高等数学-第8章 - (空间直线及其方程)

大一下高数下册知识点

高等数学下册知识点

第八章空间解析几何与向量代数

（一）向量线性运算

定理1：设向量a≠0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ,使

b＝λa

1、线性运算：加减法、数乘；

2、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；

3、利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb；

则 ),,(zzyyxxbabababa, ),,(zyxaaaa；

4、向量的模、方向角、投影：

1）向量的模：222zyxr；

2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA

3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

4）方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos

5）投影：cosPraaju,其中为向量a与u的夹角;

（二）数量积,向量积

1、数量积：cosbaba

12aaa 2ba0ba

2、向量积：bac

大小：sinba,方向：cba,,符合右手规则

10aa

2ba//0ba

运算律：反交换律 baab

（三）曲面及其方程

1、曲面方程的概念：0),,(:zyxfS

2、旋转曲面：

yoz面上曲线0),(:zyfC,

绕y轴旋转一周：0),(22zxyf

绕z轴旋转一周：0),(22zyxf

3、柱面：

0),(yxF表示母线平行于z轴,准线为00),(zyxF的柱面

4、二次曲面

1）椭圆锥面：22222zbyax

2）椭球面：1222222czbyax 旋转椭球面：1222222czayax

3）单叶双曲面：1222222czbyax

《高等数学》课程教学进度表(第二学期)

课程名称高等数学教材名称高等数学第五版

任课教师教材编著者同济大学数学系编

授课系班教材出版社高等教育出版社

每周节数 6 大纲规定时数 102 本学期计划时数 6×17＝102

第1周第七章：向量代数与空间解析几何.§5平面及其方程、§6空间直线及其方程

第八章：多元函数微分法及其应用. §1多元函数的基本概念

第2周 §2偏导数、§3全微分及其应用、§4多元复合函数的求导法则

第3周 §5隐函数求导、§6微分法在几何上的应用、§7方向导数和梯度

第4周 §9多元函数极值、习题课

第5周第九章：重积分.

§1二重积分的概念及性质、§2二重积分计算法、§3二重积分的应用

第6周 §4三重积分的概念及其计算、§5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

第7周第十章：曲线积分与曲面积分.

§1对弧长的曲线积分、§2对坐标的曲线积分、§3格林公式及应用

第8周 §4对面积的曲面积分、§5对坐标的曲面积分、§6高斯公式

第9周 §7斯托克斯公式、环流量与旋度、习题课

第10周第十一章：无穷级数.

§1常数项级数的概念和性质、§2常数项级数的审敛法

第11周 §3幂级数、§4函数展开成幂级数、§5函数的幂级数展开式的应用

第12周 §7傅里叶级数、§8正弦级数和余弦级数

第13周 §9周期为2L的周期函数的傅里叶级数、习题课

第14周第十二章：微分方程.

§1微分方程的基本概念、§2可分离变量的微分方程、§3齐次方程

第15周 §4一阶线性微分方程、§5全微分方程§6可降阶的高阶微分方程

第16周 §7高阶线性微分方程、§8常系数齐次线性微分方程

第17周 §9常系数非齐次线性微分方程、§11微分方程幂级数解法

第18周

高数第八章

第八章

第一节向量及其线性运算

重点：1.方向角与方向余弦

2.向量在轴上的投影

典型题目：

例7.已知两点M1(2，2，2)和M2（1.，3，0），计算向量21MM的模、方向余弦和方向角。

解：21MM=（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2），

|21MM|=2222)(-(1)(-1)=2211;

COSα=-21,COSβ=21,COSγ=-22;

α=π32,β=3π,γ=43π.

