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2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业联考试题及答案解析

最新高三（下）第一次联考数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．46．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞011．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C． D．12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．14．若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则k= ．15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．21．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g （x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cos θ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．2．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【解答】解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．5．已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a6=10，前5项和S5=5，∴2a1+8d=10，5a1+d=5，解得a1=﹣3，d=2．则其公差为2．故选：B．6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：，B（1，2）．化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式．由图可知，当直线过B（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为1﹣2×2=﹣3；当直线过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为3﹣2×0=3．∴z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．故选：D．7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．8．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．9．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型．【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．故选：C．10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．11．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29【考点】归纳推理．【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第i行（其中i∈N*）有i个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，则2015是第1008个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015是第1008个奇数，应排在i行（其中i∈N*），则1+2+3+…+（i﹣1）=i（i﹣1）≤1008①，且1+2+3+…+i=i（i+1）＞1008②；验证i=45时，①②式成立，所以i=45；第45行第1个奇数是2××44×45+1=1981，而1981+2（j﹣1）=2015，∴j=18；∴i﹣j=45﹣18=27．故选：B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．14．若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则k= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用切线和直线平行得到，斜率关系，建立方程进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=2kx+，则在点（1，k）处的切线斜率k=f′（1）=2k+1，∵y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，∴直线2x﹣y+3=0的斜率k=2，即切线斜率k=2，即f′（1）=2k+1=2，则2k=1，得k=，故答案为：15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9 ．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是1209 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）﹣f（x﹣5）=0可判断出函数的周期性，由x∈（﹣1，4]时函数的解析式，可以求出一个周期内函数的零点个数，进而可得函数f（x）在[0，2016]上的零点个数．【解答】解：∵f（x）﹣f（x﹣5）=0，∴f（x）=f（x﹣5），∴f（x）是以5为周期的周期函数，又∵f（x）=x2﹣2x在x∈（﹣1，4]区间内有3个零点，∴f（x）在任意周期上都有3个零点，∵x∈（1，2016]上包含403个周期，又∵x∈[0，1]时不存在零点，故零点数为3×403=1209．故答案为：1209．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；（2）PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，即可求点P到平面ADM的距离．【解答】解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，则∵M是PC中点，∴，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形，∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（2）由（1）知，PN⊥AN，PN⊥AD，∴PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，在Rt△PAB中，由PA=AB=2，得，∴．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b2=2，∴椭圆M的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵点P在椭圆M上，∴，∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．21．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g （x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．【考点】不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（x）+g（x）=e x，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，解得f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），则当x＞0时，e x＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；g（x）=（e x+e﹣x）＞×2=1，则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）证明：f′（x）=（e x+e﹣x）=g（x），g′（x）=（e x﹣e﹣x）=f（x），当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连结AD，由已知条件结合圆的性质推导出A、D、E、F四点共圆，由此能证明∠DEA=∠DFA．（Ⅱ）由A、D、E、F四点共圆，连结BC，能推导出△ABC∽△AEF，由此能证明AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（Ⅰ）连结AD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，又∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA．（Ⅱ）∵A、D、E、F四点共圆，∴由切割线定理知BD•BE=BA•BF，连结BC，则△ABC∽△AEF，∴=，∴AB•AF=AE•AC，∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB（BF﹣AF）=AB2．∴AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的范围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得2016年10月18日。

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2020-2021学年高考总复习数学(文)毕业班质量检测试题及答案解析一

