人教版八下数学第十七章 勾股定理 单元测试卷(含答案)
第十七章勾股定理单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题(每题3分,共30分)1.下列几组数中,不能作为直角三角形三边长度的是( )A.1.5,2,2.5B.3,4,5C.5,12,13D.20,30,402.在平面直角坐标系中,点P(3,4)到原点的距离是( )A.3B.4C.5D.±53.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5错误!未找到引用源。
cmC.5.5 cmD.1 cm4.已知四个三角形分别满足下列条件:①一个内角等于另两个内角之和;②三个内角度数之比为3∶4∶5;③三边长分别为7,24,25;④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知直角三角形两边的长分别为3和4,则此三角形的周长为( )A.12B.7+错误!未找到引用源。
C.12或7+错误!未找到引用源。
D.以上都不对6.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN的长为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
7.如图,直线l上有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5和11,则b的面积为( )A.4B.16C.22D.558.如图是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是30 cm,每个台阶的高度都是15 cm,则A,B两点之间的距离等于( )A.195 cmB.200 cmC.205 cmD.210 cm9.如图是一个圆柱形的饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤1310.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D点,M,N分别是AC,BC上的动点,且∠MDN=90°,下列结论:①AM=CN;②四边形MDNC的面积为定值;③AM2+BN2=MN2;④NM平分∠CND.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④二、填空题(每题3分,共30分)11.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,BC=24,则AC的长为__________.12.命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是__________.13.在△ABC中,若AB=13,BC=12,AC=5,则△ABC的面积为__________.14.已知△ABC是等边三角形,AB=4 cm,则BC边上的高AD=__________.15.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系错误!未找到引用源。
+|a-b|=0,则△ABC的形状为__________.16.如图,在平面直角坐标系中,将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为__________.17.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为__________.18.如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是__________.19.如图,圆柱形容器高18 cm,底面周长为24 cm,在容器内壁离容器底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿2 cm 与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.20.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300 m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直走400 m到达梅花阁C,则点C的坐标是_________.三、解答题(26,27题每题10分,其余每题8分,共60分)21.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AD=12,BD=16,CD=5.(1)求△ABC的周长;(2)判断△ABC是否是直角三角形.22.如图,在一次夏令营活动中,小明坐车从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了100错误!未找到引用源。
km到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了100 km到达目的地C点,求出A、C两点之间的距离.23.若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ABC 的形状.24.“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN上限速60千米/时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由(参考数据:错误!未找到引用源。
≈1.41,错误!未找到引用源。
≈1.73).25.如图,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1 cm的速度移动;点Q从点B开始沿BC 边向点C以每秒2 cm的速度移动,如果点P,Q同时出发,那么过3 s 时,△BPQ的面积为多少?26.如图,在梯形纸片ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=30°,折叠纸片使BC经过点D,点C落在点E处,BF是折痕,且BF=CF=8.求AB的长.27.如图,在一张长为7 cm,宽为5 cm的长方形纸片上,剪下一个腰长为4 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点和长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),求剪下的等腰三角形的面积.参考答案一、1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C解：根据等腰三角形的性质和勾股定理求出等腰三角形BC边上的高是4,再利用面积法求MN的长.7.【答案】B 8.【答案】A 9.【答案】A10.【答案】A解：∵∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°.∴AD=CD=BD=错误!未找到引用源。
AB.∵∠MDN=90°,∠ADC=90°,∴∠ADM=∠CDN.在△AMD和△CND中,∵错误!未找到引用源。
∴△AMD≌△CND(ASA),∴AM=CN,DM=DN,S△AMD=SMDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S△ADC,为定△CND,∴CM=BN,四边形值.∵CM2+CN2=MN2,∴BN2+AM2=MN2.当MN∥AB时,NM才平分∠CND.∴正确的是①②③.故选A.二、【答案】11.712.【答案】到角两边距离相等的点在角的平分线上13.【答案】30 14.【答案】2错误!未找到引用源。
cm15.【答案】等腰直角三角形解：由题意知:错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。
∴△ABC为等腰直角三角形.16.【答案】(10,3)17.【答案】(错误!未找到引用源。
)n-118.【答案】错误!未找到引用源。
解：在网格中求三角形的高,应借助三角形的面积求解.以AC,AB,BC 为斜边的三个直角三角形的面积分别为1,1,错误!未找到引用源。
,因此△ABC的面积为2×2-1-1-错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
;用勾股定理计算出BC的长为错误!未找到引用源。
,因此BC 边上的高为错误!未找到引用源。
.19.【答案】2020.【答案】(400,800)解：如图,连接AC.由题意可得OA=500 m,AB=300 m,BC=400 m.在△AOD 和△ACB中,AD=AB,∠ODA=∠ABC=90°,OD=CB,∴△AOD≌△ACB(SAS),∴AC=AO=500m,∠CAB=∠OAD.∵B,A,O在一条直线上,∴C,A,D也在一条直线上,∴CD=AC+AD=800m,∴C点坐标为(400,800).三、21.解:(1)∵AD⊥BC,∴△ABD和△ACD均为直角三角形.∴AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+DC2.∴AB=20,AC=13.∴△ABC的周长为20+13+16+5=54.(2)由(1)知AB=20,AC=13,BC=21,∵AB2+AC2=202+132=569,BC2=212=441,∴AB2+AC2≠BC2.∴△ABC不是直角三角形.22.解:∵AD∥BE,∴∠ABE=∠DAB=60°.又∵∠CBF=30°,∴∠ABC=180°-∠ABE-∠CBF=180°-60°-30°=90°.在Rt△ABC中,AB=100错误!未找到引用源。
km,BC=100km,∴AC=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=200(km), ∴A、C两点之间的距离为200 km.23.解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,∴a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5.∵32+42=52,即a2+b2=c2,∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形.24.解:此车没有超速.理由如下:如图,过C作CH⊥MN于H,∵∠CBH=60°,∴∠BCH=30°,又BC=200米,∴BH=错误!未找到引用源。
BC=100米,∴CH=错误!未找到引用源。
=100错误!未找到引用源。
米.∵∠CAH=45°,∠CHA=90°,∴AH=CH=100错误!未找到引用源。
米.∴AB=100错误!未找到引用源。
-100≈73(米).∴73÷5=错误!未找到引用源。
(米/秒).又∵60千米/时=错误!未找到引用源。
米/秒,错误!未找到引用源。
<错误!未找到引用源。
,∴此车没有超速.25.解:设AB=3x cm,则BC=4x cm,AC=5x cm,∵△ABC的周长为36 cm,∴AB+BC+AC=36 cm,即3x+4x+5x=36,解得x=3,∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm.∵AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°.过3 s时,BP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm),∴S△BPQ=错误!未找到引用源。
人教版数学八年级下册第17章 勾股定理 单元习题 含答案
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是（）A．a2﹣b2＝c2B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝7：24：252．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．20203．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．B．0.8 C．3﹣D．4．如图△ABC中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC的长是（）A．8 B．9 C．6 D．155．下列说法中，正确的个数有（）①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A．1个B．2个C．3个D．4个6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．7．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，则DC的长（）A．7 B．C．D．28．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（）m2的红地毯．A．21 B．75 C．93 D．969．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm10．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝12km，BC＝16km，则M，C两点之间的距离为（）A．13km B．12km C．11km D．10km二．填空题（共5小题）11．现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为．12．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．13．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是．15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．17．如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米．18．如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离．19．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DC．试判断△BEF的形状，并说明理由．20．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．