7 利用相似三角形测高
九年级上册数学-利用相似三角形测高优秀教案
4.6利用相似三角形测高1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）一、情景导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究探究点一：利用阳光下的影子测量高度【类型一】影子在同一平面上时高度的测量如图所示，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.解：如图，用DC表示人的身高，EC 表示人的影长，AB表示旗杆的高度，BC表示旗杆的影长.由题意知DC＝1.6m，EC＝2m，BC＝8m.∵太阳光AC∥DE，∴∠E＝∠ACB.又∵∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DCE.∴ABDC＝BCCE，即AB1.6＝82.解得AB＝6.4（m）.故旗杆的高度是6.4m.方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.【类型二】影子不在同一平面上时高度的测量如图①，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？解：方法一：延长AD，与地面交于点M，如图②.根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，所以ABBM＝CDCM＝FGGH.因为CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m，BC＝4m，所以CM＝103m，所以BM＝BC＋CM＝223（m ）. 所以AB 223＝1.22，AB ＝4.4（m ）.故这棵树的高是4.4m.方法二：过点D 作AB 的垂线，交AB 于点M ，如图③.由题意可知AM DM ＝FGGH，而DM ＝BC ＝4m ，AM ＝AB －CD ＝（AB －2）m ，FG ＝1.2m ，GH ＝2m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4（m ）.故这棵树的高是4.4m.方法三：过点C 作AD 的平行线交AB 于点P ，如图④.由题意可知BP BC ＝FGGH ，而BP ＝AB －CD＝（AB －2）m ，BC ＝4m ，FG ＝1.2m ，GH ＝2m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4（m ）.故这棵树的高是4.4m.方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.探究点二：利用标杆测量高度如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m 处立了一根高为2m的标杆EF ，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m ，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A 作AN ∥BD 交CD 于N ，交EF 于M ，则可得△AEM ∽△ACN .解：过点A 作AN ∥BD 交CD 于N ，交EF 于M ，因为人、标杆、树都垂直于地面，所以∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDF ＝90°， 所以AB ∥EF ∥CD ，所以∠EMA ＝∠CNA .因为∠EAM ＝∠CAN ，所以△AEM ∽△ACN ，所以EM CN ＝AM AN. 因为AB ＝1.6m ，EF ＝2m ，BD ＝27m ，FD ＝24m ，所以2－1.6CN ＝27－2427，所以CN ＝3.6（m ），所以CD ＝3.6＋1.6＝5.2（m ）. 故树的高度为5.2m. 方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.探究点三：利用镜子的反射测量高度为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB 底部15m 的E 处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m 的C 处，目高CD 为1.5m ；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.解：如图，∵∠1＝∠2， ∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DCE ∽△BAE .∴DC BA ＝CE AE ，即1.5BA ＝1.215， 解得BA ＝18.75（m ）. 因此，树高约为18.75m. 方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.三、板书设计利用相似三角形测高⎩⎨⎧利用阳光下的影子测量高度利用标杆测量高度利用镜子的反射测量高度通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.课题：4.6利用相似三角形测高课型：新授课年级：九年级教学目标：1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，提高综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题的能力，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．2．在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心．3．情感与态度：理解数学模型来源生活，又为解决生活中的某一问题而服务，体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值.教学重点与难点：重点：1．综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题.2．有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.难点：把生活中的问题转化为数学问题，利用工具构造相似三角形模型.关键：抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、复习回顾，引出课题活动内容：问题：请同学们回忆判定两三角形相似的条件有哪些？处理方式：由一名学生口答：对应角相等，两三角形相似；对应边成比例，两三角形相似；有两组对应边成比例且其夹角相等，两三角形相似．今天我们要学一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度、大树的树高、楼房等——板书课题.活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度．活动方式：分组活动、全班交流研讨．活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具．设计意图：回顾复习三角形相似判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．二、活动探究，体验方法方法1：利用阳光下的影子（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．处理方式：由小组交流、体会操作方法，把生活中的问题转为数学模型．教师注意点拨：把太阳的光线看成是平行的，构造出相似三角形进而利用三角形相似得出比例式．示意图：说明：AE 、BC 表示光线，DC 表示旗杆，EB 表示人影长，AB 表示身高，BD 表示杆影长．∵太阳的光线是平行的， ∴AE ∥CB ． ∴∠AEB ＝∠CBD ．∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE ＝∠CDB ． ∴△ABE ∽△C BD ．