最大值 …1分（Ⅱ）（法二）21()325222n n n a a S n n +==-， 2514266b a -== …………11分 ∴当4n =时，n S 的最小值为43251642622S =⨯-⨯=-.…13分n S 无最大值 …………14分选② （Ⅰ）10816,8a a ==Q ，4d ∴= …………2分18782820a a d ∴=-=-=- …………4分 1(1)20(1)4n a a n d n ∴=+-=-+-⨯424n =- …………6分令 4242024n -=，则42048n = 解得512n =2024∴是数列{}n a 中的第512项. …………8分（Ⅱ）令0n a ≥， 即 4240n -≥，解得：6n ≥∴当6n =时，0,n a =∴当6n >时，0,n a >当6n <时，0,n a < …………11分 ∴当5n =或6n =时，n S 的最小值为562016128460S S ==-----=-. …………13分 n S 无最大值 …………14分选③ （Ⅰ）10816,20a a ==Q ，2d ∴=- …………2分187201434a a d ∴=-=+= …………4分 1(1)34(1)(2)n a a n d n ∴=+-=+-⨯-236n =-+ …………6分令 2362024n -+=，则994n =-（舍去）2024∴不是数列{}n a 中的项. …………8分（在1,a d 的基础上利用单调性作出正确判定给满分） （Ⅱ）令0n a ≥， 即 2360n -+≥，解得：18n ≤∴当18n =时，0,n a =∴当18n >时，0,n a <当18n <时，0,n a > …………11分 ∴当17n =或18n =时，n S 的最大值为 171818(340)3062S S ⨯+===. …………13分n S 无最小值. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样 方法，A 班的学生人数估计为61203620⨯=． …………3分 只有结果36扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分 设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D 包含的选法有3+2+4=9种， …………6分9()20P D ∴=. …………7分 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的 概率为920. ……………8分 只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分. （Ⅲ）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F 则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++===⨯U . ……………14分 （Ⅲ）另解：从A 班的6人中随机选2人，有26C 种选法，从B 班的7人中随机选1人，有17C 种选法，故选法总数为：2167157105C C ⋅=⨯=种 ……………10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E ， 则E 中包含以下情况：（1）从A 班选出的2人超15小时，而B 班选出的1人不超15小时， （2）从A 班选出的2人中恰有1人超15小时，而B 班选出的1人 超15小时， ……………11分所以21111353322167151811()15735C C C C C P E C C ++===⨯. ……………14分 只有21111353322167151811()15735C C C C C P E C C ++===⨯，而无文字说明，扣1分 有设或答，有11()35P E =，给3分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1+-='=x x x f a 时，当. ∴切线的斜率2)0(='=f k ； 0)0(=f∴曲线)(x f y =在原点处的切线方程为：x y 2=. ……………5分 （Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(+-+-+='x xa ax x a x f22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++（）（）……………7分（1）当时，0>a 0100)(21>=<-=⇒='a x a x x f ；则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递减，）上单调递增，在（在（+∞∴,11,0)(x f ……………9分法1：2)1()(aaf x f =∴的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若-=≥∞+∈a f x f x x f1112222-≥+-+a x a ax 即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≥∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，0212≤-∴a a .1001,02≤<∴≤-∴>a a a ，Θ ……………13分所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分 法2：2)1()(a af x f =∴的最大值为； ……………10分当1x a>时，22ax >，222110ax a a +->+>， 0)(,→+∞→∴x f x 时；即]1,0[a x ∈时，22()[1,]f x a a ∈-；)1[∞+∈，a x 时，2()0]f x a ∈（， 01)0()(2≤-=a f x f 存在最小值，则若，10≤<∴a所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分 用趋近说：0)(,→+∞→∴x f x 时，论述不严谨，扣1（2）当时，0<a 0100)(21<=>-=⇒='ax a x x f ；.则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('∴)(x f 法1：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为.2()[0()1,f x x f x a ∈+∞≤-若存在最大值，则，）时，恒成立2222111ax a a x +-≤-+即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≤∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，101,0,02122-≤∴≥-∴<≤-∴a a a aa ，Θ.综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 法2：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为；当x a >-时，222ax a <-，222110ax a a +-<--<，0)(,→+∞→∴x f x ；（论述不严谨，扣1分）即[0,]x a ∈-时，]1,1[)(2--∈a xf ；[)x a ∈-+∞，时，)0,1[)(-∈x f 01)0()(2≥-=a f x f 存在最大值，则若，1.a ≤-综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）法一：依题意可得22222211,.c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， （试根法）所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 法二：设椭圆的右焦点为1F ，则1||3CF =，24,2a a ∴==，c =Q b ∴=所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 （Ⅱ）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在， …4分设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， …5分 易知0∆>，且1212240,12x x x x k-+==+， …6分则PQ ==…7分3===，所以27,2k k ==(负舍)，所以直线l 的方程为y x =. …8分 用Q 到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分， 设点11(,)Q x y ，3,PQ =Q 3,2OQ ∴=29,4OQ ∴=22119,4x y ∴+= 又221124,x y +=Q 解得：11,2x y ∴==所以直线l 的方程为11y y x x =，即2y x =. （Ⅲ）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A，B ，所以直线AB的方程为20x -=. …9分 若使BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，只需使得4OQ MQ =， …10分 法一：即34M Q x x = ① . …11分 设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得，M …12分由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得，Q ， …13分代入①可得21470k -+=，即：27702k -+=（约分后求解）解得814k =，所以814y x ±=. …15分 法二：所以444(,)333m m OQ OM x y ==u u u v u u u u v，即44(,)33m m Q x y . …11分设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨--=⎪⎩得，M …12分所以Q ，因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=， …13分代入可得21470k -+=，即：27702k -+=解得814k =，所以814y x =. …15分 法三：所以00333(,)444OM OQ x y ==u u u u v u u u v，即0033(,)44M x y . …11分点M 在线段AB上，所以0032044x y +-=，整理得0083x =，① …12分因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=，②把①式代入②式可得200970y -+=，解得013y =. …13分于是0083x =-=00814y k x ==. 所以，所求直线的方程为814y x =. …15分 21.解：（Ⅰ）当110a =时，{}n a 中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L ，所以3716n S n =+. …………………………3分 （Ⅱ）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==， 由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解. 综上，15a =. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.l否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a L 单调递减， 注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1； 当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3. …………………………14分。