21．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．D．3．C．4．C．5．D．6．D．7．B．8．C．9．D．10．D．二．填空题（共5小题）11．30cm．12．9013．45°．14．15．15．17．三．解答题（共6小题）16．（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．17．①将正面和左面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则△ABC为直角三角形，∵AC＝×8+×6＝8m，BC＝5m，∴AB＝＝＝m．故壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6m，垂直距离为7m，此时的最短距离为m③将下面和右面展开，则A到B的水平距离为11m，垂直距离为2m，此时的最短距离为5m．综上所述，壁虎爬到蚊子处的最短距离为米．18．作出B点关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点．因为B′D＝DB，所以B′D＝AC，∠B′DO＝∠OCA＝90°，∠B′＝∠CAO，所以△B′DO≌△ACO（ASA），则OC＝OD＝AB＝×6＝3米．连接OB．在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，所以OB2＝32+42＝52，即OB＝5（米），所以点B到入射点的距离为5米．19．【解答】证明：设正方形ABCD的边长为4x，∵E是边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DC，∴AE＝DE＝2x，DF＝x，CF＝3x，∴在Rt△EDF中，EF2＝ED2+DF2＝x2+（2x）2＝5x2；在Rt△AEB中，EB2＝EA2+AB2＝（2x）2+（4x）2＝20x2；在Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2＝（4x）2+（3x）2＝25x2；∴EF2+BE2＝BF2，∴△BEF是直角三角形．20．【解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）解：S阴影＝S Rt△ABC﹣S Rt△ACD＝×10×24﹣×8×6＝96．21．（1）如图1，当0＜t≤3时，BQ＝t，BC＝4，∴S＝×4×t＝2t；如图2，当3＜t≤5时，，AQ＝t﹣3，则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；（2）连接CQ，如图3，∵QP的垂直平分线过点C，∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；∴AQ＝3﹣＝．。
人教版数学八年级下册 第17章 勾股定理 单元复习试题 含答案
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列结论中，错误的有（）①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，将一副三角板如图放置，如果DB＝2，那么点E到BC的距离为（）A．﹣1 B．3﹣C．2﹣2 D．+13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，BC＝，则CD为（）A．B．2 C．D．34．如图，将△ABC放在正方形网格中（图巾每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．已知AB＝15，Rt△ABC的周长为15+9，则CD的长为（）A．5 B．C．9D．67．如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条8．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2＝（S1+S3）9．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺10．一云梯AB长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米，如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底端在水平方向滑动BB'的长是（）A．10米B．8米C．6米D．4米二．填空题（共6小题）11．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是（填序号）．12．已知，△ABC的三边长分别为：2，，，则△ABC的面积是．13．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．14．若8，a，17是一组勾股数，则a＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．AD平分∠BAC交BC边于点D，则BD＝．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q 从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t＝s 时，△DPQ是等腰三角形．三．解答题（共6小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．19．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．20．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．21．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．②若PQ＝，PR＝，QR＝3，直接．．写出六边形AQRDEF的面积为．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．2．解：作EF⊥BC于F，设EF＝x，则BF＝x，BE＝x，CE＝2x，则AC＝，AE＝﹣x，则（﹣x）2+（）2＝（2x）2，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝3﹣，x2＝﹣3﹣（舍去）．故点E到BC的距离为3﹣．故选：B．3．解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，根据勾股定理得：AB＝＝3，∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝2，故选：B．4．解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，AB2＝12+22＝5，∴AB＝AC，AC2+AB2＝BC2，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，故选：C．5．解：PB＝，∴PB＝PC，∴OC＝PC﹣1＝﹣1，∴点C的数为﹣1，故选：B．6．解：如图所示：∵Rt△ABC的周长为15+9，∠ACB＝90°，AB＝15，∴AC+BC＝9，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，∴（AC+BC）2＝（9）2，即AC2+2AC×BC+BC2＝405，∴2AC×BC＝405﹣225＝180，∴AC×BC＝90，∵AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝6；故选：D．7．解：∵＝，∴是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于；故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．9．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故选：D．10．解：由题意可得：AB＝25m，OB＝7m，则OA＝＝24（m），当云梯的顶端下滑了4米，则A′O＝24﹣4＝20（m），故OB′＝＝15（m），则BB′＝CB′﹣BC＝（15﹣7）m＝8m．答：它的底部在水平方向滑动了8米，故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵a2＝（b+c）（b﹣c）∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；故答案为：①②④．12．解：∵△ABC的三边长分别为：2，，，∴22+（）2＝（）2，∴△ABC是直角三角形，斜边为，∴△ABC的面积为＝，故答案为：．13．解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，∴AB2＝AD2+BD2＝100，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．又BD为△ABC的中线，∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．14．解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．15．解：作DE⊥AC于E，如图所示：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．∴DB⊥AB，AC＝＝10，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝DB，在Rt△AED和Rt△ABD中，，∴Rt△AED≌Rt△ABD（HL），∴AE＝AB＝6，∴CE＝AC﹣AE＝4，设DE＝DB＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BD＝3；故答案为：3．16．解：由运动知，AQ＝t，BP＝2t，∵AD＝8，BC＝10，∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）（cm），PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）（cm），∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，∴①当DP＝QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上，∴AQ+DQ＝BP，∴t+（8﹣t）＝2t，∴t＝，②当DQ＝PQ时，如图，Ⅰ、过点Q作QE⊥BC于E，∴∠BEQ＝∠OEQ＝90°，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABEQ是矩形，∴EQ＝AB＝6，BE＝AQ＝t，∴PE＝BP﹣BE＝t，在Rt△PEQ中，PQ＝＝，∵DQ＝8﹣t∴＝8﹣t，∴t＝，∵点P在边BC上，不和C重合，∴0≤2t＜10，∴0≤t＜5，∴此种情况符合题意，即t＝或s时，△DPQ是等腰三角形．故答案为：或．三．解答题（共6小题）17．解：根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．∵经检验，x＝6为原方程的解，∴原方程的解为x＝6．∴．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BH，CM为△ABC的高，∴∠BMC＝∠CHB＝90°．∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．∴∠BCM＝∠CBH．∴PB＝PC．（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5．∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝4．设AB＝x，则AH＝x﹣4．在Rt△ABH中，∵AH2+BH2＝AB2，∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．∴x＝10．即AB＝10．19．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，∴CD＝＝＝12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，∴AD＝＝＝16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．20．解：（1）∵O为原点，∴O坐标为（0，0），∵点C的坐标为（3，4），∴CO＝＝5，故答案为：5；（2）∵点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），E、F两点之间的距离可表示为|EF|＝，∴EF＝＝＝10．21．解：（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．22．解：（1）①如图所示：②△DEF的面积为4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8；（2）①如图3，△PEF的面积为6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2＝，△PQR的面积为×3×3＝，∴△PQR与△PEF面积相等；②六边形AQRDEF的面积为（）2+++（）2＝13+9+10＝32．故答案为：8；32．。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试题及答案
