2018届高三一轮复习课件第三章第5讲三角函数的图像与性质
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第三章
三角函数、解三角形
2．(2017· 江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))将函数 y＝ 3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后， 所 π 6 得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是________ ． π [ 解析 ] y ＝ 3cos x ＋ sin x ＝ 2sin x＋ 3 ，将其图象向左平移
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三角函数、解三角形
三角函数的定义域、值域和最值问题 (1)函数
2－ 3 ； 为________
πx π y＝2sin 6 －3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和
(2)求函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域； (3)求函数 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域． π π π 7π 【解】 (1)因为 0≤x≤9，所以－ ≤ x－ ≤ ， 3 6 3 6
则|AB|＝
π 5π2 － ＋ 4 4
2 22 ＋ ＝ π2＋2. 2 2
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三角函数、解三角形
1．必明辨的 3 个易错点 (1)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”连结． (2)三角函数图象变换搞错变换方向． (3)研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视 函数的定义域．
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三角函数、解三角形
1 1.函数 y＝ 的定义域为 tan x－1 π π x|x≠ ＋kπ，且x≠ ＋kπ，k∈Z 4 2 ___________________________________________ ．
tan x－1≠0， [解析] 要使函数有意义，必须有 π x≠ ＋kπ，k∈Z， 2 π x≠4＋kπ，k∈Z， 即 x≠π＋kπ，k∈Z. 2
π π 故函数的定义域为x|x≠ 4＋kπ，且x≠2＋kπ，k∈Z.
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三角函数、解三角形
2 ． (2017· 江苏省重点中学领航高考冲刺卷 ( 五 )) 将函数 f(x) ＝
y＝tan x R
[－1，1] _________
π π － ＋2kπ， ＋ 2 2
[－1，1] ________
2kπ (k∈Z)上递 单调性 增；
π 3π ＋2kπ， ＋2kπ 2 2
[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减
三角函数、解三角形
4.已知
π f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，2≤φ≤π的部分图象如图所示，
2 其中 A，B 两点之间的距离为 5，那么 f(－1)＝________.
[解析] 由图中 A，B 两点之间的距离为 5， T 2π π 5π 则 ＝3⇒T＝6⇒ω＝ ＝ ，又 f(0)＝1⇒φ＝ ， T 3 2 6 所以
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三角函数、解三角形
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
x|x∈R
定义域
R
R
π 且 x≠ ＋ 2 kπ，k∈Z
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三角函数、解三角形
函数 值域
y＝sin x
y＝cos x
2π ____
无
π ___
2π
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三角函数、解三角形
3.函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图 象的步骤
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三角函数、解三角形
1 1． 函数 y＝ 2sin x－1
π k x|x≠(－1) · ＋kπ，k∈Z 6 ． 的定义域是__________________________
2 1 2 1 － ＋ ， ＋ 2 2 2 2 ． 的值域是_________________
1 1 1 1 2 [解析] y＝ sin 2x＋sin x＝ sin 2x－ cos 2x＋ 2 2 2 2 π 1 2 2 1 2 1 ＝ sin2x－4 ＋ ∈－ ＋ ， ＋ . 2 2 2 2 2 2
[解析] 因为
π f(x)＝2sinωx＋6 ，T＝π，
π π π 所以 ω＝2，由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ 得， 2 6 2
π π f(x)的单调递增区间是kπ－3，kπ＋6 ，k∈Z.
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三角函数、解三角形
1 5．函数 y＝ sin 2x＋sin2x，x∈R 2
π － ＋ 2 π kπ， ＋kπ 2
(k∈Z)上递增
(k∈Z)上递减
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三角函数、解三角形
函数
y＝sin x π x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2
y＝cos x x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1；
y＝tan x
最值
时，ymax＝1；
π x＝π＋2kπ(k∈Z) x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 时，ymin＝－1 时，ymin＝－1 奇函数 偶函数
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三角函数、解三角形
2．必会的 2 种方法 (1)三角函数单调区间的求法 先把函数式化成形如 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本 三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间． (2)求三角函数值域(最值)的方法 ①将所给函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析 ωx＋φ 的 范围，结合图象写出函数的值域； ②换元法： 把 sin x(cos x)看作一个整体， 化为二次函数来解决．
π 5π 故所求函数的定义域为3＋2kπ， 6 ＋2kπ(k∈Z)．
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三角函数、解三角形
(3)y＝2cos2x＋5sin x－4＝2(1－sin2x)＋5sin x－4 ＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－2sin
5 2 9 x－ ＋ . 4 8
所以
π π sin6x－3 ∈－
3 ，1. 2
，所以 y － 3 ， 2 所以 y∈ max＋ymin＝2－ 3.故填 2－ 3.
