平面向量复习课
第二章平面向量小结复习课
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角
A
[0, ]
B C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC
首尾相接
四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中， a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB
共起点
在同一个平行四边形中把握： a , b , a b , a b 及其模的关系 D
a b，（a b) (a b)， a (b c)，(a+b)2
(3)已知向量a=(1，2)，b=(－3，4)，求a在b方向上的投影
(4) 已知向量a=(2,1),b=(3,x) , 若(2a-b)和b共线,则x= ； 若(2a-b)和b垂直,则x= .
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
《平面向量复习小结》 课件
2
2
2
2
2
1 4 e1 e 2 4 e1 e2 cos 60 4 1 4 11 1 7 2
∴
a 7
同理可得
b 7
a b 2e1 e2 3e1 2e2 6e1 e1 e 2 2 e2
7 a b 1 2 cos 2 7 7 ab
则 a · b =x1x2+y1y2
五、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1 x2 y1 y2 0 坐标表示
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ）a // b b a （a 0 ） 向量表示 （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中 a （x1，y1）， b （x2，y2）
3、数乘向量的运算律： a a （ ） a a a
（a b） a b
a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
4、共线向量基本定理
有且只有一个
5、平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一个平面内的两个 不共线向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2使 a 1 e1 2 e2
( b 2 a ) b ，则 a 与 b 的夹角是( ) （A） 30 （B） 60 （C） 120
（D） 150
2
分析:∵ ( a 2 b ) a 0 ,∴ a 2a b 即 a 2a b ① ∵ ( b 2 a ) b 0 ,∴ b 2a b 即 b 2a b ② ∴由①②可得 a b 2a b
高考数学全程一轮复习第五章平面向量与复数第二节平面向量基本定理及坐标表示课件
1)．故选D.
(2)如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C在 AB上，且
∠COB＝30°，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝________．
答案： 3
题后师说
(1)利用向量的坐标运算解题，首先利用加、减、数乘运算法则进行
运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一
答案：D
3．[2024·河南平顶山模拟]已知向量a＝(1，－1)，b＝(m2，m)，则m
＝－1是a∥b的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若a∥b，则m＋m2＝0，解得m＝－1或m＝0，则m＝－1是a∥b的充分不
必要条件．故选A.
4．[2024·江苏镇江模拟 ]在△ABC中，AB＝3AD，点E是CD的中
x2 y2
x2 y2
因为x2，y2中可能为0.
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)[2024·河北石家庄模拟]如图，四边形ABCD是平行四边形，
点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量AE，BF为基底表示向量AC，
则下列结论正确的是(
)
1
3
A．AC＝ AE + BF
5
3
B．AC＝ AE
(kb＋a)∥(b－a)，得(3k＋2)－(2k＋1)＝0，所以k＝－1.
角度二 利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 [2024·江西抚州模拟]已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的
4
延长线上，且|AP|＝ |PB|，则点P的坐标为________．
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课复习(向量基本定理)
)
2
A.9
答案:C
1
B.3
4
C.9
4
D.3
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解析:由题意知:G 是△ABC 的重心,延长 AG 与边 BC 交于点 D.∴
2
1
1
= 3 = 3 + 3 ,
又因为点 E 为 AB 边的中点,点 F 为 AC 边的中点,故
因为 = + ,
1
1
2
2
所以 n(a+b)= b+m - ,
-1
即(n-m)a+ +
2
b=0.
因为向量 a,b 不共线,于是有
1
1
- = 0,
+
-1
2
解得 m=n=3,所以 = 3 .
2
同理 = 3 .
所以 = = ,故 AR=RT=TC.
课前篇自主预习
一
二
二、平面上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
①ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);②ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).