人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为()A．60海里B．45海里C．海里D．2．一直角三角形的三边分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为()A．13B．5C．4D．13或53．在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m)()．A．20m B．25m C．30m D．35m4．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是() A．15°B．30°C．45°D．60°5．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6B．8C．1813D．60136．如图1，一架梯子AB长为5m，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙3m，若梯子的顶端A下滑了1m（如图2），则梯子的底端在水平方向上滑动的距离BD为（）A．1m B．大于1m C．介于0m和0.5m之间D．介于0.5m和1m之间7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=5，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（）A．5+1B．5+1C．5+2D．5+38．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=23BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、6 (4π+㎝B、5cmC、35㎝9．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k>1），那么它的斜边长是（）A．2k B．k+1C．k2－1D．k2+110．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的D点沿正方体的盒壁爬到盒内的M点（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是（）A．25+B．13C29D．5评卷人得分二、填空题11．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______.12．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为____．13．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______．14．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为．现已知△ABC 的三边长分别为1，2，则△ABC 的面积为______．16．在△ABC ，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是_______.评卷人得分三、解答题17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：222AD AC BD =+.18．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A '，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19．已知：如图，四边形ABCD 中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13．试判断△ACD 的形状，并说明理由；20．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）222AD DB DE +=．21．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．22．如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．参考答案1．D【解析】试题分析：根据条件易知△APB是直角三角形，AP=30，∠A=60°，∠B=30°，运用三角函数定义易求BP．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．D【解析】【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3是直角边，x是斜边或2和x是直角边，3是斜边，运用勾股定理进行计算即可．【详解】当2和3是直角边，x是斜边时，则x2=4+9=13；当2和x是直角边，3是斜边，则x2=9-4=5．故选D．【点睛】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．3．B【解析】【分析】首先根据题意画出图形，题目已知条件是：已知旗杆AB高21m，目测点C到杆的距离CD 为15m，目高CE为1m.在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC即可.【详解】如图，已知AB＝21m，CD＝15m，CE＝1m，∵∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE＝1.在Rt△BCD中，∵∠CDB＝90°，CD＝15，BD＝AB－AD＝21－1＝20，∴BC25m，即目测点到杆顶的距离为25m.故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意正确画出图形是解题的关键.【解析】设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2-2ab=0，（a-b）2=0∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选C．点睛：本题考查了的是勾股定理，解答此题的关键是熟知勾股定理、直角三角形的性质及完全平方公式．5．D【解析】【分析】首先根据勾股定理，得：斜边=13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【详解】=13．所以斜边上的高=12×5÷13=60 13．故选D．【点睛本题考查了勾股定理．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．6．A【解析】解：图（1）中，AB=5m，BC=3m，由勾股定理得AC=4m．∵梯子下滑了1m，∴AE=1m，∴EC=3m，图（2）中，EC=3m，ED=5m，由勾股定理得CD=4m，所以梯子向外端下滑了1m．故选A．点睛：本题考查的是勾股定理的应用，要求熟练掌握．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且∴AB=2CD=5．∴AC2+BC2=5又Rt△ABC的面积为1，∴12AC•BC=1，则AC•BC=2．∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=9，∴AC+BC=3（舍去负值），∴AC+BC+AB=3+5，即△ABC的周长是5+3．故选D．考点：1.勾股定理2.直角三角形斜边上的中线．D、7cm8．B9．D【解析】试题分析：设斜边长为c，根据勾股定理得：c2＝(k2－1)2＋(2k)2＝k4－2k2＋1＋4k2＝k4＋2k2＋1＝(k2＋1)2，∴c＝k2＋1．故选D．点睛：本题考查了勾股定理，利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．10．D【解析】【分析】利用侧面展开图形成平面图形,再根据两点之间线段最短,勾股定理即可解答.【详解】解:得如图的侧面展开图，由题意得到Rt△NDM，DN=3，NM=4，线段DM的长为最短路径，DM=5=.故选D.【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．11．24【解析】试题解析：∵8-1＜a＜8+1（其中a为正整数），即7＜a＜9，∴a=8．∴以a-2、a、a+2为边的三角形的三条边长分别为：6、8、10．∵62+82=102，∴以a-2、a、a+2为边的三角形是直角三角形，∴其面积=12×6×8=24．故答案是：24．点睛：在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．12．96【解析】根据题意，设两直角边是3x、4x，则（3x）2+（4x）2=202，解得x=4，所以两直角边为12，16，12×12×16=96，所以它的面积是96，故答案为96.13．60 13【解析】【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，=13，∵三角形的面积=12×5×12=12×13h （h 为斜边上的高），∴h=6013．故答案为：6013．【点睛】考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．2．【解析】【详解】∵22251213+=，由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，∴它的内切圆半径5121322r +-==，15．1【解析】【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.【详解】∵SABC 的三边长分别为1，2ABC 的面积为：S=1，故答案为1．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．16．4.8【解析】【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于AC 时，BP 的长最小，过A 作等腰三角形底边上的高AD ，利用三线合一得到D 为BC 的中点，在直角三角形ADC 中，利用勾股定理求出AD 的长，进而利用面积法即可求出此时BP 的长．【详解】解：根据垂线段最短，得到BP ⊥AC 时，BP 最短，过A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴D 为BC 的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt △ADC 中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：，又∵S △ABC =12BC•AD=12BP•AC ，∴BP=•BC AD AC =645⨯=4.8．故答案为4.8．【点睛】此题考查勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17．见解析【解析】【分析】连接AM 得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【详解】证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【点睛】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．18．（1）24米；（2）8．【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可求出；（2）梯子的长度不变，再利用勾股定理算出BC'的长，即可求出梯子滑动的长度.【详解】（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB（米）．答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA'=AB－A A'=20米，BC'=（米），则：CC'=15﹣7=8（米）．答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，找到两个三角形各边的关系是解决此题的关键19．△ACD是直角三角形．【解析】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC 长，再利用勾股定理的逆定理证明90DAC ∠=︒，可得ACD 是直角三角形．试题解析：证明：∵90ACB ∠= ，AB =15,BC =9,∴12AC ，===∵2251213，+=∴222AD AC CD +=，∴90DAC ∠=︒,∴△ACD 是直角三角形.点睛：在三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.20．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）本题要判定△ACE ≌△BCD ，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，则DC =EC ，AC =BC ，∠ACB =∠ECD ，又因为两角有一个公共的角∠ACD ，所以∠BCD =∠ACE ，根据SAS 得出△ACE ≌△BCD ．（2）由（1）的论证结果得出∠DAE =90°，AE =DB ，从而求出AD 2+DB 2=DE 2．【详解】（1）∵∠ACB =∠ECD =90°，∴∠ACD +∠BCD =∠ACD +∠ACE ，即∠BCD =∠ACE ．∵BC =AC ，DC =EC ，∴△ACE ≌△BCD ．（2）∵△ACB 是等腰直角三角形，∴∠B =∠BAC =45°．∵△ACE ≌△BCD ，∴∠B =∠CAE =45°，AE =BD ，∴∠DAE =∠CAE +∠BAC =45°+45°=90°，∴AD 2+AE 2=DE 2，∴AD 2+DB 2=DE 2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．21．5m【解析】试题分析：由于大门的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．试题解析：解：设这条木条的长度为x m，由勾股定理得：木条长的平方＝门高长的平方＋门宽长的平方．即x2＝42＋32，解得x＝5m．答：所需木条的长为5m．点睛：本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属较简单题目，可直接利用勾股定理解答．22．证明见解析.【解析】试题分析：首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，再证明△AEG≌△AEF 可得EF=EG，由∠GBE=90°利用勾股定理可得BE2+CF2=EF2，那么根据勾股定理的逆定理得出以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．试题解析：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG，∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．∵∠BAC=90°，∠GAF=90°，∴∠GAE=∠EAF=45°．在△AEG和△AEF中，∵AG AFGAE EAFAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF．又∵∠GBE=90°，∴BE2+BG2=EG2，即BE2+CF2=EF2，∴以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，旋转的性质，正确作出辅助线后证出△AEG≌△AEF是解答此题的关键．。
