新人教版九年级数学上册《因式分解法解一元二次方程》精品课件
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一元二次方程的解法(四)因式分解法(课件)数学九年级上册(人教版)
(x+2)(x-4)=0
9.已知关于x的方程(x+a)(x-3)=0和x2-kx-3=0的根相同,则k=____，
2
a=_____.
1
【分析】由(x+a)(x-3)=0易得方程的一个根为x=3,
把x=3代入x2-kx-3=0得32-3k-3=0,
∴k=2得到方程x2-2x-3=0,
解得x1=-1，x2=3
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化
为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x-3)(x+5)=0的解吗？
(x-3)(x+5)=0
解：x-3=0或x+5=0
所以x1=3，x2=-5.
上述解法中，由①到②
的过程，不是用开平方
①
降次，而是先因式分解，
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边
的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
用适当的方法解方程：
1 3x 1
2
4 0
解： 3x 1 =4
2
A.3，-5
B.3,5
C.-3，5
D.-3，-5
2.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1,则被漏掉的
一个根是( A )
A.x=0
B.x=2
C.x=3
D.x=4
3.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( D )
A.2
B.3
C.-1，2
9.已知关于x的方程(x+a)(x-3)=0和x2-kx-3=0的根相同,则k=____，
2
a=_____.
1
【分析】由(x+a)(x-3)=0易得方程的一个根为x=3,
把x=3代入x2-kx-3=0得32-3k-3=0,
∴k=2得到方程x2-2x-3=0,
解得x1=-1，x2=3
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化
为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x-3)(x+5)=0的解吗？
(x-3)(x+5)=0
解：x-3=0或x+5=0
所以x1=3，x2=-5.
上述解法中，由①到②
的过程，不是用开平方
①
降次，而是先因式分解，
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边
的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
用适当的方法解方程：
1 3x 1
2
4 0
解： 3x 1 =4
2
A.3，-5
B.3,5
C.-3，5
D.-3，-5
2.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1,则被漏掉的
一个根是( A )
A.x=0
B.x=2
C.x=3
D.x=4
3.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( D )
A.2
B.3
C.-1，2
【人教版】九年级上册数学：《因式分解法解一元二次方程》教学课件ppt
3．用因式分解法解下列方程： (1)(x－1)2－2(x－1)＝0； (2)9x2－4＝0； (3)(3x－1)2－4＝0； (4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)．
解：(1)x1＝3，x2＝1； (2)x1＝－23，x2＝23； (3)x1＝－13，x2＝1； (4)x1＝3，x2＝41.
6．[ 2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从 右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab ＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋ 2 )(x＋ 4 )． (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
分层作业
1．方程(x＋1)2＝x＋1 的解是( B )
A．x＝－1
B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝0，x2＝－2
D．x1＝1，x2＝－1
2．下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小 刚不明白，你能帮帮他吗？
解一元二次方程：(2x－1)2＝2x－4x2. 解：原方程变形为(2x－1)2＝2x(1－2x)，① 即(2x－1)2＝－2x(2x－1)，② 化简，得 2x－1＝－2x，③ 得 4x＝1，④
解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由： 把 x＝－1 代入方程，得 2a－2b＝0. ∴a＝b，∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变为 2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
人教版初中数学九年级上册因式分解法解一元二次方程课件PPT
x
.
2a
2
x1 0, x2 7.
知识讲解
x2 -7x =0 ①
因式分解
x(x-7) =0 ②
如果a ·b = 0，
两个因式乘积为 0，说明什么？
那么 a = 0或 b = 0.
x =0
或 x-7=0
降次，化为两个一次方程
x1 0, x2 7
（解两个一次方程，得出原方程的根）
这种解法是不是很简单？
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
11
11
x1 , x2 .
2
2
知识讲解
（3）
3( x 2) ( x 2) 2 0.
解：把方程的左边进行因式分解，得
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
解：整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0.
因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0.
可得3（x+1）+（2x-5）＝ 0 或3（x+1）-（2x-5）＝ 0，
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
(3)5x(2x－3)＝10x－15.
解：5x(2x－3)＝5(2x－3)，
(5x－5)(2x－3)＝0，
3
2
解得x1＝1，x2＝ .