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三角函数、解三角形
1 sin x> ， 2sin x － 1>0 ， 2 (2)要使函数有意义，必须有 即 1 1－2cos x≥0， cos x≤ ， 2 5π π 6＋2kπ<x< 6 ＋2kπ， 解得 (k∈Z)， π＋2kπ≤x≤5π＋2kπ 3 3 π 5π 即 ＋2kπ≤x＜ ＋2kπ(k∈Z)． 3 6
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三角函数、解三角形
4．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直 线 y＝2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f(x)的单调递增区间
π π kπ－ ，kπ＋ ，k∈Z 3 6 是______________________________________ ．
π 5π f(x)＝2sin3x＋ 6 ⇒f(－1)＝2.
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三角函数、解三角形
5．在同一坐标系中，y＝sin x 与 y＝cos x 的所有交点中，最近 2 π ＋2 ． 的两个点的距离为________
[解析] 如图，取相邻的两个交点
π A ， 4
5π 2 2 ，B ，－ ， 2 2 4
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三角函数、解三角形
1． 函数
3π π kπ－ ，kπ＋ ，k∈Z π 4 4 f(x)＝tanx＋4 的单调增区间为____________________ ．
π π π [解析] 令 kπ－ <x＋ <kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2 3π π 解得 kπ－ <x<kπ＋ ，k∈Z， 4 4 所以函数
无
奇偶性
奇函数
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三角函数、解三角形
函数 对称中心
y＝sin x (kπ，0)(k∈Z)
kπ ，0(k∈Z) 2
y＝cos x
π ＋kπ，0 2
y＝tan x
kπ ，0(k∈Z) 2
(k∈Z) 对称轴方程 最小正周期 x＝kπ(k∈Z)
1 π [解析] 由 2sin x－1≠0 得 sin x≠ ，故 x≠ ＋2kπ 2 6 5 π k 且 x≠ π＋2kπ(k∈Z)，即 x≠(－1) · ＋kπ(k∈Z)． 6 6
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三角函数、解三角形
2．(2017· 江苏省重点中学领航高考冲刺卷(三))若函数 f(x)＝
π π 5cos2ωx－12的最小正周期为 ，则 3
π π π π [解析] 由－ ＋kπ< x－ < ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 π π 5 得－ ＋kπ< x< π＋kπ，k∈Z， 6 2 6 1 5 即－ ＋2k<x< ＋2k，k∈Z， 3 3
1 5 故函数的单调增区间为－3＋2k，3＋2k，k∈Z.
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第三章
第三章
三角函数、解三角形
(2)三角函数值域与最值的求法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形 式， 再求最值(值域)； ②形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数， 可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；③形如 y ＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x ±cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．
2018高考一轮复习文科数学 三角函数的图像和性质
高三（11）班高考数学第一轮复习
考点4 三角函数的对称性与奇偶性、周期性
1.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式 化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函 数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解. 2、对于函数 y A sin( x ) ,其对称轴一定经过图像的最高 点或最底点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断 直线x=x0或点（x0,0）是否是函数的对称轴或对称中心时，可通 过检验f(x0)的值进行判断.
