2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.已知，其中i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，，则A. B. C. D.4.已知平面向量均为单位向量，若向量的夹角为，则A. 37B. 25C.D. 55.若不等式对恒成立，则实数m的最大值为A. 7B. 8C. 9D. 106.某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分100分，从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是A. 第三组的频数为18人B. 根据频率分布直方图估计众数为75分C. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分7.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为A. B.C. D.8.函数的单调增区间为A. B.C. D.9.已知F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，则直线l的斜率为A. B. C. D.10.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.平面四边形ABCD中，，，，，，则四边形ABCD的面积为A. B. C. D.12.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以为直径的圆过点B，且A为的中点，则C的离心率为A. B. 2 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是______．14.已知为锐角，且，则______．15.已知A，B，C是球O球面上的三点，，，且四面体OABC的体积为则球O的表面积为______．16.自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数的图象经过点和，求；设数列的前n项和为，，求的前n项和．18.2020年春节期间，新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城．共克时艰，为疫区助力．我国S省Q市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送湖北省H市．现对100家商家抽取5家，其中2家来自A地，3家来自B地，从选中的这5家中，选出3家进行调研．求选出3家中1家来自A地，2家来自B地的概率．该市一商家考虑增加先进生产技术投入，该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量．现用以往的先进技术投入千元与月产增量千件，2，3，，的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且：，，，，，其中，，，根据所给的统计量，求y关于x回归方程，并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为19.如图，在四棱锥中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M 是SA的中点，，，．求证：平面平面SCD；若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为A，B，左、右焦点为，，其中．求栖圆C的方程：设为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，于点N，直线l：，设过点A与x轴垂直的直线与直线l交于点P，证明：直线BP经过线段MN的中点．21.已知函数．求函数的奇偶性．并证明当时函数只有一个极值点；当时，求的最小值；22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线、曲线在第一象限交于P、Q，且，点M的直角坐标为，求的面积．23.已知实数a、b满足．求的取值范围；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，．故选：A．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由，得，，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件求解a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：D解析：解：，，，，，，，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.答案：C解析：解：因为平面向量均为单位向量，且向量的夹角为，则；故．故选：C．先根据已知条件求得模长的平方，进而求得结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的模长，考查计算能力．5.答案：C解析：解：根据题意，，则，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为9，若不等式对恒成立，即式恒成立，必有恒成立，故实数m的最大值为9；故选：C．根据题意，由基本不等式的性质分析可得的最小值为9，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题．6.答案：C解析：解：对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：，所以第三组的频数为人，故正确；对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故正确；对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：分，故错误；对于D，因为，，所以中位数位于上，所以中位数的估计值为：，故正确；故选：C．对于A频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率；对于B根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分，对于D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解．本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，设，有，即函数为偶函数，排除A、D；设，则，在区间上，为减函数，且，，其对称轴为，开口向下，在区间上为增函数，上为减函数，在区间上，为减函数，此时，函数为减函数，故函数为增函数，排除C；故选：B．根据题意，设，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数为增函数，排除C；即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的分析，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数，令，；解得，；所以的单调增区间为，．故选：A．化函数为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间．本题考查了三角函数的化简和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．通过抛物线的定义与性质求出A的坐标，得到P的坐标，然后求解直线的斜率即可．【解答】解：F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，可得A的坐标所以，所以直线l的斜率为：．故选：C．解析：【分析】本题考查分段函数，函数的单调性的应用，是中档题．当，即时，由二次函数的图象和性质，可知存在，且，使得成立；当，即时，若存在，且，使得成立，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：函数，存在，且，使得成立，当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在，且，使得成立，当，即时，若存在，且，使得成立，则，解得，，综上所述：实数a的取值范围是．故选：C．11.答案：B解析：解：如图，，，，，，在中，由余弦定理，可得：，整理解得：，可得：，可得：，由于在中，由余弦定理，可得：，可得：，解得：，或舍去，则四边形ABCD的面积．由已知利用余弦定理可得：，，可求，在中，由余弦定理可得，解得BD的值，根据三角形的面积公式可求四边形ABCD 的面积的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：如图，因为A为的中点，所以，又因为B在圆上，所以，故，则：，联立，解得，则，整理得：，，即，，．故选：B．由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：由题意得，且切线斜率为1．设切点为，则，所以，．故切点坐标为．故答案为：先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．本题考查了利用导数的几何意义的应用，本题利用切点处的导数等于切线斜率构造方程求解，注意掌握．14.答案：解析：解：，，可得：，为锐角，，解得：，或舍去．故答案为：．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合为锐角，解方程可求的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．15.答案：解析：解：三棱锥，A、B、C三点均在球心O的表面上，且，，，外接圆的半径为：，的外接圆的圆心为G，则，，三棱锥的体积为24，，即，，球的半径为：．球的表面积：．故答案为：．求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16.答案：9600解析：解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且，，目标函数，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线经过点时，截距z最小，在可行域的整数点中，点使z取得最小值，即，每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意，，把运输队所花成本z看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题．17.答案：解：由题意得，解得，，所以，；由易知数列为以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以前n项和．解析：由代入法解方程可得a，b，进而得到所求通项公式；由等差数列的求和公式，化简，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：设A地2家分为，，B地3家分为，，，由题意得，所有情况为：，，，，，，，，，，共10种，其中A地1家，B地2家的有6个，故所求的概率为；由线性回归方程公式，，且，所以线性回归方程为：，当时，年销售量y的预报值千件，故预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量为千件．解析：设A地2家分为，，B地3家分为，，，由题意得，所有情况为10种，满足条件的有6种，求出即可；由线性回归方程公式，求出a，b，再求出线性回归方程，取代入求出即可．本题考查了古典概型求概率，求线性回归方程，考查了运算能力，中档题．19.答案：证明：取BC中点E，连接DE，则，由题意可得：四边形ABED为正方形，且，，则，又平面平面ABCD ，平面平面，平面SCD，平面MBD，平面平面SCD．解：过点S作，交CD的延长线于点H，连接AH．则为SD与底面ABCD所成的角，即．由可得：，在中，，，点M到平面ABCD的距离三棱锥的体积．解析：取BC中点E，连接DE，则，由题意可得：四边形ABED为正方形，可得，于是，根据面面垂直的性质定理可得：平面SCD，进而得出平面平面SCD．过点S作，交CD的延长线于点H，连接为SD与底面ABCD所成的角，即点M到平面ABCD的距离可得三棱锥的体积．本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、空间角、转化方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意知，，则，，，故椭圆的方程为，由知，，过点A且与x轴垂直的直线的方程为，结合方程，得点，直线PB的斜率为，直线PB的方程为，因为于点N，所以，线段MN的中点坐标，令，得，因为，所以，即直线BP经过线段MN的中点．解析：根据椭圆上一点到两焦点的距离之和为2a，可求出a，已知焦点坐标，可知c，可求方程．根据题意求出ABP的坐标，求PB直线方程，求出点N坐标，求出其中点，可带入判断在直线PB上．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算能力，属于难题．21.答案：解：因为，故函数时偶函数．，，故只需讨论时情况，，由三角函数的性质知，，，，时，是增函数，又是偶函数，所以时，单调递减．故时，函数只有一个极小值点．由知，只需求时的最小值．，设，，因为，由零点存在性定理，存在唯一的，使得．当，，递减；．又因为，所以时，恒成立，在上递减；当时，，为增函数．所以．解析：由奇偶性定义容易判断函数的奇偶性；要说明函数只有一个极值点，即导函数只有一个零点，结合导函数的单调性即可解决；讨论函数的单调性，求出函数的极小值、端点处函数值比较即可求出最小值．本题考查了利用导数研究函数的极值以及最值问题．要注意二次求导的目的是研究一阶导数的单调性，最终研究的一阶导数的符号，从而确定原函数的单调性．同时考查了学生的逻辑推理、数学运算以及抽象概括等数学核心素养．属于压轴题．22.答案：解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为，代入，解得．