2015届高考数学总复习第九章 第五节 变量间的相关关系、统计案例课件 理
身 54 54.3 63 66 69 73 82 83 80.3 高
91 93.2 94 94
低蛋白食物组
年 龄 身 高 0.4 0.7 52 55 1 61 1 63. 4 1.5 66 2 68.5 2 67.9 2. 4 7 2 2. 8 3 1.3 1.8 0.2 69 51 3 77
76 74 65
点图如图所示．由图可以看出某地的年降雨量 (mm)与年平均
气温(℃)不具有相关关系．故选D.
答案：(1)A (2)D
点评：(1)在散点图中，如果所有的样本点都落在某一函 数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之 间具有函数关系．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线 附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某
通过分析，发现销售量y与商品的价格x具有线性相关关 系，则销售量y关于商品的价格x的线性回归方程为
________．
解析： xiyi＝392，－ x ＝10，－ y ＝8， x2 i ＝502.5，
i＝1 i＝1
5
5
^ ＝－3.2，所以， ^ ^ － 代入公式，得 b a ＝－ y －b x ＝40，故线性 ^＝－3.2x＋40. 回归方程为y ^＝－3.2x＋40 答案：y
根据以上数据求线性回归方程．
^ ＝b ^x＋^ 解析：设回归直线方程为y a，
6 6 21 426 2 － x ＝ 6 ，－ y ＝ 6 ＝71， xi ＝79， xiyi＝1 481， i＝1 i ＝1
x － y xiyi－6－ ^＝ 所以代入公式b
i＝1
6
， x2 xi2－6－
i＝1 6
③某人每日吸烟量和身体健康情况；
④圆的半径与面积； ⑤汽车的重量和每公里耗油量． 其中两个变量成正相关的是( A．①③ B．②④ ) D．④⑤ C．②⑤
(2)有10名同学高一(x)和高二(y)的数学成绩如下：
高一成绩x 74 高二成绩y 76
71 75
72 71 )
68 70
76 76
73 79
6的步骤： ①判断是否线性相关，可用散点图判断，也可以用残
差分析、相关指数判断；
②如果是线性相关，先计算 x ， y
n 2 ， x i ， x iyi的值，再 i＝1 i ＝1
n
y xiyi－n x · ^＝ 代入公式b
i＝ 1 n
n
^，^ ，^ a ＝ y －b x 求 b a的值；
x2 i －n x 2
i ＝1
③写出直线回归方程．
变式探究 2 ．在 2014 年元旦期间，某市物价部门对本市五个商场 销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的 售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示： 价格x 销售量y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5
年平均 气温x/℃ 年降雨 量y/mm 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 748 542 507 813 574 701 432
A.正相关关系
C．非线性相关关系
B．负相关关系
D．不具有相关关系
解析：(1)由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可 知r2<r4<0<r3<r1.故选A. (2)以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散
21 1 481－6× 6 ×71 －10 ^＝ b ＝ 5.5 ≈－1.82， 212 79－6× 6 21 ^ a＝71－(－1.82)× 6 ≈77.37， ^＝77.37－1.82x. 故回归直线方程为y
点评： (1) 最小二乘法是一种有效地求回归方程的方法， 它保证了各点与此直线在整体上最接近，最能反映样本观测 数据的规律．
身高与年龄近似有线性关系，检验：不同食物的婴幼儿的 身高有无差异；若存在，这种差异有何特点．
解析：对高蛋白食物组，设年龄为x，身高为y， 1 n 2 2 则Sxx＝ xi －n( xi) ＝9.69， i＝1 i＝1
答案：(1)C (2)B
求回归直线方程
【例2】
数据如下： 月份 1
某工厂某产品产量与单位成本成线性相关关系，
产量x/千件 2
单位成本y/(元/件) 73
x2 4
xy 146
2 3 4 5 6
合计
3 4 3 4 5 21
72 71 73 69 68 426
9 16 9 16 25 79
216 284 219 276 340 1 481
一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(2)散点图的最大优点就是直观，并且制作散点图也较为 方便，因此散点图在判断两个变量是否相关的过程中起着重 要作用．散点图是判断两个变量是否相关的方法之一，至于 相关性的强弱还要利用相关系数来判断．
变式探究
1．(1)有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩；
第九章
第五节
变量间的相关关系、统计案例
利用散点图判断两个变量的相关关系 【例1】 (1)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关 )
于其相关系数比较，正确的是(
A．r2<r4<0<r3<r1 C．r4<r2<0<r3<r1
B．r4<r2<0<r1<r3 D．r2<r4<0<r1<r3
(2) 下表是某地的年降雨量 y( 单位： mm) 与年平均气温 x(单位：℃)的数据资料，两者是( )
利用回归直线方程对总体进行估计
【例 3】 营养学家为研究食物中蛋白质含量对婴幼儿 生长的影响，调查了一批年龄在两个月到三岁的婴幼儿，将 他们按食物中蛋白质含量的高低分为高蛋白食物组和低蛋白 食物组两组，并测量身高，得到下面的数据：
高蛋白食物组
年 0.2 0.5 0.8 1 龄 1 1.4 1.8 2 2 2.5 2.5 3 2.7
70 77
65 62
74 72
则两个变量x和y( A．没有相关关系 C．有负相关关系
B．有正相关关系 D．无法判断
解析： (1) 由正相关与负相关的概念知②⑤是正相关，① ③是负相关，④为函数关系．故选C. (2)以高一成绩为x轴，高二成绩为y轴，画出散点图如图， 可以看出，这些点在一条直线附近波动，且y随着x增加而增加， 所以x与y有正相关关系．故选B.
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第五节 变量间的相关关系、统计案例 理