π x|，③y＝cos2x＋6 ，
π 的所有函数为( C．①②③
C
)
A．②④
3π (3)函数 y＝1－2sin x－ 4 是( A ) 《新坐标》P46例3-1
2
B.①③④
D.①③
A．最小正周期为 π 的奇函数 π C．最小正周期为2的奇函数
B．最小正周期为 π 的偶函数 π D．最小正周期为2的偶函数
高三（8）班高考数学第一轮复习
复习十四 三角函数的图像与性质
高三（8）班高考数学第一轮复习
考纲要求 考情分析 从近两年的高考试题来看，对 三角函数图像和性质的考查一般以 基础题为主，难度不大，命题呈现 1.能画出 y＝sinx，y＝cosx，y ＝tanx 的图象，了解三角函数的周 期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在 区间[0,2π]上的性质(如单调性、最 大值和最小值以及与 x 轴的交点 出如下几点：1、研究三角函数必须 在定义域内进行，要特别关注三角 函数的定义域；2、求三角函数的单 调区间，要利用公式将三角函数式 化为一个角的一种函数的形式，再 利用整体换元的思想，通过解不等
高三（8）班高考数学第一轮复习
例2、求下列函数的值域. (1)(2016全国卷Ⅱ)
三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第五讲三角函数的图象与性质课件
直线 x＝π6对称，则函数 g(x)＝sin x＋a cos x 的图象( )
A.关于点π3，0对称
B.关于点23π，0对称
C.关于直线 x＝π3对称
D.关于直线 x＝π6对称
解析：因为函数 f(x)＝a sin x＋cos x(a 为常数，x∈R)的图象
关于直线 x＝π6对称，
所以 f(0)＝fπ3，所以 1＝ 23a＋12，a＝ 33，所以 g(x)＝sin x＋
3 3 cos
x＝2
3
3 sin
x＋π6，函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＋π6＝
kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π3(k∈Z)，当 k＝0 时，对称轴为直线 x＝π3，
所以函数 g(x)＝sin x＋a cos x 的图象关于直线 x＝π3对称；函数 g(x) 图象的对称中心为 x＋π6＝kπ(k∈Z)，即 x＝－π6＋kπ(k∈Z)，点π3，0 和23π，0都不是对称中心.
答案：56π
考点三 三角函数的单调性 考向 1 求三角函数的单调区间 通性通法：三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为 y＝A sin (ωx＋φ)或 y＝A cos (ωx＋φ)的形式， 若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数.
(2)根据 y＝sin x 和 y＝cos x 的单调区间及 A 的正负，列不等 式求解.
即 φ＝56π＋kπ，k∈Z， 又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝56π.
∴f(x)＝3sin 2x＋π2＋1＝3cos 2x＋1， 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z 得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f(x)图象的对称中心为4π＋k2π，1，k∈Z.
答案：56π
π4＋k2π，1，k∈Z
(2)已知函数 f(x)＝a sin x＋cos x(a 为常数，x∈R)的图象关于
三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)
三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值 当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期 最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性 奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增； 在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增； 在]2,2[πππ+k k 上单调减 对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。
数学一轮文科复习课件三角函数的图像和性质
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21
• 第(2)问中平移图象使这个函数为偶函数 是本题考查的重心，试题设计的使解题方
向有选择的余地，一是借助于直观的函数 图象，根据偶函数图象关于y轴对称解决， 二是根据偶函数的定义通过g(x)＝g(－x) 对任意x恒成立，在得到的恒等式中不含x 的部分必须为0，求出m值．试题设计步 步深入，是一道考查三角函数图象与性质 的优秀试题.
(2)先求出 ωx＋φ 在[－2π，0]上的范围，然后根据单调性 求解．
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16
变式迁移 1 用五点作图法画出函数 y＝ 3sin2x＋cos2x的图象．
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17
【例 2】 (1)已知函数 y＝－sin2x＋ 3sinx＋54，求其取得 最大值和最小值时的 x，并说出最大值和最小值是什么；
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12
4．函数 y＝cos(x＋π3)，x∈(0，3π]的值域是________．
解析：∵0<x≤π3，∴π3<x＋π3≤23π， 又 y＝cosx 在[0，π]上是减函数， ∴cos23π≤cos(x＋π3)<cos3π， 即－12≤y<12.