2
随堂训练
8．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0
.
2a
2
x1 0, x2 7.
知识讲解
x2 -7x =0 ①
因式分解
x(x-7) =0 ②
如果a ·b = 0，
两个因式乘积为 0，说明什么？
那么 a = 0或 b = 0.
x =0
或 x-7=0
降次，化为两个一次方程
x1 0, x2 7
（解两个一次方程，得出原方程的根）
这种解法是不是很简单？
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
11
11
x1 , x2 .
2
2
知识讲解
（3）
3( x 2) ( x 2) 2 0.
解：把方程的左边进行因式分解，得
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
解：整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0.
因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0.
可得3（x+1）+（2x-5）＝ 0 或3（x+1）-（2x-5）＝ 0，
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
(3)5x(2x－3)＝10x－15.
解：5x(2x－3)＝5(2x－3)，
(5x－5)(2x－3)＝0，
3
2
解得x1＝1，x2＝ .
2
随堂训练
8．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0
最新人教版九年级上数学《用因式分解法解一元二次方程》教学课件
解：5x2 4x 0 解：x 2 x(x 2) 0 解：(x 1) 5(x 1) 5 0
x(5x 4) 0
(x 2)(1 x) 0
（x 1 5)(x 1 5) 0
x 0或5x 4 0 x 2 0或1 x 0
x
如果两个因式的积等于0, 那么至少有一个因式等于0
即：A·B=0 A=0或B=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于 分解成两个一次因式的乘积时,我们就可 以用因式分解的方法求解.这种用因式分 解解一元二次方程的方法称为因式分解法.
快速回答：下列各方程的根分 别是多x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
活动二：尝试练习
(1)5x2 4x (2)x 2 x(x 2) (3)(x 1)2 25 0
(2)x 2 x(x 2)
(3)(x 1)2 25
一题多解 思维花开
(4x 3)2 (x 3)2
方程中有括号，先用整体思想考虑是 否有适合的简便方法，若没有再考虑 去括号化为一般形式
（左分解）
3 至少 有一个 因式为零，得到两个
一元一次方程。
（两方程）
4 两个 一元一次方程的解 就是原方
程的解。
（各求解）
活动三：能力提高
(1)(2x 3)2 4(2x 3) (2)(4x 3)2 (x 3)2
解：(2x 3)2 （4 2x 3) 0解：(4x 3)2 x 32 0
【人教版】九年级上册数学《因式分解法解一元二次方程》教学课件
22. 2 降次——解一元二次方程
22. 2. 3 因式分解法
1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的 一元二次方程. 2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会 解决问题方法的多样性.
自学指导
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面
以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的
高度（单位：m）为10x－4.9x2。你能根据上述规
律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到
0.01s）？
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度
为0，即10x－4.9x2＝0
①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单
的方法解方程①？
自学指导
解：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x(10－4.9x)＝0
3．正确的因式分解是解题的关键．
(2)x1＝
2 3
，
x2＝
(3)x1＝－5， x2＝－2.
2．用因式分解法解下列方程：
(1)4x2－144＝0； (3)5x2－2x－＝x2－2x＋
3
(2)(2x－1)2＝(3－x)2； ；(4)3x2－12x＝－12.
4
4
解：(1)x1＝6，x2＝－6；
1
1
(2)x1＝ 3 ，x2＝－2；
于是得x＝0或10－4.9x＝0
②
∴x1＝0
x2＝
100 49
2.04
上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝ 0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛 出，此刻物体的高度是0m。
(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0， 然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两 个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分 别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式 分解法.
22. 2. 3 因式分解法
1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的 一元二次方程. 2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会 解决问题方法的多样性.
自学指导
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面
以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的
高度（单位：m）为10x－4.9x2。你能根据上述规
律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到
0.01s）？
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度
为0，即10x－4.9x2＝0
①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单
的方法解方程①？
自学指导
解：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x(10－4.9x)＝0
3．正确的因式分解是解题的关键．
(2)x1＝
2 3
，
x2＝
(3)x1＝－5， x2＝－2.
2．用因式分解法解下列方程：
(1)4x2－144＝0； (3)5x2－2x－＝x2－2x＋
3
(2)(2x－1)2＝(3－x)2； ；(4)3x2－12x＝－12.