2020-2021学年高考总复习数学(文)毕业班质量检测试题及答案解析一

最新第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz ，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标 是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n n n n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为___________．6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的偶函数)(x f y =，当0≥x 时，42)(-=x x f ，则不等式0)(≤x f 的 解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C pxy 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤,02,4,y y x x y 则y x z +=2的最小值为____________．10．已知在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x k x （k 为常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则=k _____________． 11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于21的概率是______________．12．已知数列}{n a 满足n n a a a n 3221+=+++Λ（*N ∈n ），则22122312n a a a n +++=+L __________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0sin =α”是“1cos =α”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；（B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π； （D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l . 17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则 ||c r 的最大值是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知直线l ：b x y +=2与函数xy 1=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，记 △OAB 的面积为S ，则函数)(b f S =是（ ）．（A ）奇函数且在),0(∞+上单调递增 （B ）偶函数且在),0(∞+上单调递增（A ）奇函数且在),0(∞+上单调递减 （D ）偶函数且在),0(∞+上单调递减三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：AC ⊥平面11B BCC ；（2）求异面直线D B 1与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数12cos 2sin 3)(-+=x x x f （R ∈x ）．（1）写出函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 的集合；若不是，也请说明理由； （2）若函数x x a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=41211)(在),0[∞+上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,1(F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线a x ±=，b y ±=所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若OD n OC m OP +=，求证：22n m +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足△BFM 与△BFN 的面积的比值为2，求直线l 的方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{n a 、}{n b 满足：411=a ，1=+n nb a ，211n n n a b b -=+． （1）求1b ，2b ，3b ，4b ；（2）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是等差数列，并求}{n b 的通项公式； （3）设13221++++=n n n a a a a a a S Λ，若不等式n n b aS <4对任意*N ∈n 恒成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．23 5．32π 6．3 7．]2,2[- 8．x y 42= 9．6- 10．2 11．73 12．n n 622+ 13．}30,27,24{14．4-二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分） 因为⊥1CC 平面ABC ，所以AC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥AC 平面11B BCC ． ……………………………………………………（5分）（2）取1CC 点E ，连结DE 、E B 1，则DE ∥AC所以，DE B 1∠就是异面直线D B 1与AC 所成角（或其补角）． …………………（2分） 解法一：由已知，1CC DE ⊥，AC DE ⊥，所以⊥DE 平面11B BCC ，所以△DE B 1是直角三角形，且︒=∠901ED B ， …………………………………………（4分）因为2=DE ，51=E B ，所以，25tan 11==∠BE E B DE B ， ……………………（6分） 所以，异面直线D B 1与BC 所成角的大小为25arctan ． …………………………（7分）解法二：在△DE B 1中，31=D B ，51=E B ，2=DE ， 由余弦定理得，322325492cos 1212211=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠DE D B E B DE D B DE B ． ……………（6分） 所以，异面直线D B 1与BC 所成角的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）162sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ， …………………………………………（3分） 所以，)(x f 的最小小正周期π=T ， …………………………………………（4分） )(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z ∈k ． ……………………………（6分） （2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ， 所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以3π=B ． …………………………（3分） 而23cos =⋅=⋅B ac ，所以，3=ac ， …………………………（5分） 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ， 所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ， 即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）由题意，3)(3≤≤-x g 对),0[∞+∈x 恒成立， 即3412113≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≤-xx a ， ……………………………………………（1分） 令x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，则]1,0(∈t ，原不等式变为242≤+≤-t at ， 故t t a t t 2224-≤≤--， 故minmax 24⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t a t t ， ……………………（3分） 因为t t y --=4在]1,0(∈上是增函数，故54max-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t ， …………………（5分） 又t t y -=2在]1,0(∈t 上是减函数，故12m in=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t ． ………………………（7分） 综上，实数a 的取值范围是]1,5[-． ………………………（8分）22．（1）由已知，1=c ， …………………………………………………（1分） 又2||22=+=c b BF ，故2=a ， ………………………………………………（2分）所以，3222=-=c a b ，所以，椭圆Γ的标准方程为13422=+y x ． ……………（4分） （2）)3,2(C ，)3,2(-D ， ………………………………………………（1分） 设),(00y x P ，则1342020=+y x ， 由已知OD n OC m OP +=，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,)(3,)(200n m y n m x ……………………（4分） 所以，13)(34)(422=++-n m n m ，即2122=+n m 为定值． ……………（6分） （3）2=∆∆BFN BFM S S 等价于2||||=FN FM ， ……………………………………………（1分） 当直线l 的斜斜率不存在时，1||||=FN FM ，不合题意． ……………………………（2分） 故直线l 的斜率存在，设l ：)1(-=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,)1(22y x x k y 消去x ，得096)43(222=-++k ky y k ， ……………………（3分） 设),(11y x M ，),(22y x N ，则221436kk y y +-=+，2221439k k y y +-=， 由2||||=FN FM ，得221-=y y ，则22436k k y +=，)43(292222k k y +=， 从而8432=+k ，25±=k ． …………………………………………（5分） 所以，直线l 的方程为)1(25-±=x y ． …………………………………………（6分）23．（1）由已知，n n n n n n n n b b b b a a b b -=-=+-=+21)2()1)(1(1， 因为411=a ，所以，431=b ，542=b ，653=b ，764=b ． …………（4分）（每个1分） （2）n n b b -=+211，nn n n b b b b --=--=-+2112111， ……………………（2分） 所以，11112111--=--=-+n n n n b b b b ， 所以，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是以4-为首项，1-为公差的等差数列． ……………………（4分）所以，311--=-n b n ，32++=n n b n （*N ∈n ）． ………………………………（6分） （3）因为32++=n n b n ，从而311+=-=n b a n n ， ………………………………（1分） 所以，13221++++=n n n a a a a a a S Λ)4)(3(1651541++++⨯+⨯=n n Λ )4(44141+=+-=n n n ， …………………………………（2分） 解法一：所以，不等式n n b aS <4化为324++<+n n n an ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分） 令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分） 故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分）解法二：)4)(3(8)2(3)1(32442++--+-=++-+=-n n n a n a n n n an b S a n n n ， 若不等式n n b aS <4对任意*N ∈n 恒成立，则当且仅当08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立． ………………………………（4分）设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分）当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。

2020-2021学年高三数学(文科)高三质量检测试题及答案解析

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最新高三总复习质量测试（一）数学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|12}P x x =<≤，2{|20}Q x x x =-≥，若U =R ，则UPQ =（A ）[0,2] （B ）(0,2] （C ）(1,2] （D ）[1,2]（2）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)1z i +=，则z 的共轭复数z =（A ）1122i + （B ）1122i - （C ）1122i -+ （D ）1122i -- （3）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 （A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石（4）等差数列{}n a 中，25a =，49a =，则{}n a 的前5项和5S =（A ）14（B ）25（C ）35（D ）40（5）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线10x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+，若点M 在圆C 上，则实数k =（A ）2- （B ）1-（C ）0（D ）1（6）某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（A ）4 （B ）43（C ）2 （D ）23（7）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则2z x y =-的最大值为（A ）32（B ）1- （C ）2 （D ）3-（8）运行如图所示的程序框图后，输出的m 值是（A ）3-（B ）12-（C ）13（D ）2（9）如图，一个摩天轮的半径为18m ，12分钟旋转一周，它的最低点P 0离地面2m ，∠P 0OP 1=15º，摩天轮上的一个点P 从P 1开始按逆时针方向旋转，则点P 离地 面距离y （m ）与时间x （分钟）之间的函数关系式是 （A ）18cos (1)2012y x π=-++ （B ）18cos(1)2012y x π=--+（C ）118cos ()2062y x π=-++（D ）118cos()2062y x π=--+左视图俯视图主视图（10）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x ax a =-+--，则若函数()f x 为R 上的单调减函数，则a 的取值范围是 （A ）1a ≥-（B ）10a -≤≤（C ）0a ≤（D ）1a ≤-（11）正三棱锥ABC P -内接于球O ，球心O 在底面ABC 上，且3=AB ，则球的表面积为（A ）16π（B ）8π（C ）4π（D ）2π（12）若函数321()ln 2f x x x ax x x =-+-存在极值，则实数a 的取值范围是 （A ）1(,)3-∞（B ）(,0]-∞（C ）(,1)-∞（D ）1(,)3-+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020-2021学年高三数学(文科)高三教学质量检测一及答案解析