2020年北京市延庆县高考数学一模试卷1 (含答案解析)
2020年北京市延庆县高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|(x−2)(x+6)>0}，B={x|−3<x<4}，则A∩B等于()A. (−3,−2)B. (−3,2)C. (2,4)D. (−2,4)2.2−i1+i=()A. 12−32i B. 12+32i C. 32−32i D. 32+32i3.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<04.某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中棱长最大值是()A. 2√5B. 2√3C. 2√2D. √55.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −16.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. 27.已知等比数列{a n}满足a1=4，a1·a2·a3=a4·a5>0，则q=()A. √2B. √23 C. √24 D. 28. 如图1是2015年−2018年国庆档日电影票房统计图，图2是2018年国庆档期单日电影大盘票房统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2016年国庆档七天单日票房持续走低B. 2017年国庆档七天单日票房全部突破3亿C. 2018年国庆档七天单日票房仅有四天票房在2.5亿以上D. 2018年周庆档期第2日比第1日票房约下降12％二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若抛物线y 2=2px(p >0)上的点A(2,m)到焦点的距离为6，则p =________．10. 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a =5，A =π4，cosB =35，则c =________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．12.若实数x，y满足{y⩾2x−2y⩾−x+1y⩽x+1，则z=3x−y的最大值是______．13.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为．14.已知函数f(x)=e|x|·lg(√1+4x2+ax)图象关于原点对称.则实数a的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设函数f(x)=√22cos(2x+π4)+sin2x(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x+π2)=g(x)，且当x∈[0,π2]时，g(x)=12−f(x)，求g(x)在区间[−π,0]上的解析式．16.某公园引进了两种植物品种甲与乙，株数分别为12和8，这20株植物的株高数据如下(单位：cm)：甲：162 168 171 175 166 176 178 173191194187171乙：155 156 162 158 159 177 168 178若这两种植物株高在175cm以上(包括175cm)定义为“优良品种”，株高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非优良品种′．(Ⅰ)画出这两组数据的茎叶图；(Ⅱ)求甲品种的中位数和平均数；(Ⅲ)在以上20株植物中，如果用分层抽样的方法从”优良品种“和”非优良品种“中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株是”优良品种“的概率是多少？17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，∠BAD=60°．(1)求证：OM//平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当三棱锥M−BCD的体积等于√3时，求PB的长．418.数列{a n}满足：a1=1，a2=2，a n+2=[2+(−1)n]·a n+2(n=1,2，3，…)．(1)求a3，a4，并证明数列{a2n+1}是等比数列;(2)求数列{a n}的前2n项和S2n．19.已知函数f(x)=e x+1．x−a(1)当a=1时，求f(x)在x=0处的切线方程；2(2)函数f(x)是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．20.已知椭圆C：2x2+3y2=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；(Ⅲ)设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了交集及其运算，属于基础题.熟练掌握交集的定义是解答本题的关键．求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x|(x−2)(x+6)>0}={x|x<−6或x>2}，B={x|−3<x<4}，∴A∩B={x|2<x<4}．故选C．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．乘以分母的共轭复数，进行计算．【解答】解：2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=(2−1)+(−2−1)i2=12−32i．故选A．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可【解答】解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．4.答案：B解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，P−ABC，其中侧面PAB⊥底面ABC，底面ABC为直角三角形，AB⊥BC，BC=2，AB=1，在平面OAB内，过点P作PO⊥AB，垂足为O，则PO⊥底面ABC，PO=2，AO=1．则该三棱锥中最长的棱长为PC=√PO2+OC2=√PO2+BC2+OB2=√22+2×22=2√3．故选：B．由三视图可知：该几何体为三棱锥，P−ABC，其中侧面PAB⊥底面ABC，底面ABC为直角三角形，AB⊥BC，BC=2，AB=1，在平面OAB内，过点P作PO⊥AB，垂足为O，则PO⊥底面ABC，PO=2，AO=1.则该三棱锥中最长的棱长为PC．本题考查了三棱锥的三视图、勾股定理、位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：D解析：【分析】本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行x=3−2=1；第二次运行x=1−2=−1，满足x<0，∴执行y=(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D．6.答案：C解析：解：∵双曲线焦点到渐近线的距离等于实轴长，即点F(c,0)到直线bx±ay=0的距离等于2a即√a2+b2=2a，即b=2a，可得e2=c2a2=1+b2a2=5，即e=√5．故选：C根据题意，点F(c,0)到直线bx±ay=0的距离等于2a.由点到直线的距离公式，建立关于a、b、c的方程，化简得出b=2a，再利用双曲线基本量的平方关系和离心率公式，即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线满足的条件，求该双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．由题意得q>0，代入通项公式，化简求值即可．【解答】解：在等比数列{a n}中，a1=4，a1·a2·a3=a4·a5>0，则q>0，∴a1·a1q·a1q2=a1q3·a1q4，即4=q4，q>0，∴q=√2．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查了统计图，属于基础题．根据图表得到相关数据是解题的关键，对各个选项逐一验证即可．【解答】解：A中，由图1易得2016年国庆7天的单日票房逐日递减，正确；B中，由图1易得2017年国庆档10月6日，10月7日两天的单日票房未超过3亿，错误；C中，由图2易得2018年国庆档10月1日，2日，3日，4日四天的单日票房都在2.5亿以上，正确；D中，由图2易得2018年国庆档第2日比第1日票房下降约为36000.25−31662.4836000.25×100％≈12％，故。
2020届北京市延庆区高考一模考试数学模拟试题(理)有答案(加精)
延庆区一模统一考试高三数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B =I （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21ii =+ （ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+ D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） AC.25.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确．．．的是 （ ） A.2{}n n a a ++是等比数列 B.对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +>（4题图）2013201420151季度 2季度 3季度 4季度 1季度 2季度 3季度 4季度 1季度2013年 2014年 2015年 年份增长率/%7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是 （ ）A ．近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长 C ．该市生产总值2013年到2014年 为负增长，2014年到2015年为正增长 D.以上A 、B 、C 的判断都不正确8.已知偶函数()f x ，奇函数()g x 的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根的个数分别为,a b ，则a b += （ ） A ．3B ．7C ．10D ．14.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为 .10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。
北京市延庆区2020届高三数学一模考试试题 理(含解析)
∴
，得
，故
20. 设
是由 个实数组成的有序数组，满足下列条件：
①
，
；②
；
③
，
.