(2)模长公式:设 a=(x,y),则|a|= 2 + 2
(3)平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
共线,则 λ=(
)
A.-1
B.-2
C.-2 或 1 D.-1 或 2
答案:D
解析:∵A,B,C 三点共线,
《平面几何中的向量方法》复习教案与课后作业
6.4 平面向量的应用《6.4.1 平面几何中的向量方法》复习教案【自主预习】1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量m v是向量的数乘运算．(4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积．1．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [由条件知OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]2．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定A [由条件知∠BAC 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．]3．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________J.300 [W ＝F ·s ＝6×100×cos 60°＝300(J)．]4．已知三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(x ，y )的合力F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3的坐标为________．(－5,1) [由F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，∵F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，∴F 1＋F 2＝(5，－1)，即F 3＝(－5,1)．]【合作探究】[1．用向量法如何证明平面几何中AB ⊥CD?[提示] 法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③证明AB →·CD →的值为0；④给出几何结论AB ⊥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)，再计算AB →·CD →的值为0，从而得到几何结论AB ⊥CD .2．用向量法如何证明平面几何中AB ∥CD?[提示] 法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③寻找实数λ，使AB →＝λCD →，即AB →∥CD →；④给出几何结论AB ∥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)．利用向量共线的坐标关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到AB →∥CD →，再给出几何结论AB ∥CD .以上两种方法，都是建立在A ，B ，C ，D 中任意三点都不共线的基础上，才有AB →∥CD →得到AB ∥CD .【例1】(1)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·CA →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形(2)已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．[思路探究] (1)先由平行四边形法则分析AB →|AB →|＋AC →|AC →|的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由AB →|AB →|·CA→|AC →|＝12求∠BAC ，最后判断△ABC 的形状．(2)先建系设点P 坐标，再根据A ，P ，F 和C ，P ，E 分别共线求点P 坐标，最后求四边形APCD 的面积．(1)C[由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ，设AB →，CA →的夹角为θ，而AB →|AB →|·CA→|AC →|＝cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以∠BAC ＝π－π3＝23π，故△ABC 为等腰三角形．] (2)[解] 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )， AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)． 由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线， 得⎩⎨⎧4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.1．将本例(1)的条件改为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， ∴(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0， ∴CB →·(AB →＋AC →)＝0，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，∴AB →2－AC →2＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， ∴△ABC 是等腰三角形．2．将本例(2)的条件“BF ∶FC ＝2∶1”改为“BF ∶FC ＝1∶1”，求证：AF ⊥DE .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，则中点E (3,0)，F (6,3)， ∴AF →＝(6,3)，DE →＝(3，－6)， ∴AF →·DE →＝6×3＋3×(－6)＝0， ∴AF →⊥DE →，∴AF ⊥DE .用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．【例2RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．[思路探究][解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)， 则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )． 由RA →＝2AP →，得⎩⎨⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y .