第五节 变量间的相关关系、统计案例知识梳理 1．散点图．(1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的________．(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．答案：1.（1）散点图2．相关关系．(1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为____________；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________．(2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做____________．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是______________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．答案：2.（1）正相关 （2）回归直线 （3）非线性相关3．回归直线．(1)最小二乘法：如果有n 个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接近程度： [y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a＋bx n )]2，使得上式达到最小值的y ^＝b ^x ＋a ^就是我们要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x·y∑i ＝1nx 2i －n x2，a^1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．3.了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立检验：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；(2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．＝________，其中x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n.b ^叫做回归直线方程的斜率，a^是直线在y 轴上的截距．答案：3.y -b ^x4．相关系数．r＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2y i －y2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．(1)当r ＞0时，表明两个变量________； (2)当r ＜0时，表明两个变量________；(3)r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性______；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r |＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．当|r |∈[0.3,0.75)时，相关性一般．当|r |∈[0,0.25]时，相关性较弱．答案：4.（1）正相关 （2）负相关 （3）越强5．残差分析．(1)线性回归模型：y ＝bx ＋a ＋e 中，a ，b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差．(2)残差平方和：对于样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，Q ＝∑i ＝1n(y i －y )称为残差平方和，Q 值越小，说明线性回归模型的拟合效果越好．(3)相关指数：用相关指数R 2来刻画回归的效果，公式是R2＝ . R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果______．答案：5.越好6．独立性检验．(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类变量称为分类变量． (2)列出两个分类变量的频数表，称为列联表．(3)利用随机变量K 2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的________．2×2列联表独立性检验公式K 2＝__________________.答案：6.（3）独立性检验n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）基础自测1．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为( )A ．①③④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤答案：C2．(2013·武昌调研)通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线由K 2＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），算得K 2＝260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”解析：因为K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．答案：A3．(2012·新课标全国卷)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为__________________．解析：所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1. 答案：14.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析： 由题意得y ^2－y ^1＝[0.254(x ＋1)＋0.321]－[0.254x ＋0.321]＝0.254，即家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2541．(2012·湖南卷)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：根据回归方程的概念和性质知选项A ，B ，C 三项均正确，选项D 错误，线性回归方程只能预测学生的体重. 选项D 应改为“若该大学某女生身高为170 cm ，则估计其体重大约为58.79 kg”．答案：D2．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众年龄为20至40岁的概率．解析：(1)有关．收看新闻节目多为年龄大的．(2)应抽取的人数为：5×2745＝3(人)．(3)由(2)知，抽取的5名观众中，有2名观众年龄处于20至40岁，3名观众的年龄大于40岁．记大于40岁的人为a 1，a 2，a 3,20至40岁的人为b 1，b 2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(b 1，b 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共10个，其中恰有1人为20至40岁的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个，因此所求的概率P ＝610＝35.1．(2013·梅州一模)在2014年1月15日当天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.解析：x ＝15(9＋9.5＋m ＋10.5＋11)＝15(40＋m )，y ＝15(11＋n ＋8＋6＋5)＝15(30＋n )．因为其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2x ＋40，所以15(30＋n )＝－3.2×15(40＋m )＋40，即30＋n ＝－3.2(40＋m )＋200，又m ＋n ＝20， 解得m ＝n ＝10. 答案：102．某大学高等数学老师上学期分别采用了A ，B 两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验(两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样)．