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13
探 究 热 点
(2)若 x∈[－π3，π4]，求函数 f(x)＝co1s2x＋2tanx＋1 的最值及 相应的 x 值．
• 思路分析： • (1)式可以看做关于 sinx 的二次函数，故可以用配方法解决，需
要注意 sinx 的有界性； • (2)式切化弦后不好处理，结合式子特点，可把 1 换成 sin2x＋
cos2x，统一为关于 tanx 的二次函数求最值，这里要注意 x 有范 围限制，可由其确定 tanx 的取值范围．
高三数学一轮复习精品课件1：三角函数的图像与性质PPT共38页
高三数学一轮复习精品课件1：三角函 数的图像与性质
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
பைடு நூலகம்
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
2018年高考数学总复习 高考研究课(三)三角函数的1个必考点-函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质课件 理
——函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质
[全国卷5年命题分析]
考点 y＝Asin(ωx＋φ)图 象变换 由图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ)的 性质
考查频度
考查角度
5 年 3 考 图象变换求平移单位
5 年 1 考 已知图象求解析式 已知图象或图象变换后
(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上 的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．
[即时演练]
1．(2017·山东师大附中一模)为了得到函数 y＝sin2x＋π3的图象，只
要将 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点
()
A．向左平移
π 3
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
角度三：图象与性质的综合问题 3．已知函数 f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)先将 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象 上各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝g(x) 的图象，若函数 y＝g(x)在区间π2，134π上的图象与直线 y＝a 有 三个交点，求实数 a 的取值范围．
[即时演练]
1．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为 4，最小值
为 0，最小正周期为π2，直线 x＝π3是其图象的一条对称轴，则下
面各式中符合条件的解析式为
()
A．y＝4sin4x＋π6
B．y＝2sin2x＋π3＋2
C．y＝2sin4x＋π3＋2
x
0
π 5π 2π 6 12 3
11π 12
2018高考数学文科一轮复习讲义 8.3 第三节 三角函数的图象与性质
第三节 三角函数的图象与性质【考点点知】知己知彼，百战不殆考点一: 正余弦函数的图象与性质1.正弦函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象．x2. 正弦曲线与余弦曲线．3. “五点法”作草图．正弦曲线，它们是（0，0），（2π，1），（π，0），（23π，－1），（2π，0）；对于余弦曲线，它们是（0，1），（2π，0），（π，－1），（23π，0），（2π，1）.在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图.这种方法称为“五点法”5. 一般地，对于函数f （x ），如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f （x +T ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期.6. 奇、偶函数的定义.①奇函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），则称f （x ）为这一定义域内的奇函数. ②偶函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），则称f （x ）为这一定义域内的偶函数.7. 单调性.正弦函数在每一个闭区间 [－2π+2k π，2π+2k π]（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2π+2k π，23π+2k π]（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间 [（2k －1）π，2k π]（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，（2k +1）π]（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1.考点二: 正切函数的图象和性质1. 正切函数y =tan x ,x ∈（－2π,2π）的图象.2. 正切函数的性质.①定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，②值域：R ;当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x t a n,当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan ;③周期性：正切函数是周期函数,周期是,()k k Z π∈,其最小正周期是π;④奇偶性：()x x t a n t a n -=-奇函数.⑤单调性：在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增.⑥对称性:正切函数即是中心对称图形,点(,02k ππ+),(k Z ∈)和(,0)k π,(k Z ∈)都是对称中心．考点三: 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象1. 函数y =A sin x ，A >0且A ≠1与y =sin x 的图象间的关系.一般地，函数y =A sin x ，x ∈R （A >0且A ≠1）的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A 的变化而引起的，A 叫做函数的振幅，函数y =A sin x ，x ∈R 的值域是[－A ，A ]，最大值是A ，最小值是－A .2. 函数y =sin ωx 与y =sin x 的图象间的关系. 一般地，函数y =sin ωx （ω>0且ω≠1），x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T 的关系是T =ωπ2.3. 函数y =sin （x +ϕ）与y =sin x 图象间的关系. 一般地，函数y =sin （x +ϕ）（ϕ≠0），x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平行移动|ϕ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换.4. 函数y =A sin （ωx +ϕ）与y =sin x 图象间的关系. 一般地，函数y =A sin （ωx +ϕ）（其中A >0，ω>0），x ∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平行移动|ϕ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的ω1倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍（横坐标不变）.5. 