又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6， ∴⎩⎨⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．1．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程． [解] (1)设M (x ，y )是直线DE 上任意一点， 则DM →∥DE →，因为点D ，E 分别为边BC ，CA 的中点，所以点D ，E 的坐标分别为D (－1,1)，E (－3，－1)， DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， 所以(－2)(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，所以CN →·AB →＝0， 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， 所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．[1．向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？[提示] 用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 (1)一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．(2)设作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，如图所示．①求F 3的大小； ②求F 2与F 3的夹角．[思路探究] (1)求出合力、位移的坐标表示 →利用数量积求功(2)①由三个力处于平衡状态用F 1，F 2表示F 3 →用向量模的计算公式求F 3的大小②用F 1，F 2表示F 3→构造F 2·F 3→利用夹角公式求解(1)－40 [因为F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，所以合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)，AB →＝(－1,4)，则F ·AB →＝－1×8－8×4＝－40， 即三个力的合力所做的功为－40.] (2)[解] ①由题意|F 3|＝|F 1＋F 2|，因为|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝1＋4＋2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ 3.②设F 2与F 3的夹角为θ， 因为F 3＝－(F 1＋F 2)，所以F 3·F 2＝－F 1·F 2－F 2·F 2， 所以3·2·cos θ ＝－1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4，所以cos θ＝－32，所以θ＝56π.向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．2．一条宽为3km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头A ，B ，已知AB ＝3km ，船在水中最大航速为4 km/h ；问怎样安排航行速度，可使该船从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？[解] 如图所示，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸． 根据题意知AC ⊥AE ， 在Rt△ADE 和▱ACED 中， |DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED ＝90°，∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝23，3÷23＝0.5(h)，sin ∠EAD ＝12，∴∠EAD ＝30°.∴船实际航行速度大小为4 km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5小时．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．【课堂达标训练】 1．判断正误(1)若AB →∥CD →，则直线AB 与直线CD 平行．( ) (2)若△ABC 是直角三角形，则必有CA →·CB →＝0.( )(3)△ABC 中，若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为等边三角形．( )(4)|AB →|＝(x B －x A )2＋(y B －y A )2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u .又MP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]3．已知作用在点A 的三个力f 1＝(3,4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设终点为B (x ，y )，则(x －1，y －1)＝(8,0)， 所以⎩⎨⎧x －1＝8，y －1＝0，所以⎩⎨⎧x ＝9，y ＝1，所以终点坐标为(9,1)．]4．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] 以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(略)．设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a . 因为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a ，所以AD →·CE →＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .《6.4.1平面几何中的向量方法》课后作业[合格基础练]一、选择题1．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC ( ) A ．是正三角形 B ．是直角三角形 C ．是等腰三角形D ．形状无法确定C [由条件知CA →2＝CB →2，即|CA →|＝|CB →|，即△ABC 为等腰三角形．] 2．当两人提起重量为G 的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [由题意作出示意图，由|F |＝|G |知△AOC ，△BOC 都是等边三角形，所以θ＝120°.]3．在直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．