现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如下：(1)依茎叶图判断哪个班的平均分高？(2)从乙班这20名同学中随机抽取2名高等数学成绩不得低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率．(3)学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d(4)从乙班高等数学成绩不低于85分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记ξ为这2人所得的总奖金，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)甲班高等数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于80～100分之间，所以乙班的平均分高．(2)P ＝C 11C 19C 210＝15.(3)K 2＝40×(13×27×20×20≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．(4)由题可知ξ的可能取值为100,150,200.P ()ξ＝100＝C 25C 210＝29，P ()ξ＝150＝C 15C 15C 210＝59，P ()ξ＝200＝C 25C 210＝29，所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝100×29＋150×9＋200×9＝150.。
高三数学一轮复习 第9章第5节 变量的相关关系、统计案例课件 文 (广东专用)
程可能是( )
∧
∧
A.y＝－10x＋200 B.y＝10x＋200
∧
∧
C.y＝－10x－200 D.y＝10x－200
【解析】 由题意回归方程斜率应为负，故排除B，D，又销售量 应为正值，故C不正确，故选A.
【答案】 A
3．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和 年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线
∧
(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到b＝ 499974＝0.5，a∧＝100－0.5×100＝50，
∧
∴线性回归方程为y＝0.5x＋50. 当 y＝115 时，x＝130. 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有
助于物理成绩的进一步提高．,
某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了 统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层 抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本 次测试合格线是50分，两校合格率均为100%)
nad－bc2 构造一个随机变量 K2＝ a＋bc＋da＋cb＋d ， 其中 n＝ a＋b＋c＋d 为样本容量
∧
1．线性回归方程y＝bx＋a 是否一定过样本点的中心( x ， y )， 为什么？
【提示】 一定过点( x ， y )，∵a＝ y －b x ，∴ y ＝b x ＋a，即
∧
点( x ， y )一定在回归直线y＝bx＋a 上．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样 本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有 明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再 把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样 方法更好.
2015年高考数学一轮复习 9-3 变量间的相关关系及统计案例课件 文
(3)(2013·福建卷)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表： x123456 y021334
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为^y＝b^x＋a^，若某 同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y＝ b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.b^>b′，a^>a′ B.b^>b′，a^<a′ C.b^<b′，a^>a′ D.b^<b′，a^<a′ 参考公式：回归直线方程是：^y＝b^x＋a^，a^＝ y －b^ x
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书 P210)
考点1
相关关系的判断
1.相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．而函数关 系可以看成是两个非随机变量之间的关系．因此，不能把相关关 系等同于函数关系．
2．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关 系，也可能是伴随关系．
3．散点图是将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点得 到的图形，它直观地反映了两个变量之间存在的某种关系和密切 程度，所以它可以判断两个变量间是否是相关关系，是什么样的 相关关系等问题．
像这样的变量称为分类变量．
(2)2×2 列联表：假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域
分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称 2×2 列联表) 为：
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
nad－bc2 K2＝a＋ba＋cb＋dc＋d (其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本 容量)． (3)独立性检验 利用随机变量、 独立性假设 来确定是否一定有把握认为
2015年高考数学第一轮复习课件：9.3变量间的相关关系、统计案例
递减趋势
递增趋势
解析 由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x 与 y 负相关； 由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u 与 v 正相关．
答案 C
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十一分。
考
线性回归方程及其应用
点
【例题 2】(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资料，
得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y 与 x 负相关且y^ ＝2.347x－6.423； ②y 与 x 负相关且y^ ＝－3.476x＋5.648；
不是负相关；
④方程中的 x 的系数 为负，不是正相关，
③y 与 x 正相关且y^ ＝5.437x＋8.493；
∴①④一定不正确．
④y 与 x 正相关且y^ ＝－4.326x－4.578.