例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|=a，求.POMOAOArjOM方向上的投影在

解：记∠MOA=θ，有COSθ=31||||OMOA，

θθ于是OArjOMP=|3aθ||COSOA．

θ

马云赵振

第二节数量积向量积混合积

1. 两向量的数量积

a·b=│a││b│cos θ

θ为两向量间的角度

（1）a·a=│a│2

（2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然

（3）数量积满足交换律，分配率

结合律如下时才成立

(Λa)·b=Λ（a·b）

2. 向量积

a·b=│a││b│sin θ

（1）b×a=-a×b

a×b=0的充分必要条件是a平行于b

（2）满足分配率

结合律如下时才成立

（3）(Λa)×b=a×（Λb）=Λ（a×b）

用三阶行列式表示

i j k

a×b= │ ax ay az│

bx by bz

例题

1.已知三角形ABC的顶点分别是A（1,2,3）,B（3,4,5）,C（2,4,7），求三角形的面积

解：SABC=1∕2│c││b│sinA

=1∕2│c×b│

i j k

c×b= │ 2 2 2│=4i-6j+2k

高等数学第8章试题

高等数学

院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______

题号选择题填空题计算题证明题其它题型总分

题分 20 20 20 20 20 核分人

得分复查人

一、选择题（共 20 小题，20 分）

1、曲线20222zyxzyx在点(,,)011处的法平面方程为

（A）xyz0 （B）xy0

（C）20xyz （D）yz0

答：（）

2、设zxxy()1，则zx(.)11

(A) 1+ln2 (B) 4(1+ln2) (C) 4 (D) 8

答：( )

3、设函数zfxy(,)具有二阶连续偏导数，在点 Pxy000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx，则

（A）点 P0是函数z的极大值点（B）点 P0是函数 z的极小值点

（C）点 P0非函数z的极值点（D）条件不够，无法判定

答：（）

4、曲线xtytztt53734342,,在对应于 t12点处的切线与 zx平面的夹角为

（A）arcsin23 （B）arcsin13 （C）arccos23 （D）arccos13

答：（）

5、函数fxyxyxxx(,)arctan000不连续的点集为______。

高等数学第八章习题解答

1 / 19 习题8.1

1. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有Oxy平面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为(,)xy的电荷，且(,)xy在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q。

解：据题意，薄板区域D是Oxy平面上的有界闭域，(,)xy是定义在D上的面密度函数，那么用任意曲线把D分成n个可求面积的小区域12,,n，以i表示小区域的面积，这些小区域构成了D的一个分割T，在每个i上任取一点(,)ii，那么电荷Q即为D上的一个积分和1(,)niiiiQu。当d足够小时，1(,)(,)niiiiDQuuxyd

2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：

（1）221Dxyd，其中区域D是圆域221xy；

解：（1）在圆域221xy上以抛物面2221zxy为顶的曲顶柱体的体积。

（2）Dyd，其中区域D是三角形域0,0,1xyxy；

解：在三角形域D上以平面zy为顶的柱体的体积。

-1-0.500.51-1-0.500.5111.21.41.61.8200.20.40.60.8100.5100.20.40.60.81z轴x轴y轴

（1）（2）

3 设12231()DIxyd 其中D1{(x y)|1x1 2y2

又22232()DIxyd 其中D2{(x y)|0x1 0y2} 2 / 19 试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系

解 I1表示由曲面z(x2y2)3与平面x1 y2以及z0围成的立体V的体积

I2表示由曲面z(x2y2)3与平面x0 x1 y0 y2以及z0围成的立体V1的体积

第八章答案

高等数学(2)标准化作业题参考答案—第八章班级姓名学号

17 第八章空间解析几何与向量代数

第一节向量及其线性运算

一、填空题

1.点(1,2,3)在第Ⅴ卦限，点(2,3,1)在第Ⅲ卦限．

2.点(,,)xyz到xoy面、yoz面、xoz面的距离分别为z，x，y；到x轴、y轴、

z轴距离分别为22yz，22xz，22xy.

3.点(,,)abc关于yoz面的对称点是(,,)abc；与(,,)abc关于xoz面对称；关于原点的

对称点是(,,)abc．

4.点M的向径与x轴成45角，与y轴成60角，长度为6，若在z轴上的坐标是负值，

则点M的坐标为(32,3,3)．

提示：设(,,)OMxyz，2cos26xxr，32x；1cos26yyr，3y；由222coscoscos1，有1cos2，3z.

5.与向量(16,15,12)a平行，方向相反且长度为75的向量为(48,45,36)．

6．设11112222,,,,,MxyzMxyz,则12MM222212121()()()xxyyzz．

7.与向量(6,7,6)a平行的单位向量为676,,111111．

8.向量AB在x轴、y轴、z轴上的投影依次为44，，7，它的终点坐标为(2,1,7)B，

则起点坐标(2,3,0)．提示：若(,,)Axyz，则AB(4,4,7)(2,1,7)xyz.

9. 若,,,,,,xyzxyzaaaabbbb则ab=(,,)xxyyzzababab．

ba∥yxzxyzaaabbb．高等数学(2)标准化作业题参考答案—第八章班级姓名学号

(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

1 《高等数学(下册)》第八章练习题

一、填空题

1.________________ )sin(dzxyz则，设

2.设),cos(2yxz，则)2,1(xz

3.函数22)(6yxyxz的极值点为

4.设xyez，则dz

5.设yzlnzx，则zxz

二、选择题

)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、yxyxyxf

2、),(yxf在点),(00yx处偏导数),(),(0000yxfyxfyx、存在是),(yxf在该点连续的( ).