（Ⅰ）当
时，写出满足题设条件的全部 ；
（Ⅱ）设
，其中
，求
的取值集合；
（Ⅲ）给定正整数 ，求 的个数.
【答案】(1) 详见解析;(2)
; (3)
【解析】试题分析：
(Ⅰ)利用题中所定义的 可得 共有 5 个可能的值；
0～ 500 元
500～ 1000～ 1500～ 1000 元 1500 元 2000 元
A类
20
50
20
10
B类
50
30
10
10
月均服装消费额不超过 1000 元的人群视为中低消费人群，超过 1000 元的视为中高收入 人群.
（Ⅰ）从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率； （Ⅱ）从 两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的 消费档次的概率； （Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计 两类人群 哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）. 【答案】(1)0.7;(2)0.78;(3)B. 【解析】试题分析： (Ⅰ)利用题意结合古典概型公式可得从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群 的概率为 0.7； (Ⅱ)利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档 次的概率为 0.78 (Ⅲ)利用题中数据的波动程度可得 两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是 B. 试题解析： （Ⅰ）设此人属于中低消费人群为事件 ，
两幅作品
①前排 2 幅,后排 3 幅,则前排的必须是 A,B,考虑其顺序,有
2020年北京市延庆区高考数学一模试卷
2020年北京市延庆区高考数学一模试卷、选择题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题列出的四个选项中,目要求的一项.C .27. （ 4分）在平面直角坐标系 xOy 中，将点A （1,2）绕原点O 逆时针旋转90到点B ，设直线选出符合题1. （4分）已知复数a 2i2a i 是正实数，则实数a 的值为（2. （4分） 已知向量 （1,k ） , b（k,2），若a 与b 方向相同，则k 等于（3. （4分）F 列函数中最小正周期为的函数是（4. （4分） A . ysi nx1 y cos — x2C . y tan2xy |sinx|F 列函数中,是奇函数且在其定义域上是增函数的是tanxx 2,x ・・0 x 2,x4卫，则它的表面积为（ ）34汀3D . 2026. （ 4 分）（2x I ）5 x 的展开式中，x 4的系数是（A . 160B . 8050D . 10OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则cos等于（）9.（ 4分）某企业生产 A ，B 两种型号的产品，每年的产量分别为 10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 产量的增长率分别为 50%和20%，那么至少经过多少年后， A 产品的年产量会超过 B 产品的年产量（取lg2 0.3010）（）A . 6年B . 7年C .8年D . 9年10. （4 分） 2 2已知双曲线C:—1的右焦点为 F ，过原点 O 的直线与双曲线C 交于A ,16B 两点，且AFB 60，贝U BOF的面积为（）八3c 9 339 A .B .C—D .- 2 222二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. k11.（5分）已知集合 M {x|— _____________ 1}，且 3 M ，贝U k 的取值范围是x2 212. （5分）经过点 M （ 2,0）且与圆x y 1相切的直线I 的方程是 _________ .2913. ______________________________________________________ （5 分）已知函数 f （x ） sin x sin 2x cos x ，贝U f （ ） ___________________________________12 14.（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售 出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有 品有4种，则该网店① 第一天售出但第二天未售出的商品有 _____ 种; ② 这三天售出的商品最少有种.15. （5分）在 ABC 中，AB 10 , D 是BC 边的中点.若 AC 6 , A 60，则AD 的长2.5 5C .8 （4分）已知直线a , b ,平面 ，，| b , a / / , a b ,那么 “ a ”是的（）A .充分不必要条件 C .充分必要条件B •必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件A ,B 两种产品的年3种，后两天都售出的商等于____ ;若CAD 45 , AC 6厂2，贝U ABC的面积等于 __________ .三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. （14分）如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是正方形，AB 4 , PD PC , O是CD 的中点，PO 平面ABCD , E是棱PC上的一点，PA//平面BDE .(I)求证：E是PC的中点；(H)求证：PD和BE所成角等于9017. (14分)已知数列｛a n｝是等差数列，S n是的前n项和，a。
北京市延庆区高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|-1＜x＜1}，则A∪B=（）A. {x|-1≤x≤1}B. {x|-1≤x＜1}C. {x|-1＜x≤0}D. {x|0＜x＜1}2.圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A. （x-1）2+y2=1B. （x+1）2+y2=1C. x2+（y-1）2=1D. x2+（y+1）2=13.“0＜k＜1”是“方程表示双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知x∈（0，1），令a=log3x，b=sin x，c=2x，那么a，b，c之间的大小关系为（）A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b5.函数在区间上的零点之和是（）A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，如果输出的S值为4，则判断框内应填入的判断条件为（）A. i＜2B. i＜3C. i＜4D. i＜57.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是（）A.B.C.D. 18.4名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜负．设第i位运动员共胜x i场，负y i场（i=1，2，3，4），则错误的结论是（）A. x1+x2+x3+x4=y1+y2+y3+y4B.C. x1+x2+x3+x4为定值，与各场比赛的结果无关D. 为定值，与各场比赛结果无关二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.设i为虚数单位，如果复数z满足（1-i）z=i，那么z的虚部为______．10.已知向量=（1，x），=（x，x+1），则的最小值为______．11.设x，y满足约束条件则x2+y2的最大值是______．12.设f（x）是定义在R上的单调递减函数，能说明“一定存在x0∈R使得f（x0）＜0”为假命题的一个函数是f（x）=______．13.若函数的值域为[-1，1]，则a的取值范围是______．14.已知集合M={x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3=M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i=1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求数列{b n}的前n项和S n．16.2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米．下表为2007年-2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据．单位：平方米．（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率；（Ⅱ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012-2016年中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为，判断与的大小．（只需写出结论）．（注：方差，其中为x1x2，……x n的平均数）17.如图，在△ABC中，点D在BC边上，，，AC=7．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）若BD=10，求AD的长及△ABD的面积．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，PA⊥AB，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与面PCD交于M，N两点．（Ⅰ）求证：EF∥MN；（Ⅱ）求证：平面EFMN⊥平面PAC；（Ⅲ）设，当λ为何值时四棱锥M-EFDC的体积等于1，求λ的值．19.已知函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a≤1时，求函数f（x）在上区间（0，e]零点的个数．20.