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专题03 平面直角坐标系(专题详解)(解析版)

专题03 平面直角坐标系专题03 平面直角坐标系 (1)7.1 平面直角坐标系 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 有序数对 (2)知识点2 平面直角坐标系 (2)知识点3 点的坐标特点 (3)二、典型题型 (6)题型1 有序数对 (6)题型2 平面直角坐标系的概念 (6)题型3 点的坐标的特征 (6)一、点的位置与坐标 (7)二、点的坐标与距离 (8)三、点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想） (8)四、点的坐标与图形的面积 (9)（1）知坐标，求面积 (9)（2）知面积，求坐标（方程思想） (10)（3）分类讨论 (12)三、难点题型 (14)题型1 确定点所在的象限 (14)题型2 点到坐标轴的距离 (14)题型3 探究平面直角坐标系坐标的变化规律 (15)7.2 坐标系的简单运用 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 用坐标表示地理位置 (17)知识点2 用坐标表示平移 (18)二、典型题型 (20)题型1 用坐标表示地理位置 (20)题型2 用坐标表示平移 (21)一、点的平移 (21)（1）已知点和平移方式，求对应点 (21)（2）已知点和对应点，求平移方式 (21)二、图形的平移 (22)三、难点题型 (23)题型1 动点问题 (23)7.1 平面直角坐标系知识框架{基础知识点{有序数对平面直角坐标系点的坐标的特点典型题型{ 有序数对平面直角坐标系的概念点的坐标的特征{ 点的位置与坐标点的坐标与距离点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想）点的坐标与图形的面积{知坐标，求面积知面积，求坐标（方程思想）分类讨论难点题型{确定点所在的象限点到坐标轴的距离探究平面直角坐标系坐标的变化规律一、基础知识点知识点1 有序数对1）我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，用于表示平面中某一确定位置的，叫作有序数对，记作（a ，b ）注：①（a ，b ）与（b ，a ）表达的含义不同，注意有序数对的顺序②在表达有序数对时，一般行在前，列在后。

