八年级数学上册 第二章《分式与分式方程》列分式方程解应用题教案 鲁教版五四制
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第2课时分式的基本性质pptx课件鲁教版五四制
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
鲁教版 五四学制 八年级上册 数学 导学案第二章 分式和分式方程2. 4分式的加减法(1)(无答案)
第二章分式与分式方程4分式的加减法第1课时本课时主要学习分式方程的概念，并能将实际问题中的等量关系用分式方程表示.自主预习1分式方程的概念：(1)分母中含有方程叫作分式方程.(2)分式方程的判断依据:①是方程;②分母中含有未知数.2分式方程的解法：一般地,解分式方程时,先将方程两边同乘适当的整式(通常是各分母的__________），约去去分母,从而转化成__________，方程,然后再解这_____________方程.3增根：在方程变形中如果产生了_____________原方程的根,那么我们称它为原方程的增根.4列分式方程解应用题的步骤1.审:审清题意,准确找出_____________，2.设:设未知数.(1)直接设;(2)间接设.3.列:列出分式方程4.解:解分式方程5.验:检验,既要检验根是否是_____________又要检验根是否_____________，6.答:写出答案.5基本类型及其数量关系(1)行程问题:速度×时间__________-路程(2)工作量问题:工作效率x工作时间_____________,(3)价格问题:单价x数量=_____________,21233x x x-=---2531.11x x x -+=-+()30,x -=方程两边都乘x-3,得2-x=-1-2,解这个方程,得x=3.检验:当x=3时x-3所以x=3是增根,应舍去.所以原方程无解.()()222212200,5133,310,3.x x x x x x x x x x x x x x ≠=-+-=--+==方程两边都乘-1,得解这个方程,得=3,验:当=3时-1；当=时-1所以是增根,应舍去.所以原方程为整理得：=-1.检-1.=-1(4)利润问题:单利润x 数量_____________. 尝试练习2..一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流100千米所用时,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,则江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时,可列方程为___________;3.某学校学生进行急行军训练,预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度 加快20%,结果于下午4时到达,求原计划行军的速度.设原计划行了军军的速度为x 千米/时,可列方程为___________. 我的困惑课中导学典型例题 例 计算：(1) (2) 解：(1)(2)14122x x+=--512552x x x+=--2236111x x x +=+--2313162x x -=--25211120102,2,,,,56,153522x x x y x x x x x x x x y x y +====-++=+=+-+1111x x -+与13x -园丁点拨：解分式方程的一般步骤:(1)去分母，化分式方程为整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根.解分式方程时应注意以下两点:(1)去分母时,是将最简公分母乘以每一个式子,不要“漏乘”；(1)解分式方程必须验根，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可,若能使最简公分母为0,则该解是原方程的增根.变式训练解方程1. 2.3. 4.课后巩固基础巩固1.填空：(1)分式有______________个 ；(2)2402x x-=-方程的根是___________ (3)若 互为相反数，则的x 值为_______________(4)解分式方程22311x x+=--去分母后，得_________________.2.计算指出解下列分式方程的错误，并加以改正：3201(1)x x x x +-=--214416x x =--12121222111,.11111,.222,.333,.x c x c x x c c x c c x x c x c c x c c x x x c x c x c x x c c+=+==---=-==-+=+==+=+==的解为（即x+=c+）的解为x 的解为x 的解为解方程：33322x =- 22322xx x-=+++能力提升1.某工程队修建条长1200米的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,结果提前4天完成任务.(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米?(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的功效比原计划增加百分之几?2.阅读下列材料： 关于x 的方程:(22.11x a x a +=+--关系,猜想它们的解是什么,并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)由上述观察、比较、猜想、验证,可得出结论:如果方程左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边的形式与左边完全相同,只是把其中的未知数换成了某个常数,则这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x 的方程:3.甲、乙两人分别从相距8千米的两地同时出发,若同向而行,则t 小时后,快者追上慢者,若相向而行,则t2小时后,两人相遇,那么快者速度是慢者速度的多少？。
八年级数学上册第二章分式与分式方程2分式的乘除法第1课时分式的乘除法pptx课件鲁教版五四制
2.运算法则：
分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算．
3.运算顺序：
分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序
相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括
号里面的．
计算：
易错点：做分式乘除混合运算时，未按从左到右的
顺序而致错
错解：
诊断：此题易出现先算乘法再算除法的错误，属于运算顺序
a2－2ab＋b2＝ (a－b)2，
___________________________________________；
(2)第二步使用的运算法则用字母表示为
A C A D
÷ ＝
_____________________；
B D B C
约分
(3)由第二步到第三步进行了分式的_________；
·
＝ .
C. NhomakorabeaD.
1.分式的乘除运算法则：
(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分
母相乘的积作为积的分母．
b d bd
用式子表达为： · ＝ .
a c ac
(2)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与
被除式相乘．
b d b c bc
÷ ＝ × ＝ .
猜一猜，
＝？与同伴交流.
a c
思考
类比分数的乘 法法则，你能说出分式的乘法法则吗？
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，
把分母相乘的积作为积的分母；用式子表达为：
b d bd
.