代入，得到，由于，所以，故：，解得，，所以，．则．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：因为，所以．当时，，解得，即；当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；由知，因为当且仅当时取等号，所以．解析：由已知得．当时，，解得，即；当时，，解得，即，得，即，即；由知，可得即．本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.若复数z=2i+4i−1，则z=()A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3.下列函数为奇函数的是()A. y=x3+3x2B. y=e x+e−x2C. y=xsinx D. y=log23−x3+x4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3a1+a2，则S4S2=()A. 2B. 3C. 4D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为A. 83B. 43C. 8D. 46.设函数f(x)=√3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)(|φ|<π2)，且图象关于直线x=0对称，则()A. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为增函数B. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数C. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为减函数7. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠DAB =60°，E 是BC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 在区间[0,5]上随机地取一个数x ，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为( )A. 25B. 15C. 12D. 149. 已知函数f(x)=log 2(2−ax)在区间[0,1]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (1,2)C. (0,2)D. (0,+∞)10. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −611. 在三棱锥D −ABC 中，已知AB =BC =AD =√2，BD =AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥D −ABC外接球的表面积为( )A. 6πB. 12πC. 6√3πD. 6√2π12. 函数f(x)=√3−x 2x−1的定义域是( )A. [−3,3]B. [−√3,√3]C. (1,√3]D. [−√3,1)∪(1,√3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某校从999个学生中，采用系统抽样的方法抽取27个学生参加某项活动，则抽样的分段间隔为__________．14. 直线y =3x +b 与函数f(x)=e x +x 的图象相切，则实数b =________． 15. 函数f(x)=x −1−lnx x 的零点为_________；最小值为_________．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y =√33(x +c)与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(1)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求△ABC 的面积； (2)若6cosA =a 2，且b =√3，求角A ．18.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位中抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．下面的临界值表仅供参考：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．20.已知圆x2+y2=9，A(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠PAQ=90°，M是PQ的中点．(1)求点M的轨迹曲线C的方程；(2)设E(92,12),D(12,12)对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点下，使|HE||HF|是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=e x−1−ax，g(x)=x(lnx−3)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对于任意x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2时，不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.己知函数f(x)=|x+m|+|2x−4|(m>0)的最小值等于3．(1)求m的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=3m，求√a+√b+√c的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义逐个判断即可．解：函数y=x3+3x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y=e x+e−x2是偶函数，排除B；函数y=xsinx是偶函数，排除C；函数y=log23−x3+x 的定义域是(−3,3)，且f(−x)=log23+x3−x=−f(x)，是奇函数，D正确．故选D．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．由S 3=3a 1+a 2，可得q 2=2，根据等比数列的前n 项和可得S4S 2=1+q 2，即可求解．解：由S 3=3a 1+a 2可得a 3=2a 1，所以q 2=2，又因为S4S 2=a 1+a 2+a 3+a 4a 1+a 2=1+a 3+a4a 1+a 2=1+q 2=3，故选B ．5.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和锥体体积． 解：由三视图可知，该几何体为放倒的四棱锥， 所以V =13×2√2×2×√2=83． 故选A ．6.答案：B解析：解：f(x)=√3cos(2x +φ)+sin(2x +φ)=2[√32cos(2x +φ)+12sin(2x +φ)] =2cos(2x +φ−π6)， ∵ω=2， ∴T =2π2=π，又函数图象关于直线x =0对称，∴φ−π6=kπ(k ∈Z)，即φ=kπ+π6(k ∈Z)， 又|φ|<π2， ∴φ=π6， ∴f(x)=2cos2x ，令2kπ≤2x ≤2kπ+π(k ∈Z)，解得：kπ≤x ≤kπ+π2(k ∈Z)， ∴函数的递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)， 又(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)， ∴函数在(0,π2)上为减函数，则y =f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数． 故选B将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x =0对称，将x =0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ(k ∈Z)，再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)，可得出(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)，即可得到函数在(0,π2)上为减函数，进而得到正确的选项． 此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．7.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，使用数量积的运算法则计算． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×cos60°=1， ∵E 是BC 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3． 故选：C ．8.答案：A解析：本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．根据已知条件，求出区间[0,5]的长度，及事件“1≤2x−1≤4”对应区间的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案． 解：在区间[0,5]的长度为5，因为1≤2x−1≤4，解之得1⩽x ⩽3，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为P =3−15−0=25． 故选：A ．9.答案：C解析：本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题． 由复合函数单调性及对数函数性质即可求解． 解：令y =log 2t ，t =2−ax ，∵2>1，则函y =log 2t 是增函数，则t 为减函数，需a >0且2−a >0，此时，0<a <2， 综上：实数a 的取值范围是(0,2)， 故选C ．10.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．11.答案：A解析：解：∵AB=BC=AD=√2，BD=AC=2，BC⊥AD，∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，AB⊥BC，AD⊥AB，∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；∴BD⊥BC，AD⊥AC，∵O为DC中点，∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，O为外接球的球心，半径R=12×√22+(√2)2=√62，∴三棱锥D−ABC外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π，故选：A．利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．本题综合考查了直线平面的垂直的判断性质定理，综合运用平面知识解决空间问题的能力．12.答案：D解析：本题考查函数定义域，属于基础题，由函数f(x)=√3−x2x−1有意义，列不等式组解得即可．解：要使函数f(x)=√3−x2x−1有意义，必须{3−x2≥0x−1≠0,解得−√3≤x≤√3且x≠1，∴函数f(x)=√3−x2的定义域是[−√3,1)∪(1,√3]．x−1故选D．13.答案：37解析：本题考查了系统抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．解：根据题意可知，=37，抽样的分段间隔为99927故答案为37．14.答案：2−2ln2．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，属于基础题．设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，求出函数的导数，根据直线y=3x+b与函数f(x)= e x+x相切，可得切点坐标P(ln2,2+ln2)，代入y=3x+b，可求得b的值．解：设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，∵f(x)=e x+x，∴f′(x)=e x+1，因为直线y=3x+b与函数f(x)=e x+x相切，∴e x0+1=3，解得x0=ln2，∴y0=e ln2+ln2=2+ln2，∴P(ln2,2+ln2)，又P(ln2,2+ln2)在直线y=3x+b上，∴2+ln2=3×ln2+b，∴b=2−2ln2．故答案为2−2ln2．15.答案：1；0解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题．求出导数研究单调性即可求解．解：因为f(x)=x−1−lnxx，所以f′(x)=1−1−lnxx2=x2+lnx−1x2，当0<x<1时，x2−1<0,lnx<0，所以f′(x)<0；当x>1时，x2−1>0,lnx>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，零点为1，故答案为1；0．16.答案：√3+1解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件判断三角形的性质，结合双曲线的定义建立方程是解决本题的关键．根据直线斜率和倾斜角的关系，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|，|PF1|，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．