连续时间系统的时域分析经典法-资料

信号与系统第二章第一讲

i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信号与系统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信号与系统
特解为：联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信号与系统

vR (t )
C

vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方系法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢统采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善，已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域分析法的基础。
信号与系统
is (t )

第二章连续系统的时域分析IV(3.22)

②方程两边由0-到0+取积分：

0
0
y' ' (t )dt 3 y' (t )dt 2 y(t )dt 2 (t )dt 6 (t )dt
0 0 0 0
0
0
0
0
由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 0 0 故 0 y(t )dt 0, 0 (t )dt 0 于是由上式得： [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 考虑到 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
b.求方程特解：
当f(t) = 10cost时，其特解可设为 yp(t) = Pcost+Qsint 将其代入微分方程得 (– P + 5Q + 6P)cost + (– Q – 5P+ 6Q)sint = 10cost 2 cos 解得 P=Q=1, 于是特解为 yp(t) = cost+sint= t
4
c.确定全解：
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e
– 2t +
C2e
– 3t +
2 cos t 4
其中待定常数C1, C2由初始条件确定 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 + 1= 0 解得 C1 = 2，C2 = – 1 最后得全解 y(t) = 2e – 2t – e – 3t +

第2章连续系统的时域分析

信号与线性系统令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C

0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则

此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t

4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

第4讲连续系统的时域分析

若系统为时不变的，则C，பைடு நூலகம்均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。
9
2. 系统的微分方程的经典解法：齐次解+特解
(1)齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n 注意重根(repeated root)情况处 t Ak e 理方法。 k 1
k
d3 d2 d 例2：求微分方程 3 r t 7 2 r t 16 r t 12r t e t dt dt dt 的齐次解.
d 2 r t d r t d et 2 3r t et 例3:给定微分方程 2 dt dt dt 2 t 1 e t t ; 2 e t e , 分别求两种如果已知：情况下此方程的特解。
11
几种典型激励函数相应的特解
i C t i t C 1F
i L t
et 2 V
1 L H 4 3 R2 2
16
解：（1）列写电路的微分方程根据电路形式，列回路方程：
2
1
S
R1 1
R1 i t v c t et
d i t C vC t i L t dt
一个线性系统，其激励信号e(t ) 与响应信号r (t ) 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r ( t ) d r (t ) C0 C1 C n 1 C nr (t ) n n 1 dt dt dt d m e( t ) d m 1 e ( t ) d e( t ) E0 E1 E m 1 E m e( t ) m m 1 dt dt dt
et 2 V

信号与系统第二章连续时间系统的时域分析

•
•
e(t )
i1 L
L i2 R
R
故，微分R 方Lp程为C1p：e(t)
Mp
0
M p e(t)
(
L2
i2
MR2)
dLp4i2 dt 4
Mp
1
Cp2RL
dM3ip2 dt3
R Lp
(
1
R2
(R
2LLp) C
d 21i2 dCt 2p
)2 2MR2 C
dp2i2 dt
1 C2
i2
M
d 3e(t) dt3
d 2 i2 dt 2
de(t) dt
i1 L
R
L i2 R
L
d 2i2 dt 2
R
di2 dt
1 C
i2
M
d 2 i1 dt 2
0
(L2
M
2)
d 4i2 dt 4
2RL
d 3i2 dt3
(R2
2L) C
d 2i2 dt 2
2R C
d i2 dt
1 C2
i2
M
d 3e(t) dt3
第2章连续时间系统的时域分析
[
dx dt
]t
d
x(t) x()
若x() 0, 则 1 Px＝x p
4. Px Py, 其中P不能消去 dx＝ dy 两边积分得 x y C dt dt
第2章连续时间系统的时域分析
11
转移算子
转移算子：若：D( p) r(t) N( p)e(t) ，则 H ( p) r(t) N ( p)
定义
p d dt
则： px dx dt

第二章连续时间系统时域分析xin资料

) dt 2
R1
L
R2
diL (t) dt
1 LC
iL (t)
R1 L
diS (t) dt
1 LC
iS
(t)
当R=R=1,L=0.5,C=1时，则有
d
2iL (t) dt 2
4
diL (t) dt
2iL
(t)
2
diS (t) dt
2iS
(t)
结论:
1.LTI系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而且方
程的右侧自由项为激励，左侧为系统响应。
2.求解系统的响应转化为求微分方程的解的问题。
第2章连续时间系统的时域分析
n 阶线性时不变系统的模型
系统
激励：e(t)
响应：r(t)
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
E0
dm d
e(t) tm
E1
Cn1
d
rh (t) dt
Cnrh (t)
0
特征方程： C0n C1n1 Cn1 Cn 0
特征根为： 1, 2,n
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
分三种情况讨论（都有n个待定系数Ai ）：
n
无重根时：rh (t)
A e1t 1
A e2t 2
A ent n
A eit i
i 1
有k次重根时：rh (t)
第二章连续系统的时域分析
➢ 线性连续系统的描述及其响应 ➢ 冲激响应和阶跃响应 ➢ 卷积积分
➢ 系统的微分算子方程
第2章连续时间系统的时域分析
（系统分析简介）