· ＝
a c ac
特别解读
分式乘法运算的基本步骤：
第一步，确定积的符号，写在积中分式的前面；
鲁教版(五四制)八年级上第二章分式与分式方程2.1.认识分式 知识点精讲与练习-精选教学文档
《分式》知识点精讲与练习1、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。
例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
2、分式有意义、无意义，分式的值为零的条件（1）分式有意义的条件是分式的分母不为0；（2）分式无意义的条件是分式的分母为零；（3）分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
说明：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+1≠0。
（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。
（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
鲁教版(五四制)八年级上册第二章分式和分式方程 分式方程的应用专题(无答案)
分式方程的应用（专项）解题关键：找清题目中的等量关系解题步骤：1审、2设、3列、4解、5验、6答常考题型：工程问题、行程问题、营销问题一、工程问题 1、甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度。
两名同学各自列了方程：冰冰：20600400+=x x 庆庆：20400600=-y y 根据以上信息，解答下列问题：（1）冰冰同学所列方程中的x 表示 ；庆庆同学所列方程中的y 表示（2）从两个方程中任选一个，写出它的等量关系。
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答题目中的问题。
2、某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一个大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程。
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？3、某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产，进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了31，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？二、行程问题1、A、B两地相距80千米，甲开车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶，结果甲比乙提前20分钟到达B地，求甲、乙两人的速度。
2、班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校90公里，队伍8:00从学校出发。
苏老师因有事情，8:30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地。
求大巴与小车的平均速度各是多少？三、营销问题1、某商场花4000元购进一批衣服，卖完后又花6000元购进第二批，第二批比第一批多购进了20件，单价也比第一批贵25%，求第二批单价多少元？2、某商厦用8万元购进纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完。
初中数学_分式方程及应用复习教学设计学情分析教材分析课后反思
一师一优课教学设计难点：进一步理解增根的条件，灵活应用分式方程解决实际问题。
四、学情分析通过前面的学习，学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程、用分式方程解决生活中实际问题。
学生已经历用分式方程来刻画现实世界问题的过程，也经历了探索解分式方程的过程，获得了一些数学活动经验和体验，同时在以前学习了列一元一次方程、二元一次方程组解应用题，为本节分式方程及其应用的复习打下了基础五、教法在本课的教学中，为了达成教学目标，突出重点，攻破难点，教师运用尝试教学法，生生互动教学法和小组合作教学法。
六、教具和课程资源准备多媒体设备，课件教学过程：一、出示学习目标：1、掌握分式方程的定义，熟练解分式方程.2、理解并掌握分式方程中增根的意义.3、会分析实际问题中的等量关系，能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，解决实际问题.教师活动：1.出示学习目标，明确学习任务。
二、课前热身：1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）教师活动：在开始数学之旅之前我们先做个知识热身，回忆一下分式方程的相关内容。
学生活动：1、生独立完成课前热身相关题目，共同订正答案。
教师活动：引导学生复习分式方程的相关内容。
设计意图：让学生通过简单题目的训练初步唤醒大脑中对相关知识的记忆，为复习及梳理知识体系做准备三、知识梳理3.列分式方程解应用题的一般步骤：学生活动：学生通过课前准备练习，回忆梳理知识体系，并主动回答教师活动：板书知识体系，引导学生归纳总结设计意图：老师提问学生，以框架图的形式梳理本节课知识点，并重点性的板书，。
本环节设计的主要目的是：使学生对本节课的知识有个整体的认识，形成清晰的思路，以便更好地完成学习目标。
四．例题讲解：例1.解分式方程：（师：师生共同完成，有必要时老师补充、纠正）解分式方程的一般步骤：（1）去分母（方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程）（2）去括号（利用去括号法则）（3）移项（移谁改变谁的符号）（4）合并同类项（利用合并同类项法则）（5）化系数为1（系数是谁方程两边同时除以谁）（6）验（双重）【把所求得的未知数的值代入原分式方程进行检验，一看是否解方程正确，二看是否是增根，即：如果未知数的值使原分式方程的分母为0，则说明是增根，所以原分式方程无解，如果未知数的值使原分式方程的分母不为0，则说明不是增根，是原分式方程的根。
2024八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程第1课时分式方程习题课件鲁教版五四制
)
9. 某工地调来144人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土
恰好1人能全部运走.怎样调配劳动力才能使挖出来的土及
时运走且不窝工(停工等待)？为解决此问题，可设派 x 人
挖土，其他人运土.列方程为：
−
①
＝ ；②144－ x ＝ ；③ x ＋3 x ＝144；④
−
＝3.
上述所列方程中，正确的有( C )
干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第
一次相同，求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为
x 人，则可列方程为(
A.
C.
A
＝
＋
＋
＝
1
2
3
4
5
)
B.
＝
−
D.
＝
−
6
7
8
9
10
11
12
13
5. [情境题·五育并举·2023·东营]为扎实推进“五育”并举工
结果提前3天完成了这一任务
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【点拨】
∵设原计划每天铺设管道 x 米，
∴(1－20％) x 表示实际工作时每天铺设的管道长比
原计划减少了20％.