(04)平面直角坐标系解答题专项练习60题(有答案)ok

平面直角坐标系解答题专项练习60题（有答案）1．如图所示，四边形ABCD是梯形，四边形OBCD是边长为1个单位长度的正方形，∠OAB=45°（1）写出点A，B，C，D坐标；（2）求梯形ABCD的面积．2．已知长方形ABCD的顶点坐标为A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）．（1）在直角坐标系中画出这个长方形；（2）怎样平移才能使长方形ABCD关于x轴对称；（3）怎样变换坐标，才能使长方形变成面积为1的正方形？3．如图，每个小正方形的边长为单位长度1．（1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标；（2）点C与E的坐标什么关系？（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？4．在直角坐标平面内，已知点A（0，5）和点B（﹣2，﹣4），BC=4，且BC∥x轴．（1）在图中画点C的位置，并写出点C的坐标；（2）连接AB、AC、BC，判断△ABC的形状，并求出它的面积．5．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）．（1）计算这个四边形的面积；（2）如果把原来ABCD各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标增加2，画出变化后的四边形A1B1C1D1，所得的四边形A1B1C1D1面积有是多少？6．已知点A（10，0），B（10，8），C（5，0），D（0，8），E（0，0），请在下面的平面直角坐标系中，（1）分别描出A、B、C、D、E五个点，并顺次连接这五个点，观察图形像什么字母；（2）要图象“高矮”不变，“胖瘦”变为原来图形的一半，坐标值应发生怎样的变化？7．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A，C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．（1）写出点B的坐标；（2）若过点C的直线CD交AB于点D，且把AB分为4：1两部分，写出点D的坐标；（3）在（2）中，计算四边形OADC的面积．8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a﹣4|+（b﹣2）2=0，c=a+b．（1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点；（2）在坐标轴上是否存在点Q，使△COQ得面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积．9．在平面直角坐标系中，O为原点．（1）点A的坐标为（3，﹣4），求线段OA的长；（2）点B的坐标为（2，2），点C的坐标为（5，6），求线段BC的长．10．在直角坐标平面内，已知点C在x轴上，它到点A（2，1）和点B（3，4）的距离相等，求点C的坐标．11．如图，△AOB中，A，B两点的坐标分别为（2，4）、（6，2），求：△AOB的面积．（△AOB的面积可以看作一个长方形的面积减去一些小三角形的面积）12．如下图所示，△ABO的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（2，4）．（1）求△OAB的面积；（2）若O，A两点的位置不变，P点在什么位置时，△OAP的面积是△OAB面积的2倍；（3）若B（2，4），O（0，0）不变，M点在x轴上，M点在什么位置时，△OBM的面积是△OAB面积的2倍．13．如图，在平面几何直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0）、B（3，0）、C（﹣7，8）．（1）求线段AB的长．（2）求△ABC的面积S．14．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，OB＞OC，点A在y轴正半轴上，AD平分∠BAC，交x轴于点D．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAO的度数？（2）试写出∠DAO与∠C﹣∠B的关系？（不必证明）（3）若点A在y轴正半轴上运动，当点A运动至点P时，请你作出△BPC及其角平分线PQ，并直接写出∠QPO与∠PBC、∠PCB三者的关系？15．写出满足条件的A、B两点的坐标：（1）点A在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度；（2）点B在x轴上方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度．16．多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（﹣3，﹣3），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？17．已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数．（1）若AC=8，BC=2，求AB的长；（2）若AC﹣BC=5，求AB的最小值；（3）若A（﹣2，1），B（6，1），在第一、三象限角平分线上是否存在点P，使△ABP的面积为16？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．18．若点P（2x﹣1，x+3）在第二、四象限的角平分线上，求点P到x轴的距离．19．五边形ABCDE的顶点坐标分别为A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，0），D（1，0），E（3，3），将五边形ABCDE看成经过一次平移后得A1B1C1D1E1．其中顶点A的对应点是A1（﹣3，10）．（1）请写出其它对应点的坐标；（2）请指出这一平移的平移方向和平移距离．20．如图，坐标平面内有两个点A和B其中点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），求AB的中点C的坐标．21．在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？22．已知A（﹣2，0）、B（1，4），在x轴上求一点C，使S△ABC=12．23．已知实数a，b，c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0．（1）求a，b，c的值，并在平面直角坐标系中，描出点A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示三角形POA的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．（1）分别写出点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．25．已知点A（﹣4，﹣1），B（2，﹣1）（1）在y轴上找一点C，使之满足S△ABC=12．求点C的坐标（写必要的步骤）；（2）在直角坐标系中找一点C，能满足S△ABC=12的点C有多少个？这些点有什么特征？26．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣2，1），且|a+2b+1|+（3a﹣4b+13）2=0．（1）求a，b的值；（2）在y轴上存在一点D，使得△COD的面积是△ABC面积的两倍，求出点D的坐标．（3）在x轴上是否存在这样的点，存在请直接写出点D的坐标，不存在请说明理由．27．若点A（﹣2，1）、B（4，﹣1）都在平面内，则可画出几个以A、B为两个顶点的正方形，分别写出这几个正方形的另外两个顶点的坐标．28．如图，这是一个在平面直角坐标系中描述出来的某地的地图．（1）请根据要求找出相应的点．A村的坐标是（﹣5，4），B村的坐标与A村的坐标关于y轴对称，C村的坐标与点B的坐标关于原点对称，D村在x轴上，并且BD∥y轴，请在图上标明这四点和它们的坐标；（2）四个村庄之间都有笔直的公路相连，构成了一个四边形，计划沿B、C、D三个村庄构成的三角形中BD边上的高修建一条小路，请你画出这条小路，不要求写作法，并写出C点到x轴的距离为_________ ；（3）请你用两种方法求△BCD的面积．29．如图，已知长方形ABC0中，边AB=8，BC=4．以点0为原点，0A、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系．（1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标；（2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向C0方向移动（不超过点O），点Q从原点0出发，以1单位/秒的速度向0A方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在它们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．30．在坐标平面内描出点A（2，0），B（4，0），C（﹣1，0），D（﹣3，0）．（1）分别求出线段AB中点，线段AC中点及线段CD中点的坐标，则线段AB中点的坐标与点A，B的坐标之间有什么关系？对线段AC中点和点A，C及线段CD中点和点C，D成立吗？（2）已知点M（a，0），N（b，0），请写出线段MN的中点P的坐标．31．已知如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．（1）试计算四边形ABCD的面积．（2）若将该四边形各顶点的横坐标都加2，纵坐标都加3，其面积怎么变化？为什么？32．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，4），B（﹣1，2），O为坐标原点，求△AOB的面积？33．在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，且S△ABC=18．（1）求点C的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P，S△APC=S△PBC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．34．在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣3，3），C （2，3）．（1）求点D的坐标；（2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？（3）平移（2）中长方形A1B1C1D1，几秒钟后△OB1D1的面积等于长方形ABCD的面积？35．如图，是小明家O和学校A所在地的简单地图，已知OA=2cm，OB=2.5cm，OP=4cm，C为OP的中点，回答下列问题：（1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？（2）商场B、学校A、公园C、停车场P分别在小明家的什么方向？（3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？36．如图所示，游艇A和B在湖中作直线运动，已知游艇B的速度是游艇A的1.5倍，出发时，游艇A的位置为（50，20），当B追上A时，此时的位置为（110，20），求出发时游艇B的位置．（游艇的大小忽略不计）37．如图，是某战役缴获敌人防御工事坐标地图的碎片，依稀可见：一号暗堡A的坐标为（4，3），五号暗堡B的坐标为（﹣2，3）．另有情报得知敌军指挥部的坐标为（﹣3，﹣2）．请问你能找到敌军的指挥部吗？38．一艘船上午8时从A港出发向东航行，10时到达B港，再折向南航行，11时30分到达C港．已知A，B两港相距40千米，B，C相距30千米，请选取适当的比例，建立直角坐标系，在直角坐标系中画出航线示意图，并求这艘船航行的平均速度．39．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6时，（1）A6距x轴是米；（2）若机器人从A6走到A7，A6A7长为多少？写出A7的坐标．40．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA=2cm，OB=2.5cm，OP=4cm，点C为OP的中点，回答下列问题：（1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？（2）学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？（3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？41．七年级（6）班有35名学生参加广播操比赛，队伍共7排5列，如果把第一排从左到右第4个同学的位置用（1，4）表示，那么站在队伍最中间的小明的位置应该怎么表示？（6，5）表示什么位置？42．如图，三个圆的半径分别为10km，20km，30km，OA在北偏东30°方向处，OB与正北方向夹角为35°，C在正南处，A，B，C分别是位于三环，二环，一环上的三所学校，请用方向角和距离表示这三所学校位置．43．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且AB=3，A点坐标为（﹣2，0），C点的坐标为（2，4）．①画出符合条件的三角形ABC，写出B点坐标；②求三角形ABC的面积．44．如图，四边形OABC是长方形，顶点坐标为A（6，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），线段AB，BC中点分别为M，N．（1）请求M，N的坐标，从中你发现M的横坐标与A，B横坐标有什么关系，纵坐标呢？（2）求AC的中点坐标．45．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点坐标为A（﹣5，4），B（﹣1，5），C（﹣2，1）．（1）在坐标系中描出A，B，C三点，指出三角形ABC在第几象限内；（2）求三角形ABC面积．46．已知点P的坐标为（﹣2m，m﹣6），根据下列条件分别确定字母m的值或取值范围．（1）点P在y轴上；（2）点P在一、三象限的角平分线上；（3）点P在第三象限．47．如图，已知边长为1的正方形OABC在平面直角坐标系中，B，C两点在第二象限内，OA与x轴的夹角为60°，那么C点坐标为多少？B点坐标为多少？48．已知平面直角坐标系内点M（4a﹣8，a+3），分别根据下列条件求出点M的坐标：（1）点M到y轴的距离为2；（2）点N的坐标为（3，﹣6），并且直线MN∥x轴．49．如图，在长方形ABCD中，边AB=8，BC=4，以点O为原点，OA，OC所在的直线为y轴和x轴，建立直角坐标系．（1）点A的坐标为（0，4），则B点坐标为_________ ，C点坐标为_________ ；（2）当点P从C出发，以2单位/秒速度向CO方向移动（不过O点），Q从原点O出发以1单位/秒速度向OA方向移动（不过A点），P，Q同时出发，在移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．50．如图，△ABC中，任意一点P（a，b）经平移后对应点P1（a﹣2，b+3），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．（1）求A1，B1，C1的坐标；（2）指出这一平移的平移方向和平移距离．51．把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标．例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（﹣1，2）．那么，2004的对应点的坐标是什么？52．如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内运动，在第1秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着由点B1→C1→A1，然后按图中箭头所示方向在x轴，y轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P（16，44）时所需要的时间．53．已知点M（2a﹣5，a﹣1），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点N的坐标是（1，6），并且直线MN∥y轴；（2）点M在第二象限，横坐标和纵坐标互为相反数．54．九年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移（a，b）=（m﹣i，n﹣j），并称a+b 为该生的位置数．若某生的位置数为10，则当m+n取最小值，求m•n的最大值．55．如图：一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，在第一分钟内，它从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个长度单位．（1）当粒子所在位置分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）时，所经过的时间分别是多少？（2）在第2004分钟后，这个粒子所在的位置的坐标是多少？56．在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），点P在x轴负半轴，S△PAB=3，求P点坐标．57．在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，S△PAO=4，求P点坐标．58．如图，已知B（0，0），C（2，0），画直角坐标系．写出每个正方形的顶点坐标，在如图中分别求出三个正方形面积．59．将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序实数对（n，m）表示n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是_________ ．60．如图：小聪第一次向东走1米记作（1，0），第二次向北走2米记作（1，2），第三次向西走3米记作（﹣2，2），第四次向南走4米记作（﹣2，﹣2），第五次向东走5米记作（3，﹣2），第六次向北走6米记作（3，4），第七次向西走7米记作（﹣4，4），第八次向南走8米记作（﹣4，﹣4）第九次向东走9米记作（5，﹣4）…如此下去，第2009次走后记作什么？参考答案：1．解：（1）∵四边形OBCD是边长为1个单位长度的正方形，∴OB=OD=1，∵∠OAB=45°，∴OA=OB=1，∴点A（﹣1，0），B（0，1），C（1，1），D（1，0）；（2）S梯形ABCD =（BC+AD）•CD=（1+2）×1=2．解：（1）长方形ABCD如图所示；（2）由图可知，向下平移2个单位长度；（3）横坐标不变，纵坐标变成原来的一半3．解：（1）多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标分别是A（﹣4，0）、B（﹣2，3）、C（2，3）、D（3，0）、E（2，﹣3）、F（0，﹣3）；（2）点C（2，3）、点E（2，﹣3）的横坐标相同，纵坐标互为相反数；（3）观察图形可知，直线CE垂直于x轴，平行于y轴4．解：（1）如图所示：在直角坐标系中描出两点；C1（﹣6，﹣4），C2（2，﹣4）；（2）①根据图象∠ABC1＞90°，得出△ABC1是钝角三角形，=BC1•9=×4×9=18．∵AC1==，AC2==，∴△ABC2是等腰三角形，=×4×9=18．5．解：（1）将四边形ABCD进行割补法分解成三个直角三角形和一个长方形求解：S四边形ABCD =×2×8+×2×9+×3×6+9×6=80；（2）如图所示：平移后A1B1C1D1的面积80不变．6．解：（1）如图所示，即为所要求作的图形，像字母M；（（3分）（2）横坐标变为原来的一半，纵坐标不变7．解：（1）∵A，C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），∴点B的横坐标为3，纵坐标为5，∴点B的坐标为（3，5）；（2）若AD为4份，则AD=5×=4，此时点D的坐标为（3，4），若AD为1份，则AD=5×=1，此时点D的坐标为（3，1），综上所述，点D的坐标为（3，4）或（3，1）；（3）AD=4时，四边形OADC的面积=（4+5）×3=，AD=1时，四边形OADC的面积=（1+5）×3=9，综上所述，四边形OADC 的面积为或98．解：（1）根据题意得，a﹣4=0，b﹣2=0，解得a=4，b=2，∴c=4+2=6，∴点A（0，4），B（2，2），C（6，4）；（2）S△ABC =×6×2=6，点Q在x轴上时，S△COQ =OQ•4=6，解得OQ=3，∴点Q的坐标为（﹣3，0）或（3，0），点Q在y轴时，S△COQ =OQ•6=6，解得OQ=2，∴点Q的坐标为（0，﹣2）或（0，2），综上所述，点Q的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（0，﹣2）或（0，2）；（3）S四边形BCPO=S△BOP+S△CBP，=×（2﹣m）×2+×（2﹣m）×（6﹣2），=2﹣m+4﹣2m，=6﹣3m （2）如图，CM=|6﹣2|=4，BM=|5﹣2|=3，则由勾股定理，得．