(a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。

3、设)2ln(),(xyxyxf，则＝（）)1,1(xf.

（A），31 （B），31 （C），65 （D）.65

三、计算题

方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132xzxy

2、设),(yxzz是由方程0),(zyzxF确定的隐函数，F具有一阶连续偏导数，且,0vuFF其中,,zyvzxu求.,yzxz

3、求曲面3222zxzyx在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。

4、设,222zyxeu而yxzsin2,求xu.

5、求曲线tzeyextt,,,对应于0t点处的切线和法平面方程。

6、求函数)4(2yxyxz在闭域4,0,0yxyx上的最大值及最小值。 2 7、设2cos2z(yx21),求xz和yz.

同济高等数学下册课后题答案详解

第8章第1节向量及其线性运算

习题8—1

11,12,15,17,18

第8章第2节数量积、向量积、混合积

习题8—2

3,4,6,7,9,10

第8章第3节曲面及其方程

习题8—3

2,5,7,9,

10(1)(2)(3)(4)

第8章第4节空间曲线及其方程

习题8—4

3,4,7,8

第8章第5节平面及其方程

习题8—5

1,2,3,5,9

第8章第6节空间直线及其方程

习题8—6

1,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12,

13,15

第8章总复习题

总复习题八

1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),

15,17,19,20

第9章第1节多元函数基本概念

习题9—1

2,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8 第9章第2节偏导数

习题9—2

1(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2),

9(1)

第9章第3节全微分

习题9—3

1(1)(2)(4),2,3,5

第9章第4节多元复合函数的求导法则

习题9—4

2,4,6,7,8(1)(2),10,11,

12(1)(4)

第9章第5节隐函数的求导公式

习题9—5

1,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)

第9章第6节多元函数微分学的几何应用

习题9—6

3,4,6,7,9,10,12

第9章第7节方向导数与梯度

习题9—7

2,3,5,7,8,10

第9章第8节多元函数的极值及其求法

习题9—8

1,2,5,6,7,9,11

第9章第9节二元函数泰勒公式

习题9—9

1,3

第9章总复习题

总复习题九 1,2,3,5,6,8,9,

12,15,16,17,20

第10章第1节二重积分的概念与性质

习题10—1

2,4,5

第10章第2节二重积分的计算法

习题10—2

1(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16

高等数学下第八章习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用

1、求下列函数的定义域：

(1) yxz; （2）)12ln(2xyz;

解:0y且 0yx 解:012|),(2xyyxD

得 D =yxyyx,0|,

(3) 22arccosyxzu; (4) 221)ln(yxxxyz.

解:022yx且22yxz1 解:010,022yxxxy

得 0,|),,(22222yxyxzzyxD. 得 1,,0|),(22yxxyxyxD

2、已知函数vuwwuwvuf),,(，试求: ).,,(xyyxyxf

解: xxyxyyxxyyxyxf2)()(),,(

3、设,),(,),(2222yxyxyxyxf求：]),,([2yyxf.

解: 4222422)(),(]),,([yyxyyxyyxf

4、求下列极限：

（1） 2201)ln(limyxexyyx.2ln01)1ln(220e

（2）11lim00xyxyyx2)11(lim00xyxyxyyx;

（3）yxyyx)sin(lim02=221sinlim02xxyxyyx;

（4） 22)()cos(1lim222200yxyxeyxyx22422sin2lim2222222200yxyxeyxyxyx.0021

5、证明 2222200)(limyxyxyxyx不存在.

证明若点),(yxP沿直线kxy趋于0,0，则

同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何

. . . .

1 / 61 第五篇向量代数与空间解析几何

第八章向量代数与空间解析几何

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.

本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分容.

第1节空间直角坐标系

1.1 空间直角坐标系

用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.

1.1.1 空间直角坐标系

过定点O，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以O为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z轴，当右手的四指从x轴的正向转过2角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz直角坐标系，点O叫做坐标原点.

图8-1

在Oxyz直角坐标系下，数轴Ox,Oy,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy，yOz，zOx，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.

y

x z

O . . . .

2 / 61

图8-2

1.1.2 空间点的直角坐标

设M为空间中的任一点，过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x轴、y轴和z轴依次交于A、B、C三点，若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，于是点M就唯一确定了一个有序数组(, , )xyz，则称该数组(, , )xyz为点M在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，如图8-3．x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．