已知椭圆G：，左、右焦点分别为（-c，0）、（c，0），若点M（c，1）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l：与椭圆G交于两个不同的点A，B，直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点，求证：|PM|=|QM|．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x（x+1）≤0}={x|-1≤x≤0}，集合B={x|-1＜x＜1}，∴A∪B={x|-1≤x＜1}．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：设圆方程为x2+（y-1）2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1故圆的方程为：x2+（y-1）2=1，故选：C根据题意设圆方程为x2+（y-1）2=r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程本题考查了点到直线的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若方程表示双曲线，则（k-1）（k+2）＜0，得-2＜k＜1，即“0＜k＜1”是“方程表示双曲线”的充分条件和必要条件，故选：A．根据双曲线的定义求出k的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义求出k的范围是解决本题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查不等关系，考查函数单调性，利用搭桥法容易得到结果，属于基础题．根据x范围，利用搭桥法即可比较a，b，c的大小．【解答】解：∵0＜x＜1＜，∵y=log3x在（0，+∞）上单调递增．∴log3x＜＜log31=0，即a＜0，又∵y=sin x在（0，）单调递增，0＜sin x＜1，即0＜b＜1，y=2x在（0，+∞）上单调递增．∴2x＞1．∴a＜b＜c，故选：A．5.【答案】D【解析】解：=，由，k∈Z，得x=，k∈Z．∵x∈，∴x=，．则函数在区间上的零点之和是．故选：D．利用辅助角公式化积，求得函数的零点，作和得答案．本题考查两角和与差的三角函数，考查由已知三角函数值求角，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由log2（S+2）=4得S+2=16，即S=14，则i=1时，S=2，i=2，S=2+22=2+4=6，i=3，S=6+23=6+8=14，i=4此时不满足条件．，输出S=4，故条件为i＜4，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：由题意知，该三棱锥的直观图如图中的C1-ABD所示：则S△ABD==1，=，==，S=×=，故其四个面中最大的面积为．故选：A．由题意知，该三棱锥的直观图如图中的A-BCD所示，经过计算面积即可得出答案．本题考查了三棱锥的三视图、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：对于A，4人中每2人举行1场比赛，共举行6场比赛，所以胜6场负6场，即x1+x2+x3+x4=y1+y2+y3+y4=6，A正确；对于B，由题意知x i+y i=3，∴x i=3-y i，∴+++=+++=36-6（y1+y2+y3+y4）++++=36-36++++=+++，B正确；对于C，由题意知x1+x2+x3+x4=6为定值，与各场比赛结果无关，C正确；对于D，+++的值不是定值，它与各场比赛结果有关，D错误．故选：D．由题意知x1+x2+x3+x4=y1+y2+y3+y4=6，判断A、C正确；由x i+y i=3，得出x i=3-y i，推导出+++=+++，判断B正确；由题意知+++的值不是定值，与各场比赛结果有关．本题考查了数据的分析与应用问题，是中档题．9.【答案】【解析】解：∵（1-i）z=i，∴z=，∴z的虚部为．故答案为：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】-1【解析】解：向量=（1，x），=（x，x+1），则=x+x2+x=x2+2x，当x=-1时，的最小值为：-1．故答案为：-1．利用向量的数量积化简，通过二次函数求解最小值即可．本题考查向量的数量积的应用，二次函数的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】5【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的可行域如图所示，由x2+y2表示平面区域内的点P（x，y）到原点O的距离的平方；由可得A（2，1），则取最优解x=2，y=1时，x2+y2取得最大值是22+12=5．故答案为：5．画出不等式组表示的可行域，根据x2+y2表示平面区域内的点P（x，y）到原点O的距离的平方；求出最优解，即得目标函数的最大值．本题考查了不等式组表示平面区域和线性规划的应用问题，是基础题．12.【答案】（）x【解析】解：根据题意，要说明“一定存在x0∈R使得f（x0）＜0”为假命题，只需要据此值域大于0的减函数即可，则f（x）=（）x符合；故答案为：（）x，（答案不唯一）根据题意，只需要举出值域大于0的减函数即可，据此可得答案，本题考查函数的单调性与值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．13.【答案】[1，+∞）【解析】解：函数的值域为[-1，1]，由x≤a时，f（x）=sin x的值域为[-1，1]，由x＞a时，f（x）=∈[-1，1]，若a≥1，则f（x）在x＞a时，f（x）∈（0，）⊆[-1，1]成立；若a＜1时，f（x）∉[-1，1]，综上可得a的范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．分别由正弦函数和反比例函数的值域和单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的值域和单调性的运用，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于基础题．14.【答案】96【解析】【分析】求出集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，由此能求出X1+X2+X3的最大值与最小值的和．本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：由题意集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1={1，4，5，6，7}，A2={3，12，13，14，15}，A3={2，8，9，10，11}时，X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X3=8+18+13=39，当A1={1，4，5，6，15}，A2={2，7，8，9，14}，A3={3，10，11，12，13}时，X1+X2+X3=16+16+16=48，当A1={1，2，3，4，15}，A2={5，6，7，8，14}，A3={9，10，11，12，13}时，X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X3=16+19+22=57，∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57=96．故答案为：96．15.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，因为a1+a2=6，a2+a3=10，所以a3-a1=4，所以2d=4，d=2．………………………（3分）又a1+a1+d=6，所以a1=2，………………………（4分）所以a n=a1+（n-1）d=2n．………………………（6分）（Ⅱ）记所以，………………………（7分）又，………………………（9分）所以{b n}是首项为16，公比为4的等比数列，………………………（10分）其前n项和………………………（11分）=．………………………（13分）【解析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，利用已知条件求出公差d，然后求解a n．（Ⅱ）记判断{b n}是首项为16，公比为4的等比数列，然后求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．16.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准，…………………（1分）则所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为………（4分）（Ⅱ）随机抽取连续两年数据：共9次．…………………（6分）两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次．…………………（9分）设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件B，因此P（B）=．…………………（10分）（Ⅲ）…………………（13分）．【解析】（Ⅰ）记事件A为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准，利用古典概型概率计算公式能求出该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率．（Ⅱ）随机抽取连续两年数据共9次，两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米共5次，由此能求出两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率．（Ⅲ）．本题考查概率、方差的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以，………………………（1分）所以…………………（2分）又因为，，…………………（3分）所以sin∠DAC=sin（∠ADC+∠ACD）=sin∠ADC•cos∠ACD+cos∠ADC•sin∠ACD=．