i＝1
10
i＝1
xiyi－10 x y
i＝1
由此得b^ ＝
10
＝2840＝0.3，
x2i －10 x 2
i＝1
^
a
＝ y －b^
x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y^
＝0.3x－0.4.
第十三页，编辑于星期五：十一点 五十一分。
线性回归方程及其应用
(2) 由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b^ ＝0.3>0)，
xiyi－n x y
i＝1
附：线性回归方程y^ ＝b^ x＋a^ 中，b^ ＝
，a^ ＝ y －b^
n
x2i －n x 2
i＝1
x ，其中 x ， y 为样本平均值．
第十二页，编辑于星期五：十一点 五十一分。
2015高考数学一轮课件：11.3 变量间的相关关系、统计案例
与角度、体积有关的几何概型
【例 3】 如图所示，在△ABC 中， 思维启迪
解析
探究提高
∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 根据“在∠BAC 内作射线 AM”可
3，在∠BAC 内作射线 AM 交 知，本题的测度是角度．
BC 于点 M，求 BM<1 的概率．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十四页，编辑于星期五：十三点 十一分。
件所占区域和整个 区域 Ω 的几何度量， 然后代入公式即可 求解．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第三页，编辑于星期五：三点 十一分。
基础知识·自主学习
要点梳理
3．要切实理解并掌握几何概型试 验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能 出现的结果有 无限多个 ； (2)等可能性：每个结果的发生具 有 等可能性 ．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十二页，编辑于星期五：十三点 十一分。
题型分类·深度剖析
题型一
与长度有关的几何概型
【例 1】 在集合 A＝{m|关于 x 的 思维启迪 解析 答案 探究提高 方程 x2＋mx＋34m＋1＝0 无实 由 Δ＝m2－443m＋1<0 得－1<m<4. 根}中随机地取一元素 m，恰使 即 A＝{m|－1<m<4}．
变式训练 1 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直 1
于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是____2____．
解析 记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边 长”，如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就 是等边三角形的边长(此时 F 为 OE 中点)，弦长大于 CD 的充要条件 是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式得：P(A)＝12×2 2＝12.
高考数学理一轮复习 9.5 变量间的相关关系精品课件 新人教A版
^
^
4．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同
的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检
验时，与实际数据(个数)对比结果如下：
与实际相符数据个数 与实际不符合数据个数 合计 甲回归方程 乙回归方程 合计 32 40 72 8 20 28 40 60 100
则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更
i＝1
n
相关系数 r＝
xi －n x yi2－n y 2
2 2 i＝1 i＝1
n
n
.
用 相关系数 来描述线性相关关系的强弱．当r>0 时，两个变 量 正相关 ；当r<0时，两个变量 负相关 ， r 的绝对值越接近 1 ，表 明两个变量的线性相关性越强 ，r的绝对值越接近于0，表明两个变 量之间几乎不存在线性相关关系．通过当|r|大于 r0.75 时，认为两个 变量有很强的线性相关关系，因而求回归直线方程才有意义．
如下表所示的一组数据(单位：kg). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
棉花产量y
330 345 365 405 445 450 455
(1)画出散点图；
(2)判断是否具有相关关系．
[思路探究]
用施化肥量x作为横轴，产量y作为纵轴可作出散
点图，由散点图即可分析是否具有线性相关关系． [课堂记录] (1)散点图如下图所示，
数据点和它在回归直线上相应位置的差异 (yi － y i) 是随机误差效 应，称e i＝yi－y i 为 残差 ，将所得值平方后加起来，用数学符号表 示为 (yi－y i)2 称为 残差平方和 ，它代表了随机误差的效应．
i＝1 n ^ ^ ^
2015届高三数学一轮课件：10.5 变量间的相关关系与统计案例
所以^a = y − b^x=80+20×8.5=250,从而回归直线方程为^y=-20x+250.