∴BDBECD AB =． 即CD =BEBDAB ⋅．因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长BD ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了．设计意图：设置贴近学生生活的情景问题，使学生置身其中，提高学生的注意力，从而达到更有效的激发学生的情趣，使学生很快的进入学习状态． 方法2:利用标杆测量旗杆的高度（原理：这是间接运用相似三角形的方法）操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．处理方式：由小组交流、理解、体会操作方法，在教师引导下构造出相似三角形，了解可测出的数量，并完成解题过程．教师提醒用此方法时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直．示意图：如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°．∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ， ∴CNEMAN AM =． ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ．∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°， ∴四边形ABND 为矩形． ∴DN ＝AB ．∴能求出旗杆CD 的长度．设计意图：学生从中感受到相似三角形的构造方法，同时复习应用了相似三角形的判定方法．体会数学来源于生活并服务于生活．方法3：利用镜子的反射（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．处理方式：学生先独立思考体会操作方法，在教师引导下理解“入射角＝反射角”这一物理知识，并根据相似三角形完成解题过程．教师引导学生如何根据测量的数据及相似三角形的知识求解，代入测量数据即可求出CD 的长度示意图：∵入射角＝反射角， ∴∠AEB ＝∠CED ．∵人、旗杆都垂直于地面， ∴∠B ＝∠D ＝90°．∴△EAB ∽△ECD ． ∴DEBECD AB =．即 CD =BEDEAB ． 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．设计意图：结合物理上的知识“入射角＝反射角”得到相似三角形，将物理与数学相结合，体会知识服务于生活这一理念．活动内容1：我们在应用以上几种测量方法时要注意哪几点？处理方式：学生总结归纳．运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．运用方法3时应注意光线的入射角等于反射角的现象．活动内容2：同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？ 处理方式：引导学生积极参与，在各人独立思考的基础上，充分交流，集思广益．思路点拔：1．一名同学作为观测者水平拖着一个含有45°角的直角三角板，适当调整自己所处位置，当旗杆的顶端、三角板的斜面与眼睛恰好在同一条直线上时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离以及观测者的高度，就能求出旗杆的高度．2．拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．活动内容3：上述几种测量方法各有哪些优缺点？ 处理方式：交流、补充，归纳总结． 参考答案：三种测量方法的优点是简单易行，无需复杂的测量工具．方法1最好操作，只受太阳光的限制，在有太阳光的前提下选择方法1较好，方法2与方法3相比，操作过程相差不多，但从计算过程来看，选择方法3较好．缺点：误差较大、需多人合作．设计意图：通过动手实践、合作探究、交流讨论，使学生经历发现知识的过程，获得分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”，获得广泛的数学活动经验，从而成为学习的主人．三、应用新知，解决问题1．高4米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长为24米，则该建筑物的高度是______________米．2．如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该建筑物的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米第2题图3．如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D.然后测出两人之间的距CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出该住宅楼的高度吗？第3题图处理方式：学生对于1、2两题学生较容易得出答案，第3题有难度，要求学生先独立思考，再合作交流，集思广益．师生共同完成第3题的书写过程教师找学生口述过程．解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．由已知可得FN＝ED＝AC＝0.8 m，AE ＝CD＝1.25 m，EF＝DN＝30 m，∠AEB＝∠AFM＝90°．又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE∽△AMF．∴BEMF＝AEAF.．即1.6－0.8MF＝1.251.25＋30.解得MF＝20.∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8(m)．所以该住宅楼的高度为20.8 m.设计意图：本题组注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的有关知识解决相关问题.四、盘点收获，总结串联通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？设计意图：过让学生积极反思所学，大胆发言，谈收获或困惑，目的是让学生对本节课所学的几个方面的专题作一个条理的，清晰的认识，从而揭示问题的本质，养成数学思考和反思总结的习惯．五、达标检测，反馈矫正1．旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近小树的影子长为3米，那么小树的高是___________米．2．如图，AB表示一个窗户的高，AM 和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5米，AC在地面的影长CM=4.5米，求窗户的高度．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，落实目标基础题：助学4.6不带星号的．提高题：助学4.6带星号的．实践题：任务：全班同学每五人一个小组，选出组长，分头到户外自行选择你感兴趣的测量对象进行实际的测量，如旗杆、楼房、树、电线杆等并将结果记录下来．编外侦探：一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程．请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的身高．设计意图：通过做题加深对知识的理解，进一步巩固本节知识．课外习题提升学生动手实践能力，更好的将知识应用于生活．板书设计：§4.6 利用相似三角形测高方法1：方法2：方法3：题组练习投影区学生活动区初中数学利用相似三角形测高专题一．选择题（共5小题）1．（•深圳模拟）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．1.5米B．2.3米C．3.2米D．7.8米2．（•崇明县一模）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张3．