解：如图所示，直线PF1的斜率k=√33，则对应的倾斜角为30°，即∠PF1F2=30°，则∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2=60°，即∠F 1PF 2=90°，∴|PF 2|=c ，|PF 1|=√3c ，由双曲线的定义可得：|PF 1|−|PF 2|=2a ，则√3c −c =2a ，即c a =3−1=2(√3+1)2=√3+1即双曲线的离心率e =√3+1，故答案为√3+1．17.答案：解：△ABC 中中，角A ，B ，C 成等差数列，∴2B =A +C ，又A +B +C =π，∴B =π3；(1)由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得a ⋅c ⋅cosB =ac ⋅cos π3=1，∴ac =2；∴△ABC 的面积为：S △ABC =12ac ⋅sinB =12×2×sin π3=√32； (2)由正弦定理得，a sinA =b sinB =√3sin π3=2，∴a =2sinA ，∴6cosA =a 2=4sin 2A =4(1−cos 2A)，整理得2cos 2A +3cosA −2=0，解得cosA =12或cosA =−2(不合题意，舍去)，又A ∈(0,π)，∴A =π3．解析：(1)由题意求出B =π3，再根据平面向量的数量积和三角形面积公式求面积的值；(2)由正弦定理求得a =2sinA ，代入6cosA =a 2求出cos A 的值，即可得出A 的值．本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题． 18.答案：解：(1)列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性20525女性101525合计302050(2)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值k=50×(20×15−10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．解析：(1)利用所给数据，即可得到列联表；(2)利用公式求得K2的观测值k，与临界值比较，即可得到结论．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(1)证明：∵AD=DM=2，CM=BC=2，∠ADM=∠BCM=90°，∴AM=BM=2√2，又AB=4，∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．∴AD⊥BM，AD∩AM=A，AD,AM⊂平面ADM，∴BM⊥平面ADM，∵BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)解：取AM的中点F，连接DF，CF，则，DM=MC=2，DC=√DF2+CF2=2√3，∴S△DMC=√3，设点E到平面DMC的距离为d，则V E−DMC=12V B−DMC=12V D−BMC=12×13S△BMC×ℎ=16×2×√2=√23，∴d=3V E−DMCS△DMC =√63．解析：本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)证明：BM⊥平面ADM，即可证明平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E 为线段DB 的中点，利用等体积方法求点E 到平面DMC 的距离．20.答案：解：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=12|PQ|=|PM|=√9−|OM|2， 化简得：x 2+y 2−x −y −72=0，即(x −12)2+(y −12)2=4；(2)E(92,12),D(12,12)，直线ED 的方程为y =12， 假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，|HE|2=(x −92)2+(y −12)2=(x −92)2+4−(x −12)2=24−8x ， |HF|2=(x −t)2+(y −12)2=(x −t)2+4−(x −12)2=(1−2t)x +t 2+154． 当|HE||HF|是常数时，(HE HF)2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数， ∴1−2tt 2+154=−824，解得t =32或t =92(舍)． ∴存在F(32,12)满足条件．解析：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=|PM|=√9−|OM|2，代入点的坐标整理即可得到点M 的轨迹曲线C 的方程；(2)写出直线ED 的方程为y =12，假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，分别写出|HE|2与|HF|2，得到(HE HF )2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数，可得1−2t t 2+154=−824，由此求得t 值，可得存在F(32,12)满足条件．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算能力，是中档题． 21.答案：解：(1)f′(x)=e x−1−a ，当a ≤0时，f′(x)>0，此时，函数f(x)在R 上单调递增．当a >0时，f′(x)>0，解得x >1+lna ；f′(x)<0，解得x <1+lna ．∴函数f(x)在(−∞,1+lna)上单调递减，在(1+lna,+∞)上单调递增．(2)不等式f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)恒成立，∴不等式f(x 1)−g(x 1)<f(x 2)−g(x 2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax −xlnx +3x ．由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．∴F′(x)=e x−1−a−lnx+2≥0，即：a≤e x−1−lnx+2．令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，ℎ′(x)=e x−1−1x在R上单调递增，且ℎ′(1)=0．∴函数ℎ(x)在x=1处取得极小值，即最小值，ℎ(1)=3．∴a≤3．∴实数a的取值范围是(−∞,3]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)f′(x)=e x−1−a，对a分类讨论即可得出单调性．(2)不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，∴不等式f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax−xlnx+3x.由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．可得F′(x)≥0，即：a≤e x−1−lnx+2.令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，利用导数研究其单调性即可得出．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)的最小值在x =−m 或x =2处取得，若x =−m 时取到最小值3，则f(−m)=|−2m −4|=3，解得m =−12或m =−72，舍去，若x =2时取到最小值3，则f(2)=|2+m|=3，解得m =1或m =−5，舍去，当m =1时，f(x)=|x +1|+|2x −4|，于是f(−1)=|−1+1|+|−2−4|=6>3成立，综上，m =1；(2)由上知a +b +c =3，于是√a +√b +√c =√1⋅a +√1⋅b +√1⋅c≤1+a 2+1+b 2+1+c 2=3+a+b+c 2=3+32=3，当且仅当a =b =1时取等号，∴√a +√b +√c 的最大值为3．解析：本题考查了绝对值不等式以及基本不等式，属于中档题．(1)对x 进行分类利用分段函数表示出f(x)，由最小值为3得出m 的值；(2)利用基本不等式求出最值即可．。
2020年湖北省高考数学(文科)模拟试卷(3)
2020年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i2．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （ ） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]3．（5分）设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝04．（5分）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为√5−12≈0.618（黄金分割比）时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（ ）A ．127.50°B ．137.50°C ．147.50°D ．150.50°5．（5分）执行如图所示的程序框图．若输入的S ＝0，则输出的S ＝（ ）A ．20B ．40C ．62D ．776．（5分）若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（ ） A ．−√53B ．√53C ．−√52D ．√527．（5分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =√2AA 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直线AB 1与C 1F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．直线A 1E 与直线C 1F 异面，且m =√23 B ．直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√23C ．直线A 1E 与直线C 1F 异面，且m =√33 D ．直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√338．（5分）已知实数0＜a ＜b ，则下列说法正确的是（ ）A ．c a＞cbB ．ac 2＜bc 2C ．lna ＜lnbD ．（12）a ＜（12）b9．（5分）已知线段AB ＝4，E ，F 是AB 垂直平分线上的两个动点，且|EF →|=2，AE →⋅BF →的最小值（ ） A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．310．（5分）设函数f （x ）＝2x 3﹣2x +1，则在下列区间中，函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）11．（5分）已知函数f （x ）=x 2ex ，下列关于f （x ）的四个命题：①函数f （x ）在[0，1]上是增函数； ②函数f （x ）的最小值为0； ③如果x ∈[0，t ]时，f （x ）max =4e 2，则t 的最小值为2； ④函数f （x ）有2个零点； 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（5分）已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为（ ） A ．√2+14B ．√2+13C ．√22D ．13二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=(−2，−1)，b →=(1，λ)，若（a →+2b →）∥（2a →−b →），则实数λ＝ ． 14．（5分）若实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +2y −2≤0x −2y −2≤0，则z ＝3x +2y 的最大值为 ．15．（5分）已知m 为非零实数，若函数y ＝ln （m x−1−1）的图象关于原点中心对称，则m＝ ． 16．（5分）已知椭圆x 29+y 24=1，P 为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点．若已知∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2的值为 ． 三．解答题（共5小题）17．2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表．组别[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≤k0）0.150.100.050.0250.100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求三棱锥B1﹣ADC1的体积．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．20．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，|PF |＝4，O 为坐标原点，∠OFP ＝120°． （1）求抛物线C 的方程；（2）设Q 为抛物线C 的准线上一点，过点F 且垂直于OQ 的直线交抛物线C 于A ，B 两点记△QAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求1S 2−1S 1的取值范围．21．已知函数f （x ）＝e x ﹣2ax （a ∈R ）． （1）若f （x ）的极值为0，求实数a 的值；（2）若f （x ）≥2xlnx ﹣2x 对于x ∈（2，4）恒成立，求实数a 的取值范围． 四．解答题（共1小题）22．在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知x ，y ，z 均为正实数，且x +2y +3z ＝6，求证：6x +3y+2z≥9．2020年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．