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高三教学质量监测（一）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数21z i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合{0,1,2}P =，2{|320}Q x x x =-+≤，则P Q =I （ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2} 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =（ ）A ．325 B ．2 C ．42 D ．5324．已知函数()12log 030xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（ ） A ．91- B ．9- C ．91D ．95．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（ ） A ．三棱台 B ．三棱柱 C ．四棱柱 D ．四棱锥 6．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 7.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 8．从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第7题图 第8题图 9．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）10．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接球表面积为1S ，内切球表面积为2S ，则12:S S 的值为（ ） A ．3B ．33C ．9D ．49411. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =u u u r u u u r，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A ．3B ．83C ．43D ．23 12．已知偶函数)(x f (0)x ≠的导函数为)(x f '，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-+∞UD ．(1,0)(0,1)-U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二. 填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若z x y =-，则z 的最大值为；14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AC BE ⋅u u u r u u u r=；15．函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是；16．的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF . 若||6AF =，||8BF =， 三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数2()2cos2xf x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若1tan 22α=，求()f α的值.18.（本小题满分12分）如图所示，三棱锥D ABC -中，AC ,BC ,CD 两两垂直，1AC CD ==,，点O 为AB 中点.（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与 棱DB ,CB 相交于,M N ，在图中画出该截面多边 形，并说明点,M N 的位置（不要求证明）； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离.19.（本小题满分12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一（Ⅰ）求22⨯列联表中的数据x，y ，A ，B 的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？20.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且126F F ||=，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若△12AF F 的周长为16，求椭圆的标准方程； ，且A ,B ,1F ,2F 四点共圆，求椭圆离心率e 的值； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设00(,)P x y 为椭圆上一点，且直线PA 的斜率1(2,1)k ∈--，试求直线PB 的斜率2k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）O（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a ，b 的值； （Ⅱ）若1x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅲ）若20a -≤<，对任意12,(0,2]x x ∈，求m 的最小值．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ；(Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知命题“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ， 命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)求n 的取值范围.N数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、解答题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（每题给出一种解法仅供参考）1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.B 10.C 11. C 12.D 1．A 试题分析：211z i i==+-，在复平面内复数z 对应点的坐标为(1,1)，在第一象限. 考点：复数的概念，复数的运算，复数的几何意义.2．D 试题分析：因为2{|320}Q x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{0,1,2}P =，所以{1,2}P Q =I ． 考点：集合的概念，集合的表示方法，集合的运算，一元二次不等式的解法．3．A 试题分析：根据等差数列的性质，535S a =，所以533255S a ==. 考点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等差数列的性质.4．C 试题分析：因为()12log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，即()1(4)(2)9f f f =-=. 考点：分段函数求值，指数运算，对数运算.5．B 试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如右图所示．这是一个三棱柱. 考点：三视图，棱柱、棱锥、棱台的概念.6．D 试题分析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，3y x =+，即30x y -+=，故选D.考点：圆的标准方程，两条互相垂直直线斜率之间的关系，直线的方程. 7．B 试题分析：当1a =-，2b =-时，(1)(2)26a=-⨯-=<；当2a =，2b =-时，2(2)46a =⨯-=-<；当4a =-，2b =-时，(4)(2)86a =-⨯-=>，此时输出8a =，故选B.考点： 程序框图的应用.8．B 试题分析：依题意可得10(0.0050.010.020.035)1a ⨯++++=，解得0.03a =，故身高在[120,130），[130,140],[140,150]三组内的学生比例为3:2:1.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.考点： 统计的知识，分层抽样的方法，识别图表的能力.9. B 试题分析：由函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象可知，3,a = 所以3xy -=，33()y x x =-=-及3log ()y x =-均为减函数，只有3y x =是增函数，选B.考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.10．C 试题分析：如图所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ，由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．在Rt △BEO 中，222BO BE EO =+，即2223()3R a r =+， 又63R r a +=，可得3R r =，2212::9S S R r ==，故选C. (或由等体积法设内切球半径为r ，外接球半径为R ，正四面体的侧面积为S ，易有11()433S R r Sr +=⋅，有3R r =) 考点：正四面体的定义，正四面体与球的位置关系，球的表面积.11. C 试题分析：（解法一）如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，||2||AB AE =，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60o ，直线AB 的方程为3(1)y x =-， 联立直线AB 与抛物线的方程可得：23(1)y 4y x x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解之得：(3,23)A ，123(,)33B -， 所以2212316(3)(23)333AB =-++=，而原点到直线AB 的距离为3d =，所以14323AOB S AB d ∆=⨯⨯=，故应选C ． 