…………（7分）（Ⅱ）在△ACD中，由，…………（9分）得．…………（11分）所以．…………（13分）【解析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据两角和的正弦函数公式可求sin∠DAC的值．（Ⅱ）在△ACD中，由正弦定理可求AD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解△ABD 的面积．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD中，是平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥CD，又CD⊂面PCD，EF⊄面PCD∴EF∥面PCD，又∵EF⊂平面EFMN，平面EFMN∩平面PCD=MN，∴EF∥MN，（Ⅱ）证明：在平行四边形ABCD中，∵∠BCD=135°，AB∥CD，∴∠ABC=45°，又AB=AC，∴∠ACB=45°，∴AB⊥AC．由（Ⅰ）得EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且PA⊥AB，面PAB∩面ABCD=AB，PA⊂面PAB，∴PA⊥底面ABCD，又EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC．∵EF⊂平面EFMN．∴平面EFMN⊥平面PAC，（Ⅲ）S四边形EFMN=S四边形ABCD=S△ABC==2，∴，∴，即M到平面ABCD的距离为，∴λ===．【解析】（I）证明EF∥平面PCD，根据线面平行的性质即可得出EF∥MN；（II）证明EF⊥AC，EF⊥PA得出EF⊥平面PAC，故而平面EFMN⊥平面PAC；（III）根据棱锥的体积计算M到平面ABCD的距离，从而得出λ的值．本题考查了线面平行的性质，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，，f'（1）=0，∴切线斜率k=0，f（1）=0，切点（1，0），∴切线方程是y=0．（Ⅱ），令f'（x）=0，得x=e1-a，'（x）及f（x）的变化情况如下所以，（）单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）可知f（x）的最大值为,当a=1时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，e]上单调递减,由f（1）=0，故f（x）在区间（0，e]上只有一个零点；当a＜1时，-a＞-1，1-a＞0，e1-a＞1,则，故f（x）在区间（0，e]上无零点；综上，当a=1时，f（x）在区间（0，e]上只有一个零点；当a＜1时，f（x）在区间（0，e]上无零点.法二：令，，a=x-ln x，令g（x）=x-ln x,x∈(0,e]，，'（x）及g（x）的变化情况如下由已知a≤1,所以，当a=1时，f（x）在区间（0，e]上只有一个零点,当a＜1时，f（x）在区间（0，e]上无零点.【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点，导数的几何意义，是中档题．（Ⅰ）当a=1时，，f'（1）=0，f（1）=0，可得切线方程．（Ⅱ），令f'（x）=0，x=e1-a，列表即可得出函数的单调性．（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）可知f（x）的最大值为，对a分类讨论，即可得出单调性，函数的零点个数．法二：令，，a=x-ln x，令g（x）=x-ln x,x∈(0,e]，，x=1，列表可得单调性，进而得出结论．20.【答案】解：（Ⅰ）∵M（c，1）在椭圆上，∴由b2=2解得a2=4所以，椭圆的标准方程为（Ⅱ）由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点M，所以解得-4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线MA与MB的斜率存在，设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，由（Ⅰ）可知则=，=，=，=，=，=．因为k1+k2=0，所以∠MPQ=∠MQP．所以|PM|=|QM|【解析】（Ⅰ）根据M点在椭圆上即可求出a的值，可得椭圆方程，（Ⅱ）利用直线l与椭圆C有两个交点，求出-4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B （x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN.本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
北京市延庆区2020年高三数学一模试卷
2020北京延庆区高三一模数学 2020.3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数z=a2i−2a−i是正实数，则实数a的值为A. 0B. 1C. −1D. ±12. 已知向量a⃗=(1,k),b⃗⃗=(k,2),若a⃗与b⃗⃗方向相同，则k等于A. 1B. ±√2C. −√2D. √23. 下列函数中最小正周期为π的函数是A. y=sinxB. y=cos12x C. y=tan2x D. y=|sinx|4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. y=1x B. y=tanx C. y=e x−e−x D. y={x+2,x≥0x−2,x<05.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为4√33, ，则它的表面积为A. 8B. 12C. 4+4√3D. 206. (2x2+1x)5的展开式中，x4的系数是A. 160B. 80C. 50D. 107. 在平面直角坐标系xOy中，将点A(1,2)绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于A. −2√55B. −√55C. √55D. −258. 已知直线a,b，平面α,β，α∩β=b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产A,B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2=0.3010）A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年10. 已知双曲线C：x 216−y29=1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点，且∠AFB=60°，则∆BOF的面积为A. 3√32B. 9√32C. 32D. 92第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。
高三延庆一模数学试题及答案
高三延庆一模数学试题及答案Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-延庆区高三模拟考试试卷 数学2020. 3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
（1）已知复数2i 2i z a a =--是正实数，则实数a 的值为（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）1±（2）已知向量(1,)a k =，(,2)b k =，若a 与b 方向相同，则k 等于 （A ）1 （B） （C）（D）（3）下列函数中最小正周期为π的函数是（A ）sin y x = （B ）1cos 2y x = （C ）tan 2y x =（D ）|sin |y x =（4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（A ）1y x=（B ）tan y x = （C ） e e x x y -=- （D ）2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩（5）某四棱锥的三视图所示，已知11正11侧该四棱锥的体积为 面积为（A ）8 （B ）12 （C）4+ （D ）20（6）251(2)x x+的展开式中，4x 的系数是（A ）160（B ）80 （C ）50（D ）10（7）在平面直角坐标系xOy 中，将点(1,2)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于（A） （B） （C（D ）25- （8）已知直线,a b ，平面,αβ，b αβ=，//a α，a b ⊥，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9） 某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取lg20.3010=） （A ）6 年（B ）7年 （C ）8年 （D ）9年（10） 已知双曲线22:1169x y C -=的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF ∆的面积为（A（B（C ）32（D ）92第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020北京高三延庆一模数学试题及答案
2020北京⾼三延庆⼀模数学试题及答案1 / 22延庆区⾼三模拟考试试卷数学2020。
3本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。
考⽣务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答⽆效。
考试结束后，将答题纸交回. 第⼀部分(选择题，共40分）⼀、选择题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。