4
4
解：(1)x1＝6，x2＝－6；
1
1
(2)x1＝ 3 ，x2＝－2；
于是得x＝0或10－4.9x＝0
②
∴x1＝0
x2＝
100 49
2.04
上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝ 0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛 出，此刻物体的高度是0m。
(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0， 然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两 个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分 别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式 分解法.
人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程—因式分解法》课件
x3
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
人教版数学九年级上册因式分解法解一元二次方程PPT精品课件
3.x2 (3 2)x 18 0;
4.x2 12 x 27 0;
5. 2(x 3)2 x2 9 .
6.(3x 1)2 5 0;
7.(x 2)x 3 12;
3.x1 3; x2 2.
4.x1
9.x1 6.x1 7.x1
1 2
;
x2
4 7
3, x2 2; x2 3, x2
法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直
接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
把下列各式分解因式 :
1.x2 7;
2.3 y 2 y 14.
解 : 1.一元二次方程
解 : 2.一元二次方程
x2 7 0
3y2 y 14 0
的两个根是x1 7, x2 x2 7 (x 7)(x 7).
7.
的两个根是y1
2,
y2
7 3
.
3y2 y 14 3( y 2)( y
7 ).
3
•
1. 中国人只要看到土地，就会想种点 什么。 而牛叉 的是， 这花花 草草庄 稼蔬菜 还就听 中国人 的话， 怎么种 怎么活 。
10x - 4.9x2 = 0
降 次
x（10 - 4.9x）= 0
x = 0 或 10 - 4.9x = 0
x
1
=
0，x
2
=
100 49
2.04
两个因如式果a的·b=积0 等于零
那么a=0或
至少b=有0．一个因式为零
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0 表示物体被上抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出， 此刻物体的高度是0m．
《解一元二次方程因式分解法》PPT教学课件
小亮的思考及解法 解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程， 因此，可将方程的左边分解因式. 于是，得 x(x－2)＝0. 所以，x＝0，或x－2＝0. 方程x2－2x=0的两个根为x1＝0，x2＝2. （来自教材）
知识点 1 因式分解法的依据
知1－讲
小亮的解法是正确的，他给出了解一元二次方 程的又一种方法. 像这 样，把一元二次方程的一 边化为0, 另一边分解成两个一次因式的乘积，进 而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根， 这种解一元二次方程的 方法叫做因式分解法.
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
（来自《典中点》）
知1－练
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( ) A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
总结
因式分解法的依据： 如果a·b=0, 那么a=0或b=0．
知1－讲
知1－练
1 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因
式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得
到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得
到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的 数学思想是( )
A．转化思想
例1 用因式分解法解下列方程： (1) 3(x－1)2＝2(x－1); (2) (x＋5)2＝49.
解：(1) 原方程可化为 3(x－1)2－2(x－1)＝0 ，
(x－1)(3x－5)＝0.
得 x－1＝0，或3x －5＝0，
x1＝1，x2＝
5 .
3
知识点 1 因式分解法的依据
知1－讲
小亮的解法是正确的，他给出了解一元二次方 程的又一种方法. 像这 样，把一元二次方程的一 边化为0, 另一边分解成两个一次因式的乘积，进 而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根， 这种解一元二次方程的 方法叫做因式分解法.
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
（来自《典中点》）
知1－练
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( ) A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
总结
因式分解法的依据： 如果a·b=0, 那么a=0或b=0．
知1－讲
知1－练
1 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因
式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得
到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得
到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的 数学思想是( )
A．转化思想
例1 用因式分解法解下列方程： (1) 3(x－1)2＝2(x－1); (2) (x＋5)2＝49.
解：(1) 原方程可化为 3(x－1)2－2(x－1)＝0 ，
(x－1)(3x－5)＝0.
得 x－1＝0，或3x －5＝0，
x1＝1，x2＝
5 .
3
【人教版】九年级上册数学：《因式分解法解一元二次方程》课件
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时， 用配方法也较简单.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
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当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. （重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方 程.（难点）
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情境引入
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程 (x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0 或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
由x+2=6, 得x=4; ③
x1=7，x2=－4.
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
这种解法是不是很简单？
要点归纳 因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得