（聊城模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45mD．4.75m4．（张家口二模）如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A．4m B．6m C．8m D．12m5．（保亭县模拟）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=8米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（）A．9.5米B．9米C．8米D．7.5米二．填空题（共4小题）6．（北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．7．（•浦东新区一模）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是米．8．（青海）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为米．9．（天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．三．解答题（共1小题）10．（陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE ⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）初中数学利用相似三角形测高专题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（•深圳模拟）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．1.5米B．2.3米C．3.2米D．7.8米【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，∴=，∴=，∴BC=×5=3.2米．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2．（•崇明县一模）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张【考点】相似三角形的应用．【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x=3，所以另一段长为18﹣3=15，因为15÷3=5，所以是第5张．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．3．（聊城模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45mD．4.75m【考点】相似三角形的应用．【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C．【点评】解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．4．（张家口二模）如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A．4m B．6m C．8m D．12m【考点】相似三角形的应用．【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应变成比例解题．【解答】解：设长臂端点升高x米，则=，∴解得：x=8．故选；C．【点评】此题考查了相似三角形在实际生活中的运用，得出比例关系式是解题关键．5．（保亭县模拟）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=8米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（）A．9.5米B．9米C．8米D．7.5米【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意，可利用平行线分线段成比例求解线段的长度．【解答】解：由题意可得，BE∥CD，所以=，即=，解得CD=7.5（米），故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题关键．二．填空题（共4小题）6．（北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为15 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．7．（•浦东新区一模）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD 的高度是24米．【考点】相似三角形的应用．【分析】由已知得△ABP ∽△CDP，则根据相似形的性质可得=，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，则Rt△ABP∽Rt△CDP，故=，解得：CD==24（米）．故答案为：24．【点评】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出△ABP∽△CDP是解题关键．8．（青海）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为10米．【考点】相似三角形的应用．【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度．【解答】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴DE=10，即水塔的高度是10米．故答案为：10．【点评】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用比例式求解线段长．9．（天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是8米．【考点】相似三角形的应用．【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第六节利用相似三角形测高
2. 测量方法
知2－讲
(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；
(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测
者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直
线上，测量出观测者的脚与标杆底端间的距离以及
与被测物体底端间的距离；
(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，
利用对应边成比例求出被测物体的高度.
时刻测量参照物与被测物体的影长.
感悟新知
知1－练
例 1 某一时刻，身高1.6m的小明在太阳光下的影长是0.4m，
同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗
杆的高度是( )
A．1.25 m
B．10 m
C．20 m
D．8 m
解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻
太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.
他与镜子的水平距离CE=0.5m，镜子E与旗杆的
底部A 处的距离AE=2m，且A，E，C三点在
同一水平直线上，则旗杆AB的高度为( D )
A．4.5 m
B．4.8 m
C．5.5 m
D．6 m
课堂小结
利用相似三角形测高
相似的 应用
测量高度 工具
光线 平面镜 标杆或皮尺
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
感悟新知
知2－练
解题秘方：本题关键是找出相似的三角形，然后根 据对应边的比相等列出方程求解.