过函数y =A sin （ωx +ϕ），x ∈R 的图象的最值点作x 轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx +ϕ=k π+2π，k ∈Z 解出，显然对称轴有无数条. 【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007宁夏卷理科3文科3)函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）思路透析:取0x =可得sin()3y π=-=, 可排除BD; 取6x π=,可得sin()033y ππ=-=, 可排除C, 故应选A. 点评:考试过程中少数考会按要求进行五点作图,大多数考生均利用特殊值法代入判断特殊点的位置来求解,错误情况也较为明显,其一代入的点坐标各函数的图象上不容易定位,其二由于图象已经经过了变换,其周期性的规律还容易快速定位.解题中对于坐标轴上的点坐标是首要考虑的位置关系,把握了这一点,再结合周期性规律即可得出结论.例 2.(基础·2007山东卷文科4)要得到函数sin y x =的图象，只需将函数xＡ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位思路透析:∵cos()sin()sin()3326y x x x ππππ=-=-+=+, ∴只需要cos()sin()36y x x ππ=-=+的图象向右平移6π个单位即可得函数sin y x=的图象,故应选A.点评:多数考生在平移方向上搞错,而选择D.少部分考看错题意而选择了C.在三角函数图象的平移问题中首先要搞清楚是哪个函数图象变换到哪个函数图象,分析清楚自变量变化的过程,灵活选择口决“左+右-上+下-”左右平移变换的仅为变量x ,上下变换时要在函数解析式的右边进行加减.例3.(综合·2007湖北八校联考)曲线sin 2(0,0)y M x N M N ω=+>>在区间[0,]πω上截直线4y =与2y =-所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是 （ ）A ．1,3N M =>B ．1,3N M =≤C ．32,2N M =>D ．32,2N M =≤ 思路透析:由已知可得在一个周期内两直线4y =与2y =-必在平衡位置对称, 即得4(2)12N +-==, 又由直线4y =在一个周期内截得的弦长不为0可得413M >-=, 故应选A.点评:通过作正弦函数的一个周期内的函数图象可以得到各个字母的参数值的变化趋势,对于曲线sin 2(0,0)y M x N M N ω=+>>中各个字母的几何意义通过图形也要能够正确的识别.例 4.(综合·2006江苏)为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路透析:把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，可得2sin(),6y x x R π=+∈, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）,可得R x x y ∈+=),63sin(2π, 故应选C.点评:先将解析式按步骤分解,再根据解析式的分解要求写出变换的步骤.本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换.要注意无论是平移变换还是伸缩变换均是对于变量“x ”而言的,要认真体会.例5.(创新探究·2007苏、锡、常、镇模)若函数()y f x =同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3x π=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．则()y f x =的解析式可以是A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=- 思路透析:由最小正周期为π,可排除A, 由图象关于直线3x π= 对称,可排除B, 由在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数可得答案应为C. 点评:在三角恒等变换的复习中，可以引导考生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导考生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练.例6.(创新探究·2008华南师大附中综合测试二) 已知函数)0(cos sin )(>++=b x c x b a x f 其中的图象经过点A （0，1）、B （1,2π）. 当]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为.122- （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）由x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f 的图象. 思路透析:（Ⅰ）∵函数图象过点A （0，1）、B （2π，1） ⎩⎨⎧=+=+②①1 1b a c a ∴b=c ∴)0( )4sin(2 cos sin )(>+=++=b x b a x b x b a x f π∵当.122)(]2,0[-∈的最大值为时，x f x π∴1222-=+a b ③ 联立②③得 ⎩⎨⎧=-=21b a 1)4s i n (22)(-+=πx x f （Ⅱ）①由x y sin =图象上所有点向左平移4π个单位得到)4sin()(π+=x x f 的图象②由)4sin()(π+=x x f 的图象上所有点的纵坐标变为原来的22倍，得到 )4sin(22)(π+=x x f 的图象③由)4sin(22)(π+=x x f 的图象上所有点向下平移一个单位，得到1)4sin(22)(-+=πx x f 的图象点评:近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)利用正弦线端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确.取6的倍数最为适宜，它既保证了点的个数足够多，又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点.(2)在区间[0，2π]上，正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.(3)把“ωx +ϕω>0”，视为一个整体，利用基本初等函数的性质去研究函数，是化未知为已知的化归思想的具体应用，是研究函数问题的重要方法.(4)求三角函数的二次型最值，要注意对称轴与给定区间的关系，当对称轴在给定的区间内时，在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；当对称轴不在给定的区间内时，在区间的两个端点处取最值.(5)周期函数的理解要把握以下几点：①以T （T ≠0）为周期的函数f （x ），对于定义域D 内的任意一个x ，x +T 也必属于D ，否则f （x +T ）没有意义，因此，若某一周期函数的周期T >0，则其定义域无上界；若T <0，则其定义域必无下界.②周期函数与周期的定义中，“当x 取值定义域内的每一个值时”的“每一个”是指定义域内的所有x 值，如果存在一个x 0，使得f （x 0+T ）≠f （x 0），那么T 就不是函数f （x ）的周期. ③对于一个周期函数f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f （x ）的最小正周期.今后涉及到的周期，如未加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.对于某些周期函数，不一定存在最小正周期.(6)奇、偶函数的图象特征.①奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形，则这个函数是奇函数，即若f （x ）为奇函数，（x ，f （x ））在它的图象上，（－x ，－f （x ））也在它的图象上，也就是说，若f （x ）是奇函数，把f （x ）的图象绕原点旋转180°后，曲线与f （x ）的图象重合.