当直线AB 的倾斜角为120o时，同理可求. （解法二）如图所示，设||BF m =， 则||||3AD AF m ==，3||2mAG =又||||2||2AD AG OF -==，故43m =，又83||||3CD BE ==，所以143||23AOB S OF CD ∆=⨯⨯=，故应选C ． 考点： 抛物线的简单几何性质； . 12．D 试题分析：根据题意，设函数2()()f x g x x =，当0x >时，3'()2()'()0f x x f x g x x ⋅-⋅=<，说明函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()g x 为偶函数，又(1)0f =，所以(1)0g =，故()g x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零，即()f x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零.考点：函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数解决问题，利用导数研究函数的性质. 二.填空题（每题给出一种解法仅供参考）13.3 14.2 15．1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分） 16.5e =13.3 试题分析：不等式组所表示的平面区域如图：目标函数（虚线）在点(3,0)B 处取得最大值3max =z .考点：线性规划.14．2 试题分析： (解法一) 1()()()()2AC BE AB AD BC CE AB AD AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22142 2.2AD AB =-=-=(解法二)以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，(2,2)AC =u u u r ,(1,2)BE =-u u u r，2AC BE ⋅=u u u r u u u r .15．1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分）试题分析：函数()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，'1()20f x x=-≥，所以函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为1[,)2+∞.16.5e =试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =.考点：双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理. 三.解答题 17.（Ⅰ）()1cos 3sin f x x x =++2cos()13x π=-+, …………3分所以cos()13x π-=，即23x k ππ-=，23x k ππ=+()k ∈Z 时，函数()f x 的最大值为3， …………5分 此时相应的x 的取值集合为{|2,k Z}3x x k ππ=+∈. …………6分（或()2sin()16f x x π=++相应给分）（Ⅱ）22222cos 23sin cos 222()2cos 23sin cos 222cos sin 22x x xx x x f x x x +=+=+. ………10分2223tan 21tan 2xx+=+ …………11分8+435=. …………12分 考点：同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换，二倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质. 18．（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时，平面a ∥平面ACD .…………6分（Ⅱ）因为CD AC ⊥，CD BC ⊥，所以直线CD ⊥平面ABC ， …………8分2222112AD AC CD =+=+=,22312BD BC CD =+=+=.又2213 2.AB AC BC =+=+=所以AB BD =，……………………………………9分设点E 是AD 的中点，连接BE ，则BE AD ⊥,又C ABD D ABC V V --=，而11122ABC S AC BC ∆=⋅=⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为h ，则有1133ABD ABC S h S CD ∆∆⋅=⋅， ……10分1h =⨯，∴h =C 到平面ABD. ……12分 考点：空间垂直关系的转化与证明，点到面的距离，线面平行，面面平行问题.19．（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A ，由已知得302()100y P A +==，所以10y=，40B =，40x =，60A =． ………5分看出疫苗影响到发病率． …………10分11分10000005016.6710.8285020603==≈>⨯⨯．所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.…………12分考点：独立性检验的应用，统计，概率，根据统计数据做出相应评价． 20．（Ⅰ）由题意得3c =， …………1分 根据2216a c +=，得5a =．…………2分 结合222a b c =+，解得2225,16a b ==.…………3分…………4分O（Ⅱ）(解法一)设1122(,),(,)A x y B x y…………6分由AB 、EF 互相平分且共圆，易知，22AF BF ⊥，因为211(3,)F A x y =-u u u u r，222(3,)F B x y =-u u u u r ，即 128x x =-，所以有结合229b a +=．解得212a =，所以离心率 ………8分 （若设1111(,),(,)A x y B x y --相应给分）(解法二)设）（11,y x A ，又AB 、EF 互相平分且共圆，所以AB 、EF 是圆的直径，所以92121=+y x ，又由椭圆及直线方程综合可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+1429221221112121b y a x x y y x 前两个方程解出1,82121==y x ，…………6分将其带入第三个方程并结合92222-=-=a c a b ，解得：122=a ，23=e . …8分…………9分 由题可设1111(,),(,)A x y B x y --，…………10分 又22012201222201013(1)3(1)112124x x y y x x x x ----==--- ,由121k -<<-…………12分 考点：1. 21．（Ⅰ）∵21()ln 2f x x a x b =-+，∴'()af x x x=-， …………2分 ∵曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=， ∴13a -=，(1)0f =,∴2a =-，102b +=，∴2a =-，12b =-. ……4分 （Ⅱ）∵1x =是函数()f x 的极值点，∴'(1)10f a =-=，∴1a =； …………6分 当1a =，定义域为(0,)+∞，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以，1a =. …………8分 （Ⅲ）因为20a -≤<，02x <≤ ， 所以'()0af x x x=->，故函数()f x 在(0,2]上单调递增， 不妨设1202x x <≤≤，则10分等价于30x ax m --≤在(0,2]上恒成立，即3m x ax ≥-在(0,2]上恒成立，又20a -≤<，所以2ax x ≥-，所以332x ax x x -≤+， 而函数32y x x =+在(0,2]上是增函数，所以3212x x +≤（当且仅当2a =-，2x =时等号成立）.所以12m ≥．即m 的最小值为12.…………12分考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值，恒成立问题，及参数取值范围等内容．22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分 （Ⅱ）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠, 所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分 x联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分 此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题， 所以a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---恒成立， 又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min )]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=cb b a b ac b ，“=”成立当且仅当b a c b -=-时.因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。