…（6分）10．解：设点C坐标为（x，0）．（1分）利用两点间的距离公式，得，．（1分）根据题意，得AC=BC，∴AC2=BC2．即（x﹣2）2+1=（x﹣3）2+16．（2分）解得x=10．（1分）所以，点C的坐标是（10，0）11．解：过点A、B分别作x轴、y轴的垂线CE、CF交点为C，垂足分别为E、F∵A（2，4）、B（6，2）∴OE=AC=4，EA=CB=BF=2，OF=6，∴S ECFO=6×4=24 …（2分）S△AOE =×4×2=4 …（4分）S△ACB =×4×2=4 …（6分）S△BOF =×6×2=6 …（8分）∴S△AOB=S ECFO﹣S△AOE﹣S△ACB﹣S△BOF=24﹣4﹣4﹣6=10 …（10分）∴△AOB的面积是10∴S△OAB =×5×4=10；（2）若△OAP的面积是△OAB面积的2倍，O，A两点的位置不变，则△OAP的高应是△OAB高的2倍，即△OAP的面积=△OAB面积×2=×5×（4×2），∴P点的纵坐标为8或﹣8，横坐标为任意实数；（3）若△OBM的面积是△OAB面积的2倍，且B（2，4），O（0，0）不变，则△OBM的底长是△OAB底长的2倍，即△OBM的面积=△OAB的面积×2=×（5×2）×4，∴M点的坐标是（10，0）或（﹣10，0）13．解：（1）AB的长为：3﹣（﹣6）=9；（2）∵C（﹣7，8），∴△ABC的AB边上的高为8，∴S△ABC =AB•8=×9×8=3614．解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=100°．又AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=50°，∴∠ADB=50°+50°=100°，又∵AD是BC边上的高，∴∠AOD=90°，∵∠AOD+∠DAO=∠ADB=100°，∴∠EAD=10°，（2）由图知，∠DAO=∠BAD﹣∠CAO=∠BAC﹣∠CAO=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=90°﹣∠B ﹣∠C﹣90°+∠C=（∠C﹣∠B），（3）如图所示：由图知：∠QPO=∠BPQ﹣∠CPO=∠BPC﹣∠CPO=（180°﹣∠PBC﹣∠PCB）﹣（90°﹣∠PCB）=（∠PCB﹣∠PBC）15．解：（1）∵点A在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度∴横坐标为2，纵坐标为0，∴A（2，0）；（3分）（2）∵点B在x轴上方，y轴左侧，∴点B在第二象限，∵点B距离每条坐标轴都是2个单位长度，∴B（﹣2，2）16．解：建立坐标系如图：∴南门（0，0），狮子（﹣4，5），飞禽（3，4）两栖动物（4，1）17．解：（1）由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数，∴AB为奇数，故AB=7或9；（2）∵AC﹣BC=5，∴AC、BC中一个奇数、一个偶数，又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数，AB＞AC﹣BC=5，得AB的最小值为6；（3）存在．由A（﹣2，1），B（6，1）两点坐标可知：AB ∥x轴，且AB=6﹣（﹣2）=8，而△ABP的面积为16，由三角形计算面积公式可知，点P 到AB的距离为4，即P点纵坐标为5或﹣3，又P点在第一、三象限角平分线上，故P点坐标为（5，5）或（﹣3，﹣3）18．解：因为点P （2x﹣1，x+3）在第二、四象限的角平分线上，所以2x﹣1+x+3=0，所以，．所以，点P到x 轴的距离为19．解：（1）根据A（0，6），A1（﹣3，10）可得横坐标减3，纵坐标加4，∵B（﹣3，﹣3），C（﹣1，0），D（1，0），E（3，3），∴B1（﹣6，1），C1（﹣4，4），D1（﹣2，4），E1（0，7）；（2）平移方向是由A到A1的方向，AA1==5，平移距离是5个单位长度20．解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BP⊥x轴于点P，则点P的坐标为（x2，0），点N的坐标为（x1，0）由探究的结论可知，MN=MP，∴点M 的坐标为（，0），∴点C 的横坐标为同理可求点C 的纵坐标为∴点C 的坐标为（，）．故答案为：（，）．21．解：（1）当A点在坐标原点时，如图，AC在y轴上，BC⊥y轴，所以．目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．所以∠1=∠2=45°，．过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，则∠3=90°﹣∠ACD=90°﹣（90°﹣45°）=45°．又BC=1，所以，，因此．（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l2=OB2=cos2θ+（sinθ+2cosθ）2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2sin2θ+2（2cos2θ﹣1）=3+2sin2θ+2cos2θ==当时，，所以．解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC 上的中线，所以．在△ACB中，BC=1，，所以．若点O，E，B 不在一条直线上，则，若点O，E，B在一条直线上，则，所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，最大值是．当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，从下图可见，OE=1，．∠CEB=45°，但CE=OE=1，22．解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D．∵B（1，4），∴BD=4．∴S△ABC =AC•BD=12，∴AC=6．∵A（﹣2，0），∴C（4，0）或（﹣6，0）23．解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，c﹣4=0，∴a=2，b=3，c=4，∴点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如1图所示．（2）如图2，过点P作PD⊥y轴，则PD=﹣m，故三角形POA的面积=OA•PD=×2×（﹣m）=﹣m，即三角形POA的面积是﹣m；（3）存在．理由如下：如图2，过点A做AE⊥BC于点E．则AE=3．故△ABC的面积是6．∵S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=3﹣m，∴设存在点P使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，即3﹣m=6，解得m=﹣3，∴P（﹣3，1）24．解：（1）A（﹣2，5）；B（﹣5，2）；C（﹣1，0）；（2）△ABC的面积=4×5﹣×3×3﹣×1×5﹣×2×4=925．解：（1）如图，∵A（﹣4，﹣1），B（2，﹣1），∴AB=2﹣（﹣4）=6，S△ABC =AB•CD=×6•CD=12，解得CD=4，当点C在y轴的正半轴时，点C的坐标为（0，3），当点C在y轴的负半轴时，点C的坐标为（0，﹣5）；（2）∵到x轴距离等于4的点有无数个，∴在平面内使△ABC的面积为12的点有无数个，这些点到直线AB的距离等于4．26．解：（1）∵|a+2b+1|+（3a﹣4b+13）2=0，∴，解得：；（2）∵A（a，0），B（b，0），C（﹣2，1），∴AB=4，∴S△ABC =×4×1=2，∵△COD的面积是△ABC面积的两倍，∴S△COD=4，∴•OD×2=4，∴OD=4，∴点D的坐标为：（0，4），（0，﹣4）；（3）∵S△COD=4，且点D在x轴上，∴•OD×1=4，∴OD=8，∴点D的坐标为：（8，0），（﹣8，0）27．解：以A、B为两个顶点的正方形可画出三个，如图所示：□AQBP、□ABFE、□ABDC；①以AB为一条对角线时，另两个顶点分别为P（2，3），Q （0，﹣3），②以AB为一条边时，若另两顶点在直线AB的上方，则其坐标分别为E（0，7），F（6，5）；若另两顶点在直线AB的下方，则其坐标分别为C（﹣4，﹣5），D（2，﹣7）28．解：（1）如图，各点的坐标为：A（﹣5，4），B（5，4），C（﹣5，﹣4），D（5，0）；（2）连接BC、CD、DB，得△BCD，作出BD边上的高CE，如图所示．C点到x轴的距离为4；（3）方法1：S△BCD ==；方法2：S△BCD=S△COD+S△BOD==29．解：（1）∵长方形ABCO中，OC=AB=8，AB=8，BC=4，∴B的坐标是（8，4），C的坐标是（8，0）；（2）设OQ=t，CP=2t，则AQ=4﹣t；S△ABQ =AB•AQ=×8（4﹣t）=16﹣4t，S△BCP =PC•BC=×2t×4=4t，则S四边形OPBQ=S长方形ABCO﹣S△ABQ﹣S△BCP=32﹣（16﹣4t）﹣4t=16．故四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化30．解：（1）线段AB中点坐标为（3，0），线段AC中点坐标为（0.5，0），线段CD中点的坐标为（﹣2，0），线段AB中点的坐标是点A，B的坐标的和的一半，对线段AC中点和点A，C及线段CD中点和点C，D成立；（2）线段MN的中点P 的坐标为（，0）31．解：（1）四边形ABCD的面积=S△ADE+S梯形CDEF+S△CFB=7+×[（5+7）×5]+5=42；（2）∵四边形各顶点的横坐标都加2，纵坐标都加3，相当于把四边形向右平移2个单位长度，再向上平移三个单位长度，∴四边形的面积不变32．解：过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．∵A（﹣3，4），B（﹣1，2），∴OC=3，AC=4，OD=1，BD=2；∴S△AOC =×OC•AC=×3×4=6，S=OD•BD=×1×2=1，S梯形ACDB ==×2=6，∴S△AOB=S△BOD+S梯形ACDB﹣S△AOC=1+6﹣6=133．解：（1）设C点坐标为（0，t）（t＞0），∵S△ABC =×6×t=18，解得t=6，∴点C的坐标为（0，6）；（2）存在．设P点坐标为（a，0），根据题意得|a+4|×6=×|a﹣2|×6，解得a1=﹣6，a2=，∴P点坐标为（﹣6，0）或（，0）34．解：（1）点D的坐标（2，1）；（2）长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标A1（﹣3+2，1），B1（﹣3+2，3），C1（2+2，3），D1（2+2，1）即A1（﹣1，1），B1（﹣1，3），C1（4，3），D1（4，1）；（3）设x秒后△OBD面积等于长方形ABCD的面积∴长方形ABCD向右平移各点纵坐标不变，横坐标加x即可∴平移后ABCD四个顶点的坐标分别是：A（﹣3+x，1），B（﹣3+x，3），C（2+x，3），D（2+x，1）连接OA，作AE⊥x轴，AF⊥y轴∴AD=|（﹣3+x）﹣（2+x）|=5，AB=|3﹣1|=2，∴AF=|﹣3+x|，AE=1则①当x≤3时，S△OBD=S△OAD+S△ABD﹣S△OBA=AD•AE ﹣AB•AF+AB•AD=×5×1﹣×2×|﹣3+x|+×2×5=﹣|﹣3+x|S□ABCD=AD×AB=2×5=10∵S△OBD=S□ABCD∴15/2﹣|﹣3+x|=10∴|﹣3+x|=﹣，方程无解②当x＞3时，S△OBD=S△OAD+S△OBA+S△ABD=AD•AE+AB•AF+AB•AD=×5×1+×2×|﹣3+x|+×2×5=+|﹣3+x|S□ABCD=AD×AB=2×5=10∵S△OBD=S□ABCD∴15/2+|﹣3+x|=10∴|﹣3+x|=∴﹣3+x=±解得：x1=（舍去），x2=∴当秒后三角形OBD的面积等于长方形ABCD的面积35．解：以小明家为坐标原点，东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立坐标系．（1）图中距小明家距离相同的是A与C；（2）商场B在小明家的北偏西30°方向；学校A在小明家的东北方向；公园C、停车场P在小明家的南偏东60°方向．（3）学校距离小明家400m，而OA=2cm，即比例尺为1：20000．故商场距离小明家2.5×20000÷100=500（m）；停车场距离小明家4×20000÷100=800（m）36．解：设出发时B的位置为（x，20），由题意得，110﹣x=1.5×（110﹣50），解得x=20，所以，出发时游艇B的位置为（20，20）37．解：敌军指挥部如图所示．38．解：比例尺1：100000作图这艘船航行的平均速度（40+30）÷（2+1.5）=20（千米/时）39．解：（1）当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（6+3=9，18﹣6=12），即（9，12），所以A6距x轴是12米；（2）若机器人从A6走到A7，是向西走21米，A6A7=3×7=21米，点A7的坐标是（9﹣21=﹣12，18﹣6=12），即（﹣12，12）40．解：（1）∵点C为OP的中点，∴OC=OP=×4=2cm，∵OA=2cm，∴距小明家距离相同的是学校和公园；（2）学校北偏东45°，商场北偏西30°，公园南偏东60°，停车场南偏东60°；公园和停车场的方位相同；（3）图上1cm表示：400÷2=200m，商场距离小明家：2.5×200=500m，停车场距离小明家：4×200=800m41．解：∵第一排从左到右第4个同学的位置用（1，4）表示，∴队伍最中间小明在第4排第3列，∴小明的位置为（4，3）；（6，5）表示第6排第5列42．解：A在北偏东30°方向，到点O的距离为30km；B在北偏西35°方向，到点O的距离为20km；C在南面，到点O的距离为10km43．解：①△ABC如图所示，点B在点A的左边时，﹣2﹣3=﹣5，所以，点B的坐标为（﹣5，0），点B在点A的右边时，﹣2+3=1，所以，点B的坐标为（1，0）；②△ABC的面积=×3×4=6．44．解：（1）∵四边形OABC是长方形，顶点坐标为A（6，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），线段AB，BC中点分别为M，N，∴M点坐标为：（6，2），N（3，4），可以发现M的横坐标与A，B横坐标相等，纵坐标是两点纵坐标和的一半；（2）由（1）可得出：AC的中点坐标横坐标为点A，O横坐标和的一半，纵坐标为C，O纵坐标和的一半，即AC中点C的坐标为：（3，2）45．解：（1）△ABC如图所示，在第二象限；（2）△ABC面积=4×4﹣×3×3﹣×1×4﹣×1×4，=16﹣4.5﹣2﹣2，=16﹣8.5，=7.5．46．解：（1）∵点P（﹣2m，m﹣6）在y轴上，∴﹣2m=0，∴m=0；（2）∵点P（﹣2m，m﹣6）在一、三象限的角平分线上，∴﹣2m=m﹣6，∴m=2；（3）∵点P（﹣2m，m﹣6）在第三象限，∴，由①得，m＞0，由②得，m＜6，所以，0＜m＜647．解：如图，∵OA与x轴的夹角为60°，四边形OABC 为正方形，∴∠COE=180°﹣60°﹣90°=30°，∴CE=CO•sin30°=1×=，OE=CO•cos30°=1×=，∵点C在第二象限，∴点C 的坐标为（﹣，）；∵OA与x轴的夹角为60°，∴∠AOD=90°﹣60°=30°，∴OD=AO÷cos30°=1÷=，AD=AO×tan30°=1×=，∴BD=AB﹣AD=1﹣，在Rt△BDF中，∠DBF=∠AOD=30°，∴BF=BD•cos30°=（1﹣）×=﹣=，DF=BD•sin30°=（1﹣）×=﹣，∴OF=OD+DF=+﹣=，∵点B在第二象限，∴点B 的坐标为（，）48．解：（1）∵点M到y轴的距离为2，∴4a﹣8=2或4a﹣8=﹣2，解得a=或a=，当a=时，a+3=+3=，当a=时，a+3=+3=，所以，点M的坐标为（2，）或（﹣2，）；（2）∵点N（3，﹣6），直线MN∥x轴，∴a+3=﹣6，解得a=﹣9，∴4a﹣8=4×（﹣9）﹣8=﹣36﹣8=﹣44，∴点M（﹣44，﹣6）．49．解：（1）∵长方形ABCD中，AB=8，BC=4，∴CD=AB=8，∴B（8，4），C（8，0）；故答案为：（8，4），（8，0）；（2）设运动时间为t，则CP=2t，AQ=4﹣t，S四边形OPBQ=S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BPC，=4×8﹣×8（4﹣t ）﹣×4t，=32﹣16+4t﹣4t，=16，所以，四边形OPBQ的面积不变，为1650．解：（1）∵原来点A的坐标为（1，1），B的坐标为（﹣1，﹣1），C的坐标为（4，﹣2），点P（a，b）经平移后对应点P1（a﹣2，b+3），∴A1（﹣1，4）；B1（﹣3，2）；C1（2，1）；（2）将△ABC平移得到△A1B1C1，平移的方向是由A到A1的方向，平移的距离为线段AA1的长度，AA1==，即平移的距离为个单位长度51．解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．452=2025，由2n+1=45得n=22，所以2025的坐标为（22，﹣22）．2004=2025﹣21，22﹣21=1，所以2004的坐标是（1，﹣22）52．解：设粒子从原点到达A n、B n、C n时所用的时间分别为a n、b n、c n，则有：a1=3，a2=a1+1，a3=a1+12=a1+3×4，a4=a3+1，a5=a3+20=a3+5×4，a6=a5+1，a2n﹣1=a2n﹣3+（2n﹣1）×4，a2n=a2n﹣1+1，∴a2n﹣1=a1+4[3+5+…+（2n﹣1）]=4n2﹣1，a2n=a2n﹣1+1=4n2，∴b2n﹣1=a2n﹣1﹣2（2n﹣1）=4n2﹣4n+1，b2n=a2n+2×2n=4n2+4n，c2n﹣1=b2n﹣1+（2n﹣1）=4n2﹣2n，c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+2n，∴c n=n2+n，∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点c44时所用的时间，再加上44﹣16=28（s），所以t=442+447+28=2008（s）53．解：（1）∵直线MN∥y轴，∴2a﹣5=1，解得a=3，∴a﹣1=3﹣1=2，∴点M的坐标为（1，2）；（2）∵横坐标和纵坐标互为相反数，∴2a﹣5+a﹣1=0，解得a=2，∴2a﹣5=2×2﹣5=﹣1，a﹣1=2﹣1=1，∴点M的坐标为（﹣1，1）54．解：由题意得，a+b=m﹣i+n﹣j=10，m+n=10+（i+j），∵m、n、i、j表示行数与列式，∴当i=j=1时，m+n取最小值，此时，n=12﹣m，m•n=m（12﹣m）=﹣（m﹣6）2+36，∴当m=6时，m•n有最大值3655．解：（1）粒子所在位置与运动的时间的情况如下：位置：（1，1）运动了2=1×2分钟，方向向左，位置：（2，2）运动了6=2×3分钟，方向向下，位置：（3，3）运动了12=3×4分钟，方向向左，位置：（4，4）运动了20=4×5分钟，方向向下；（2）到（44，44）处，粒子运动了44×45=1980分钟，方向向下，故到2004分钟，须由（44，44）再向下运动2004﹣1980=24分钟，到达（44，20）56．解：设P点坐标为（a，0），a＜0，如图，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∵S△APC+S梯形ACDB=S△PAB+S△PBD，∴（1﹣a）×2+×（1+2）×2=3+（3﹣a）×1，解得a=﹣1，∴P点坐标为（﹣1，0）57．解：当点P在x轴上时，设P（x，0），∵S△PAO=4，A（1，4）∴|x|×4=4，解得x=±2，∴P（﹣2，0）或（2，0）；当点P在y轴上时，设P（0，y），∵S△PAO=4，A（1，4）∴|y|×1=4，解得x=±8，∴P（﹣8，0）或（8，0）．综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（﹣8，0）或（8，0）58．解：建立平面直角坐标系如图所示，A（1，1），D（﹣1，1），E（0，2）；F（2，2），G（3，1）；P（0，﹣2），H（2，﹣2）；正方形ABDF的面积=×2×2=2，正方形ACGF的面积=×2×2=2，正方形BPHC的面积=2×2=459．解：由图可知，前6排共有：1+2+3+4+5+6=21个，∵（7，2）表示第7排从左到右第2个数，∴（7，2）表示表示23．故答案为：2360．解：∵第四次走后的坐标为（﹣2，﹣2），第八次走的坐标为（﹣4，﹣4），2008÷4=502，∴第2008次走后的坐标为（（﹣2×502，﹣2×502），∴第2009次走后的坐标为（﹣2×502+2009，﹣2×502），即（1005，﹣1004）。