2．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （ ） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]【解答】解：∵A ＝{x |x ＞4，或x ＜﹣1}， ∴∁R A ＝{x |﹣1≤x ≤4}， ∵B ＝{x |x ≥2，或x ＜1}，∴（∁R A ）∩B ＝[﹣1，1）∪[2，4]． 故选：D ．3．（5分）设F 1，F 2分别为双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0【解答】解：设PF 1的中点为H ，连接HF 2， 由|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， 可得|PF 1|＝2c +2a ，在直角三角形HF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，|HF 2|＝2a ，|F 1H |＝c +a ， 可得4c 2＝（c +a ）2+（2a ）2，化为3c ＝5a ， 则b =√c 2−a 2=√(5a 3)2−a 2=43a ，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选：B ．4．（5分）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为√5−12≈0.618（黄金分割比）时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（ ）A ．127.50°B ．137.50°C ．147.50°D ．150.50°【解答】解：由题意知，S 1与S 2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设S 1与S 2所在扇形圆心角分别为α，β， 则αβ=√5−12≈0.618， 又α+β＝360°，∴α+α0.618≈360°， 解得α≈137.50°． 故选：B ．5．（5分）执行如图所示的程序框图．若输入的S ＝0，则输出的S ＝（ ）A ．20B ．40C ．62D ．77【解答】解：由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n }、{n }求前4项的和，∴S =2(1−24)1−2+1+2+3+4=40．故选：B ．6．（5分）若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（ ） A ．−√53B ．√53C ．−√52D ．√52【解答】解：若sinθ=√5cosθ，则 tan θ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−√52， 故选：C ．7．（5分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =√2AA 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直线AB 1与C 1F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．直线A 1E 与直线C 1F 异面，且m =√23B ．直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√23 C ．直线A 1E 与直线C 1F 异面，且m =√33 D ．直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√33 【解答】解：连结EF ，A 1C 1，C 1D ，DF ， ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF ∥A 1C 1， ∴直线A 1E 与直线C 1F 共面，由题意得AB 1∥C 1D ，∴异面直线AB 1与C 1F 所成角为∠DC 1F ， 设AA 1=√2，则AB =√2AA 1=2，则DF =√5，C 1F =√3，C 1D =√6， 由余弦定理得异面直线AB 1与C 1F 所成角的余弦值： m ＝cos ∠DC 1F =3+6−52×√3×√6=√23．综上：直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√23． 故选：B ．8．（5分）已知实数0＜a ＜b ，则下列说法正确的是（ ） A ．ca＞cbB ．ac 2＜bc 2C ．lna ＜lnbD ．（12）a＜（12）b【解答】解：对于A ．∵实数0＜a ＜b ，∴1a＞1b，ca＞cb（c ≤0不成立）， 对于B ．c ＝0不成立．对于C ．利用对数函数的单调性即可得出． 对于D .(12)a ＞(12)b ，因此不成立． 故选：C ．9．（5分）已知线段AB ＝4，E ，F 是AB 垂直平分线上的两个动点，且|EF →|=2，AE →⋅BF →的最小值（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．3【解答】解：以AB 所在直线为X 轴，AB 的中垂线为Y 轴，建立如图所示坐标系；则A （﹣2，0），B （2，0），设E （0，y ）则F （0，y ﹣2）； ∴AE →=（2，y ），BF →=（﹣2，y ﹣2）； ∴AE →⋅BF →=−4+y （y ﹣2）＝（y ﹣1）2﹣5； ∴当y ＝1时，AE →⋅BF →的最小值为﹣5； 故选：A ．10．（5分）设函数f （x ）＝2x 3﹣2x +1，则在下列区间中，函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝2x 3﹣2x +1，其导数为f ′（x ）＝6x 2﹣2， 则f （x ）在区间（﹣∞，−√33）上为增函数，在区间（−√33，√33）上减函数，在区间（√33，+∞）上为增函数； 依次分析选项：对于A ，在区间（﹣2，﹣1）上，f （x ）为增函数，f （﹣2）＝2×（﹣2）3﹣2×（﹣2）+1＝﹣11＜0，f （﹣1）＝2×（﹣1）3﹣2×（﹣1）+1＝1＞0，有f （﹣2）f （﹣1）＜0，在区间（﹣2，﹣1）上存在零点；对于B ，在区间（﹣1，0）上，f （x ）先增再减，有f （﹣1）＝1＞0，f （0）＝1＞0，f （x ）在区间（﹣1，0）上没有零点；对于C ，在区间（0，1）上，f （x ）先减再增，f （0）＝1＞0，f （1）＝1＞0，最小值f（√33）＞0，f （x ）在区间（0，1）上没有零点； 对于D ，在区间（1，2）上，f （x ）为增函数，f （1）＝1＞0，f （2）＝2×（2）3﹣2×（2）+1＝13＞0，f （x ）在区间（1，2）上没有零点； 故选：A ．11．（5分）已知函数f （x ）=x 2e x ，下列关于f （x ）的四个命题： ①函数f （x ）在[0，1]上是增函数； ②函数f （x ）的最小值为0； ③如果x ∈[0，t ]时，f （x ）max =42，则t 的最小值为2； ④函数f （x ）有2个零点； 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：函数f （x ）=x 2ex ，导数为f ′（x ）=x(2−x)e x， 可得0＜x ＜2时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； x ＞2或x ＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，即有f （x ）的极小值为f （0）＝0，极大值为f （2）=4e 2， 作出函数f （x ）的图象，如右：①函数f （x ）在[0，1]上是增函数，正确； ②函数f （x ）的最小值为0，正确； ③如果x ∈[0，t ]时，f （x ）max =4e 2，则t 的最小值为2，正确； ④函数f （x ）有1个零点，即为0，故④不正确． 其中真命题的个数为3， 故选：C ．12．（5分）已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为（ ） A ．√2+14B ．√2+13C ．√22D ．13【解答】解：设圆柱和圆锥的底面半径为r ，∵圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，∴圆锥的高h ＝r ，圆锥的母线l =√2r ， ∴圆柱的高h ＝r ，∴圆锥的表面积S 1=πr 2+πrl =πr 2+√2πr 2=(1+√2)πr 2，圆柱的表面积S 2=2πr 2+2πr ×r =4πr 2， ∴圆锥和圆柱的表面积之比为：S 1S 2=(1+√2)πr 24πr 2=1+√24， 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=(−2，−1)，b →=(1，λ)，若（a →+2b →）∥（2a →−b →），则实数λ＝12．【解答】解：向量a →=(−2，−1)，b →=(1，λ)， 则a →+2b →=（0，2λ﹣1）， 2a →−b →=（﹣5，﹣λ﹣2）， 又（a →+2b →）∥（2a →−b →），所以0×（﹣λ﹣2）﹣（﹣5）×（2λ﹣1）＝0， 解得实数λ=12． 故答案为：12．14．（5分）若实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +2y −2≤0x −2y −2≤0，则z ＝3x +2y 的最大值为 6 ．【解答】解：由实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +2y −2≤0x −2y −2≤0作出可行域如图，联立{x +2y −2=0x −2y −2=0，解得B （2，0），化目标函数z ＝3x +2y 为y =−32x +z2，由图可知，当直线y =−32x +z 2过B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为z ＝3×2+2×0＝6． 故答案为：615．（5分）已知m 为非零实数，若函数y ＝ln （m x−1−1）的图象关于原点中心对称，则m＝ ﹣2 ．【解答】解：由图象关于原点中心对称可知函数数y ＝ln （m x−1−1）为奇函数，即有ln （m−x−1−1）＝﹣ln （mx−1−1）对于定义域内任意x 恒成立，化简并整理得m （2+m ）＝0，因为m 为非零实数，因此解得m ＝﹣2． 故答案为：﹣2 16．（5分）已知椭圆x 29+y 24=1，P 为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点．若已知∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2的值为4√33．【解答】解：由题意可得焦距2c ＝|F 1F 2|＝2√9−4=2√5，PF 1+PF 2在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：F 1F 22＝PF 12+PF 22﹣2•PF 1•PF 2•cos ∠F 1PF 2＝（PF 1+PF 2）2﹣2PF 1•PF 2﹣2PF 1PF 2•cos60°，即4c 2＝4a 2﹣3PF 1PF 2，可得20＝4×9﹣3PF 1•PF 2，所以PF 1•PF 2=163， 所以S△F 1PF 2=12PF 1⋅PF 2•sin60°=12⋅163⋅√32=4√33，故答案为：4√33．三．解答题（共5小题）17．2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表． 组别 [40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女 2 4 4 15 21 9 男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）2×2列联表如下：非“环保关注者”“环保关注者”合计女104555男153045合计2575100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值K2=100×(45×15−30×10)225×75×55×45=30099≈3.030＞2.706，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的；（2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人，男“环保达人”2人．设女“环保达人”3人分别为A，B，C；男“环保达人”2人为D，E．从中抽取两人的所有情况为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共l0种情况．既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），共6种情况．故所求概率为P=610=35．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求三棱锥B1﹣ADC1的体积．【解答】解：（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1 ＝E，连接DE．∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，且AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C．∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D；（2）解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，∴平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，∴AD⊥平面B1BCC1，∴V B1−ADC1=V A−B1DC1=13S△B1DC1•AD=13×12×2×2×√3=2√33．