2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)

2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。

2020-2021学年高三数学(文科)学业水平考试试题及答案解析

2020-2021学年高三数学(文科)学业水平考试试题及答案解析

绝密★启用前最新度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则A B =I(A) {12}， (B) {012}，， (C) {1} (D){123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i --(B) 12i -+ (C) 12i --(D)12i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-r r ，则()a b a -⋅=r r r(A) 8 (B)5 (C) 4 (D)4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为(A)31 (B)3 (C)12 (D)166．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是 (A)12(B)23(C)31 (D)147．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是 (A) 12 (B)32 (C) 1 (D) 38．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+的最大值和最小正周期分别为(A)1,2π(B)1,π(C)1,22π(D)1,2π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描 述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为 (A)9.6(B)7.68(C)6.144(D)4.915210．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为(A) (B)(C)(D)11．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=u u u r u u u r r，则||QF =(A)3 (B)4 (C)6 (D)812．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为(A)4m >或4m <-(B)45m <<(C)48m <<(D)5m >或4m =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题:第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题:第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题i =1输入S =15否i =i +1开始结束输出Si >n ？S ＝S (1-20%)是图1x时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图4卡相应的横线上．13． 已知121(),(,1);4()log ,[1,).xx f x x x ⎧∈-∞⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩，则((2))f f -=．14．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为．15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截 去部分的几何体的表面积为．16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n nn a n n π=-⋅+⋅，其前n 项和为n S ，则10S 等于.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 3sin cos c A a C =. （I ）求C 的值；（II ）若7c a =，23b =ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”， 若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”； （Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的图3图3B 1C 1A 1DCBA图4OEBD CPA时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率. 19．（本小题满分12分）如图4，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的 等边三角形，D 为AB 中点．(Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且15,A D =求多面体11CAC BD 的体积. 20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln ,b x f x a x x+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1x xf x x +>-22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图5，四边形ABCD 内接于，过点A 作的切线EP 交CB的延长线于P ，已知025PAB ∠=．（I ）若BC 是⊙O 的直径，求D ∠的大小； (II ）若025DAE ∠=，求证：2DA DC BP =⋅． 23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值. 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲图4图5已知函数()|2|f x x =-.（Ⅰ）解不等式()(1)2f x f x ++≤； （Ⅱ）若0a <,求证：()()(2).f ax af x f a -≥数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BCADAC DBCACD 解析：9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)xS =-，结合程序框图易得当4n =时，415(120%) 6.144S =-=．10. 设半球的半径为r ，依题意可得 2222(2)r +=，解得6r =所以此半球的体积为32463r ππ=.11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：|'|||2|'|||3FF PF QQ PQ ==|'|6QQ ⇒=.12. 令sin ,x u =则(0,1]u ∈，关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解等价于方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解2160,0.8m m ⎧∆=-=⎪⇔⎨>⎪⎩或(1)50f m =-<，解得4m =或5m >.[或方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解等价于直线y m =与关于u 的函数14y u u=+，(0,1]u ∈图象有唯一交点，结合图象易得．二、填空题：13.4-；14. -8；15.54183+16.687．解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为x=-2y 2=8xyxOF 'Q 'F (2,0)QP22365424⨯+⨯=+16.21010(2)(2)(2)S =-+-++-L cos 2cos210cos10πππ++++L 102[1(2)]5687.1(2)---=+=--三、解答题： 17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：sin cos sin A a AC c C==------------------------------------------------------------3分⇒tan 3C =,-----------------------------------------------------------------4分 ∵0C π<< ∴6C π=.--------------------------------------------------------5分（II ）解法1：∵c =，b =由余弦定理得：227122a a =+-⨯，----------------------------------------7分 整理得： 220a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）--------------------------9分 ∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=得ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=．--------------------------------------12分【解法2：由c =结合正弦定理得：sin14A C ==，---------------------6分∵a c <， ∴A C <, ∴cos 14A ==,-----------------------------7分 ∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+D 1B 1C 1A 1DC B AEB 1C 1A 1D CBA sin cos cos sin A C A C =+=11421427+=----------------------------9分 由正弦定理得：sin 1sin b Aa B==，-------------------------------------------------10分 ∴ABC ∆的面积111222ABC S ∆=⨯⨯=．------------------------------------12分】 18.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------------------2分（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，--------------------3分 不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ；------6分 成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .---------------------------7分 若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；-------------------------------------------8分 若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分 事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=63.105=----------------------------------------------------12分 19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1A CD ，1BD ⊄平面1A CD∴1//BD 平面1A CD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1A CD ------------------------4分 ∵1111BD C D D =I ∴平面1A CD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】(Ⅱ) 222115AD +A A =A D Q =1,A A AD \^-------------------------------------7分又111,//B B BC B B A A ^1A A BC \^，EH B 1C 1A 1DCB A又AD BC B =I 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分111111133ABC ACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯112ABC AA S ∆=⋅⨯2112222=⋅⋅= 即所求多面体11CAC BD分【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C I 平面111A B C 11B C =∴1A H ⊥平面11BB C C ,----------------------------------------------------------10分 ∴所求多面体的体积V =1111A ACD A A CC V V --+1111133BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅111142432432=⨯⨯⨯+⨯⨯=.------------------------------------------12分】 20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>--------------------------------1分由题意22224a b c a c a ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,a b ==-----------------------------------------4分所以，椭圆的方程为22142y x +=．-------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由椭圆的方程22142y x +=，得P ．-------------------------------------6分 由题意知，两直线PAPA 的斜率为k ， 则PA 的直线方程为(1)y k x -=-．--------------------------------------------7分由22(1)124y k x xy ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得：222(2)2))40k x k k x k ++-+--=．-------------8分(1)ln ()1x xf x x +>-设A (x A , y A )，B (x B , y B )，则22212A A k x x k --=⋅=+，-------------------------------9分同理可得2222B k x k+-=+----------------------------------------------------10分则B A x x -=，28(1)(1)2B A B Aky y k x k x k -=----=+． 所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-----------------------------------12分21.解：（Ⅰ）∵2(),a bf x x x'=-----------------------------------------------------1分 由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)得(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩------------------------------------------------------3分 解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x +>⇔-->---------------------------6分当01x <<时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x+>⇔--<------------------------------7分 令22211221()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x -+'=--=+-=∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1x xf x x +>-成立------------------------------10分当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1x xf x x +>-也成立-------------------------11分所以当0x >且1x ≠时，不等式 总成立----------------------------12分 22.解：（I ）Q EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分 又BC 是⊙O 的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分Q 四边形ABCD 内接一于⊙O ，0180ABC D ∴∠+∠=0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分（II ）025,DAE ∠=Q ,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠.ADC PBA ∴∆∆:---------------------------------------------------------------7分 .DA DC BP BA∴=-------------------------------------------------------------------8分 又,DA BA =2.DA DC BP ∴=⋅--------------------------------------------------10分23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分 曲线C 的直角坐标系方程为2216.x y +=--------------------------------------------4分（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离2,d ==------------------------------------------------------------6分∴121cos,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠<1,23AOB π∴∠=故23AOB π∠=．-----------------------------------------------10分 24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤---------------------------------------------1分当x ≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即112x ≤≤；------------------------------------2分 当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；------------------------------------3分当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即522x <≤.--------------------------------------4分综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. -------------------------------------------5 分 （II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分&知识就是力量& =2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分 22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分。

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2020-2021学年高三数学(文科)第三次联考检测题及答案解析