②偶函数的图象关于y 轴对称，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.即若f （x ）是偶函数，（x ，f （x ））在它的图象上，（－x ，f （x ））也在它的图象上，也就是说，若f （x ）是偶函数，把f （x ）的图象沿y 轴对折，曲线与f （x ）的图象重合.(7)移图与移轴是相对的，把图象向右（左）平移ϕ（ϕ>0）个单位，相当于把y 轴向左（右）平移ϕ（ϕ>0）个单位；把图象向上（下）平移k （k >0）个单位，相当于把x 轴向下（上）平移k （k >0）个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象.2.学以致用:(1)函数22cos y x =的一个单调增区间是 A ．(,)44ππ-B ．(0,)2π C ．3(,)44ππ D ．(,)2ππ (2)已知函数x x x f sin )(⋅=的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若)2,2(,21ππ-∈x x 且)()(21x f x f <，则（ ）A ．1x ＞2xB ．1x ＋2x ＞0C ．1x ＜2xD ．2221x x <(3)要得到y x 的图象，只需将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的( )A.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(4)已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 答案:(1)D 解析: 22cos cos21y x x ==+, 令222,k x k k Z πππ-≤≤∈,解之得,2k x k k Z πππ-≤≤∈, 取1k =可得函数的单调增区间为[,]2ππ, 故应选D.(2)D 解析:x x x f sin )(⋅= 是偶函数, ∴选取如下图象：当2<<x 时,有,21x x <则12()()f x f x <当12120,()()2x x x f x f x π-<<><时有则而题意),2,2(,21ππ-∈x x 且)()(21x f x f <,则应有2221x x <,故选D. (3)C 解析:cos y x =的周期是24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期的2倍，从周期的变化上知道横坐标应该伸长.排除A 、B.24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长2倍后变成了14y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将y x 化成正弦形式为22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据口诀“左加由减”得2y 由1y 向右移动4π.本题答案选C(4)解析:（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 3.易错分析:(1)图像变换要特别注意是“变量”的变化，而不是角的变化.(2)图像变化时,要注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换的差异. (3)求三角函数式的值域或最值时，要特别注意三角函数本身的有界性.(4)求三角函数式的最小正周期时,要尽可能的化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.判断函数的奇偶性,要首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数不具有奇偶性.(5)求三角函数的最小正周期和单调区间,要注意等价变换和化归思想的运用.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )A sin()6y x π=+ B.sin(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.cos(2)6y x π=-2.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 ( )A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移12π D ．向右平移12π 3.函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4.函数)24sin(lg x y -=π的单调增区间是（ ）A ．)(]8,85(Z k k k ∈--ππππB ．)()8,8[Z k k k ∈+-ππππ()y f x = C ．)(]8,83(Z k k k ∈--ππππD ．)()83,8[Z k k k ∈+-ππππ 5.将函数y =sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ）A ．76π B ．2π C ．6π D ．3π6.已知函数()f x 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是 ( )A ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃D ．(3,)(0,1)(1,3)2π--⋃⋃二、填空题:7.函数),(cos sin 2ππ-∈+=x xx y 有最 值是 .8.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________9.若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数,则有序实数对(,a b )可以是 . (写出你认为正确的一组数即可).10.规定一种运算：⎩⎨⎧>≤=⊗b a b ba ab a ,,，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .三、解答题:11.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，R x ∈. (Ⅰ)求函数()f x 图象的对称中心坐标； (Ⅱ)若11()25x f =，且π<<x 0，求x x sin cos -的值.12.已知集合}0,|||{><-=a ax a x x A ，若x x x f ππcos sin )(-=在A 上是增函数，求a 的取值范围．13.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移１个单位可得()y f x =的图象，又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为３的等差数列，求()f x 的解析式，最小正周期和单调递减区间．14.如图，函数2cos()(y x x ωθ=+∈R ，π00)2>ωθ，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求θ和ω的值；（Ⅱ）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．【能力训练】参考答案 一、选择题:1. D2. A3. C4. C5. C6. B 二、填空题:7. 大458. 31<<k 9. (1,-1) (只要填满足0a b +=的一组数即可) 10. ]22,1[- 三、解答题: 11. 解析:)2cos 1(232sin 22cos 1)(x x x x f +++-=22cos 2sin ++=x x 2)42sin(2++=πx .令ππk x =+42 知 82ππ-=k x ， Z k ∈.故函数)(x f 的图象的对称中心的坐标为)2,82(ππ-k （Z k ∈）.（II ）由11()25x f =, 得1sin cos 5x +=, 平方得 242sin cos 25x x =- .又).,0(π∈x 故 0s i n>x ， 0cos <x∴7cos sin 5x x -==- 即7cos sin 5x x -=-. 12.解析:由||x a ax -<得ax x a ax -<-<,所以(1)(1)a x aa x a+>⎧⎨-<⎩.