感悟新知
解：∵∠DEF =∠BCD=90°，∠D=∠D，
知2－练
∴△DEF∽△DCB.∴BECF
=
DC DE
.
∵ DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，CD=8m，
九上数学4.6利用相似三角形测高的常用方法和原理
利用相似三角形测高常用方法和原理测量物体高度的方法究竟有哪些呢？本文试图作一简要归纳，供同学们参考：方法一：利用太阳光的影子测量示意图：如图1所示.测量数据：标杆高DE ，标杆影长EF ，物体影长BC.测量原理：因为太阳光AC ∥DF ，所以∠ACB ＝∠DFE.又因为∠B ＝∠DEF ＝90°，所以△ABC ∽△DEF. 所以EF BC DE AB =. 例1 阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度约为 m.析解：设树高为x m ，则有6.32.16.1x =，解得8.4=x . 即这棵树的高度约为4.8m.方法二：利用标杆测量示意图：如图2所示.测量数据：眼（E ）与地面的距离EF ，人（EF ）与标杆（CD ）的距离DF ，人（EF ）与物体（AB ）的距离BF.测量原理：因为CD ∥AB ，所以△AEG ∽△CEH.所以EH EG CH AG =. 所以AB ＝AG ＋EF.其中DF ＝FH ，BF ＝EG .例2 如图3，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3m 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE=3m ，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m ，丙在C 1处也直立3m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处后退6m 到E 1处，恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1=4m ，求旗杆AB 的高.析解：设BG=x ，GM=y ，由△FDM ∽△FBG ，可得yx +=335.1，① 由△F 1D 1N ∽△F 1BG ，可得3635.1++=y x ，② 由①②联立方程组，解得⎩⎨⎧==.15,9y x 故旗杆AB 的高为9+1.5=10.5（m ）.方法三：利用镜子的反射测量示意图：如图4所示.测量数据：眼（D ）到地面的距离DE ，人（DE ）与平面镜（C ）的距离CE ，平面镜（C ）与物体的距离BC.测量原理：因为∠ACB ＝∠DCE ，∠B ＝∠E ＝90°，所以△ABC ∽△DEC.所以CE BC DE AB =. 例3 如图5是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）A ．6米B ．8米C ．18米D ．24米析解：由△ABP ∽△CDP ，可得PD PB CD AB =，即128.12.1=CD ，解得CD=8. 故选B.。
9年级数学北师大版上册教案第4章《利用相似三角形测高》
提炼
课本第1、2、4题 点和缺点，寻求最优化意识．
六、教学板书
6.利用相似三角形测高
1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
∵太阳的光线是平行的， ∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ， ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CBD
∴BD
BE CD AB =
即CD=BE BD AB ⋅
2．利用标杆测量旗杆的高度 如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°
∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△
AME ∽△ANC ，∴
CN
EM
AN AM =
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，
∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形．
∴DN ＝AB ，∴能求出旗杆CD 的长度．
3．利用镜子的反射（点拨：入射角＝反射角）
∵入射角＝反射角 ∴∠AEB ＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面
∴∠B ＝∠D ＝90°∴
DE
BE
CD AB = 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与
镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．。
(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第4章第6节《利用相似三角形测高》市优质课一等奖课件
图4-27
例2：如图4-27-1，小亮站立在点F处从点E处，看到电 线杆顶端A、旗杆顶端C在一条直线上，电线杆直立在点B处 ，高AB=2.8 m.已知BD=18 m，FB=3 m，EF=1.8 m，求旗杆 的高CD.
C
A E
FB
D
图4-27-1
3、一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该 单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程，请你为警 方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高。
4、如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射 入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m。已 知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影 长CM=4.5m，求窗户的高度。
G
FB
D
图4-27-2
方法3：利用镜子的反射。
如图4-28，每个小组选一名同学作为观测者，在观 测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一 个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端 在镜子中的像与镜子上的标记重合。
测量所需的数据，根据所测的结果，你能求出旗杆 的高度吗？说明你的理由。
活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆 （或路灯杆）的高度。
活动方式：分组活动、全班交流研讨。 活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具。
方法1：利用阳光下的影子。
如图4-26，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的 顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的 影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。
根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的 理由。
图4-26
例1：测得某电线杆高度为BC=2.5 m，电线杆在水平 地面上的影子长AB=5 m，同时测得附近一烟囱的影子长A′ B′ =12 m,求该烟囱的高度.