最新度高三年级第三次联考数学试题(文科)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}|410,|3x 7P x x Q x =<<=<<，则P Q 等于A. {}|3x 7x <<B. {}|3x 10x <<C. {}|3x 4x <<D. {}|4x 7x <<2.设复数2z i =+，则复数()1z z -的共轭复数为A. 13i --B. 13i -+C. 13i +D. 13i - 3. cos 250sin 200的值为A. 2B. 1C. 2-D. 1-4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE x AB y AD =+，则A. 11,2x y =-=- B. 11,2x y ==C. 11,2x y =-= D.11,2x y ==-5.已知函数()()2303f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()2cos 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π= D. 2x π=6.在等差数列{}n a 中，3645a a a +=+，且2a 不大于1，则8a 的取值范围是A. (],9-∞B. [)9,+∞C. (),9-∞D. ()9,+∞7.若,x y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为A. 2B. 3C. 11D. 188.执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于A. 12B. 35C. 56D.679.一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为A. 21B. 6C. 7D. 310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 72B. 80C. 86D. 9211.已知双曲线222:1(0)y M x b b -=>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P ，若点P在焦点为()0,1的抛物线2y mx =上，则双曲线M 的离心率为 A. 7 B. 65 C. 87 D. 35 12.设函数()()1232,2x f x x a g x x -=-+=-，若在区间()0,3上，()f x 的图象在()g x 的图象的上方，则实数a 的取值范围为A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()3,+∞D.[)3,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某公司13个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这13个部门接收的快递的数量的中位数为.14.椭圆()2211mx y m +=>2，则m =. 15.若函数()()3222f x a x ax x =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为. 16.记n 表示正整数n 的个位数，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，2,2n n n n n a b a ==+则4n S =.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCB '中，ABC AB C '≅,3,cos ,2 2.4AB AB BCB BC ''⊥∠==（1）求sin ;BCA ∠（2）求BB '及AC 的长.18.(本小题满分12分)已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设,x y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：标准地理成绩为A 等级的共有14401064++=人，数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求,a b 的值；（2）已知8,6a b ≥≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥A EFCB -中,AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =四边形EFCB 3的等腰梯形，//,EF BC O 为EF 的中点.（1）求证：;AO CF ⊥（2）求O 的平面ABC 的距离.20.(本小题满分12分) 已知圆M 与圆22255:33N x y r ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称，且点15,33D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆M 上. （1）判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）设P 为圆M 上任意一点，551,,1,33A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,PA 与PB 不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交AB 于G ，求证：PBG 与APG 的面积之比为定值.21.(本小题满分12分)设函数()()()2cos ,ln 0.k f x x x g x x k x =--=--> （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若对任意110,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x <，求实数k 的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABO 三边上的点,,C D E 都在O 上，已知//,.AB DE AC CB = （1）求证：直线AB 与O 相切； （2）若2AD =，且1tan 3ACD ∠=，求AO 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的方程为()3cos 4sin 2,ρθθ-=，曲线C 的方程为()0.m m ρ=>（1）求直线l 与极轴的交点到极点的距离； （2）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围.24.(本小题满分10分)不等式选讲 已知不等式2210x x ++-<的解集为A.（1）求集合A ；（2）若,a b A ∀∈，x R ∈，不等式()149a b x m x ⎛⎫+>--+⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.。