（1）已知复数2i 2i za a =--是正实数，则实数a 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）1±（2）已知向量(1,)a k =，(,2)b k =,若a 与b ⽅向相同，则k 等于（A ）1 （B）(C) （D（3）下列函数中最⼩正周期为π的函数是（A ）sin y x = （B)1cos 2y x = (C)tan 2y x = （D)|sin |y x = （4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（A)1y x = （B ）tan y x = (C ） e e x x y -=- （D ）2,02,0x x y x x +≥?=?-（5）某四棱锥的三视图所⽰，已知2 / 22，则它的表⾯积为（A ）8 （B ）12（C）4+(D ）20（6）251(2)x x+的展开式中,4x 的系数是（A)160 （B ）80 （C)50 （D ）10(7）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，将点(1,2)A 绕原点O 逆时针旋转90?到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最⼩正⾓为α,则cos α等于（A）5- （B）5-（C）5 （D ）25- （8）已知直线,a b ，平⾯,αβ，b αβ=，//a α，a b ⊥,那么“a β⊥”是“αβ⊥"的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件(C)充分必要条件（D)既不充分也不必要条件（9）某企业⽣产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万⽀和40万⽀，为了扩⼤再⽣产，决定对两种产品的⽣产线进⾏升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么⾄少经过多少年后，A 产品的年产量会3 / 22超过B 产品的年产量(取lg20.3010=）（A ）6 年（B ）7年（C ）8年（D ）9年（10）已知双曲线22:1169x y C -=的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=?，则BOF ?的⾯积为(A（B）2（C ）32 （D ）92 第⼆部分(⾮选择题,共110分）⼆、填空题共5⼩题，每⼩题5分，共25分。
2020届北京市延庆区高三一模考试数学试题(解析版)
2020北京延庆区高三一模数学第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. 1-D. 1± 【答案】C【解析】【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.2.已知向量()()1,,,2,a k b k ==r r 若a r 与b r 方向相同，则k 等于( )A. 1B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】依题a r //b r ，且a r 与b r 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a r 与b r 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>r r ，因为()()1,,,2a k b k ==r r ，所以(,2)b k λλλ=r ，所以12k k λλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >，所以k =故答案选：D【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.3.下列函数中最小正周期为π的函数是( )A. y sinx =B. 12y cos x = C. 2y tan x = D. y sinx = 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A 选项的最小正周期为221T ππ==；B 选项的最小正周期为2412T ππ==；C 选项的最小正周期为2T π=；D 选项的最小正周期为1T ππ==.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A. 1y x = B. y tanx = C. x xy e e -=- D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A 选项，反比例函数1y x =，它有两个减区间，对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数，又xy e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增，所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增； 对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩， 所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.，则它的表面积为( )A. 8B. 12C. 4+D. 20【答案】B【解析】【分析】 由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h ，则依题意有1223V h =⨯⨯=所以h =12h === 所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯， 所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯.故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，锥体体积公式应用，表面积的求法，属于基础题. 6.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是( ) A. 160B. 80C. 50D. 10【答案】B【解析】【分析】由二项式定理公式1C r n r r r n T a b -+=即可得到结果. 【详解】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为: 2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x---+==， 当1034r -=时，2r =，此时523552280r r C C -==， 所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80. 故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A. B. - C. D. 25- 【答案】A【解析】【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo =+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以sin β==依题有OA OB ⊥,则90αβo =+，所以cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.8.已知直线,a b ，平面,//b a a b αβαβα⋂=⊥，，，，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若//a α，则在平面α内必定存在一条直线a '有//a a '，因为a b ⊥r r ，所以a b '⊥，若a β⊥，则a β'⊥，又a α'⊂，即可得αβ⊥，反之，若αβ⊥，由b αβ=I ，a b '⊥，a α'⊂可得a β'⊥，又//a a '，则有a β⊥.所以“a β⊥”是“αβ⊥”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属中档题.9.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）( )A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年 【答案】B【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310()2x ，640()5x ，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22x x+=） B 产品的年产量为1640(140()55x x +=）， 依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量， 则3610()40()25x x>化简得154x x +>，即lg5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 2 6.206213lg 2≈- 所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.10.已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF V 的面积为( )A. 2B. 2C. 32D. 92【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF V 的面积，根据1F BF V 和BOF V 的关系即可得到答案.详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分， 则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒，依题可知12||210F F c ===， 由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠=即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=；又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF V 的面积为：11111||||sin 12222F BF S BF BF F BF =∠=⨯⨯=V因为O 为1F F 的中点，所以1122OBF F BF S S ==V V 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分11.