利用相似三角形测高经典例题
第四章图形的相似一 、利用相似三角形测高知识点1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的_________和此时旗杆的_______．(点拨：把太阳的光线看成是平行的．)∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB ＝∠CBD ，∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB=_____°， ∴△_______∽△_______ ∴BD BE CD AB = 即CD=BE BD AB ⋅ 因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长DB ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了．知识点2：利用标杆测量旗杆的高度操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在____________时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面，∴∠ABF ＝∠EFD＝∠CDH ＝_______°∴人、标杆和旗杆是互相_______的．∵EF ∥CN ，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3，∴△______∽△______，∴CN EM AN AM ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND为________．∴DN ＝_______，∴能求出旗杆CD 的长度．知识点3：利用镜子的反射操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆_______．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角∵入射角＝反射角 ∴∠________＝∠________∵人、旗杆都_________于地面 ∴∠B ＝∠D ＝_______°∴△________∽△________，∴DE BE CD AB 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．二、例题精讲例1：如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF=3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG=4m ，如果小华的身高为1.5m ，求路灯杆AB 的高度。
4.6 利用相似三角形测高 教案
[初中数学]《利用相似三角形测高》一、教材分析(1.1)教材地位和作用：本节课的内容是《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用，它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化为数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决。
通过对此问题的解决方案的探究，巩固相似三角形的判定和定义性质，渗透数形结合和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识。
(1.2)教学目标根据数学课程标准的要求和教学内容的特点，及学生的认知水平，确定本节课的教学目标如下：（1）知识目标：通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，加深对相似三角形的理解和认识。
（2）能力目标：通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，加强数形结合和建模的思想，提高解决实际问题的能力。
（3）情感目标：通过探索学习，体会数学来源于生活，又服务于生活，激发学习数学的兴趣。
(1.3)教学重点，难点根据以上的教材分析和教学目标剖析，我确定：（1）重点：理解用不同方法构造相似三角形测高的原理。
（2）难点：1、如何在操作步骤中发掘三角形相似的条件。
(如：利用太阳光是平行光线得到同位角相等；利用直立得到直角；利用镜面反射得到反射角=入射角；)2、没有相似三角形时如何构造相似三角形（例如：标杆测量法）二、学法分析(2.1)学情分析（1）学生的知识技能基础：学生在前面几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备解决实际问题的基本知识。
（2）学生活动经验基础：学生在相关知识的学习过程和实际生活中，已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的实际问题，获得了一些数学活动经验。
(2.2)学法指导倡导“问题探究法、自主学习法、合作探究法”，使学生逐步养成善于观察，乐于思考，勇于表达，勤于动手，的学习习惯。
三、教法分析在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。
利用相似三角形测高(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.22 利用相似三角形测高（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.【要点梳理】测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.特别说明：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.特别说明：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、利用相似三角形测高1．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案． 解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ， 故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ， 则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．【变式1】李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C 点（如图所示），人在F 点正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在C '处，人在F '处正好看到树尖A ．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m ，量得CC '为12m ，CF 为1.8m ，C F ''为3.84m ，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，所以可得∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．