(2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得
L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000
=-20
x-
33 4
2
+361.25,
当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.
A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 答案:C
题型一 题型二
第十一页，编辑于星期五：八点 三十六分。
第5讲 变量间的相关关系与统计案例
考纲考向
(2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正
相关.
(3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
y=0.3×7-0.4=1.7(千元).
题型一 题型二
第十四页，编辑于星期五：八点 三十六分。
第5讲 变量间的相关关系与统计案例
题型二 线性回归分析
第十八页，编辑于星期五：八点 三十六分。
第5讲 变量间的相关关系与统计案例
1
考纲考向
2
3
考点基础
重点难点
随随堂堂演演练练
2.(2013·湖北,文 4)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相
关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:
①y 与 x 负相关且^y=2.347x-6.423; ②y 与 x 负相关且^y=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且^y=5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且^y=-4.326x-4.578.
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：11.3变量间的相关关系、统计案例
• •
1．相关关系与函数关系的区别 相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定 性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关 系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与 随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关 系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
2．对回归分析的理解 (1)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法， 它主要解决 三个问题： ①确定两个变量之间是否有相关关系， 如果有就找出它们之间 贴近的数学表达式，否则求出的回归方程没有意义； ②根据一组观察值， 预测变量的取值及判断变量取值的变化趋 势； ③求出线性回归方程． ^x＋a ^一定过样本点的中心( x ， y )． (2)回归直线^ y＝b
第3课时
变量间的相关关系、统计案例
• • • • •
(一)考纲点击 1．会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量 间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简 单应用． 4．了解回归的基本思想、方法及其简单应用．
• 2×2列联表
总计 x1 a＋ b x2 c＋ d a＋ b ＋c 2 c b＋nd 总计 a＋ ad－bc 2 ＋d 构造一个随机变量 K ＝
n＝
y1 a c
y2 b d
，其中 a＋bc＋da＋cb＋d
a＋b＋c＋d
为样本容量．
• (3)独立性检验 • 利用随机变量 来判断“两个分类变量 独立性检验． K2
其中一定不正确 的结论的序号是 ．．． ( A．①② C．③④ B．②③ D．①④ )
• (2)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)，得散点图(1)； 对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)，得散点图(2)．由 这两个散点图可以判断 •( )
11.5 变量间的相关关系、统计案例(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件
例1 (2019广东深圳第二次调研,18)某网店经销某商品,为了解该商品的 月销量y(单位:千件)与当月售价x(单位:元/件)之间的关系,收集了5组数据 进行了初步处理,得到下表:
x
5
6
7
8
9
y
8
6
4.5
3.5
3
(1)统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱,若|r|∈ [0.75,1],则认为相关性很强;若|r|∈(0.25,0.75),则认为相关性一般;若|r|∈[0, 0.25],则认为相关性较弱.请计算相关系数r,并说明y与x之间的线性相关关系 的强弱(精确到0.01); (2)求y关于x的线性回归方程; (3)根据(2)中的线性回归方程,估计当售价x定为多少时,月销售额最大?(月 销售额=月销售量×当月售价)
2.利用公式K2=
(a
n(ad -bc)2 b)(c dK2的观测值k.
3.如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α;否
则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或
者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.
a+c
b+d
a+b+c+d
可构造一个随机变量K2=
n(ad -bc)2
,其中n=a+b+c+d为样本容量.
(a b)(c d)(a c)(b d)
3.独立性检验 利用独立性假设、随机变量K2来确定是否有一定把握认为“两个分类变 量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准: 统计学研究表明:当K2≤3.841时,认为X与Y无关; 当K2>3.841时,有95%的把握说X与Y有关; 当K2>6.635时,有99%的把握说X与Y有关; 当K2>10.828时,有99.9%的把握说X与Y有关.