已知集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈，则k 的取值范围是____________. 【答案】(,3)-∞【解析】【分析】由集合元素与几何的关系即可得到答案. 【详解】因为集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈， 所以13k >--，解得3k <， 所以k 的取值范围是(,3)-∞.故答案为：(,3)-∞【点睛】本题考查集合的基本定义，属基础题.12.经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.【答案】(2)3y x =±+ 【解析】【分析】 设直线l 方程为(2)y k x =+，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案.【详解】依题满足条件的直线斜率存在，设直线l 方程为：(2)y k x =+即20kx y k -+=.又221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1,又直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，1=，解之得：3k =±所以直线的方程为(2)3y x =±+.故答案为：2)y x =±+ 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题.13.已知函数()222f x sin x sin x cos x =+-，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.【解析】【分析】利用倍角公式化简，代入即可得到答案.【详解】()222sin 2cos2f x sin x sin x cos x x x =+-=-所以1sin cos 12662f πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角函数的倍角公式，代入法求值，属基础题.14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为①16；②29．【名师点睛】本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.15.在ABC V 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若45CAD AC ∠=︒=，，则ABC V 的面积等于____________.【答案】 (1). 7 (2). 42【解析】【分析】（1）依题可得1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则有1||||2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用向量运算即可得到答案. （2）在ADC V 和ADB △中分别用正弦定理，求出AD DB ，，再利用AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=o ，即可求得sin BAC ∠，再利用三角形的面积公式即可得到答案.【详解】（1）依题在ABC V 中，D 是AB 的中点， 所以1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 所以1||||2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 又6,60AC A =∠=o u u u r所以||AB AC +=u u u r u u u r14=== 所以1||||72AD AB AC =+=u u u r u u u r u u u r 所以AD 的长等于7.（2）在ADC V 中，由正弦定理有：sin sin AC DAC D A CC D =∠∠所以sin 456sin sin sin AC DAC DC ADC ADC ADC∠===∠∠∠o ； 在ADB △中，由正弦定理有：sin sin BD AB BAD ADB=∠∠ 所以sin 10sin sin sin AB BAD BAD BD ADB ADB ∠∠==∠∠ 因为D 是AB 的中点，则AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=o ,所以sin sin ADB ADC ∠=∠，所以10sin 6BAD ∠=即3sin 5BAD ∠=，所以4cos 5BAD ∠==± 当4cos 5BAD ∠=时， sin sin(45)sin cos 45cos sin 45BAC BAD BAD BAD ∠=∠+=∠+∠o o o34(sin cos )()225510BAD BAD =∠+∠=+= 当4cos 5BAD ∠=-时，sin sin(45)BAC BAD ∠=∠+o 34)25510=-=不符合题意， 所以ABC V 的面积为：11sin 10422210ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=V 故答案为：（1）7；（2）42【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及模的运算，考查正弦定理和三角形的面积公式，考查学生推理和计算能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB PD PC O =⊥，，是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点，//PA 平面BDE .（1）求证：E 是PC 的中点；（2）求证：PD 和BE 所成角等于90.︒【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）因为//PA 平面BDE ，由线面平行的性质定理及三角形中位线的判定即可得证.（2）由PO ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形可证BC ⊥平面PDC ,从而可证PD ⊥平面PBC ，从而得证结论.【详解】（1）如图，联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ，因//PA 平面BDE ，平面PAC I 平面BDE =EF ,所以//PA EF .又因为四边形ABCD 是正方形，所以F 是AC 的中点，所以EF 是PAC V 的中位线，所以E 是PC 的中点（2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以BC CD ⊥又PO CD O =I ，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC PD ⊥又因为PD PC ⊥且BC PC C ⋂=，所以PD ⊥平面PBC因为BE ⊂平面PBC ，所以PD BE ⊥，所以PD 与BE 成90︒角.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面平行的判定定理的运用，考查学生逻辑推理能力，属中档题.17.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，1016a =.（1）判断2024是否是数列{}n a 中的项，并说明理由；（2）求n S 的最值.从 ①810a =；②88a =；③820a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）n S 最小值-26，无最大值 .【解析】【分析】（1）选择①，用等差数列的通项公式即可求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出数列{}n a 的通项，令2024n a =，求出的n 若为整数则2024是数列{}n a 中的项，否则不是.（2）令0n a >，求出n 的范围，从而可确定n S 的最大最小值情况.【详解】选①810a =（1）选①810a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081610a a =⎧⎨=⎩，所以11916710a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1311d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =-令 3142024n -=，则32038n =，此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即3140n ->，解得：142433n >= 所以当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a <所以当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.n S 无最大值.选②88a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为108168a a =⎧⎨=⎩，所以1191678a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1420d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)20(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯424n =-令 4242024n -=，则512n =，此方程有正整数解所以2024是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即4240n ->，解得：6n >所以当7n ≥时，0,n a >当6n ≤时，0,n a ≤所以当5n =或6n =时，n S 的最小值为56656(20)4602S S ⨯==⨯-+⨯=-. n S 无最大值.