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元测试卷附答案
第十七章《勾股定理》单元测试卷(共23题,满分120分,考试用时90分钟)学校班级姓名学号一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m的B处撕裂折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的A处,则旗杆折断部分AB的高度是()A.5 mB.12 mC.13 mD.18 m第1题图第3题图第5题图2.下列各组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是()A.3,4,6B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,153.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.若AB=10,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.100B.120C.140D.1604.若直角三角形的两条直角边长分别是3和4,则斜边长为()A.2.4B.5C.√7D.75.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()A.1B.1.4C.√2D.√36.在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是()A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.以上都有可能7.若一个直角三角形中,斜边的长为13,一条直角边长为5,则这个三角形的面积是()A.60B.30C.20D.328.如图,将风筝放至高30 m,牵引线与水平面夹角约为45°的高空中,则牵引线AB的长约是()A.30 mB.45 mC.20√3 mD.30√2 m第8题图第9题图第10题图9.(跨学科融合)如图,在物理实验课上,小明将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了()A.3 cmB.2 cmC.6 cmD.4 cm10.如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,则这块地的面积为()A.96 m2B.204 m2C.196 m2D.304 m2二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,两个正方形的面积分别是100和36,则字母B所代表的正方形的面积是.第11题图第13题图12.若△ABC的三边长满足a2=b2+c2,则△ABC是直角三角形且∠=90°.13.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.14.如图,∠C=∠ABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,则AD的长等于.第14题图第15题图15.(数学文化)如图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AH=6,EF=2,那么AB的长等于.三、解答题(一)(共3小题,每小题8分,共24分)16.如图,根据所给条件,求BC的长.17.如果三角形的三边长分别为√2,√6,2,那么这个三角形是直角三角形吗?。
八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版(含答案)
八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版（含答案）一、单选题(共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A3,4,5B．2,3C．6,7,8D．2,3,42．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和4．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于于12点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A ．2B ．103C ．158D ．1525．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．()22610x x =--B ．()222610x x =-- C ．()22610x x +=- D ．()222610x x +=- 6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C 7D ．577．如图所示，圆柱的高AB =3，底面直径BC =3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．31π+B ．32C 234π+D ．231π+8．在Rt △ABC 中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．10 D ．13 9．如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A 7B ．38C ．78D ．5810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225C ．365D 33二、填空题(共30分)11．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，当a 、b 、c 满足_______时，△B =90°． 12．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，5AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．13．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，现将ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD =__________．14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了__米．15．已知：如图，ABC 中，△ACB =90°，AC =BC 2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．16．如图，在四边形ABCD 中，22AD =27AB =10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”，该图说明数轴上的点并不都表示________．18．在Rt△ACB中，△ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．19．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．20．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．三、解答题(共60分)21．如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长．22．一架云梯长25m ，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C 离墙7m ．（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?23．如图，把一块直角三角形（ABC ，90ACB ∠=︒）土地划出一个三角形（ADC ）后，测得3CD =米，4=AD 米，12BC =米，13AB =米．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求图中阴影部分土地的面积．24．如图，在四边形ABCD 中，AB=20cm ，BC=15cm ，CD=7cm ，AD=24cm ，△ABC=90°．（1）求△ADC 的度数；（2）求出四边形ABCD 的面积．25．如图，在△ABC 和△DEB 中，AC △BE ，△C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =． （1）求证：△ABC △△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．26．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD△CD，AE△BD于点E，且△ABE△△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．27．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？参考答案1．B2．C3．C4．C5．D6．D7．C8．D9．C10．C11．a2+c2= b212．513．5 214．9．1531 16．14 17．有理数18．15 719．0.820．x2−（x−3）2＝8221．EF的长为15 222．（1）这个梯子的顶端A距地面有24m高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了8m．23．2424．（1）△ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为2234cm252527．（1）从C岛返回A港所需的时间为3小时；（2）C岛在A港的北偏西42°。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试题含答案
人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（）A ．6B ．4.5C ．2.4D ．82．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为()A ．8B ．4C ．6D ．无法计算3．△ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（）A ．a=41，b=40，c=9B ．a=1.2，b=1.6，c=2C ．a=12，b=13，c=14D ．a=35，b=45，c=14．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m(其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形()．A ．一定是等边三角形B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角形D ．形状无法确定5．如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A ．25B ．CD ．6．下列命题的逆命题正确的是（）A ．如果两个角是对顶角，那么它们相等B ．全等三角形的面积相等C ．同位角相等，两直线平行D ．若a ＝b ，则22a b ＝7．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组8．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的()．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶1699．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A ．2倍B ．4倍C ．3倍D ．5倍10．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min ，甲客轮用30min 到达A 处，乙客轮用40min 到达B 处.若A ，B 两处的直线距离为2000m ，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A ．北偏西30°B ．南偏西30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°评卷人得分二、填空题11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为________．12．一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____．13．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______.14．所谓的勾股数就是使等式222+=a b c 成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m ，n(m ＞n)，取a ＝22m n -，b ＝2mn ，c ＝22m n +，则a ，b ，c 就是一组勾股数.请你结合这种方法，写出85(三个数中最大)，84和________组成一组勾股数.15．如图，一架梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5m ，则梯子顶端A 下落了_______m.评卷人得分三、解答题16．写出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两直线平行，同位角相等；＝；（2）如果实数a＝b，那么a b（3）直角都相等.17．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．18．根据所给条件，求下列图形中的未知边的长度.（1）求图1中BC的长；（2）求图2中BC的长.19．