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．【解答】解：（I）证明：令n＝1，则a1＝3．∵S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）①∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣1，（n≥2，n∈N+）②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1﹣2，a n＝2a n﹣1+2，∴a n+2a n−1+2=2(a n−1+2)a n−1+2=2，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2＝5，公比为2的等比数列．∴a n+2=5×2n−1，∴n⋅(a n+2)=52⋅n⋅2n，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则T n=52(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n)③∴2T n=52(1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1)④③﹣④得：−T n=52(2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1)=52[2(1−2n)1−2−n⋅2n+1]，∴T n=5(n−1)2n+5．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上一点，|PF|＝4，O为坐标原点，∠OFP＝120°．（1）求抛物线C的方程；（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于A，B两点记△QAB，△OAB的面积分别为S1，S2，求1S2−1S1的取值范围．【解答】解：（1）如图所示：，过点P作PP'垂直于x轴于点P'，∵点F是抛物线的焦点，∴F(p2，0)，∵∠OFP＝120°，∴∠PFP'＝600，又∵|PF|＝4，∴FP′=4×cos600=2，PP′=4×sin600=2√3，∴P(p2+2，2√3)，代入抛物线C：y2＝2px，得：12＝2p（p2+2），解得：p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x；（2）设直线AB的倾斜角为θ（θ＞0），直线AB与OQ交于点D，则有AB=4sin2θ，QD=QO+OD=1sinθ+sinθ，所以S1=12AB⋅QD=2(1+sin2θ)sin3θ，S2=12AB⋅OD=2sinθ，所以1S1−1S2=−sinθ2(1+sinθ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14，0)．根据图象对称性可知，1S1−1S2∈[−14，0)．21．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题得f'（x）＝e x﹣2a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有极值．②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减当x∈（ln2a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝ln2a时取到极小值，∵f（x）的极值为0，∴f（ln2a）＝0，∴e ln2a﹣2aln2a＝0即2a（1﹣ln2a）＝0，∴a=e 2，（2）由题得e x﹣2ax≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，∴2a≤e xx+2−2lnx对于x∈（2，4）恒成立，令H(x)=e xx+2−2lnx，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），又H′(x)=e x x−e x−2xx2，令G（x）＝e x x﹣e x﹣2x，则G'（x）＝e x x﹣2＞0在x∈（2，4）上恒成立，∴G （x ）在（2，4）上单调递增，∴G （x ）＞G （2）＝2e 2﹣e 2﹣4＝e 2﹣4＞0，∴H '（x ）＞0∴，H(x)=e xx +2−2lnx 在（2，4）上单调递增， ∴H(x)≥H(2)=e 22+2−2ln2， ∴a ≤e 24−ln2+1， 四．解答题（共1小题）22．在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =8√2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知x ，y ，z 均为正实数，且x +2y +3z ＝6，求证：6x+3y+2z≥9．【解答】证明：∵x ，y ，z 均为正实数，∴(x +2y +3z)(6x +3y +2z )≥(√x ⋅√6x +√2y ⋅√3y +√3z ⋅√2z )2=(3√6)2=54， ∴6x +3y+2z≥9， 当且仅当“x 26=2y 23=3z 22”时取等号，即得证．。
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩∁U B ＝ A ．{4，5} B ．{1，4，5} C ．{6，7} D ．{1，6，7}2. 设复数z 满足z ＝－3＋2ii (i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为 A ．－32 B.32 C ．±32 D ．14．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝A.13B.223 C ．－13 D ．－2235. 下列说法中，正确的是A ．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为“若b a >，则122-≤ba”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题6. 三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为 A.56B.45C.34D.238.下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A. 4πB. 2πC.43π D. π9. 函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B. C. D.10.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:E y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为A.2B.211. 函数()f x =的定义域为M,()g x =N ，则M N ⋂＝A ．[)1,-+∞B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．已知，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年百校联盟高考(文科)数学(4月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) 含解析
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82819．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO ＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S ＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP 取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S 为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。
【湖北4月调考】2020年湖北省高三(4月)线上调研考试 数学(文)(高清含答案)
Ａ．第三组的频数为 １８人
Ｂ．根据频率分布直方图估计众数为 ７５分
Ｃ．根据频率分布直方图估计样本的平均数为 ７５分
Ｄ．根据频率分布直方图估计样本的中位数为 ７５分
７．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函 数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数 ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＋１，ｘ∈［－π２，π２］的图象 大致为
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
３．已知 ｘ＝２０．１，ｙ＝ｌｏｇ５２，ｚ＝ｌｏｇ０．５２，则
Ａ．ｙ＜ｘ＜ｚ
Ｂ．ｙ＜ｚ＜ｘ
Ｃ．第三象限 Ｃ．ｚ＜ｘ＜ｙ
Ｄ．第四象限 Ｄ．ｚ＜ｙ＜ｘ
４．已知平面向量 ｍ，ｎ均为单位向量，若向量 ｍ，ｎ的夹角为 π３，则 ｜３ｍ＋４ｎ｜＝
Ａ．３７
Ｂ．２５
Ｃ．槡３７
Ｄ．５
５．若不等式 １ｘ＋１－１４ｘ≥ｍ对 ｘ∈（０，１４）恒成立，则实数 ｍ的最大值为
８．函数 ｆ（ｘ）＝槡３ｃｏｓ（２ｘ－π２）＋ｃｏｓ（π＋２ｘ）的单调增区间为
Ａ．［－π６ ＋ｋπ，π３ ＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ
Ｂ．［－π３ ＋ｋπ，π６ ＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ
Ｃ．［－５１π２＋ｋπ，１π２＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ
Ｄ．［－１π２＋ｋ４ｘ的焦点，过焦点 Ｆ的直线 ｌ交抛物线的准线于点 Ｐ，点 Ａ在抛物
２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试
文科数学试卷
２０２０．４
本试卷共 ５页，２３题（含选考题）。全卷满分 １５０分。考试用时 １２０分钟。
★祝考试顺利★
注意事项： １．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。请家
2020届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研文科数学试题(解析版)
数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （ ） A. ()2,+∞ B. [)2,+∞C. (],2-∞D. (],1-∞【答案】C 【解析】∵集合{}02A x x =<≤∵{}1B x x =<∵ ∵A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集. 2.已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A.45B. 45-C. 45iD. 45-i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-， 则复数z 虚部为45-. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 2211648x y -= D. 2214816x y -=的【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A .【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.4.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）.故选：D .【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题5.已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【详解】当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m ”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m ”充分不必要条件， 故选：A .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题6.已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r，则（ ）A. a r ∥b rB. a r ⊥b rC. a r ∥(a b -r r )D. a r ⊥( a b -r r )【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.【详解】∵向量a =r （1，﹣2），b =r （3，﹣1），∴a r 和b r 的坐标对应不成比例，故a r 、b r不平行，故排除A ；显然，a r •b =r3+2≠0，故a r、b r不垂直，故排除B ；∴a b -=r r （﹣2，﹣1），显然，a r 和a b -r r 的坐标对应不成比例，故a r 和a b -r r 不平行，故排除C ；∴a r•（a b -rr）＝﹣2+2＝0，故 a r⊥（a b -rr），故D 正确， 故选：D .【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.7.