若选②820a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081620a a =⎧⎨=⎩，所以11916720a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1234d a =-⎧⎨=⎩ 所以1(1)34(1)(2)n a a n d n =+-=+-⨯-362n =-令 3622024n -=，则994n =-，此方程无正整数解所以不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a ≥，即3620n -≥，解得：18n ≤，所以当18n >时，0n a <，当18n >时，0n a < ，所以当17n =或18n =时，n S 的最大值为171818171834(2)3062S S ⨯==⨯+⨯-=. n S 无最小值.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，以及等差数列的前n 项和的最值问题，主要考查学生的计算能力和直观想象能力，属于基础题.18.A B C ，，三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（1）试估计A 班的学生人数；（2）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（3）从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.【答案】（1）36；（2）920；（3）1135. 【解析】分析】（1）利用分层抽样的方法即可得到答案；（2）利用古典概率的公式即可得到答案；（3）利用分类和分步计数原理和组合公式即可得到答案.【详解】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样的方法可知A 班的学生人数估计为61203620⨯=人． （2）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，设此人一周上网时长超过15小时为事件D ,其中D 包含的选法有3+2+4=9种，所以 9()20P D =. 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920. （3）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F ，则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++⋃===⨯. 【点睛】本题主要考查分层抽样，古典概型及计数原理和组合公式，属基础题.19.已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【答案】（1）2y x =；（2）(,1](0,1]-∞-⋃.【解析】【分析】 （1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用直线的点斜式即可得到答案；（2）利用导数求出函数的极值及单调区间，列表求出函数的最值，根据题意即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）解：2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a x f x x +-'+-=+ ()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ .当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f x 的最大值为21()f a a=， 若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立， 所以2102a a-≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+， 所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立， 所以2102a a-≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最大值和最小值，考查学生的运算求解能力，分类讨论和转化与化归的能力，属中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b G +=>>：的左焦点为(),F 且经过点(),,C A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点O 的直线l 与G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M . （1）求椭圆G 的标准方程；（2）若3PQ =，求直线l 的方程；（3）若BOP △的面积是BMQ V 的面积的4倍，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）2y x =；（3）814y x =. 【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义即可求出a 的值，从而求出b ，从而得到答案.（2）根据题意设出直线方程，联立方程由根与系数的关系可得1212,x x x x +，再利用弦长公式即可得到答案.（3）依题设出点,,P Q M 的坐标以及直线l 的斜率，根据题目条件即可得坐标之间的关系，从而求出直线l 的斜率，从而求出直线直线l 的方程.【详解】（1）依题知c =1F ），因为点()C 在椭圆上，且1||CF=， 又||1CF =，所以12||||4aCF CF =+=，所以2a = 所以222422b a c =-=-=， 所以椭圆的标准方程为22142x y +=. （2）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为(0)k k >，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， 易知>0∆，且1212240,12x x x x k-+==+，则PQ ==3=== ，所以27,22k k ==±，又0k >，所以直线l 的方程为2y x =. （3）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A ，B ，所以直线AB 的方程为12x +=，即20x +-=. 若BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，则||4||OP MQ =,由,P Q 关于原点对称，可得||||OP OQ =,所以||4||OQ MQ =，所以3||||4OM OQ =即034m x x = ① . 设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得m x =， 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得0x =34=,化简得21470k -+=，解得k =， 所以直线l的方程为：814y x =. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式等，考查运算求解能力，方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.21.在数列{}n a 中，若*,n a N ∈且()1,? 1,2,3,?··23,n n n n n a a a n a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数，是奇数则称{}n a 为“J 数列”.设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为.n S（1）若110a =，求3n S 的值；（2）若317S =，求1a 的值；（3）证明：{}n a 中总有一项为1或3.【答案】（1）3716n S n =+；（2）15a =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推公式列出数列{}n a 中的项，找规律，发现周期性即可得到答案;（2）根据题意分情况进行求解即可得到答案;（3）首先证明：一定存在某个i a ，使得6i a ≤成立，再进行检验即可得到答案.【详解】（1）当110a =时，{}n a 中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L ，即数列{}n a 从第四项开始每三项是一个周期，所以312323S a a a =++=，634564217S S a a a -=++=++=，9678933(1)42177n n S S a a a S S --=++=++=-=L ，所以3237(1)716n S n n =+-=+.（2）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==， 由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =， 得2172k k k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解.综上，15a =.（3）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立. 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i a a a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a L 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立.经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3.【点睛】本题主要考查递推数列以及推理知识的综合应用，考查学生逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力，属中档题.。