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论．（2）写出当a=17时，b，c的值．20．如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛.求P岛与M岛之间的距离.21．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22．如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？23．写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边．参考答案1．D【解析】本题考查了直角三角形的判定即勾股定理的逆定理和直角三角形的性质由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，然后由直角三角形的定义解答出最短边上的高．由题意知，，所以根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角形．长为6的边是最短边，它上的高为另一直角边的长为8．故选D ．2．A【解析】利用勾股定理，由Rt △ABC 中，BC 为斜边，可得AB 2+AC 2=BC 2，代入数据可得AB 2+AC 2+BC 2=2BC 2=2×22=8．故选A ．3．C【解析】试题分析：A 、因为92+402=412，所以是直角三角形；B 、因为1.22+1.62=22，所以是直角三角形；C 、因为（14）2+（13）2=25144≠（12）2，所以不是直角三角形；D 、因为（35）2+（45）2=12，所以是直角三角形．故选C ．考点:勾股定理的逆定理．4．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形，进行判断即可．【详解】∵()2222211m n n n n +=++=+，∴三角形是直角三角形，且(n ＋1)为斜边.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，关键是掌握定理的内容.5．D【解析】【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．【详解】由勾股定理可知，∵，故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB 的长．6．C【解析】【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题,然后分别根据直角的定义、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假.【详解】A 、逆命题为:如果两个角相等,那么它们都是直角,此逆命题为假命题;B 、逆命题为:面积相等的两三角形全等,此逆命题为假命题;C 、逆命题为:两直线平行,同位角相等,此逆命题为真命题;D 、逆命题为:若22a b ＝,则a ＝b ,此逆命题为假命题.所以C 选项是正确的.【点睛】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果那么”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.7．B【解析】【分析】能否构成直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】（1）、52+122=132，能构成直角三角形，故正确；（2）、102+122≠132，不能构成直角三角形，故错误；（3）、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；（4）、62+82=102，能构成直角三角形，故正确．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．8．C【解析】试题解析：∵1+1=2，1+3=4，9+25=34≠36，25+144=169．∴其中不是直角三角形的是9：25：36．故选C．9．A【解析】【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．【详解】设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2＝c2；另一直角三角形直角边为2a、2b＝2c．即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．故选A．【点睛】熟练运用勾股定理对式子进行变形．10．C【解析】【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程,再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案.根据题意可得甲的路程：40×30＝1200（m ），乙的路程：40×40＝1600（m ）.∵12002＋16002＝20002，∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.∵甲客轮沿着北偏东30°，∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°.故选C.【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222c a b +=,那么这个三角形就是直角三角形.11．3cm【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB 的长,设CD ＝x cm ,则()28BD x =-cm,再由图形翻折变换的性质可知AE ＝AC ＝6cm,DE ＝CD ＝x cm,进而可得出BE 的长,在t BDE R ∆中利用勾股定理即可求出x 的值,进而得出CD 的长.【详解】ABC ∆ 是直角三角形,AC ＝6cm,BC ＝8cm,10AB ∴===cm,AED ∆ 是ACD ∆翻折而成,6cm AE AC ∴==,设DE ＝CD ＝x cm,90AED ∠=︒,1064cm BE AB AE ∴=-=-=,在t BDE R ∆中,222BD DE BE =+,即()22284x x -=+,解得x ＝3.故CD 的长为3cm.本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.12．4【解析】【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，故答案是：4．13．13直角【解析】【分析】根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足12－5＝7＜c＜5＋12＝17，又因为这个数与a＋b的和又是3的倍数，则可求得此数；然后利用直角三角形的判定方法判定三角形即可完成.【详解】∵12－5＝7＜c＜5＋12＝17，c又为奇数，∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15.∵与a＋b的和又是3的倍数，∴a＋b＋c＝30，∴c＝13.∵52＋122＝132，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题是三角形的三边关系、勾股定理类型的题目，解答本题的关键是利用三角形的三边关系进行解答.14．13【解析】【分析】根据勾股数的定义可得要求的数是852－842，再进行计算即可．【详解】∵852－842＝132，∴85(三个数中最大)、84和13组成一组勾股数．故答案为13.【点睛】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键.15．0.5【解析】【分析】根据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【详解】在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝1.5m，==，故AC2m在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5m，CD＝(1.5＋0.5)＝2m，==，故EC 1.5m故AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5m，答：梯子顶端A下落了0.5m.故答案为0.5m.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.＝，那么a 16．（1）逆命题：同位角相等，两直线平行.成立.（2）逆命题：如果实数a b＝b.不成立.（3）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角.不成立.【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．【详解】(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行，是成立，是真命题；(2)逆命题为：如果实数|a|＝|b|，那么a＝b，不成立，是假命题；(3)逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为直角，不成立，是假命题.【点睛】本题考查了命题与定理，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.17．等腰直角三角形【解析】【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【详解】解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．18．（1）15；（2）12.【解析】试题分析：（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；（2）先根据勾股定理求出BD的长，再求出BC的长即可．试题解析：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得222+=AC BC AB222BC+=817BC=15（2）在Rt△ABD中，由勾股定理可得222+=AD AB BCBD=5在Rt△BDC中，由勾股定理可得222+=BD BC CDBC=1219．（1）见解析；（2）b=144，c=145．【解析】【分析】（1）根据表格找出规律再证明其成立；（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可.【详解】（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2＋b2＝c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32＝9＝4＋5，52＝25＝12＋13，72＝49＝24＋25，92＝81＝40＋41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2＝n＋（n＋1），则m，n，n＋1就构成一组简单的勾股数．证明：∵m2＝n＋（n＋1）（m为大于1的奇数），∴m2＋n2＝2n＋1＋n2＝（n＋1）2，∴m，n，（n＋1）是一组勾股数．（2）运用以上结论，当a＝17时，∵172＝289＝144＋145，∴b＝144，c＝145．【点睛】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.20．P岛与M岛之间的距离为34海里．【解析】【分析】由题意知，△BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解．【详解】解：由题意可知△BMP为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，∴MP＝34海里．答：P岛与M岛之间的距离为34海里．【点睛】本题考查勾股定理的应用.21．（1）作图见解析；（2）总费用为150万元.【解析】【详解】试题分析：此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，则可得：DK=A′C=AC=10千米，∴BK=BD+DK=40千米，∴千米，总费用为50×3=150万元．考点：轴对称-最短路线问题．22．10天才能将隧道凿通【解析】试题分析：由题意知：∠A=50°，∠B=40°则∠C为90°，在直角△ABC中，已知AB，BC 根据勾股定理即可求AC，则需要天数可求．解：∵∠A=50°，∠B=40°，∴∠C=90°，∴AC2=AB2﹣BC2=（3km）2∴AC=3km，∵3÷0.3=10，∴10天才能将隧道凿通．答：10天才能将隧道凿通．23．（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.【解析】试题分析：分别写出各个命题的逆命题，再进行判断即可.试题解析：（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.。
人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 单元复习试题 含答案