坐标练习题加答案

坐标练习题加答案一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)关于x轴的对称点的坐标是：A. (3,-4)B. (-3,4)C. (4,3)D. (-3,-4)答案：A2. 点Q(-1,2)与点R(1,-2)的中点坐标是：A. (0,0)B. (0,2)C. (1,0)D. (-1,0)答案：A3. 若点M的坐标为(2,-3)，点N的坐标为(-2,3)，则MN的长度是：A. 2√2B. 4√2C. 6√2D. 8√2答案：B二、填空题4. 在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(a,b)，且点A关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)，则a的取值范围是______。

答案：a ≠ 05. 已知点P(x,y)在第一象限，若x+y=10，且x>y，则x的取值范围是______。

答案：0 < x < 10三、解答题6. 已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标。

解：根据中点公式，中点的坐标为：\[ M(x_m, y_m) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A +y_B}{2}\right) \]代入点A和点B的坐标，得到：\[ M = \left(\frac{2 + (-1)}{2}, \frac{3 + (-2)}{2}\right) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \]所以，线段AB的中点坐标为(0.5, 0.5)。

7. 已知点C(4,5)和点D(-3,1)，若点E是线段CD的中点，求点E的坐标。

解：同样使用中点公式，代入点C和点D的坐标，得到：\[ E = \left(\frac{4 + (-3)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (0.5, 3) \]因此，点E的坐标为(0.5, 3)。

四、应用题8. 在平面直角坐标系中，有一个矩形ABCD，其中A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)。

6.平面直角坐标系中的距离公式(教师版)