已知点(m ,8)在幂函数()(1)nf x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫===⎪⎝⎭，则（ ） A. b ＜a ＜c B. a ＜b ＜c C. b ＜c ＜aD. a ＜c ＜b【答案】B 【解析】 【分析】先利用幂函数的定义求出m 的值，得到幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，再利用幂函数f （x ）的单调性，即可得到a ，b ，c 的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3，∴幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，∵23m n =，1＜ln π＜3，n ＝3， ∴mln n nπ＜＜， ∴a ＜b ＜c ， 故选：B .【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.8.函数48ln ()x xx x f x e e --=+的图象大致为（ ）AB.C.D.【答案】A.【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除BD ，由函数的趋近性可排除C ，由此得出正确选项.【详解】函数的定义域为{x ∈R|x ≠﹣2且x ≠0且x ≠2}，()()4488ln x xx xln x x xxf x f x e e e e ---+--===++，则函数f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BD ； 当x →+∞时，48xxe e ln x x+>->0，则f （x ）→0且()0f x >，故排除C . 故选：A .【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题.9.一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A. 6海里海里【答案】A 【解析】 【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BCsin sin =︒︒，12BC=，∴BC = 故选：A .【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.10.已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA =PB =，AB ＝4，CA ＝CB =，面P AB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A.103π B.256πC.409πD.503π【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，找出△P AB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】如图；设AB 的中点为D ； ∵PA =PB =，AB ＝4，∴△P AB直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 12=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；∵CA ＝CB =，面P AB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面P AB ；且DC = ∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2R ）2+r 2⇒R=； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π2503π⨯=.故选：D .【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.11.已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可.【详解】由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==.∴f （x ）＝sin （2x +φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3434sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭ 故选：A .【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.12.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A. 9 B. 10C. 18D. 20【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案.【详解】函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，∵f （x ）为偶函数，取x ＝x +2，可得f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2. 又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：.由图可知，两函数图象共10个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B .【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线10(0,0)mx ny m n --=>>过圆22:2210C x y x y +-+-=的圆心，则11m n+的最小值是_____. 【答案】4 【解析】 【分析】直线mx ﹣ny ﹣1＝0（m ＞0，n ＞0）经过圆x 2+y 2﹣2x +2y ﹣1＝0的圆心（1，﹣1），可得m +n ＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】∵mx ﹣ny ﹣1＝0（m ＞0，n ＞0）经过圆x 2+y 2﹣2x +2y ﹣1＝0的圆心（1，﹣1）， ∴m +n ﹣1＝0，即m +n ＝1.∴11m n +=（11m n+）（m +n ）＝2m n n m ++≥2+2＝4，当且仅当m ＝n 12=时取等号.∴则11m n+的最小值是4.故答案为：4.【点睛】本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.14.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________.【答案】58【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率．【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数4416n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为105168p ==． 故答案为：58【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，求解时注意辨别概率的模型． 15.给出以下式子：①tan25°+tan35°； ②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③115115tan tan +︒-︒_____. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】①∵tan60°＝tan （25°+35°）253512535tan tan tan tan ︒+︒==-︒︒，tan25°+tan35°；)12535tan tan =-︒︒，=②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°）， ＝2sin60°= ③115451511514545tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒==-︒-︒︒tan （45°+15°）＝tan60°=故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.16.已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的焦距为2c ，过C 外一点P (c ,2c )作线段PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A 、B ，若|P A |＝|AF 1|，则22PF BF =_____.【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得判断OA ∥PF 2，且|PF 2|＝2|OA |，从而得到点A 为椭圆上顶点，则有b ＝c ，解出B 的坐标即可得到比值.【详解】因为|P A |＝|AF 1|，所以点A 是线段PF 1的中点，又因为点O 为线段F 1F 2的中点，所以OA ∥PF 2，且|PF 2|＝2|OA |， 因为点P （c ，2c ），所以PF 2⊥x 轴，则|PF 2|＝2c ， 所以OA ⊥x 轴，则点A 为椭圆上顶点， 所以|OA |＝b ，则2b ＝2c ，所以b ＝c ，a ==，设B （c ，m ）（m ＞0），则222212c m c c +=，解得m =， 所以|BF 2|2=c ，则22PF BF ==故答案为：【点睛】本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列{a n }的各项均为正数，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，1451,11a a a ⋅==.（1）求数列{a n }的通项a n ；（2）设b n ＝a n ⋅3n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）*21,3n n a n N +=∈.（2）3n n T n =⋅ 【解析】 【分析】（1）先设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d 的方程，解出d 的值，即可得到数列{a n }的通项a n ；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后运用错位相减法计算前n 项和T n . 【详解】（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），则 a 4a 5＝（1+3d ）（1+4d ）＝11， 整理，得12d 2+7d ﹣10＝0， 解得d 54=-（舍去），或d 23=， ∴a n ＝123+（n ﹣1）213n +=，n ∈N*. （2）由（1）知，b n ＝a n ⋅3n 213n +=•3n＝（2n +1）•3n ﹣1， ∴T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＝3×1+5×31+7×32+…+（2n +1）•3n ﹣1， ∴3T n ＝3×31+5×32+…+（2n ﹣1）•3n ﹣1+（2n +1）•3n ， 两式相减，可得：﹣2T n ＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n ﹣1﹣（2n +1）•3n＝3+2×（31+32+…+3n ﹣1）﹣（2n +1）•3n＝3+23313n-⨯--（2n +1）•3n＝﹣2n •3n ， ∴T n ＝n •3n .【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n 项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.18.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝C 1C ＝1，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.（1）求证：直线MN ⊥平面ACB 1； （2）求点C 1到平面B 1MC 的距离.【答案】（1）证明见解析.（2【解析】 【分析】（1）连接AC 1，BC 1，结合中位线定理可证MN ∥BC 1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC ⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，即可求证直线MN ⊥平面ACB 1；（2）作MP BC ⊥交于点P ，通过等体积法，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ，则有1111133B MC B C C S h S MP ⋅=⋅，结合几何关系即可求解【详解】（1）证明：连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点； ∵M 是AB 的中点. 所以：MN ∥BC 1；∵A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1A ⊥AC ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1∥CC ， ∴AC ⊥CC 1，∵∠ACB ＝90°，BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥BC 1；又MN ∥BC 1 ∴AC ⊥MN ， ∵CB ＝C 1C ＝1，∴四边形BB 1C 1C 正方形， ∴BC 1⊥B 1C ，∴MN ⊥B 1C ，而AC ∩B 1C ＝C ，且AC ⊂平面ACB 1，CB 1⊂平面ACB 1， ∴MN ⊥平面ACB 1，（2）作MP BC ⊥交于点P ，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ，因为MP 111122B CC S ==V ，， 所以111113M B CC B CC V S -=⋅V •MP 112=，因为CM =，B 1C =B 1M 2=，所以所以：112B CM S =V CM •B 1M 4=.