又∵所列方程为
－
＝3，
(−%)
∴实际比原计划多用3天完成任务，即结果延误3天
完成了这一任务.
【答案】 A
8
9
2024八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第1课时认识分式课件鲁教版五四制
点拨：
判断一个式子是不是分式要看它的原始状态的
分母中是否含有字母，不能将原式化简、整理后去判断，
1 1
x2
3a
所以 x 是分式， π 不是分式，x y 是含分式的式子，不
n
是分式， 5m 是分式．本题易因对分式的定义理解不透而将
原始式子先化简从而错判，或对特殊常数认识不清造成误
判，或易混淆含分式的式子与分式的区别而错判．
知识是力量，
梦想是翅膀。
b
和
,
a x 它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同?
相同点
都具有分数的形式
不同点 （观察分母）分母中有字母
定义 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中
A
A
含有字母，那么式子 B 叫做分式. 分式
B
中，A叫做分子，B叫做分母.
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被
除式，分母是除式，分数线相当于除号，分
是分式，分母中不含有字母的式子是整式．
2x 2x
分式有 x ，x＋y ；
解：
x＋2 a＋2b
3.
整式有 －3a ， 2 ，π＋2 ，
2
归纳
判断一个式子是否是分式的方法：
A
首先要具有
的形式，其次A，B
B
是整式，最后看分母是不是含有字母，
分母含有字母是判定分式的关键条件．
1. 下列各式中，是分式的是( C )
式的有
−
，
−
＋
.
，是整
练点2 分式有(无)意义的条件
3. [2024·烟台招远市期末]若分式
义，则 x 的取值范围是(
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∴ = =22
= =11
答：甲每分钟输入22名学生成绩，乙每分钟输入11名学生成绩。
3.解题步骤小结：
解分式 方程应用题的步骤：审、设、列、解、验、答
4.对应练习
摩托车
抢修车
路程（千米）
30
30
速度 （小时）
x
1.5x
时间（千米/小时）
（1）.供电局的电力维修工要到30千米远的进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.。已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度。
教学难点：能够从实际问题中提炼出等量关系
恰当具体可测
媒体运用
多媒体
整合点准确恰当
教学思路
总结 归纳，列分式方程解应用题
具体明晰
导语设计
导 入：解分式方程的步骤是化、解、验、写，本节课我们将学习如何列分式方程解应用题。
精炼灵活紧扣学习目标
板书设计
列分式方程解应用题
解：设乙每分钟输入x名学生的成绩，则甲每分钟输入2x名学生的成绩，根据题意，得
∴2x=2×11=22
答：乙每分钟输入11名学生成绩，甲每分钟输入22名学生成绩。
2.间接设元法
甲
乙
工作量（名）
2640
2640
工作时间（分钟）
y
y+2×60
工作效率（名/分钟）
甲的输入速度=乙的输入速度的2倍
= ×2
解：设甲全部输完需要y分钟，则乙全部输完需要(y+2×60)分钟，根据题
意，得
解得，y=120
3.解分式方程
二、讲授新课
.例：某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍 ，然后让计算机比较两人的输入是否一致，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时 输 完，问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
1.直接设元法
问：（1）这是一道什么类型的应用题题？涉及到哪些量？它们间关系怎样？
（2）某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1∶8，今年夏天由于家电销售量明显增多，家电 部经理从销售人员中抽调了22人去送货，结果送货人员与销售人员人数之比为2∶5，求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员。
送货人员
销售人员
原来
x
8x
现在XLeabharlann 228x-22现在送货人员与销售人员之比为2∶5
5.课堂小结；
（1）.通过本节课的学习，同桌互相说一说解分式方程应用题的步骤是什么？
( 2）易出错的地方有哪些？如何避免？
6.布置作业
反思重建
解得x=11
经检验，x=11是原方程的解且符合题意，
∴2x=2×1 1=22
答：乙每分钟输入11名学生成绩，甲每分钟输入22名学生成绩。
知识结构纲要化
“幸福课堂”模式教学过程
研讨修改
一、回顾旧知
1.解分式方程的步骤有哪些？（化、解、验、写）
2.解分式方程时易错易误点有哪些？（①没有分母的项漏乘最简公分母②弄错符号）
八年级数学上册第二章《分式与分式方程》列分式方程解应用题教案鲁教版五四制
课题
列分式方程解应用题
课型
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学习目标与重难点
学习目标 ：
1.能够把实际问题转化为数学问题，文字语言转化为符号语言，表达等量关系，准确列出方程。
2.理解分式方程应用题验根的二重性。
3.掌握分式方程应用题的六步骤。
教学重点：能够根据等量关系列出方程
（2）引导学生用列表法分析题意，从中抽象出数学问题，用方程的思想建模。
甲
乙
工作量（名）
2640
2640
工作效率（名/分钟）
2x
x
工作时间（分钟）
甲的时间+2×60=乙的时间
+2×60=
解：设乙每分钟输入x 名学生的成绩，则甲每分钟输入2x名学生的成绩，根据题意，得
解得x=11
经检验，x=11是原方程的解且符合题意，