二、连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析
概述： 1.LTI连续系统的时域分析：建立线性微分方程并求出响应与激励关系时域分析法：函数的变量----t（分析是在时间域内进行的） 2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础经典法求微分方程的解。 3.时域分析法主要内容：零输入响应和零状态响应冲击响应与卷积积分
第 13 页
y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
6 yp(t ) 6( p1t p0)e2t
yp ' (t ) 2( p1t p 0)e
2t
p1e
2t
2t
5 yp ' (t ) 10( p1t p 0)e
e
t
α≠特征根（ P1t P0 )e t α=特征根
Pe t
cos t sin t
（ Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t
P1 cos t P2 sin t
α=r重特征根
所有的特征根均≠±jβ
第 7页
特解举例
P1= 1 但 P0未定
第 14 页
全解
全解： y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入： y(0) = (C1+P0) + C2=1 y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得： C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解： y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应

信号与系统课件--2.连续系统时域分析

2）无源电路外加电源
①外加电压源
②外加电流源
例1：如下电路的自然频率

2 1 p 1 p

f1
1

0
p2 3 p 2 f1 2 2p 5p 4
1 p2 3 p 2 H ( p) 2 p2 5 p 2 2
5 7 p1 , 2 j 4 4
例2：
已知：图示电路，
1）i1(0-) =2A，i1’(0+)=1A/s； 2） i1(0-) =1A，i2(0-)=2A；
求 i1(t) 、i2(t)
解:
i1(t)
i2(t)
例3: 图示电路，t<0，K闭合，电路稳定； t=0，K断开; 求电流iL(t) 。
t=0 8V
+ -
4
iL(t)

二、统微分方程的求解
根据微分方程理论，方程（2-1）的解，由两部分组成：一部分是方程（2-1）对应的齐次微分方程的解y0(t); 另一部分是方程（2-1）的一个特解yd(t)，即
y(t ) y0 (t ) yd (t )
1、微分方程的齐次解
方程（2-1）对应的齐次微分方程为
d y (t ) d y (t ) dy (t ) an 1 a1 a0 y (t ) 0 n n 1 dt dt dt
t
代入元件参数，并利用消取法得到 d3 d2 d 2 3 i1 (t ) 3 2 i1 (t ) 4 i1 (t ) 2i1 (t ) dt dt dt
d2 d 2 2 f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) dt dt
一般地，对于一个n阶系统，设其响应为y(t)，激励为f(t)，描述该系统的微分方程为

第2章连续系统的时域分析ppt课件

n
yh (t)
cit iejt
i 1
(2―12)
《信号与线性系统》
第2章连续系统的时域分析
(3)特征根有一对单复根。即λ1, 2=a±jb，则微分方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt
(2―13)
(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解
yh (t) c1 cos dt c2teat cos dt cmt e m1 at cos dt d1eat sin bt d2teat sin bt dmt e m1 at sin dt (2―14)
《信号与线性系统》
第2章连续系统的时域分析
例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。
(2―10)
《信号与线性系统》
第2章连续系统的时域分析
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解
n
yh (t) cieit
i 1
(2―11)
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即
有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解
n
n
n
y(t) cieit y p (t) cxieit c fieit y p (t) (2―20)
i 1
i 1
i 1
式中
n
n
n
cieit
cxieit
c fieit
i 1
i 1
i 1
(2―21)

第二章-连续时间信号与系统的时域分析1PPT课件

T
A
R(t) A T
(t n T)
n1
-
20
F 例2.任意函数表示为冲激函数的积分. F动画演示
f (t)
fa (t)
fa (t) f (0)
0 t (k1)t kt t
0 t
kt t
t
lt 0 if m ( t) f( t) 0f()( t ) d f( t)( t)
-
21
F 例3.任意函数表示为阶跃函数的积分 F动画演示
f (t)
A 0T
2T 3T
f(t)0,t0
t
-
19
f1(t)f2(t)
A
T 2T
0
f1(t)
A
t
0T
f1(t)
f 2 (t )
A T
R(t)
A (t
T)
f2(t) A(tT)
A
t 0
A
T
t
A(tT)
故 f (t) A R(t) A (t T) A (t 2T) .........
-
f(t)
A
0
0
t
2
二．复指数信号
函数表示式为:
f(t)Ae(j0)t
由欧拉公式，可得 f(t) A e t[c o s(0 t) jsin (0 t)]
f(t)
0
A
f(t)
0
A
f(t)
A
0
0
t
-A
0
t
-A
0
t
-A
图2.2 复指数信号实-部和虚部的波形
3
f(t)Ae(j0)t
根据、 0 的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：