第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程第6课时平面直角坐标系中的距离公式【预习导航】1.若),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点之间的距离=||AB ______.2.点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离=d ______.参考答案:1.212212)()(y y x x -+-.2.2200||BA C By Ax +++.【基础自测】1.原点到直线1043=-y x 的距离为( )A.1B.2C.5D.10 2.若点),4(m M 关于点)3,(-n N 的对称点为)9,6(-P ,则=+n m ( ) A.1 B.2 C.7 D.8 3.若),1(),1,2(m B A -两点之间的距离为5,则m 的值为( )A.3-B.5C.1-或3-D.3-或54.若过点)1,2(P 的直线l 分别交y x ,轴于点B A ,,且||||PB PA =,则l 的方程为( )A.042=-+y xB.032=--y xC.032=+-y xD.052=-+y x 参考答案: 1.B 2.D 3.D 4.A【典例剖析】题型1: 有关距离的问题例1 已知点)7,2(),2,1(B A -,在x 轴上求一点P ,使得||||PB PA =.[思路分析]由题意先设出点P 的坐标,然后根据题目条件列出方程求解即可. [解法一]由题意可设点P 的坐标为)0,(x ,又由于||||PB PA =,因此有:2222)70()2()20()1(-+-=-++x x 解得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[解法二]由直线AB 斜率为327-=k ,且线段AB 中点为)272,21(+C ,因此直线AB 的垂直平分线方程为: )21(723272--=+-x y . 令0=y ,得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[规律技巧]两种解法各有利弊,解法一直接求解；解法二则是抓住几何性质入手,值得关注.[变式训练]在直线043=-+y x 上求一点P ,使其到)1,0(),0,3(-B A 的距离相等.解:由题意可设点P 的坐标为),34(y y -,又由于||||PB PA =,因此有:2222)1()34()334(++-=+--y y y y 解得1=y .所以,所求点P 的坐标为)1,1(.例2 (1)求点)2,1(-P 到下列直线的距离: ①3=x ；②5=y ；③0832=-+y x . (2)求两条平行直线0143=-+y x 和01643=-+y x 之间的距离.[思路分析]对点到直线距离公式的理解与应用应全面、正确.[解](1)①因直线3=x 平行于y 轴,故点)2,1(-P 到3=x 的距离4|)1(3|=--=d .②因5=y 平行于x 轴,故)2,1(-P 到直线5=y 的距离为:3|25|=-=d .③由点到直线的距离公式可得:1313432|823)1(2|22=+-⨯+-⨯=d . (2)两条平行直线之间的距离: 343|)16()1(|22=+---=d .[规律技巧]点),(00y x P 到b y a x ==,的距离既可用点到直线的距离公式计算,也可用||0a x d -=或||0b y d -=计算.另外,平行直线0=++C By Ax 与0'=++C By Ax 间的距离22|'|BA C C d +-=.[变式训练]直线0243=+-y x 与直线02186=+-y x 之间的距离为________.解:由直线02186=+-y x 的方程可化为: 022143=+-y x . 故,两直线间的距离为间的距离 1017)4(3|2221|22=-+-=d . 题型2: 有关距离的应用例3 (1)求经过点)2,3(-P ,且与原点距离为3的直线方程.(2)已知动点P 到直线0132=+-y x 和0932=--y x 的距离相等,求动点P 的轨迹方程.[思路分析]对于(1),将直线方程设出来,再由点到直线距离求解即可.只是需要关注设直线方程时,直线的斜率存在与否需要讨论；对于(2),输出点的坐标,根据已知条件直接求解即可.[解](1)当直线的斜率不存在时,直线方程为3=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,由题意可设直线方程为)3()2(-=--x k y ,整理可得: 023=---k y kx . 由点到直线的距离公式可得: 3)1(|2300|22=-+---⋅=k k k d ,解得125=k .故,所求直线方程为:3=x 或039125=--y x .(2)设点P 坐标为),(y x ,则由题意可得:2222)3(2|932|)3(2|132|-+--=-++-y x y x ,从而得所求轨迹方程为0432=--y x . [规律技巧]经过定点的直线的斜率是否存在,在设直线方程时常常需要讨论,否则,容易漏解.[变式训练]求直线01953=+-y x 关于点)3,2(对称的直线方程.解:由题意可知,所求直线与已知直线一定平行,故可设所求直线方程为: 053=+-m y x .又由点)3,2(到两直线距离相等可得:2222)5(3|3523|)5(3|193523|-++⨯-⨯=-++⨯-⨯m ,解得19=m (舍),或1-=m . 故,所求直线方程为0153=--y x . 例 4 两条平行直线分别经过点)2,2(--P 和)3,1(Q ,它们之间的距离为d .如果两条直线各自绕着P ,Q 旋转,并且保持平行． (1)求d 的变化范围； (2)用d 表示两条直线的斜率； (3)当d 最大时,求两条直线的斜率． [思路分析]先设两条平行直线的斜率,再逐步求解即可.[解](1)当两条平行直线的斜率均不存在时,3=d ；当两平行直线的斜率均存在时,设斜率为k ,则过点P 的直线为2(2)y k x +=+,即220kx y k -+-=；过点Q 的直线方程为30kx y k --+=.两条平行直线间的距离为: 22|223||35|,11k k k d k k -+--==++令222930251k k u d k -+==+,去分母,整理得2(9)30(25)0u k k u -++-=，即,关于k 的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=有实数根.①当9=u 时,方程有实数根； ②当9≠u 时,方程要有实数根,则必有:0)25)(9(4302≥---u u ,即,340≤≤u .综上可知,d 的变化范围为034d ≤≤. (2)由(1)中的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=,即 222(9)30(25)0d k k d -++-=,解得2215349d d k d -±-=-. (3)当max 34d =时,2215341539255d d k d -±-==-=--. [规律技巧]本题中求d 的取值范围的方法值得关注.读者可以考虑还有什么方法可以求得(1)中的d 的取值范围.[变式训练]已知点)4,3(P ,以及直线0943=++y x 上的动点Q ,则Q P ,两点间距离的最小值为________.解:由于Q P ,两点间距离的最小值即为点P 到直线0943=++y x 的距离,故所求的最小值为53443|94433|22=++⨯+⨯=d . 【课时作业】一、选择题1.点)1,1(到直线2=-y x 的距离为( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:C 由点到直线的距离公式可得: 211|21111|22=+-⨯-⨯=d .2.若过点),5(),,3(b B a A 两点的直线与直线m x y +=平行,则=||AB ( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:D 由题意得135=--ab ,故2=-a b . 因此,22)()35(||22=-+-=a b AB .3.直线0134=-+y x 与0368=++y x 之间的距离为( )A.21 B.1 C.23D.2 答案:A 由直线的方程0134=-+y x 可化为0268=-+y x ,从而可得: 2168|)2(3|22=+--=d . 4.若点P 在直线02743=--y x 上,点Q的坐标为)1,2(,则当||PQ 最小时,点P 的坐标为( )A.)3,5(-B.)0,9(C.)5,3(-D.)3,5(-答案:A 由于当||PQ 最小时PQ 与已知直线垂直,故验证斜率即可得解.二、填空题5.若点P 在直线06125=++y x 上,点Q 为)2,3(,则||PQ 的最小值为______．答案:1345由题有1345125|621235|22=++⨯+⨯. 6.若x 轴上的点P 到直线0643=+-y x 的距离为6,则P 点坐标为______．答案:)0,8(或)0,12(- 由题可设)0,(x P ,则有6)4(3|6043|22=-++⨯-x ,解之,得8=x 或12-=x .7.若点),4(a 与直线4310x y --=的距离不大于3,则a 的取值范围为______. 答案:010a ≤≤ 根据题意可得|4431|35a ⨯--≤,解得010a ≤≤.8.若)1,1(到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离为d ,则d 的最大值为______. 答案:22+ 由题意可得:|2)4sin(2|sin cos |2sin cos |22-+=+-+=πθθθθθd 故,2222+≤≤--d .三、解答题9.在直线2y x =+上找一点,使它到直线3480x y -+=和310x y --=的距离的平方和最小．解:设点(,2)P x x +,则有1348855x x x d --+==,2321231010x x x d ----==.从而可得:10)32(25322221-+=+x x d d ])1115(2245)1115(22[50122⨯-+-=x 所以当1511x =时,有最小值,此时3711y =.∴点P 的坐标为1537(,)1111.10.已知)3,2(1P ,)5,4(2-P 与点)2,1(-A ,求过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线方程．解法1：当直线斜率不存在时,方程为1-=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,设直线的方程为2(1)y k x -=+,即20kx y k -++=，1P ,2P 到直线的距离相等,则有,1254123222+++--=+++-k k k k k k化简得3313+=-k k ,解得13k =-,代入得直线方程为 350x y +-=. 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.解法2：若1P ,2P 在直线l 的同侧,1P ,2P 到l 的距离相等,则过1P ,2P 的直线与直线l平行,则过点1P ,2P 的直线的斜率为531423k -==---，∴过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线l 方程为350x y +-=；若1P ,2P 在直线l 的异侧时,要1P ,2P 到l 的距离相等,则l 一定过1P ,2P 的中点,则1P ,2P 的中点为)4,1(-,又l 要过点A , 故直线l 的方程是10x +=．综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.。

2022年初中数学同步 7年级下册第13课坐标方法的简单应用(教师版含解析)