4B [设BC 边的中点为M ，则12(AB →＋AC →)＝AM →，∴OP →＝OA →＋AM →＝OM →， ∴P 与M 重合， ∴|AP →|＝12|BC →|＝1.]4．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5C [F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，则|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝ 5.]5．已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，DC ＝1，AB ∥DC ，则当AC ⊥BC 时，AD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [建立平面直角坐标系，如图所示．设AD ＝t (t ＞0)，则A (0,0)，C (1，t )，B (2,0)，则AC →＝(1，t )，BC →＝(－1，t )．由AC ⊥BC 知AC →·BC →＝－1＋t 2＝0，解得t ＝1，故AD ＝1.]二、填空题6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m ，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.1 500 3 [所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．]7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4.则点P 的轨迹方程是________．x ＋2y －4＝0 [OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4， ∴x ＋2y －4＝0，故填x ＋2y －4＝0.]8．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．30 [BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →. 又因为AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0， 所以四边形ABCD 为矩形，所以|AB →|＝42＋(－2)2＝25， |BC →|＝32＋62＝35，所以S ＝|AB →||BC →|＝25×35＝30.]三、解答题9．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．[解] 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6， 即AC ＝ 6.10．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离(g 取9.8 N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？[解] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F·s ＝|F ||s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 的方向与位移方向垂直，不做功， 所以W N ＝F N ·s ＝0. 重力G 对物体所做的功为W G ＝G·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．[等级过关练]1．△ABC 中，若动点D 满足CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝0，则点D 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心A [取AB 的中点E ，则CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＋2AB →·CD →＝2CE →·BA →＋2AB →·CD →＝2AB →·(CD →－CE →)＝2AB →·ED →＝0，∴AB ⊥ED ，即点D 在AB 的垂直平分线上， ∴点D 的轨迹一定通过△ABC 的外心．]2．河水的流速为5 m/s ，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )A ．13 m/sB ．12 m/sC ．17 m/sD ．15 m/sA [设小船的静水速度为v 1， 河水的流速为v 2，静水速度与河水速度的合速度为v ，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即静水速度v 1斜向上游方向，河水速度v 2平行于河岸， 静水速度与河水速度的合速度v 指向对岸，即静水速度|v 1|＝|v |2＋|v 2|2＝122＋52＝13(m/s)．]。
平面向量复习-数量积点评 高中数学评优课
《平面向量的复习——数量积》教学点评本节课是向量数量积的复习课，向量的数量积是高中向量这一章的重点内容，并且有着广泛的应用。
本节课注重知识的回顾、强调方法的提炼、体现应用知识解决问题能力的培养。
首先通过解决一组与向量数量积有关的数学问题，对向量数量积相关知识进行复习，通过学生充分的思考、交流、辨析达到对相关知识理解的目的；其次通过典型例题的解决，提炼出求数量积的方法，通过学生的体验、感悟、思考，达到对求数量积方法的掌握；再通过对典型例题的变式得到新问题，而通过对新问题的解决，加深对数量积的理解和掌握，通过变式思考、拓展研究，在理解和掌握的基础上达到灵活应用；通过用数量积求距离、求角、判定共线、证明线线垂直及代数中的求范围等问题的分析思考和求解，提高应用知识解决问题的能力。
课堂教学能根据学生的现有水平，通过解决问题链调动学生的学习积极性；通过对问题的变式，提高分析问题、解决问题的能力；通过学生自己的思考与反思获得对概念的深刻理解，提高学习效率；通过提出问题并解决问题的教学环节，提高思维的深刻性、灵活性、敏捷性，从而提高逻辑思维能力；通过对问题的探究满足学生的求知欲，提高探究水平。
本节课注重数学思想方法的教学，注重沟通代数与几何的联系。
本节课学生经历了以下几个环节：“做”中“理”——问题导入，梳理知识；“解”中“结”——一题多解，总结方法；“变”中“悟”——变题悟法，训练思维；“用”中“升”——应用感悟，任务后延。
使学生对向量的数量积有更深刻地认识，同时，也提高了学生运用向量解决综合问题的能力。
人教A版高中数学必修第二册精品课件 复习课 第1课时 平面向量及其应用
=
| - || + |
+
λ= .
答案:(1)B
(2)
=
-
+
=
,
专题四
余弦定理、正弦定理的综合应用