2020-2021学年云南省高三下学期高考文科数学试卷及答案解析

云南省高三下学期文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={x| y=lg （x ﹣1）}，集合2{|2}B y y x ==-+，则A ∩B 等于A ．（1，2）B ．（1，2]C ．[1，2）D ．[1，2]2. 复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则AM MB ⋅u u u u r u u u r的值为A. 2B.152-C. 152D.2- 4. 在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．通过计算得相关指数R 2的值如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的R 2为0.98B ．模型2的R 2为0.80C ．模型3的R 2为0.50D ．模型4的R 2为0.255. 已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98± 6. 函数ln 1()x f x e x=+的大致图象为7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出 的n =A.2B.3C.4D.58. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．715 B ．1737 C ． 2041 D ． 19419. 长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A.314 B. 4 C. 310D. 3 10. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．223π B.423π C. 22π D. 42π11. 设1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（ ） A ．92B ．322C ．32 D ．5412. 已知2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为( ) A ．),(+∞e B ．(0,)e C ．1(0,)(1,)e e U D ．),1(e e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ．14. 已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ．15. 珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝，甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷，根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是______． 16. 已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ．（I ）求角A 的大小； （II ）若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．18. （本小题满分12分）某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：（Ⅰ）请根据上表中4月2日至4月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程$y bx a =+$；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠? （Ⅱ）从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率.（参考公式：回归直线的方程是$ˆy bx a =+$，其中1221ni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅=-∑∑$，$ay bx =-）19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，DCAAB1AC1CD 1B(第19题图)ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是11A C 中点.（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时，求点B 到平面1B CD 的距离.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点)0,1(F 的距离与它到直线2=x 的距离之比为22. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线)0(≠+=m m kx y 与曲线E 交于B A 、两点，与x 轴、y 轴分别交于D C 、两点（且D C 、在B A 、之间或同时在B A 、之外）. 问：是否存在定值k ，对于满足条件的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈.（1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围； （2）已知1a >设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：2111ln 10x x ax -+>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=OM ：3π=θ与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数122)(--+=x x x f ．（Ⅰ）求不等式2)(-≥x f 的解集M ；（Ⅱ）对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．文科数学试卷答案及评分标准一、选择题BBAA ACCD BBBD 二、填空题13.8; 14. 12-; 15. 甲; 16.15922=+y x 三、解答题17. 解:（I ）由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ，根据正弦定理 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，整理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc ………………2分由余弦定理 得 cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22 ………………4分又A ∈(0，π) ，所以A ＝π4………………5分（II ）由cos B ＝255，可得sin B ＝1－cos 2B ＝55∴cos C ＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B＝22×55－22×255＝－1010………………………………7分 又a ＝10，由正弦定理，可得b ＝asin Bsin A＝10×55 22＝2∴CD ＝12AC ＝1 ………………9分在△BCD 中，由余弦定理 得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CDcosC＝(10)2＋12－2×10×1×(－1010)＝13 ………………………………11分所以BD ＝13. ………………………………12分18. 解:（Ⅰ） 1(111312)123x =++=，1(253026)273y =++=，3972x y =.31112513*********i ii X Y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434ii X==++=∑，23432x =.由公式，求得122197797254344322ni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅-===--∑∑$，$5271232a y bx =-=-⨯=-． 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-．………………………………5分 当x=10时，5ˆ103222y=⨯-=，|22－23|＜2；当x=8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．………………………………7分（II ）m,n 的所有取值有：（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），（25,30），（25,26），(25,16)，(30,26),(30,16)， (26,16), 即基本事件总数为10.设 “m ，n 均不小于25” 为事件A ，则事件A 包含的基本事件为（25,30），（25,26），（30,26）. 所以3()10P A =,故事件A 的概率为310………………………………12分19. 解：（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………4分 （Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h ，则1111123==33C B CD B C D V S h h -△，而14h CC =≤，故当三棱锥11C B C D -体积最大时，1=4h CC =，即1CC ⊥平面111A B C . ……………6分 由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥，∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C I ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1=23,25B D CD =，所以1=215B CD S ∆， ……………9分设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --得：1231454=335B CD S h h ''⨯⇒=△， 所以B 到平面1B CD 的距离是45.5……………12分 20. 解：(1)设()M x,y ，则2222(1)21222x y x y x -+=⇒+=- ∴动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=．……………４分（２）将y kx m =+代入2212x y +=整理得222(12)4220k x mkx m +++-=22222(4)4(12)(22)>021mk k m m k =-+-⇒<+V ，设1122()()A x ,y ,B x ,y ，则122412kmx x k +=-+由题意，不妨设)0,(kmC -，),0(m D OAC ∆的面积与OBD ∆的面积总相等||||BD AC =⇔恒成立⇔线段AB 的中点与线段CD 的中点重合. ∴km k mk -=+-2214，解得22±=k ，由2221m k <+得2||<m ； 即存在定值22±=k ，对于满足条件0≠m ，且2||<m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等. ……………………………………12分 21. 解：（1）因为1()2,0f x a x x'=->…………………………………………………1分 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x +=在(0,)+∞上有解， 所以220a +>，得1a >-，故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分（2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+-因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ，则12121,2x x x x a =+=因为1x 为函数()g x 的极大值点，1a >，所以120x x <<，101x <<………………6分所以2111()210g x x ax '=-+=，则21112x a x +=…………………………………………7分因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x +-+=-+=--++，101x <<…8分 令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈，所以231()+ln 22x h x x '=-+……………………………………………………………9分 记231()+ln 22x p x x =-+，(0,1)x ∈，则2113()3x p x x x x-=-+=当03x <<时，()0p x '>，当13x <<时，()0p x '<…………………………10分所以max ()(1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分 所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分22. 解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即．……………5分（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．在的极坐标方程中令，得，所以．所以．……………10分23.解：（Ⅰ），当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以；综上，不等式的解集为．……………5分（Ⅱ）令，当直线经过点时，，所以当即时成立；当即时，令，得，所以，即，综上或．…………10分解法二：（Ⅰ）同解法一．5分（Ⅱ）设因为对任意，都有成立，所以．当时，，所以所以，符合．当时，，所以所以，符合．综上，实数的取值范围是．……………10分。