第13课坐标方法的简单应用目标导航课程标准1．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2. 能在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.知识精讲知识点01 用坐标表示地理位置根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．注意：(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的.所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．知识点02 用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b).注意：(1)在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；(2)在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；(3)在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．注意：(1)平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.(2)平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.能力拓展考法01 用坐标表示地理位置【典例1】小明写信给他的朋友介绍学校的有关情况：校门正北方100米处是教学楼，从校门向东50米，再向北50米是科教楼，从校门向西100米，再向北150米是宿舍楼……请画出适当的平面直角坐标系表示校门、教学楼、科技楼、宿舍楼的位置，并写出这四个点的坐标．【分析】选取校门所在的位置为原点，并以正东，正北方向为x轴、y轴的正方向，可以容易地写出三个建筑物的坐标．否则就较复杂．【答案与解析】解：(1)平面直角坐标系及学校的建筑物位置如图所示，比例尺为1:10000．(2)校门的坐标为(0，0)；教学楼的坐标为(0，100)；科技楼的坐标是(50，50)；宿舍楼的坐标为(-100，150)．【点睛】选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，都要让人一听一看就清楚所描述的位置．【即学即练】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．(1)画出坐标系确定宝藏的位置；(2)确定点P的坐标．【答案】解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．(2)点P的坐标是(500，250)【典例2】如图是一所学校的平面示意图，已知国旗杆的坐标为(-1，1)，写出其他几个建筑物位置的坐标．若国旗杆的坐标为(3，1)，则其他几个建筑物位置的坐标是否发生改变?若改变，请写出坐标，若不改变，请说明理由．【答案与解析】解：当国旗杆的坐标是(-1，1)时，校门的坐标是(-4，1)，实验楼的坐标是(2，-2)，教学楼的坐标是(2，1)，图书馆的坐标是(1，4)；若国旗杆的坐标是(3，1)，则校门的坐标是(0，1)，实验楼的坐标是(6，-2)，教学楼的坐标是(6，1)，图书馆的坐标是(5，4)．【点睛】根据已知点确定平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标．【即学即练】如图，是象棋棋盘的一部分．若位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，则位于点上．【答案】(﹣2，1)．解：∵位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，∴位于点(﹣2，1)上．考法02用坐标表示平移【典例3】如如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2)．(1)写出点A、B的坐标：A(，)、B(，)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(，)、B′(，)、C′(，)．(3)△ABC的面积为．【分析】(1)A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象限，横纵坐标均为正；(2)让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；(3)△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．【答案与解析】解：(1)写出点A、B的坐标：A(2，﹣1)、B(4，3)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(0，0)、B′(2，4)、C′(﹣1，3)．(3)△ABC的面积=3×4﹣2××1×3﹣×2×4=5．【点睛】用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示．【即学即练】已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0)．三角形ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0+5，y0+3)．将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1：(1)求A1B1C1的坐标．(2)求三角形ABC和△A1B1C1的面积大小．【答案】解：(1)A 1(3，6)，B 1(1，2)，C 1(7，3)．(2)ABC A B C S S '''=△△11124246143222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝24-4-3-6＝11．考法03 综合应用【典例4】在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【分析】当台风中心移动到据B 点200千米时，B 市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．【答案与解析】解：∵台风影响范围半径为200km ，∴当台风中心移动到点(4，6)时，B 市将受到台风的影响．所用的时间为：50×(10-4)÷40=7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【点睛】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．【即学即练】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是()A．(﹣1，1)B．(﹣1，﹣2)C．(﹣1，2)D．(1，2)【答案】A【解析】【详解】试题分析：已知将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为(﹣1，1)．故选A．分层提分考点：坐标与图形变化-平移．的值为()2．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a bA．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A(2，0)的对应点A1(4，b)知向右平移2个单位，由点B(0，1)的对应点B1(a，2)知向上平移1个单位，△a=0+2=2，b=0+1=1，△a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(–1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(–4，–1)的对应点D的坐标为()A．(1，2)B．(2，9)C．(5，3)D．(–9，–4)【答案】A【解析】【详解】△线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，△由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2).4．如图， ,A B 的坐标为()()1,0,0,2,若将线段AB 平移至11A B ，则-a b 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【详解】解：由B 点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B 点向上平移了2个单位，由A 点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A 点向右平移了2个单位，由此得线段AB 的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所以点A 、B 均按此规律平移，由此可得a=0+2=2，b=0+2=2，△a -b=2-2=0，故选：B ．【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5．已知A (3，﹣2)，B (1，0)，把线段AB 平移至线段CD ，其中点A 、B 分别对应点C 、D ，若C (5，x )，D (y ，0)，则x ＋y 的值是( )A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由对应点坐标确定平移方向，再由平移得出x，y的值，即可计算x+y．【详解】△A(3，﹣2)，B(1，0)平移后的对应点C(5，x)，D(y，0)，△平移方法为向右平移2个单位，△x＝﹣2，y＝3，△x+y＝1，故选：C．【点睛】本题考查坐标的平移，掌握点坐标平移的性质是解题的关键，点坐标平移：横坐标左减右加，纵坐标下减上加．6．在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比()A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位【答案】D【解析】【分析】根据向下平移，纵坐标相减，横坐标不变解答．【详解】△将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，△所得图形与原图形相比向下平移了3个单位．故选D.【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】已知线段AB ，BC ，AC ，分别以三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断．【详解】如果以线段AB 为对角线，AC ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限；如果以线段AC 为对角线，AB ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限；如果以线段CB 为对角线，AC ，BA 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第三象限．故不可能在第一象限．故选A.【点睛】考查了平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．8．如图，一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点(00)，运动到(0)1，，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是( )A ．(0，9)B ．(9，0)C ．(0，8)D ．(8，0)【答案】C【解析】【详解】【分析】由题目可以知道，质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒，这样可以先确定，第80秒钟时所在的点所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．【详解】质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒， △当n=8时，n 2+n=82+8=72，△当质点运动到第72秒时到达(8，8)，△质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，△此时质点的横坐标为8-8=0，△此时质点的坐标为(0，8)，△第80秒后质点所在位置的坐标是(0，8)，故选C.【点睛】本题考查了规律题——点的坐标，解决本题的关键是读懂题意，并总结出一定的规律，难度较大．题组B 能力提升练9．将点()1,24P m m -+向上平移2个单位后落在x 轴上，则m =___．【答案】-3【解析】【分析】点坐标向上平移2个单位，就是纵坐标加上2，落在x 轴上，就是纵坐标为0，求出m 的值．【详解】解：点()1,24P m m -+向上平移2个单位得()1,26P m m '-+，△平移后落在x 轴上，△260m +=，解得3m =-．故答案是：-3．【点睛】本题考查点坐标的平移，解题的关键是掌握点坐标平移的方法．10．已知直线AB△x 轴，点A 的坐标为(1，2)，并且线段AB ＝3，则点B 的坐标为________【答案】(4，2)或(﹣2，2).【解析】【详解】分析：AB△x 轴，说明A ，B 的纵坐标相等为2，再根据两点之间的距离公式求解即可．详解：△AB△x 轴，点A 坐标为(1，2)，△A ，B 的纵坐标相等为2，设点B 的横坐标为x ，则有AB=|x -1|=3，解得：x=4或-2，△点B 的坐标为(4，2)或(-2，2)．故本题答案为：(4，2)或(-2，2)．点睛：本题主要考查了平行于x 轴的直线上的点的纵坐标都相等．注意所求的点的位置的两种情况，不要漏解．11．已知点A(a ，0)和点B(0，5)两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是______.【答案】±4【解析】【详解】试题分析：根据坐标与图形得到三角形OAB 的两边分别为|a|与5，然后根据三角形面积公式有：15102a ⋅⋅=，解得a=4或a=-4，即a 的值为±4．考点：1.三角形的面积；2.坐标与图形性质．12．在平面直角坐标系中，若点M (1，3)与点N (x ，3)之间的距离是5，则x 的值是____________．【答案】－4或6【解析】【详解】分析：点M 、N 的纵坐标相等，则直线MN 在平行于x 轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x -1|=5，从而解得x 的值．解答：解：△点M(1，3)与点N(x ，3)之间的距离是5，△|x -1|=5，解得x=-4或6．故答案为-4或6．13．如图，点,A B 的坐标分别为(2,0),(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为_____．【答案】2【解析】【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．【详解】由题意可知：a=0+(3-2)=1；b=0+(2-1)=1；△a+b=2．故答案为：2.【点睛】此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．14．把点A(a，-2)向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，则a等于____.【答案】1.5【解析】【详解】试题解析：由题意，得a+(a-3)=0，解得a=1.5.点睛：对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．(1)把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．(2)把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，则点B的坐标是_______．(3)把点P(2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．【答案】(4，-3) (-2，-6) (-2，7)【解析】【分析】(1)根据点向右平移2个单位即横坐标加2，纵坐标不变求解即可；(2)根据点向下平移3个单位即横坐标不变，纵坐标减3求解即可；(3)根据点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位即横坐标减4，纵坐标加4求解即可．【详解】解：(1)△把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，△横坐标加2，纵坐标不变，△点P'的坐标是(4，-3)；(2)△把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，△横坐标不变，纵坐标减3，△点B 的坐标是(-2，-6)；(3)△把点P (2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P '，△横坐标减4，纵坐标加4，△点P '的坐标是(-2，7)．故答案为：(4，-3)；(-2，-6)；(-2，7)．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律．向左平移，点的横坐标减小，纵坐标不变；向右平移，点的横坐标增大，纵坐标不变；向上平移，点的横坐标不变，纵坐标增大；向下平移，点的横坐标不变，纵坐标减小．16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，则D 的坐标为_______，连接AC ，BD ．在y 轴上存在一点P ，连接P A ，PB ，使PAB S =△S 四边形ABDC ，则点P 的坐标为_______．【答案】 (4，2) (0，4)或(0，-4)【解析】【分析】根据B 点的平移方式即可得到D 点的坐标；设点P 到AB 的距离为h ，则S △P AB =12×AB ×h ，根据S △P AB =S 四边形ABDC ，列方程求h 的值，确定P 点坐标；【详解】解：由题意得点D 是点B (3，0)先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，△点D 的坐标为(4，2)；同理可得点C 的坐标为(0，2)，△OC =2，△A (-1，0)，B (3，0)，△AB =4，△=8ABDC S AB OC ⋅=四边形，设点P 到AB 的距离为h ，△S △P AB =12×AB ×h =2h ，△S △P AB =S 四边形ABDC ，得2h =8，解得h =4，△P 在y 轴上，△OP =4，△P (0，4)或(0，-4)．故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题主要考查了根据平移方式确定点的坐标，坐标与图形，解题时注意：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度．题组C 培优拔尖练17．在平面直角坐标系中，P(1，4)，点A 在坐标轴上，且S 三角形PAO ＝4，求点A 的坐标．【答案】A(2，0)或(－2，0)或(0，8)或(0，－8)【解析】【详解】试题分析：由于点A 的坐标不能确定，故应分点A 在x 轴上和点在y 轴上两种情况进行讨论．试题解析：当点A 在x 轴上时，设A(x ，0)，△S △PAO =4，A(1，4) △12|x|×4=4，解得x=±2，△A(-2，0)或(2，0)；当点A 在y 轴上时，设A(0，y)，△S △PAO =4，A(1，4)△12|y|×1=4，解得x=±8，△A(-8，0)或(8，0)．综上所述，A 点坐标为(-2，0)或(2，0)或(-8，0)或(8，0)．点睛：本题考查的是平面直角坐标系中的三角形的面积，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，3)，B(－5，1)，C(－2，0)，P(a ，b)是△ABC 的边AC 上任意一点，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，点P 的对应点为P 1(a ＋6，b －2)．(1)直接写出点C 1的坐标；(2)在图中画出△A 1B 1C 1；(3)求△AOA 1的面积．【答案】(1)(4，-2)；(2)作图见解析，(3)6.【解析】【分析】(1)根据点P 的对应点为P 1(6,2a b +-)确定出平移规律为向右6个单位，向下2个单位，，由此规律和C(－2，0)即可求出C 1的坐标；(2)根据(1)中的平移规律确定点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；(3)利用△AOA 1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】(1)△点P(a ，b)的对应点为P 1(a+6，b -2)，△平移规律为向右6个单位，向下2个单位，△C(-2，0)的对应点C 1的坐标为(4，-2)；(2)△A 1B 1C 1如图所示；(3)△AOA1的面积=6×3-12×3×3-12×3×1-12×6×2=18-92-32-6=18-12=6．考点：图形的平移变换.19．如图，一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(﹣1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1)图中A→C(______，_____)，B→C(______，_____)，D→_____(﹣4，﹣2)；(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为(+2，+2)，(+2，﹣1)，(﹣2，+3)，(﹣1，﹣2)，请在图中标出P的位置；(3)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．【答案】(1) (3，4)；(2，0)；A；(2)答案见解析；(3)10．【解析】【分析】(1)根据规定及实例可知A→C记为(3，4)B→C记为(2，0)D→A记为(﹣4，﹣2)；(2)按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；(3)根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长．(1)规定：向上向右走为正，向下向左走为负△A →C 记为(3，4)B →C 记为(2，0)D →A 记为(﹣4，﹣2)；(2)P 点位置如图所示．(3)据已知条件可知：A →B 表示为：(1，4)，B →C 记为(2，0)C →D 记为(1，﹣2)；该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2=10．故答案为(3，4)；(2，0)；A ；【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．20．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ．连接AC ，BD ．(1)写出点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积.(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S 三角形PAB ＝S 四边形ABDC ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由；(3)点Q 是线段BD 上的动点，连接QC ，QO ，当点Q 在BD 上移动时(不与B ，D 重合)，给出下列结论：①DCQ BOQ CQO +∠∠∠的值不变；②DCQ CQO BOQ+∠∠∠的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求值.【答案】(1)C(0，2)，D(4，2)，S 四边形ABCD ＝8；(2)存在，点P 的坐标为(0，4)或(0，－4)；(3)结论①正确，DCQ BOQ CQO+∠∠∠=1. 【解析】(1)根据点平移的规律：左减右加，上加下减，即可得到点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式计算面积即可；(2)设点P的坐标为(0，y)，根据三角形的面积公式底乘以高的一半列式计算即可得到答案；(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E，利用平行线的性质：两直线平行内错角相等证得△DCQ＋△BOQ ＝△CQO，由此得到结论①正确【详解】(1)△将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，△C(0，2)，D(4，2)，AB△CD且AB=CD=4，△四边形ABDC是平行四边形，△S四边形ABCD＝4×2＝8.(2)存在，设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得12×4×|y|＝8.解得y＝4或y＝－4.△点P的坐标为(0，4)或(0，－4).(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E.△AB△CD，△QE△CD.△△DCQ＝△EQC，△BOQ＝△EQO.△△EQC＋△EQO＝△CQO，△△DCQ＋△BOQ＝△CQO.△DCQ BOQCQO∠∠∠＝1.【点睛】此题考查点平移的坐标规律，利用面积求点的坐标，平行线的性质，(2)中利用面积求点坐标时，高度为点纵坐标的绝对值，得到纵坐标为两个值，这是题中易错点。