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列各组数是勾股数的是（）A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5C．7，24，25 D．，，2．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2B．a＝5，b＝12，c＝13C．∠A：∠B：∠C═3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C3．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．4．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝4，BC＝6，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56 B．24 C．64 D．325．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3 C．D．56．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和7．如图，今年第9号台风利奇马”过后，市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是（）A．7m B．8m C．9m D．12m8．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（）A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤129．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（）A．11 B．15 C．10 D．2210．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km．A．5 B．10 C．15 D．25二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．AD平分∠BAC交BC边于点D，则BD＝．12．如图，有赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是．13．观察下列各式：32+42＝52；82+62＝102；152+82＝172；242+102＝262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：．14．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为．15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范同内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝米．16．如图，△ABC是边长为12cm的正三角形，动点P从A向B以2cm/s匀速运动，同时动点Q从B向C以1cm/s匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t秒，则t＝时，△PBQ为直角三角形．三．解答题（共5小题）17．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．（1）连结AC，求AC的长；（2）求∠ADC的度数；（3）求出四边形ABCD的面积18．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2 S1＝；OA32＝（）2+1＝3 S2＝；OA42＝（）2+1＝4 S3＝…（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示S n＝；（2）推算出OA10＝．（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．19．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在某城市街道直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A（观测点）正前方30米处的C处，过了2秒钟后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，问：这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）20．如图1，在△ABC中，∠B＝22.5°，AC＝5，AD是BC边上的高，AB的垂直平分线交AB 于点E，交BC于点F．（1）判别AD与DF的数量关系并证明；（2）过F点作FG⊥AC于点G，交AD于点O（如图2），若OD＝3，求BC的长度．21．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、22+32≠42，故此选项错误；B、0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项错误；C、72+242＝252，故此选项正确；D、（）2+（）2≠（）2，同时它们也不是正整数，故此选项错误．故选：C．2．解：A、∵a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵a＝5，b＝12，c＝13，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴最大角∠C＝×180°≠90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；D、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．3．解：∵AB＝3，AD＝1，∴AC＝＝，∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，AM＝AC＝，∵A点表示﹣1，∴M点表示的数为：﹣1，故选：A．4．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝82+62＝100所以x＝10所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．6．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．7．解：根据勾股定理可知：折断的树高＝＝5米，则这棵大树折断前的树高＝3+5＝8米．故选：B．8．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25﹣12＝13cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，故h＝25﹣13＝12cm．故h的取值范围是12cm≤h≤13cm．故选：A．9．解：利用勾股定理可得S a＝S1+S2，S b＝S2+S3，S c＝S3+S4，∴S a+S b+S c＝S a＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝7+4+4＝15．故选：B．10．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．所以，E应建在距A点15km处．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：作DE⊥AC于E，如图所示：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．∴DB⊥AB，AC＝＝10，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝DB，在Rt△AED和Rt△ABD中，，∴Rt△AED≌Rt△ABD（HL），∴AE＝AB＝6，∴CE＝AC﹣AE＝4，设DE＝DB＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BD＝3；故答案为：3．12．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝27，∴GF2＝9，∴S2＝9，∵S3＝1，∴S1的值是17．故答案为17．13．解：根据规律，下一个式子是：352+122＝372．14．解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB＝＝＝5，因为52+122＝132，所以△ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即×12×5﹣×3×4＝30﹣6＝24．15．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故答案是：1.5．16．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝12﹣2x，BQ＝x，∴12﹣2x＝2x，解得x＝3；当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（12﹣2x），解得x＝．答：3或秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为3或．三．解答题（共5小题）17．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB＝20cm，BC＝15cm，∴由勾股定理可得：AC＝cm；（2）∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°；（3）由（2）知，∠ADC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，18．解：（1）+1＝n+1Sn＝（n是正整数）；故答案是：；（2）∵OA12＝1，OA22＝（）2+1＝2，OA32＝（）2+1＝3，OA42＝（）2+1＝4，∴OA12＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；故答案是：；（3）S12+S22+S32+…+S102＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝（1+2+3+ (10)＝．即：S12+S22+S32+…+S102＝．19．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，由勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽车的速度为v＝40÷2＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h），∵72（km/h）＞70（km/h），∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．20．（1）AD＝DF，理由如下：证明：如图1，连结AF，∵EF是AB的垂直平分线，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝22.5°，∴∠AFD＝45°，∵AD是BC边上的高，∴△AFD是等腰直角三角形，∴AD＝DF；（2）解：∵FG⊥AC，AD⊥BC，∴∠FGC＝∠ADF＝90°，∠GFC+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∴∠GFC＝∠DAC，∵AD＝DF，∴△ODF≌△CDA，∴OD＝CD＝3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝4，连结AF，在Rt△ADF中，AD＝DF＝4，∴AF＝＝＝4，∴BF＝AF＝4，∴BC＝BF+DF+CD＝4+4+3＝7+4．21．解：（1）如图1，当0＜t≤3时，BQ＝t，BC＝4，∴S＝×4×t＝2t；如图2，当3＜t≤5时，，AQ＝t﹣3，则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；（2）连接CQ，如图3，∵QP的垂直平分线过点C，∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；∴AQ＝3﹣＝．。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试卷附答案
人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A ．3，5，6B ．2，3，4C ．1，2D ．3，42．下列命题中是假命题的是()A ．△ABC 中，若∠B ＝∠C －∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．△ABC 中，若a 2＝(b ＋c)(b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形D ．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图：图形A 的面积是()A ．225B ．144C ．81D ．无法确定4．图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是：A ．a<c<bB ．a<b <cC ．c<a<bD ．c<b<a5．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是()A ．12米B ．13米C ．14米D ．15米6．如图：在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（）A．75B．100C．120D．125 7．三角形的三边长满足关系：(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是() A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则AB边上的高是()A．365B．1225C．94D．3349．如图，将一个含有45 角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 角，则三角板最长的长是（）A．2cm B．4cm C．D．10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）A cm B．4cm C D．3cm11．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．12秒B．16秒C．20秒D．30秒．12．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是()A．3B．154C．5D．152评卷人得分二、填空题13．一个直角三角形的两边为6,8,第三边为__.14．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积_____________.15．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米.16．如图，Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为_____．17．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．