因为1111C B MC M B C C V V --=，所以1111133B MC B C C S h S MP ⋅=⋅，解得h所以点1C ，到平面1B MC 的距离为【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题19.某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？附：K 2()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）男生人数为45人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关. 【解析】 【分析】（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合2K 公式计算，利用表格数据对比判断即可 【详解】（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11， 所以男生人数为91004520⨯=人，女生人数100﹣45＝55人， （2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人， 联表如下：因为22100(1838737)45552575K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.892＞3.841，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.20.已知A 是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的一点，以点A 和点B (2,0)为直径两端点的圆C 交直线x ＝1于M ，N 两点.（1）若|MN |＝2，求抛物线E 的方程；（2）若0＜p ＜1，抛物线E 与圆(x ﹣5)2+y 2=9在x 轴上方的交点为P ，Q ，点G 为PQ 的中点，O 为坐标原点，求直线OG 斜率的取值范围.【答案】（1）24y x =.（2）0,2⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】（1）设A 的坐标为A （x 0，y 0），由题意可得圆心C 的坐标，求出C 到直线x ＝1的距离.由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G 的坐标，再求出直线OG 的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围.【详解】（1）设A （x 0，y 0）且y 02＝2px 0，则圆心C （00222x y +，），圆C 的直径|AB |=， 圆心C 到直线x ＝1的距离d ＝|022x +-1|＝|02x |， 因为|MN |＝2，所以（2MN ）2+d 2＝（2AB ）2，即1222000(2)44x x y -++=，y 02＝2px 0， 整理可得（2p ﹣4）x 0＝0，所以p ＝2， 所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）联立抛物线与圆的方程2222(5)9y pxx y ⎧=⎨-+=⎩整理可得x 2﹣2（5﹣p ）x +16＝0，△＞0， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2＝2（5﹣p ），x 1x 2＝16，所以中点G 的横坐标x G ＝5﹣p ，y G ==所以k OG =0＜P ＜1），令t ＝5﹣p （t ∈（4，5）），则k OG ==11154t ＜＜），解得0＜k OG 2，所以直线OG 斜率的取值范围（0，2）. 【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题. 21.已知函数2()(2)ln 2f x x t x t x =+--+. （1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值； （2）求实数t 的范围，使得()2f x ≥恒成立. 【答案】（1）3-.（2）1t ≥ 【解析】【分析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t ，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值； （2）由已知代入可得，x 2+（t ﹣2）x ﹣tlnx ≥0在x ＞0时恒成立，构造函数g （x ）＝x 2+（t ﹣2）x ﹣tlnx ，结合导数及函数的性质可求. 【详解】（1）()'22tf x x t x=+--，x ＞0， 由题意可得，()1'222f t =+=0，解可得t ＝﹣4， ∴()()()2124'26x x f x x x x--=-+=， 易得，当x ＞2，0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当1＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，函数单调递减， 故当x ＝1时，函数取得极大值f （1）＝﹣3；（2）由f （x ）＝x 2+（t ﹣2）x ﹣tlnx +2≥2在x ＞0时恒成立可得，x 2+（t ﹣2）x ﹣tlnx ≥0在x ＞0时恒成立， 令g （x ）＝x 2+（t ﹣2）x ﹣tlnx ，则()()()12'22x x t t g x x t x x-+=+--=， （i ）当t ≥0时，g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以g （x ）min ＝g （1）＝t ﹣1≥0，解可得t ≥1， （ii ）当﹣2＜t ＜0时，g （x ）在（112t -，）上单调递减，在（0，12t -），（1，+∞）上单调递增， 此时g （1）＝t ﹣1＜﹣1不合题意，舍去；（iii ）当t ＝﹣2时，g ′（x ）22(1)x x-=≥0，即g （x ）在（0，+∞）上单调递增，此时g （1）＝﹣3不合题意；（iv ）当t ＜﹣2时，g （x ）在（1，12t -）上单调递减，在（0，1），（12t -+∞，）上单调递增，此时g （1）＝t ﹣1＜﹣3不合题意， 综上，t ≥1时，f （x ）≥2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为21x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P (2,1)，求|P A |⋅|PB |的值.【答案】（1）直线l 的普通方程30x y +-=，圆C 的直角坐标方程：22430x y x +--=.（2）6 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.【详解】（1）直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y ﹣3＝0. 圆C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3，转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x ﹣3＝0.（2）把直线l的参数方程为221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入圆的直角坐标方程x 2+y 2﹣4x ﹣3＝0，得到260t -=， 所以|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝6.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23.已知函数()||f x x a =-（1）当1a =-时，求不等式()|21|1f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()|3|g x f x x =-+的值域为A ，且[2,1]A -⊆，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x ≤-或1}x ≥（2）(,5][1,)-∞-⋃-+∞ 【解析】 分析】（1）分类讨论去绝对值即可；（2）根据条件分a ＜﹣3和a ≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A 建立关于a 的不等式，然后求出a 的取值范围. 【详解】（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x +1|.∵f （x ）≤|2x +1|﹣1，∴当x ≤﹣1时，原不等式可化为﹣x ﹣1≤﹣2x ﹣2，∴x ≤﹣1； 当112x -<<-时，原不等式可化为x +1≤﹣2x ﹣2，∴x ≤﹣1，此时不等式无解； 当21x ≥-时，原不等式可化为x +1≤2x ，∴x ≥1， 综上，原不等式的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥1}.（2）当a ＜﹣3时，()323333a x a g x x a a x a x +≤⎧⎪=-+<<-⎨⎪--≥-⎩，，，，∴函数g （x ）的值域A ＝{x |3+a ≤x ≤﹣a ﹣3}.∵[﹣2，1]⊆A ，∴3231a a +≤-⎧⎨--≥⎩，∴a ≤﹣5；当a ≥﹣3时，()3323333a x g x x a x a x a +≤-⎧⎪=-+-<<-⎨⎪--≥⎩，，，， ∴函数g （x ）的值域A ＝{x |﹣a ﹣3≤x ≤3+a }.∵[﹣2，1]⊆A ，∴3231a a --≤-⎧⎨+≥⎩，∴a ≥﹣1，综上，a 的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.。
2020届湖北省武汉市高三四月调研测试数学文试题有答案(精品)
武汉市高中毕业生四月调研测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i-的共轭复数是（）A．2i+B．2i-+ C．2i--D．2i-2.已知集合2{|20}A x x x=-<，{|lg(1)0}B x x=-≤，则A B=I（）A．(0,2) B．(1,2) C．(1,2] D．(0,2]3.曲线1C：221259x y+=与曲线2C：221259x yk k+=--(09)k<<的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等4.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t∈-，则输出的S属于（）A．[4,2]- B．[2,2]-C．[2,4]- D．[4,0]-5.若x、y满足约束条件31230x yxx y+≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y=+的最小值为（）A．9 B．7 C．1D．3-6.从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A．1415B．45C．35D．157.若实数a，b满足1a b>>，log(log)a am b=，2(log)an b=，2logal b=，则m，n，l的大小关系为（）A．m l n>> B．l n m>> C．n l m>> D．l m n>>8.在ABC∆中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，条件p：2b ca+≤，条件q：2B CA+≤，那么条件p是条件q成立的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A 36C ．3．2610.已知()f x 是R 上的奇函数，且(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，2()2f x x =，则()2f 7=（ ） A ．12B ．12- C ．1D ．1- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.已知(2,0)A ，(0,1)B 是椭圆22221x y a b +=的两个顶点，直线(0)y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =u u u r u u u r，则斜率k 的值为（ ）A ．23 B ．38 C ．23或38 D ．23或34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=．14.已知向量a r ，b r 满足条件2a =r ，3b =r ，a r 与b r 的夹角为60o，则a b -=r r ．15.过点(1,1)P 作曲线3y x =的切线，则切线方程为．16.在四面体ABCD 中，1AC CB AB AD BD =====，且平面ABC ⊥平面ABD ，则四面体ABCD 的外接球半径R =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21342n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； （2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）求异面直线1A E 与1C F 所成角的余弦值. （2）求四面体11EFC A 的体积.19.已知直线2y x =与抛物线Γ：22y px =交于O 和E 两点，且5OE =. （1）求抛物线Γ的方程；（2）过点(2,0)Q 的直线交抛物线Γ于A 、B 两点，P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M 、N 两点，问M 、N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由. 20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？