平面直角坐标系答题及答案

平面直角坐标系答题及答案一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.直线y = 3x + 2与y轴的交点的坐标为： A. (0, 3) B. (3, 0) C. (0, 2) D. (-2, 0)答案：C. (0, 2)2.已知点A(2, 3)和B(7, 8)，则直线AB的斜率为： A. 2 B. 3 C. 5/2 D.1/2答案：C. 5/23.在平面直角坐标系中，点P(4, -3)关于x轴的对称点为： A. (4, 3) B. (-4, 3) C. (-4, -3) D. (-4, -6)答案：C. (-4, -3)4.已知线段AB的中点坐标为(2, 5)，且点A(-1, 3)，则点B的坐标为：A. (5, 2)B. (3, 7)C. (-2, 5)D. (2, 7)答案：B. (3, 7)5.线段PQ的中点坐标为(1, -2)，且点P(3, 1)，则点Q的坐标为： A. (2, -5) B. (1, -4) C. (-1, -5) D. (2, -1)答案：C. (-1, -5)二、填空题（共3题，每题4分，共12分）1.直线y = -4x + 3与x轴的交点的坐标为（，）。

答案：(3/4, 0)2.在平面直角坐标系中，点A(5, -2)关于y轴的对称点为（，）。

答案：(-5, -2)3.已知点P(4, -3)和点Q(7, 1)，则线段PQ的中点坐标为（，）。

答案：(5.5, -1)三、解答题（共2题，每题20分，共40分）1.根据平面直角坐标系，解答以下问题：(a)坐标轴上的点有哪些？答案：坐标轴上的点有无数个，如(0, 0)、(1, 0)、(0, 2)等。

(b)如何计算两点之间的距离？答案：计算两点之间的距离可以使用勾股定理，即距离等于两点间横坐标差的平方与纵坐标差的平方的和再开根号。

(c)如何判断两条直线的关系？答案：两条直线的关系可以通过斜率来判断。

如果斜率相等，且截距也相等，则两条直线重合；如果斜率相等，但截距不相等，则两条直线平行；如果斜率不相等，则两条直线相交。

《平面直角坐标系》核心考点B【教师版】

13．勤学早第7章《平面直角坐标系》核心专题一点通B——核心题型及方法专题核心题型一点的坐标特征1．点P（2m+4，m－1），试分别根据下列条件，求出P点的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P在x轴上；（3）点P的纵坐标比横坐标大3；（4）点P在过A（2，－3）点且与x轴平行的直线上．答案：（1）（0，-3）（2）（6，0）；（3）（-12，-9）；（4）（0，-3）2．已知平面直角坐标系内点M（4a－8，a＋3），分别根据下列条件，求出点M的坐标．（1）点M到x轴的距离为2；（2）点N的坐标为（3，－6），并且直线MN∥x轴．答案：（1）M（2，5.5）或（-2，4.5）；（2）M（-44，-6）3．已知点M（3|a|－9，4－2a）在y轴的负半轴上．（1）求M点的坐标；（2）求(2－a)2018＋1的值．答案：（1）M（0，-2）；（2）2核心题型二坐标与规律4．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着A-B-C-D-A…循环爬行，其中A的坐标为（1，－1），B的坐标为（－1，－1），C的坐标为（－1，3），D的坐标为（1，3）．当蚂蚁爬了2018个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）A．（2，2）B．（－1，－1）C．（1，－1）D．（－2，2）答案：B5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A18的坐标为（）A．（8，0）B．（8，1）C．（9，0）D．（9，1）答案：D6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内的整点个数有（）A．64个B．49个C．36个D．81个答案：B第6题图第7题图7．如图，长方形BCDE的各边分别平行于轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，第2018次相遇地点的坐标是__________．答案：（-1，-1）核心题型三坐标与位置8．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（－40，－30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D答案：B9．如图所示的是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成”（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（－1，1）D．（1，－1）答案：A第8题图第9题图10．如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白旗②的坐标为（－3，－2），白旗④的坐标为（－2，－6），那么黑棋的坐标应该是__________．答案：（1，-5）第10题图第11题图11．如图，游艇A和B在湖中作直线运动，已知游艇B的速度是游艇A的1.5倍，出发时，游艇A 的位置为（50，20），当B追上A时，此时的位置为（110,20），求出发时游艇B的位置．（游艇的大小忽略不计）答案：（20，20）核心题型四坐标与平移12．将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（－1，3），则点P的坐标是__________．答案：（1，2）13．在平面直角坐标系中，点M（1，－2）可由点N（1，0）向____平移____个单位长度得到．答案：下14．在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（－4，－1）、N（0，1），将线段MN平移后得到线段M′N′（点M、N分别平移到点M′、N′的位置），若点M′的坐标为（－2，2）。

平面直角坐标系知识梳理及经典题型(教师版)

平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

记作（a ，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；a,）一一对应；其1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：1、点P （y x ,）所在的象限横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；2、点P （y x ,）所在的数轴横、纵坐标x 、y 中必有一数为零；（四）在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1、点P 到x 轴的距离为b ； 2、点P 到y 轴的距离为a ；3、点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +（五）平行直线上的点的坐标特征：1、在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2、在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；（六）对称点的坐标特征：1、点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负P （b a ,）abxy OXYA BmXYC Dn2、点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称关于y 轴对称关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；2、若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

掌握平面几何的坐标练习题

掌握平面几何的坐标练习题平面几何是数学中一门重要的学科，通过研究平面中的点、线、面等元素之间的关系和性质，帮助我们更好地理解和解决与空间相关的问题。

而在平面几何中，坐标练习题是一种常见且基础的考察方式。

本文将通过一些例题来帮助读者提高对于平面几何中坐标的掌握。

1. 题目一：给定平面上两点A(2, 3)和B(5, -1)，求线段AB的中点坐标和长度。

解答：线段的中点坐标可以通过两点坐标的平均值得到。

设中点的坐标为M(x, y)，则有：x = (2 + 5) / 2 = 3.5y = (3 + (-1)) / 2 = 1因此，线段AB的中点坐标为M(3.5, 1)。

线段AB的长度可以通过两点之间的距离公式计算，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

代入A(2, 3)和B(5, -1)的坐标进行计算：AB = √((5-2)²+(-1-3)²) = √(3²+(-4)²) = √(9+16) = √25 = 5所以，线段AB的长度为5。

2. 题目二：已知平面上点A(-2, 4)，B(3, 1)，C(0, -2)，判断三角形ABC是否为等腰三角形。

解答：对于一个三角形来说，如果它的任意两边长度相等，则为等腰三角形。

为了判断三角形ABC是否为等腰三角形，我们需要计算三条边的长度并进行比较。

设AB的长度为a，BC的长度为b，AC的长度为c。

根据两点之间的距离公式，可以计算出各边的长度：AB = √((-2-3)²+(4-1)²) = √((-5)²+3²) = √(25+9) = √34BC = √((3-0)²+(1-(-2))²) = √(3²+3²) = √(9+9) = √18AC = √((-2-0)²+(4-(-2))²) = √((-2)²+6²) = √(4+36)= √40 = 2√10如果三边中存在两条边长度相等，则为等腰三角形。

平面直角坐标系拓展题

学习好资料欢迎下载1.如图，直角坐标平面内点的A（a ,0),B （ 0，b）， C( a，c）的坐标满足 a c ( 12 a 2)20 ， b 20 ，P是线段OC 上一动点。

（1）求点 A， B， C的坐标；（ 3 分）（2）当 ?CBP 的面积等于 ?OAP 的面积时，求 P 点的坐标；（ 6 分）2.长方形 OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点， A 点的坐标为（4，0），C 点的坐标为 (0 ，6），点 B 在第一象限内，点 P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着 O— C— B— A —O 的路线移动（即：沿着长方形移动一周）。