解：根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，∠∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，设AB ＝x ，BC ＝y ∠ 1.7 1.8=1.7 3.8412x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得1018017x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ∠这棵古树的高为10m ．【点拨】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【变式2】如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．【答案】路灯OP 的高度为7m【分析】先根据AB ∠OF ，CD ∠OP 可知△EAB ∠∠EPO ，同理可得△FCD ∠∠FPO ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP 的值．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ，90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∠在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∠EAB ∆∠EPO ∆ ∠AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∠263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∠FCD ∆∠FPO ∆， ∠CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∠2205OB OP +=，∠263OB OP +=，2205OB OP +=，∠7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式3】 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB =2米，它的影子BC =1.6米，木杆PQ 的影子有一部分落在墙上，PM =1.2米，MN =0.8米，求木杆PQ 的长度．【答案】2.3米【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可解：如图，过点N 作ND ∠PQ 于D ，则DN =PM ，∠∠ABC ∠∠QDN ，AB QD BC DN∴=． ∠AB =2米，BC =1.6米，PM =1.2米，NM =0.8米， 2 1.21.6AB DN QD BC ⨯===1.5（米）， ∠PQ =QD +DP =QD +NM =1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ 的长度为2.3米．【点拨】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.【变式4】 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝ 米，FQ ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B 地24m 5（或离D 地36m 5），理由见分析 【分析】（1）通过证明CDQ EFQ ，ABP EFP ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，设FP FQ x ==，可求出512BD x ==，求出x 的值，即可求解． (1)解：由题意得，,CDQ EFQ CQD EQF ∠=∠∠=∠，CDQ EFQ ∴，EF QF CD QD∴=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF DF ∴==，1.66.46QF QF∴=+， 解得2QF =；,ABP EFP APB EPF ∠=∠∠=∠，ABPEFP ∴， EF PF AB BP∴= 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF ∴=，1.64.86PF PF∴=+， 解得3PF =；故答案为：3；2；(2)小明站在离B 点245米处的位置，理由如下： 由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，设FP FQ x ==，1.6 1.6,6.4 4.8x x QD BP∴==， 4,3QD x BP x ∴==，,2BQ x DP x ∴==，512BD x ∴==， 解得125x =， 2425BF x ∴==，所以，小明站在离B点245米处的位置．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、利用相似三角形测距离2．综合与实践某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离20EB=米，镜子中心与测量者的距离2ED=米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是米．任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你再备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件．【答案】任务一：1.5；任务二：学校旗杆的高度是15米；任务三：如图见分析，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB即可求得旗杆AB的高度【分析】（1）C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即可作答；（2）因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等，所以△CDE∠∠ABE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；（3）点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．解：任务一：C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即为1.5米，故答案为：1.5；任务二：由已知，∠DEC=∠BEA，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∠∠ABE，CD DEAB BE∴=，1.5220AB∴=，∴AB=15，所以，学校旗杆的高度是15米；任务三：如图所示，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．