当01a <<时,(,)11a a A a a =+-; 当a ≥1时,(,)1a A a=+∞+,又()sin cos )4f x x x x ππππ=-=-的单调递增区间为13[2,2],()44k k k Z -+∈,显然,当a ≥1时,()f x 在A 上不可能是增函数, 因此, 当01a <<,要使()f x 在(,)11a a A a a =+-上是增函数,只有13(,)[,]1144a a a a ⊆-+-, 所以01314a a a <<⎧⎪⎨≤⎪-⎩,解得0a <≤37,故a 的范围为0a <≤37.13.解析:由已知有sin cos )y a x b x c x c ϕ=++=++． 而函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，所以得112a c c -+==即2221()2a b a b +=-+⇒=，故12||c a -=． 代入得2sin()3y a x c π=-+.经变换后有()2sin3f x a x c π=+．故()f x 最小正周期为6T =．当0a >时，则12c a -=，且()(1)sin3f x c x c π=-+．又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为３的等差数列，故曲线()y f x =与曲线3y =的相邻交点间的距离都相等． 故由三角函数图象的性质得直线3y =要么与曲线()y f x =相切，即过()y f x =的最高点或最低点，要么过曲线()y f x =的所有对称中心． 而又已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，故直线3y =与曲线()y f x =相切时只可能在最高点处相切．但此时公差为一个周期６，这与已知矛盾．又当sin03x π=时，310c a =⇒=>，此时的公差为半个周期３，这与已知相符合．故()2sin 33f x π=+．令33922,[6,6]()23222k x k k Z x k k k Z πππππ+≤≤+∈⇒∈++∈．故此时()f x 的单调递减区间为39[6,6]()22k k k Z ++∈．当0a <时，则12c a -=-，且()(1)sin 3f x c x c π=-+．同理当sin03x π=时，310c a =⇒=-<，此时的公差为半个周期３，这与已知相符合．故()2sin 33f x π=-+．令3322,[6,6]()23222k x k k Z x k k k Z πππππ-≤≤+∈⇒∈-+∈．故此时()f x 的单调递减区间为33[6,6]()22k k k Z -+∈．当0a =时，与已知矛盾．综合以上有()2sin33f x π=+或()2sin 33f x π=-+．14.解析:（Ⅰ）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+中得cos θ=， 因为π02θ≤≤，所以π6θ=． 由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===．（Ⅱ）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =．所以点P 的坐标为0π22x ⎛-⎝．又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=， 即02π3x =或03π4x =．。
2018年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标20三角函数的图象与性质理
2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标20三角函数的图象与性质 理[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，题目难度中等．一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( C ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．(2017·浙江模拟)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移 π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．3．(2017·辽宁模拟)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( B )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：由题可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B ．4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|＝π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( D )A ．1B ．12C ．22D ．32解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选D ． 5．(2017·河南郑州模拟)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( A )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，故|φ|min ＝π6.6．(2017·河南豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3为( D )A ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增B ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . 即φ＝k π－13π6，k ∈Z .又－π2<φ<π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选D ．二、填空题7．(2017·天津模拟)函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π22解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4.根据正弦曲线，得当2x －π4＝－π4时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最小值为－22.故f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最大值为22.8．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为1.解析：f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.9．把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.解析：把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.三、解答题10．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解析：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14.所以k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z .可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称．(1)求ω，φ的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，求f (x )的最大值与最小值，解析：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π，且 k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4， 函数f (x )的最小值为0.。