评卷人得分三、解答题18．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_____________19．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？20．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若a=6，b=5，求△ABC的面积.21．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？22．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）222AD DB DE +=．23．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.(1)A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？24．如图l ，在AABC 中，∠ACB=90°，点P 为ΔABC 内一点.(1)连接PB ，PC ，将ABCP 沿射线CA 方向平移，得到ΔDAE ，点B ，C ，P 的对应点分别为点D 、A 、E ，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP ⊥CE ，BP=3，AB=6，求CE 的长(2)如图3，以点A 为旋转中心，将ΔABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接PA 、PB 、PC ，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.参考答案1．C【解析】3+56≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；A、2222+34≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、2221+=2，能构成直角三角形，故符合题意；C、222D 、2223+4≠，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选C ．2．C【解析】【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．【详解】解：A 、∠B+∠A=∠C ，所以∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意．B 、若a 2=（b+c ）（b-c ），所以a 2+c 2=b 2，所以△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意．C 、若∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．D 、若a ：b ：c=5：4：3，则△ABC 是直角三角形，故本选不项符合题意．故选C ．【点睛】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．3．C【解析】试题解析：由勾股定理可得：图形A 的面积22514481.=-=故选C.4．C【解析】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC 、BC 分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC 、BC ，然后比较三边的大小即可．解答：解：∵AC=，=∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b ．故选C ．5．A【解析】【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面和建筑物的高度构成了一个直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出建筑物的高度.【详解】如图所示，=12米，故选A．6．B【解析】【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．7．B【解析】【分析】根据题意，对(a+b)2=c2+2ab进行化简、整理，可得a2+b2=c2；接下来，由勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.【详解】解：∵(a+b)2=c2+2ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形.故选B.【点睛】本题是判断三角形形状的题目，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理；8．A【解析】试题解析：设点C到AB的距离为h，在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，∵AC=9，BC=12，∴，∵S△ABC =12AC•BC=12AB•h，∴h=12936 155⨯=．故选A．9．D 【解析】【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【详解】过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×2=4，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=4，∴BC2=AB2+AC2=42+42=32，∴BC=，故选D.【点睛】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30度角的直角三角形.10．A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为x，则22222+++=，x=x(65)(5)10（负值已舍），故选A11．B【解析】【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒．故选B．【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．12．C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．13．或10【解析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】当8是斜边时，第三边长==当6和8是直角边时，第三边长10.故第三边的长为或10故答案为或10【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．14．24【解析】本题主要考查了三角形.设三角形的三边是3x，4x，5x，根据周长公式可求得三边的长，再根据面积公式即可求得其面积．解：设三角形的三边是3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，解得x=2∴三角形的三边是6，8，10∴三角形的面积=12×6×8=2415．7【解析】，所以地毯的长度为4+3=7米．故答案为7．考点：勾股定理的应用．16．30【解析】【分析】根据勾股定理可得：AB=13，根据图形可得：阴影部分的面积=以BC为直径的半圆的面积+以AC为直径的半圆的面积+△ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积，由此进行计算即可.Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴=13，∴S阴影=222 1121511135122222222πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=30，故答案为30.17．15.【解析】【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∴AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：，故答案为15．18．50【解析】【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF.同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=12(6+4)×16−3×4−6×3=50.19．木杆断裂处离地面6米.【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，由题意得x2+82=（16-x）2，求出x的值即可．【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，由题意得x2+82=（16-x）2，解得x=6米．答：木杆断裂处离地面6米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．(1)△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2)12.【解析】【分析】（1）由已知条件得出b 2-c 2+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b-c ）（b+c+2a ）=0，得出b-c=0，因此b=c ，即可得出结论；（2）作△ABC 底边BC 上的高AD ．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=12BC=3，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)△ABC 是等腰三角形，理由如下：∵a ，b ，c 为△ABC 的三条边的长，b 2+2ab=c 2+2ac ，∴b 2﹣c 2+2ab ﹣2ac=0，因式分解得：(b ﹣c)(b+c+2a)=0，∴b ﹣c=0，∴b=c ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)如图，作△ABC 底边BC 上的高AD.∵AB=AC=5，AD ⊥BC ，∴BD=DC=12BC=3，∴，∴△ABC 的面积=12BC•AD=12×6×4=12.【点睛】本题考查因式分解的应用、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；运用因式分解求出b=c 是解决问题的关键．21．收购站E 应建在离A 点10km 处.【解析】【分析】根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE=CE ，再根据△DAE ≌△EBC ，得出AE=BC=10km ；【详解】∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等.∴DE=CE ，∵DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=x,则BE=AB−AE=(25−x)，∵DA=15km，CB=10km，∴x2+152=(25−x)2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处.【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于证明DE=CE.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EC，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2．【详解】（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°，AE=BD，∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2，∴AD2+DB2=DE2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．23．过点A作AC⊥BF于C，则AC=150千米，150〈200，故A市会受到台风的影响，以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1=AC2∵AC⊥BF，∴C1C2=2C1C．在Rt△ACC1中，有C1C=2002−1502=507，∴C1C2=1007km，∴A城受台风干扰的时间为：1007107=10（小时）．【解析】(1)会．理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BF于D，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝300千米．∴A=12A=12×300=150(千米)．又∵AD＝150千米＜200千米，∴A市会受台风影响．(2)设C点刚好受台风影响，E点刚好不受台风影响，则AC＝AE＝200千米．在Rt△ADC中，由勾股定理得A=B2−A2=2002−1502=507(千米)，∴C=2A=1007千米．∴A=10(小时)．24．（1）①补图见解析；②33；（2）37【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE=CD2−DE2=36−9=27=33；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN≌△APB，∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，∴∠CBN=90°在Rt△ABC中，易得BC=AB2−AC2=62−32=33∴在Rt△BCN中，CN=BC2+BN2=27+36=63=37“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.。
人教新版数学八年级下册《第17章 勾股定理》 单元复习卷 含答案