【例4】 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a=7,b=8,cos B= -.
(1)求A;
(2)求AC边上的高.
=
,
=λ
,则
λ 的值为
.
,
解析:∵ =
∴ =
,
=
,
=2
.
,
由向量加法的平行四边形法则可知, = + ,
∴=λ=λ( + )=λ +
∵E,F,K 三点共线,∴λ+2λ=1,∴λ=.
设所求向量的夹角为 θ(0°≤θ≤180°),
由题意可得
(-)·
cos θ=
|-|||
=
×
则向量 2a-b 与 a 的夹角为 45°.
答案:(1)C (2)2 (3)45°
=
,
1.平面向量数量积的两种求解方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即
a·
b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角).
=(16-9 )
=(16×62-9×42)=9,
故选 C.
(2)(方法一)|a+2b|= ( + )= + · +
高一数学平面向量复习课件
向量数量积的几何意义在于它表示了两个向量的长度和它们之间的夹角之间的关系。具体来说，当两个非零向量 的夹角为锐角时，它们的数量积为正；当夹角为直角时，数量积为零；当夹角为钝角时，数量积为负。
向量数量积的运算律
总结词
掌握向量数量积的运算律，包括 交换律、结合律和分配律。
详细描述
向量数量积满足交换律，即 a·b=b·a；结合律，即 (a+b)·c=a·c+b·c；分配律，即 (λa)·b=λ(a·b)，其中λ是标量。
向量积的性质
向量积的性质
1. 向量积的方向与两个向量的夹角和大小有 关，其方向垂直于两个给定向量所确定的平 面；2. 向量积的模长为|a×b|=|a||b|sinθ； 3. 向量积满足结合律但不满足交换律；4. 向量积可以用来表示向量的旋转关系。
性质的应用
在解析几何中，向量积可以用来解决与旋转 、速度和加速度有关的问题；在物理中，向 量积可以用来描述力矩、角速度等物理量。 通过理解这些性质和应用，学生可以更好地
向量积的运算律
向量积的运算律
交换律a×b=-b×a，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c。这些运算律与标量积 的运算律类似，但要注意向量积不满足结合 律。
运算律的理解
交换律表明向量积的方向与夹角有关，而分 配律表明向量积与向量的线性组合是可分配 的。这些运算律对于理解向量积的性质和计 算非常重要。
混合积的性质
非负性
向量a、b、c的混合积为非负数，当且仅当a、b、c三个 向量共面时取值为0。
线性性质
混合积满足线性性质，即对于任意标量m和n，有 $(mvec{a} + nvec{b}) cdot vec{c} = mvec{a} cdot vec{c} + nvec{b} cdot vec{c}$。
平面向量二轮复习教学设计
平面向量二轮复习教学设计引言：平面向量是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学竞赛中常考的内容之一。
为了帮助学生复习平面向量的知识并提升其应用能力，本文设计了一节针对平面向量的复习教学。
目标：在本节课中，我们的目标是复习和巩固平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的加法和减法、向量的数量积以及平面向量的基本运算规则。
同时，通过一些典型的习题和应用题，培养学生分析和解决问题的能力。
教学内容：1. 向量的基本概念和表示方法（15分钟）- 复习向量的定义：有大小和方向的量。
- 复习向量的表示方法：用有向线段表示。
2. 向量的加法和减法（20分钟）- 复习向量的加法和减法的定义。
- 给出几个示例，让学生进行计算和分析。
3. 向量的数量积（30分钟）- 复习向量的数量积的定义和性质。
- 解释数量积的几何意义和计算方法。
- 给出几个应用题，让学生进行计算和分析。
4. 平面向量的基本运算规则（20分钟）- 复习平面向量的基本运算规则：交换律、结合律、分配率等。
- 给出几个示例，让学生进行推导和计算。
5. 综合应用题（30分钟）- 准备一些综合应用题，让学生综合运用平面向量的知识解决实际问题。
- 强调问题分析和解决方法，引导学生思考和讨论。
教学方法：1. 理论讲解与示范：通过讲解向量的基本概念和运算规则，并通过示例演示计算方法和解题思路。
2. 互动讨论与群体合作：在讲解的过程中，引导学生积极回答问题，并鼓励学生相互交流和讨论。
3. 实际应用与综合训练：通过提供一些实际问题和综合应用题，让学生运用所学的平面向量知识解决问题，提升其应用能力。
教学评价：为了评价学生的学习效果和掌握程度，本节课可采用以下方式进行评价：1. 平时表现：包括学生在课堂上的表现、回答问题的积极性和参与度等。
2. 作业评价：布置一些与教学内容相关的练习题或作业，通过批改和讲解答案来评价学生的学习情况。
3. 小组合作评价：对学生进行小组合作评价，评估学生在群体讨论和合作中的表现和贡献。
二轮复习专题二微重点8平面向量的最值与范围问题课件(57张)
→ →→ (2)在平行四边形 ABCD 中，A→B ＋2→AD＝λ→AC，λ∈[ 2，2]，则 cos∠BAD
|AB| |AD| |AC| 的取值范围是__－__34_，__－__14___.
因为
→ AB →
＋2→A→D＝λ→A→C，且A→B＋A→D＝A→C，
|AB| |AD| |AC|
所以λt＋μt ＝1，即 λ＋μ＝t∈(0,1]. 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1].
考点二
求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最
大值为
A.4
√
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0， 即(x－3)2＋y2＝4， 则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝ x＋12＋y2＝ 8x－4， 当 x＝5 时， 8x－4取得最大值为 6，
12345678
6.(多选)(2022·武汉模拟)正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 的中点，如图， 点 P 是以 AB 为直径的半圆上任意一点，A→P＝λA→D＋μA→E(λ，μ∈R)，则 A.λ 的最大值为12
12345678
当且仅当|b|＝ 25时，等号成立，
因为〈a，b〉＝θ，θ∈[0，π]，
所以 sin θ＝ 1－cos2θ≤ 即 sin θ 的最大值为23.
1－59＝23，
12345678
4.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD
＝1，BC＝2，P 是线段 AB 上的动点，则|P→C＋4P→D|的
若向量c＝λa＋μb(λ＋μ＝1，λ，μ∈R)，且a·c＝b·c，则|c|的最大值为