2015届高考数学总复习 第九章 第五节 变量间的相关关系、统计案例课时精练 理
第五节 变量间的相关关系、统计案例1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A ．角度和余弦值B ．正n 边形的边数和一个内角的度数C ．棱锥的体积和底面积D ．某种物质的溶解度和温度解析：选项A ，B ，C 中的关系都是函数关系，只有选项D 不是函数关系．故选D. 答案：D2．某商品销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A .y ^＝－10x ＋200B .y ^＝10x ＋200C .y ^＝－10x －200D .y ^＝10x －200解析：由回归方程可知，选项B ，D 为正相关，选项C 不符合实际意义，只有选项A 符合要求．故选A.答案：A3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方)A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：r ＞0且丁最接近1，残差平方和越小，相关性越高，故选D.答案：D4．(2013·江苏泰州统一考试)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm )与肱骨长度y(cm )的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为( )A ．56.1B ．56.15C ．56.19D ．56.21解析：根据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm. 答案：C5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：现准备用下列四个)A .y ＝2x －2B ．y ＝2(x 2－1) C ．y ＝log 2x D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析：由表中数据可知，y 随x 的增大而增大，先排除D ，把x ＝4代入A ，B ，C 中的函数，得函数值分别为6,7.5,2与真实值7.5比较易知B 中的函数最接近，故选B.答案：B6．工人工资y(单位：元)与劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，可估测工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，可估测工资提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，可估测工资提高130元D ．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元解析：回归直线斜率为80，所以x 每增加1，y ^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．故选B.答案：B7．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200附：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）(b ＋d)参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”解析：K 2＝200×（70×60－40×30）2110×90×100×100≈18.18＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”．故选A.答案：A8．某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/t )的线性回归方程为y ^＝105.492＋42.569x.当成本控制在176.5元/t 时，可以预计生产的1 000 t 钢中，约有________t 钢是废品．．解析：因为176.5＝105.492＋42.569x ，所以x ≈1.668，即成本控制在176.5元/t 时，废品率为1.668%.所以生产的1 000 t 钢中，约有1 000×1.668%＝16.68(t)钢是废品．答案：16.689．(2013·浙江嘉兴联考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K 2表中数据，得到K 2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844>3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.答案：5%10．(2013·揭阳一模)一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据(单位均为cm )如下表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：∑i ＝110 (x i －x －)(y i －y －)＝577.5，∑i ＝110(x i －x －)2＝82.5；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm ，则估计案发解析：∵经计算得到一些数据：∑i ＝110 (x i －x －)(y i －y －)＝577.5，∑i ＝110(x i －x －)2＝82.5；所以回归方程的斜率b ＝∑i ＝110 （x i －x －）（y i －y －）∑i ＝110（x i －x －）2＝577.582.5＝7， x －＝24.5，y －＝171.5，截距a ＝y －－b x －＝0，即回归方程为y ^＝7x ，当x ＝26.5时，y ^＝7×26.5＝185.5，则估计案发嫌疑人的身高为 185.5 cm.答案：185.511.(2013·宿迁模拟)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：其中i ＝(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图．(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)(参考数据：∑i ＝17x i y i ＝3 245，x －＝25，y －＝15.43，∑i ＝17x 2i ＝5 075,7(x －)2＝4 375,7x － y －＝2 695)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)解析：(1)散点图如图(2)因为∑i ＝17x i y i ＝3 245，x －＝25，y －＝15.43，∑i ＝17x 2i ＝5 075，7(x －)2＝4 375,7x － y －＝2 695， 所以b ＝∑i ＝17x i y i －7x － y－∑i ＝17x 2i －7（x －）2≈0.79， a ＝y －－b x －＝－4.32，所以回归直线方程是：y ^＝0.79x －4.32.(3)进店人数80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59件．12．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2解析：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝ 100×（30×10－45×15）275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，从而X 的分布列为E (X )＝n p ＝3×14＝34，1 4×34＝916.D(X)＝n p(1－p)＝3×。