【变式1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：∠镜子；∠皮尺；∠长为2m的标杆；∠高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写）(2)在下图中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测得的数据；(4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，α，β等字母表示）【答案】(1)∠∠(2)见分析(3)EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm(4)ac b【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：CE DCEA AB=；即AB=acb．(1)解：∠∠；(2)解：测量方案示意图；(3)解：EA（镜子离树的距离）＝amEC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm；(4)解：根据相似三角形的性质；可得：CE DC EA AB=；即AB=acb．【点拨】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题．【变式2】枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．【答案】26.2米【分析】过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∠AB，则△DFM∠∠DBN，DM MFDN BN=解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．解：过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，∠四边形CDME、ACDN是矩形，∠AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∠MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），∠依题意知，EF∠AB，∠∠DFM∠∠DBN，∠DM MF DN BN=，即：0.60.5 30BN=，∠BN＝25（m），∠AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．答：楼高为26.2m．【点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．【答案】(1) 5.1 (2) 4.2米【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高； （2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．(1)解：根据题意得：10.8 4.08=x 解得： 5.1x =（米），故答案为：5.1．(2)解：假设AB 是乙树，∠ 2.4BC =（米） 1.2CD =（米） ∠10.8=CD CE ， ∠1.210.8=CE ， ∠0.96CE =（米）， ∠10.8 2.40.96=+AB ， ∠ 4.2AB =（米），答：乙树的高度为4.2米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．。
九年级数学《利用相似三角形测高》教学设计
教学目标：1.学习相似三角形的概念和性质；2.掌握利用相似三角形测量高度的方法；3.提高学生的问题解决能力和实际应用能力。
教学重点：1.相似三角形的性质；2.利用相似三角形测量高度的方法。
教学难点：利用相似三角形测量高度的实际应用。
教学准备：教学课件、投影仪、黑板、彩色粉笔、测量工具（如卷尺、直尺等）、高度测量实验道具。
教学过程：第一步：导入新课（10分钟）1.利用投影仪或者课件将一幅图像投射到黑板上，图片上有两棵树在阳光下的影子。
引导学生观察影子，提问：“怎样利用影子的长度，测量树的实际高度？”2.引导学生思考，结合自己的生活经验，共同探讨。
第二步：引入相似三角形的概念（15分钟）1.利用课件或者黑板上绘制一些相似三角形的图形，引导学生观察图形，提问：“怎样判断两个三角形是否相似？”2.利用幻灯片或者手绘的方式，给出判断两个三角形相似的几个基本条件，并带领学生一起讨论。
3.引导学生通过对例题进行分析思考，总结相似三角形的性质。
第三步：利用相似三角形测量高度（30分钟）1.引导学生从实际应用出发，讲解利用相似三角形测量高度的基本原理。
2.展示一些实际问题，提供一些高度测量的实际情境案例，由学生自己尝试解决，在小组中讨论和交流解决方法。
3.针对不同难度的问题，引导学生分层次进行讨论，帮助学生提高问题解决能力。
4.指导学生在解决实际问题时，如何通过观察、测量、记录等方法获取所需的数据。
第四步：实践操作（20分钟）1.引导学生分组进行测量实验。
2.每个小组分配一个实验道具，例如一个测量树高的装置。
3.学生利用测量工具和所学知识，进行实际测量，并记录测量数据。
4.学生根据所测得的数据，运用相似三角形测量高度的方法计算树的实际高度。
5.学生将实际操作和计算过程记录在实验报告中。
第五步：展示与讲解（15分钟）1.随机选取几个小组，让学生上台讲解实验的过程和结果，以及使用相似三角形测量高度的原理。
2.其他学生可以提问和评论，并给予学生合理的评价和指导。
利用相似三角形测高实践报告
利用相似三角形测高实践报告嘿，大家好！今天咱们要聊的是一项听起来有点复杂，但其实超级简单又有趣的测高方法，叫做利用相似三角形。
相信我，这可不是学术界的高冷玩意儿，反而是个可以和朋友们一起享受的有趣活动，听我慢慢道来。
一开始，我们要明白啥是相似三角形。
想象一下，两个三角形，一个大一个小，形状一模一样，比例却不同。
就像咱们小时候玩过的玩具，缩小版和正常版，都是一样的，只是大小不一样而已。
这就是相似的精髓。
好吧，听起来有点抽象，但别担心，接下来我会用实例来给大家拆解这块儿。
这次我们的目标是一座高高的楼，天哪，真的是高得让人咽口水。
站在楼下，仰头一看，哇，那可不是一般的高啊！可是呢，我们不想爬上去测量，万一摔下来了，那可就得不偿失了。
于是，我们决定用三角形的方法来解决这个问题。
找一根棍子，随便找一根就好，没错，您没听错，就是一根棍子，或许它在路边就等着我们。
我们要把这根棍子竖起来，记得要在阳光明媚的日子做这件事，嘿嘿，阳光能让影子更好看。
棍子竖好后，我们观察棍子的影子，同时也观察大楼的影子。
此时，我心里就乐开了花，感觉自己像个小科学家。
咱们要做点简单的计算。
测量棍子的高度和它的影子长度，然后再测量大楼的影子长度。
别担心，记不住也没关系，咱们可以在手机上记一记，随时随地，技术可不是问题。
用一个简单的公式就能算出大楼的高度了。
我们把棍子的高度和它的影子长度写出来，然后把大楼的影子长度放进公式里，哇！我当时真是惊呆了，觉得这方法简直神奇。
好像一瞬间，所有的数字都在我脑海中跳舞，哈哈！这就是相似三角形的魔力，真的是让人眼前一亮。
这个过程也不是一帆风顺。
阳光会跟你开玩笑，影子变来变去，让我们忍不住想大喊“别走啊，我还没测完呢！”不过，别怕，咱们可以等一等，找个合适的时机再来测量，耐心可是成功的一大法宝。
毕竟，急于求成可不是我们这个科学小团队的风格，对吧？接下来的结果就让人激动了。
经过一番计算，我们终于得出了大楼的高度，心中那种成就感啊，简直像是赢了个大奖。