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c22．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组3．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）A．1，1，B．1，，C．，， D．，，4．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（）A．1 B．3C．4 D．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝AC，点D在AB上，AF⊥CD交于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.57．在平面直角坐标系中，已知点A（1，1）和B（4，5），则线段AB 的长是（）A．3 B．5 C．4 D．38．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2米，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝6米．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE＝（）米时，有DC2＝AE2+BC2．A．2 B．2.5 C．3.4 D．3.69．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A、B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则以B、C、D为顶点的三角形面积为（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠C＝45°，高AD＝6，则△ABC 的面积为（）A．12 B．24 C．36 D．48二．填空题（共5小题）11．在△ABC中，a2+b2＝25，ab＝12，且c＝5，则最大边上的高是．12．如图，一块形如“z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB＝BC ＝EF＝GF＝1，CD＝DE＝GH＝AH＝3，则AF＝．13．如图，由四个相同直角三角形与中间一个正方形拼成一个大正方形，大正方形边长为13cm，小正方形边长为7cm．则每个三角形较短直角边为．14．一颗大树在一次强烈的地震中于离树根B处4米的C处折断倒下（如图），树顶A落在离树根B处3米，则大树AB的原长为米．15．如图，一架长25m的云梯，斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7米，如果云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，那么云梯的顶端向下滑了m．三．解答题（共5小题）16．如图，A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3）（1）点C到x轴的距离为．（2）△ABC的三边长为：AB＝，AC＝，BC＝．（3）当点P在y轴上，且△ABP的面积为6时，点P的坐标为：．17．已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．18．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米．（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．19．定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy ＝2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝1+，求证：△ABC 是勾股三角形．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．B．3．D．4．C．5．B．6．D．7．B．8．C．9．D．10．B．二．填空题（共5小题）11．2.4．12．5．13．5．14．8．15．13．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴点C到x轴的距离为3；（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，AC ＝＝，BC＝＝；（3）∵点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，∴P到AB的距离为：6÷（×6）＝2，故点P的坐标为（0，1）或（0，5）．故答案为：3；6，，；（0，1）或（0，5）．17．解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n，∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2．∴∠C＝90°．∴△ABC是为直角三角形；（2）∵∠A＝30°，∴＝＝，∴m＝3n．18．解：（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AB、AC长分别为13米、20米，∴BC＝＝＝m，答：固定点B、C之间的距离为m；（2）∵BC＝21，∴BD＝21﹣CD，∵AD⊥BC，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴132﹣BD2＝202﹣（21﹣BD）2，∴BD＝5，∴AD＝＝＝12．19．（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形，∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y＝102；（3）证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示：设AH＝xRt△ABH中，BH＝，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2＝4，解得：x＝，∴AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，∴452+602＝752∴△ABC是勾股三角形．20．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82解得：t＝11答：当t为5或11时，能使DE＝CD．。
人教版数学八年级下第十七章《勾股定理》单元检测题含答案
1 / 6《勾股定理》单元检测题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．设直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边长为c ，已知1213b c ==，，则a=( )A. 1B. 5C. 10D. 252．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）A. 15817a b c ===，，B. 91215a b c ===，，C. 72425a b c ===，，D. 357a b c ===，，3．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（ ）A. 10B. 12C. 24D. 484．如图，有一个由传感器控制的灯A 装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m 及5 m 以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（ ）A. 4 mB. 3 mC. 5 mD. 7 m5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )A. B. C. D.6．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（ ）A. 22B. 32C. 62D. 827．如图，△ABC 中，AC =3，BC = 5，AD ⊥BC 交BC 于点D ，AD =125，延长BC 至E 使得CE =BC ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AFC ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A. 6B. 8C. 325D. 3238．如图,点P 是平面坐标系中一点,则点P 到原点的距离是（ ）A. 3B. 2C. 7D. 59．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2 ，则该半圆的半径为（）A. (4+5)cmB. 9cmC. 45cm D. 62cm10．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要， ，A. 11cm 34 C. (8＋10)cm D. (7＋5二、填空题11．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是________．12．如图所示,一段楼梯,高BC是3 m,斜边AC是5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯________.13．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A，B 的正北分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C，D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA，90°，点D是BC上一点，AD，BD，若AB，8，BD，5，则CD，________，3 / 615．如图，点A 、B 、O 是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 的中点，则△APB 的面积为_______．三、解答题16．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD 3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求：(1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)，17．如图是“赵爽弦图”，其中ABH 、BCG 、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c AE a DE b ===，，，取102c a b =-=，． ()1正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；()2求2()a b +的值．18．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C，B 两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？19．如图，一架长2.5m 的梯子AB 斜靠在墙AC 上，，C =90°，此时，梯子的底端B 离墙底C 的距离BC 为0.7m ．（1）求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ；（2）如果梯子的顶端A 下滑了0.9m ，那么梯子的顶端B 在水平方向上向右滑动了多远？1 / 6参考答案1．B2．D3．B4．A5．D6．B7．A8．A9．C10．B11．4.812．7m13．1214．1.415212+16．（1）135°；（2122+解析：（1）∵AB=BC=1，且∠B=90°，∴∠BAC=45°，22=2AB BC +， 而3DA=1，∴CD 2=AD 2+AC 2，∴△ACD 是直角三角形，即∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°；（2）∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ，而S △ABC =12AB×BC=12， S △ACD =12AD×22， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12+12（）17．4；96解：（1）∵HE =a ﹣b =2，∴S 正方形EFGH =HE 2=4．∵AD =c =10，∴S 正方形ABCD =AD 2=100，∴四个直角三角形的面积和=S 正方形ABCD ﹣S 正方形EFGH =100﹣4=96．故答案为：4；96；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，∴4×12ab =96，解得：2ab =96．∵a 2+b 2=c 2=100，∴（a +b ）2=a 2+b 2+2ab =100+96=196．18．乙船航行的方向为南偏东55°.解析：由题意可知，在△ABC 中，AC ＝30×2=60，AB ＝40×2=80，BC ＝100，∴AC 2=3600，AB 2=6400，BC 2=10000，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴∠CAB ＝90°，又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°，∴∠DAB ＝90°－∠CAE ＝90°－35°＝55°，∴乙船航行的方向为南偏东55°.19．（1）此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．解析：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7∴22AB BC -222.50.7-（米）， 答：此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）∵梯子的顶端A 下滑了0.9米至点A′，∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m ），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C 2+B′C 2=A′B′2，即1.52+B′C 2=2.52，∴B′C=2（m ）∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m ），答：梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．。