(1)写出点 B 的坐标（）。

（ 2）当点 P 移动了 4 秒时，描出此时P 点的位置，并求出点P 的坐标。

（3）在移动过程中，当点 P 到 x 轴距离为 5 个单位长度时，求点 P 移动的时间。

3.如图所示，在直角梯形 OABC 中， CB∥OA， CB＝8， OC＝ 8， OA＝ 16。

（ 1）求点 A、 B、C 的坐标，并且求出直角梯形OABC 的面积；（ 2）当 P 点沿 OA 方向以每秒 2 个单位的速度从O 点出发，经过多少时间后△OCP 的面积等于△ OAB 的面积的一半？（ 3）在（ 2）的条件下，若现在P、 Q 点同时出发，当Q 点从 A 点出发，沿AO 方向每秒 3 个单位的速度移动，问经过多少时间后△ BPQ 的面积等于直角梯形OABC 的面积的1？y4y C BC BOA xO A x（ 2）（1）4. 已知点 A(a,0) 、 B(b,0) ，且 (a 4)2 |b 2|=0．（ 1）求 a, b 的值；（ 2）在 y 轴上是否存在点 C ，使得△ ABC的面积是 12？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）点 P 是 y 轴正半轴上一点，且到 x 轴的距离为 3，若点 P 沿 x 轴负半轴以每秒 1 个长度单位平行移动至 Q ，当运动的时间 t 为多少秒时，四边形 ABPQ 的面积 S 为 15 个平方单位？写出此时Q 点的坐标．yo x6. 如图，在平面直角坐标系中，点 A ，B 的坐标分别为（－ 1， 0 ），（3， 0 ），现同时将点 A ，B 分别向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别得到点 A ， B 的对应点 C ， D ，连接 AC ，BD ， CD ．(1) 求点 C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积 S 四边形 ABDCy(2) 在 y 轴上是否存在一点 P ，连接 PA ， PB ，使 S PAB ＝ S 四边形 ABDC ，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．CDA OB-13xDCPBOP(3) 点 P 是线段 BD 上的一个动点，连接 PC ，PO ，当点 P 在 BD 上移动时（不与 B ，D 重合）给出下列结论： ①CPO的值不变，②DCPCPO的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论y 并求其值．BOPC DPABOx7. 已知点 A(a,0) 、B(b,0) ，且 (a 4) 2|b 2| ．（）求 a, b 的值；（）在y 轴上是否存在点，使得△ ABC=0 1 2C的面积是 12？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）点 P 是 y 轴正半轴上一点，且到 x 轴的距离为 3，若点 P 沿 x 轴负半轴以每秒 1 个长度单位平行移动至Q ，当运动的时间 t 为多少秒时，四边形 ABPQ 的面积 S 为 15 个平方单位？写出此时 Q 点的坐标．yo x8.如图，长方形OABC 中， O 为平面直角坐标系的原点，A,C 两点的坐标分别为（3，0），（0， 5），点 B 在第一象限内 .（1）写出点 B 的坐标；（ 2）若过点 C 的直线 CD 交 AB 边于点 D ，且把长方形OABC 的周长分为3： 1 两部分，求点 D 的坐标；（ 3）如果将（2）中的线段CD向下平移 2 个单位，得到线段C1D1 ,试计算四边形OAC 1D 1的面积. 11.如图，长方形 OABC 中， O 为平面直角坐标系的原点， A 点的坐标为（ 4，0），C 点的坐标为（ 0，6），点 B 在第一象限内，点 P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着 O—C —B—A —O 的路线移动（即：沿着长方形移动一周）。

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坐标系综合
目标满分班第五讲拓展补充题
1.
定义：直线 l1 与 l2 相交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1、l2 的距离分别为 p、q，则称有序实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标” ，根据上述定义， “距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）. A. 2 B.3 C.4 D.5
a≥ 4 ⑶ 若有一动点 E（a，b），其横、纵坐标 a，b 分别同时满足三个条件 b≥2 ，请你在平 a b≤0
面直角坐标系内画出点 E（a，b）可能运动的范围，用阴影部分标注，并求出其阴影部分的面积．
C
1
2 B 3 D
A
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4
坐标系综合
目标满分班第五讲拓展补充题
【解析】⑴ m= 1 ，n=1 ； ⑵ 如图 1，过 C 点作 JF∥AB，交 BD 于 E，过 D 点作 GH∥AB，
【解析】（8052，0）
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坐标系综合
目标满分班第五讲拓展补充题
4. 如图，一点光源在（0，3）处，沿所示的方向发射，长方形四条边上有四个平面镜，与坐标平面垂直放置，设第一个入射点 P1 坐标为（ 3， 0），则第二个入射点 P（ 2 第三个入射点 P（，），作出光路图，并写出第 2015 个入射点 P2015 （ 3 ，），，）
7. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为 1，△ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点，求出此三角形的面积．
【解析】补形法，
35 . 2
8. 已知平面直角坐标系内点 A（m，n），将点 A 向上平移 4 个单位，向左平移 1 个单位得到点 B，再向下平移 2 个单位，向左平移 3 个单位得到点 C，再将 C 向上平移 3 个单位，向右平移 7 个单位得到点 D，且 D（2n，2﹣4m），连接直线 AC，DC，AB，BD，得到如图所示． ⑴ 求 n，m 的值； ⑵ 请运用平行线的性质说明：∠1+∠2+∠3+∠4=360°；
【解析】弄清粒子的运动规律，并求出靠近 2016min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐 0) ，粒子运动了 0 min ．标与纵坐标相同的点： (0 ， (1， 1) ，粒子运动了 1 2 2(min) ，向左运动． (2 ， 2) ，粒子运动了 2 3 6(min) ，向下运动． (3 ， 3) ，粒子运动了 3 4 12(min) ，向左运动．
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坐标系综合
目标满分班第五讲拓展补充题
解：⑴①（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），图略 ② 由以上点的坐标特点得出：当整点 P 从原点出发 n 秒时，可以得到整点（x， y），则 x 和 y 应满足的关系式为： x y n； ⑵ ①（2，0），（3，1），（4，2），（5，3），（6，4），（7，5），图略 ②当整点 Q 从点（2，5）出发 m 秒时，可以得到整点（x，y），则 x 和 y 应满足的关系式为： x y m 3 ， ⑶∵整点 A（a，b）既满足整点 P 从原点出发 4 秒时的规律，也满足整点 Q 从点（2，5）出发 5 秒时的规律， ∴
5.
在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为 1 厘米，解决下面的问题： ⑴整点 P 从原点出发，速度为 1 厘米/秒，且整点 P 作向上或向右运动．运动的时间（单位：秒）与整点的关系如下表：整点 P 运动的时间（秒）可以得到整点 P 的坐标可以得到整点 P 的个数 1 2 （0，1）（1，0） 2 3 （0，2）（1，1）（2，0） 3 4 （0，3）（1，2）（2，1）（3，0） … … … ①当整点 P 从原点出发 4 秒时，在如图 1 坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点． ②当整点 P 从原点出发 n 秒时，可以得到整点 ( x，y) ，则 x 和 y 应满足的关系式为． ⑵整点 Q 从点（2，5）出发，速度为 1 厘米/秒，且整点 Q 作向下或向右运动． ①当整点 Q 从点（2，5）出发 5 秒时，在如图 2 坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点． ②当整点 Q 从点（2，5）出发 m 秒时，可以得到整点（x，y），则 x 和 y 应满足的关系式为． ⑶如果整点 A（a，b）既满足整点 P 从原点出发 4 秒时的规律，也满足整点 Q 从点（2，5）出发 5 秒时的规律，求出 a 和 b 的值．
x x y y 4 2
∴a 和 b 的值分别为：a=3，b=1．
0 ，而后 6. 一个粒子在第一象限内及 x 轴、 y 轴上运动，在第 1min 内它从原点运动到 1 ，
接着按如图所示方式在与 x 轴、 y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 1 个单位长度，那么，在 2016min 后，求这个粒子所处的位置坐标．
【解析】C 如图，∵到直线 l1 的距离是 1 的点在与直线 l1 平行且与 l1 的距离是 1 的两条平行线 a1、a2 上，到直线 l2 的距离是 2 的点在与直线 l2 平行且与 l2 的距离是 2 的两条平行线 b1、b2 上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是 M1、M2、M3、M4，一共 4 个．
2. 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 x 轴或 y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，„，顶点依次用 A1，A2，A3，A4，„表示，则顶点 A55 的坐标是（） A（13，13） B（-13，-13） C（14，14） D（-14，-14）
【解析】C ∵55=4× 13+3，∴A55 与 A3 在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得： 3=4× 0+3，A3 的坐标为（0+1，0+1），即 A3（1，1）， 7=4× 1+3，A7 的坐标为（1+1，1+1），A7（2，2）， 11=4× 2+3，A11 的坐标为（2+1，2+1），A11（3，3）； … 55=4× 13+3，A55（14，14），A55 的坐标为（13+1，13+1） 3. 如图，在直角坐标系中，已知点 A（﹣3，0）、B（0，4），对△ OAB 连续作旋转变换，依次得到△ 1、△ 2、△ 3、△ 4…，则△ 2013 的直角顶点的坐标为．
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坐标系综合
目标满分班第五讲拓展补充题
(4 ， 4) ，粒子运动了 4 5 20(min) ，向下运动．
…… 44) 处粒子运动了 44 45 1980(min) ．这时粒子向下运动，从而在运于是点 (44 ， 44 36) ，即 (44 ， 8) ．动了 2016min 后，粒子所在的位置是 (44 ，
【解析】（6，3）；（3，6）；（6，3）．第一个入射点 P1 坐标为（3，0），则第二个入射点 P2（ 6，3 ），第三个入射点 P3 （ 3，6），第四个入射点 P4（ 0，3），经过 4 次反弹后动点回到出发点（3，0），第 2015 个入射点 P2015（BEC，∠GDK=∠ECB，∠CAB=∠ACF， ∠BEJ+∠BEC=180° ，∠∠ECB+∠1+∠ACF=180° ， ∴∠3+∠BDG+∠GDK+∠1+∠CAB=360° ， ∴∠4=∠CAB，∠BDG+∠GDK=∠2， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360° ； ⑶ 根据题意画出点 E 可能运动的范围是△ABC，如图 2 所示：
∴ S△ABC
1 2 2 2
2
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