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

2020-2021学年高三数学(文科)高中毕业班教学质量检测试题及答案解析

最新度普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =U ð（ ） A ．{}3 B ．{}4,5 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,4,52.已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=rr ，则b =r （ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()5,6D ．()2,0 3.已知i 是虚数单位，若()32i z i -⋅=，则z =（ ）A ．2155i -- B ．2155i -+ C ．1255i - D ．1255i + 4.从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A ．13 B ．16 C ．12 D ．235.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．34± 6.已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（R x ∈），下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数 C ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则当1n >时，n S =（ ）A ．132n -⎛⎫⎪⎝⎭B ．12n - C ．123n -⎛⎫⎪⎝⎭D ．111132n -⎛⎫-⎪⎝⎭8.执行如图1所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．43π B ．12π C ．24π D ．48π10.下列函数中，在()1,1-内有零点且单调递增的是（ ）A ．2log y x =B ．22y x =-C ．21x y =-D ．3y x =-11.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()2log 1,0,0x x f x g x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()7g f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-12.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．[]3,5B ．[]4,6C ．()3,5D ．()4,6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ，y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，3z x y m =++的最大值为4，则m 的值为．14.已知直线:l y kx b =+与曲线331y x x =++相切，则当斜率k 取最小值时，直线l 的方程为．15.已知正项等比数列{}n a 的公比2q =，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为．16.下列有关命题中，正确命题的序号是．（1）命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”． （2）命题“R x ∃∈，210x x +-<”的否定是“R x ∀∈，210x x +->”． （3）命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题． （4）若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，b =1c =，3cos 4B =． （I ）求sinC 的值； （II ）求C ∆AB 的面积． 18.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差0d ≠的等差数列，2a ，6a ，22a 成等比数列，4626a a +=；数列{}n b 是公比q 为正数的等比数列，且32b a =，56b a =． （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ． 19.（本小题满分12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[)20,30，第2组[)30,40，第3组[)40,50，第4组[)50,60，第5组[]60,70，得到的频率分布直方图如图3所示． （I ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（II ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．20.（本小题满分12分）如图4，在直三棱柱111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =o ，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ； （II ）求点A 到平面1C A M 的距离．21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x a x x =-+-．（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当1a <时，证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()()2ln 11xf x a x a x<--+-+． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5所示，已知PA 与O e 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B ，C 两点，弦CD//AP ，D A ，C B 相交于点E ，F 为C E 上一点，且2D F C E =E ⋅E ． （I ）求证：C F E⋅EB =E ⋅EP ；（II ）若C :3:2E BE =，D 3E =，F 2E =，求PA 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程是1223x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （I ）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（II ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标．（其中0ρ≥，02θπ≤<） 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式211x x a ---≤． （I ）当3a =时，求不等式的解集； （II ）若不等式有解，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案及评分标准一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBCABDACBCDC11.()()()712-7-7log 3f f +==-=-，()()()()()3127333log 2g f g f f +⎡-⎤=-=-=-=-=-⎣⎦故选D. 12.()2f x x =在[10]-，单调递减，如图所示，易得1a >， 依题意得log 31log 51a a<⎧⎨>⎩，∴35a <<，故选C..二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．13. -4 14.31y x =+ 15.3216.⑷三、解答题：本大题共6小题，满分70解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由3cos 4B =且0B π<<，得7sin B =3分又由正弦定理：sin sin c bC B=得：14sin 8C =．……6分 （Ⅱ）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅得：232124a a =+-⋅， 即23102a a --=，解得2a =或1-2a =（舍去），………………4分所以，11sin 122244ABC S a c B =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=V 6分 18．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列26222a a a ∴=即()()()21115+21a d a d a d +=+即13d a =①……………1分又由46a a +=26得12+826a d =②……………………2分 由①②解得1=13a d =，32n a n ∴=-……………………3分324b a ∴== 即214b q =，5616b a ==又 即4116b q =；24q ∴=………………5分又q 为正数2q ∴=，1b =12n n b -∴=……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1322n n na b n -=-……………………1分()021*********n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-L ……………………2分 ()232124272322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-L ……………………3分()()()()2161213232323221322352512n n n n n n T n n n --∴-=+⨯+⨯++⨯--=+--=--⨯--L ()3525n n T n ∴=-⨯+……………………6分19．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解:（Ⅰ）设第2组[30,40)的频率为2f ，21(0.0050.010.020.03)100.35f =-+++⨯=； ………………3分第4组的频率为0.02100.2⨯=…………………………4分 所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为1P =0.350.20.55+= ………………………6分（Ⅱ）设第1组[30,40)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯= ……………………1分 记第1组中的男性为12,,x x ，女性为1234,,,y y y y ，随机抽取3名群众的基本事件是：121(,,)x x y ，122(,,)x x y ，123(,,)x x y ，124(,,)x x y121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ， 221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ， 123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共20种 ……………………4分其中至少有两名女性的基本事件是：121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ，221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共16种………5分所以至少有两名女性的概率为2164205P ==………………………………………………6分20．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分） 解：（Ⅰ）记1AC 与C A 1的交点为E .连结ME .Q 直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,115MA MA MC MC ∴=====……2分因为点E 是1AC 、C A 1的中点，所以1AC ME ⊥ ， C A ME 1⊥， ……4分 又11AC A C E =I 从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11AAC C . ……6分 （Ⅱ）过点Ａ作1AH A C ⊥于点H ，由（Ⅰ）平面1A MC ⊥平面11AAC C ，平面1A MC I 平面111AAC C AC =， 而AH ⊥平面11AAC C ……2分∴AH 即为点A 到平面1A MC 的距离． ……3分在1A AC ∆中，190A AC ∠=︒，116AA AC AC ===，1134AA AC AH AC ⋅∴===即点A 到平面1A MC……6分 21．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）由题知()()()2'2110a a x x f x x x-+-+=>……………………1分当1a ≠-时，由()'0f x =得()221+1=0a a x x +-且=9+8a ∆，12x x ==……………2分 ①当1a =-时，所以)(x f 在()0,1上单调递增在()1,+∞上单调递减………………3分②当1->a 时， )(x f 在()20,x 上单调递增； 在上()2,+x ∞上单调递减 ………4分③当98a ≤-时，)(x f 在()0,+∞上单调递增……………5分④当918a -<<-时，)(x f 在()()120,,x x +∞和上单调递增； 在上()12,x x 上单调递减……………………6分 （Ⅱ）当1<a 时，要证()()2ln 11xf x a x a x<--+-+在），（∞+0上恒成立, 只需证ln ln1xx x a x-<--+在），（∞+0上恒成立, ……………………1分 令a xxx g x x x F -+--=-=1ln )(,ln ）（， 因为xxx x F -=-=111)(', 易得)(x F 在)1,0(上递增，在),1(∞+上递减，故1)1()(-=≤F x F ,……………2分由a x xx g -+-=1ln )(得21ln ()x g x x -'=-=2ln 1(0)x x x ->, 当e x <<0时，0)('<x g ； 当e x >时，0)('>x g .所以)(x g 在),0(e 上递减，在),(+∞e 上递增, ………………3分所以a e e g x g -+-=≥11)()(,……………………4分 又1<a ，1111->->-+-∴e a e ，即min max )()(x g x F <,……………………5分所以)1(ln ln +--<-x a xxx x 在），（∞+0上恒成立, 故当1<a 时，对任意的），（∞+∈0x ，)1(ln )(+--<x a xxx f 恒成立………………6分22．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分)解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠ ……………………………………3分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴EDEPEF EA =， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ………………………………5分（Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE∴ 29=EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE 由（Ⅰ）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得427=EP . …………………………2分 ∴415=-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ． ……………………………………5分 23．（本小题满分10分）(注：第(1)问4分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，0y --=，……………………2分 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.…………4分（Ⅱ）方法一：曲线C 的普通方程为2240x y x +-=.………………2分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩4分所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩，……………2分得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………4分所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分 24．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解: （Ⅰ）由题意可得：3112≤---x x ，当21≤x 时，3,3112-≥≤-++-x x x ，即213≤≤-x ； ……………………2分 当121<<x 时，3112≤-+-x x ，即35≤x 即121<<x ；……………………3分当1≥x 时，3112≤+--x x ，即13x ≤≤……………………4分∴该不等式解集为{}33≤≤-x x . …………5分（Ⅱ）令112)(---=x x x f ，有题意可知：min ()af x ≥……………………2分若要功夫深，铁杵磨成针！又1,21()32,12,1x xf x x xx x⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩21min)(-=∴xf，……………………4分1-2a∴≥. ……………………5分。

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