合格优秀 合计 男生 720女生10202()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.21.（1）求函数ln ()xf x x=的最大值； （2）若函数()xg x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市高中毕业生四月调研测试文科数学参考答案一、选择题1-5: CBDAC 6-10: BBABA 11、12：CC 二、填空题13.25 15. 32y x =-，3144y x =+三、解答题 17.解：（1）∵21342n n S S +=+，可知311342S S =+，421342S S =+， 两式相减得：4214a a =，∴214q =，而0q >，则12q =. 又由311342S S =+，可知：12311342a a a a ++=+， ∴111113(1)2442a a ++=+， ∴11a =.（2）由（1）知11()2n n a -=. ∵12n n nb -=， ∴21231222n n nT -=+++⋅⋅⋅+， 21112122222n n n n nT --=++⋅⋅⋅++. 两式相减得11112222n n n n T =++⋅⋅⋅+-1222n n n =--. ∴1242n n n T -+=-. 18.解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，延长DC 至M ，使1CM =，则//AE CM . ∴11//A E C M .∴1FC M ∠为异面直线1A E 与1C F 所成的角.在1FC M ∆中，11C F C M =2FM =， ∴14cos 5FC M ∠==.（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =.∴1//A E FN，从而1//A N EF，1//A N平面1EFC，∴1111A EFC N EFC E NFCV V V---==11113(23)33332NFCS∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=.19.解：（1）由22y px=与2y x=，解得交点(0,0)O，(,)2pE p，∴22()52pOE p=+=2p=.∴抛物线方程为：24y x=.（2）设AB：2x ty=+，代入24y x=中，设11(,)A x y，22(,)B x y，则2480y ty--=，∴121248y y ty y+=⋅⋅⋅⎧⎨⋅=-⋅⋅⋅⎩①②.设(2,)P y-，则PA：101(2)2y yy y xx--=++，令0y=，得01011()2My y x y x y-=+③同理由BP可知：02022()2Ny y x y x y-⋅=+④由③×④得0102()()M Ny y y y x x--⋅011022(2)(2)y x y y x y=++201201221122()4y x x y y x y x y y=+++2222212210012122()44444y y y yy y y y y y=+⋅+⋅+⋅2221201201212124164y yy y y y y y y y+=⋅++（其中128y y=-.）20120124[(()]y y y y y y=-++，从而4M Nx x⋅=为定值.20.解：（1）由题意，得：中间值455565758595∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）24000(720102011801080)1800220019002100K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯284000(540000)1822192110⨯=⨯⨯⨯⨯ 2000545473.8210.82818221921⨯⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为有关. 21.解：（1）对ln ()x f x x =求导数，21ln '()xf x x -=. 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数， ∴1()()f x f e e ≤=，从而()f x 的最大值为1e. （2）①在0a =时，()xg x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点. ②在0a <时，()xg x e ax =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g x 在R 上只有一个零点. ③在0a >时，由'()0xg x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-.若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点， 若a e =，()0g x =极小，()g x 只有一个零点， 若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而(0)10g =>. 由（1）可知，ln ()xf x x=在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()20ag a e a =->.∴()g x 在(0,ln )a 与(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解； 在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立， 而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =. ∴a 的取值为1或1-.。
2020年湖北省黄冈八模高考数学模拟试卷(文科)(四)
2020年湖北省黄冈八模高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{y|y＝1−x2, x∈[−1, 1]}，B＝{x|y=√x+2}，则A∩B＝（）A.[0, 1]B.[−1, 1]C.(0, 1)D.⌀2. 若复数z满足(3−4i)z＝5(1−i)，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A.1B.−15C.15D.−13. 已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4. 求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A.f(x)＝x4B.f(x)＝tan x+2(−π2<x<π2)C.f(x)＝cos x−1D.f(x)＝|2x−3|5. 已知角α顶点为原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(−√3, 1)在终边上，则cos(α−π6)=( )A.1 2B.−12C.√32D.−√326. 汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A.32B.40C.32√103D.40√1037. 已知抛物线y2＝4√3x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，若双曲线的离心率2√33，那么|AB|＝（）A.2B.43C.√2D.2√338. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线y=13.743x+3095.7，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0B.1C.2D.39. 若点P(1, 1)为圆x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A.2x+y−3=0B.x−2y+1=0C.x+2y−3=0D.2x−y−1=010. 已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx+π4)在(π2, π)上单调递增，则ω的取值范围是（）A.[12, 54] B.[12, 74] C.[34, 94] D.[32, 74]11. 在平面直角坐标系中，A(−2, 0)，B(1, 3)，O为坐标原点，且OM→=αOA→+βOB→(α+β=1)，N(1, 0)，则|MN→|的最小值为()A.√22B.3√22C.92D.3212. 设在R 上可导的函数f(x)满足f(0)＝0，f(x)−f(−x)=13x 3，并且在(−∞, 0)上有f′(x)<12x 2，实数a 满足f(6−a)−f(a)≥−13a 3+3a 2−18a +36，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞, 3] B.[3, +∞) C.[4, +∞] D.(−∞, 4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.命题“∀x >1，都有x 2+1>2”的否定是________．设x ，y 满足约束条件：{x ≥0,y ≥0x −y ≥−1x +y ≤3 ，则z ＝x −10y 的取值范围是________．已知△ABC 各角的对应边分别为a ，b ，c ，且满足ba+c +ca+b ≥1，则角A 的取值范围是________．将正三棱锥P −ABC 置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P −ABC −Q ，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有________． ①PQ ⊥平面ABC ；②若P ，A ，B ，C 在同一球面上，则Q也在该球面上； ③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB =√2PA ； ④若AB =√62PA ，则PQ 的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知等差数列{a n }满足(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+⋯+(a n +a n+1)=2n(n +1)(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和T n ．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且AE =1．(1)求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；(2)线段AD 上是否存在一点F ，使三棱锥C −BEF 的高ℎ=65？若存在，请求出|DF||AF|的值；若不存在，请说明理由．鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量x （单位：箱）在[100, 200)的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表：（1）根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的58，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m 元(2≤m ≤5)销售量可增加1000m 箱，求小张在今年年底收入Y （单位：元）的最大值．如图，已知A(−1, 0)，B(1, 0)Q 、G 分别为△ABC 的外心、重心，QG // AB ．（1）求点C 的轨迹E 的方程．（2）是否存在过P(0, 1)的直线L 交曲线E 与M ，N 两点且满足MP →=2PN →，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由．已知函数f(x)＝|x −a|−ln x(a >0)． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)比较ln 2222+ln 3232+⋯+ln n 2n2与(n−1)(2n+1)2(n+1)的大小(n ∈N +且n >2)，并证明你的结论．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，A 点的直角坐标为(√3+2cos α,1+2sin α)（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为2ρcos (θ+π6)=m ．（m 为实数）．（1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）设函数f(x)＝x −|x +2|−|x −3|−m ，若∀x ∈R ，1m −4≥f(x)恒成立． （1）求m 的取值范围；（2）求证：log （m+1）(m +2)>log （m+2）(m +3)．参考答案与试题解析2020年湖北省黄冈八模高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝[0, 1]，B＝[−2, +∞)，∴A∩B＝[0, 1]．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由(3−4i)z＝5(1−i)，得z=5(1−i)3−4i =5(1−i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(7+i)25=75+15i．∴z的虚部为15．3.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0, 1)，∴a<c<b.故选B.4. 【答案】B【考点】二分法的定义【解析】求出函数的值域，即可判断选项的正误；【解答】f(x)＝x4不是单调函数，y≥0，不能用二分法求零点，f(x)＝tan x+2是单调函数，y∈R，能用二分法求零点．f(x)＝cos x−1不是单调函数，y≤0，不能用二分法求零点．f(x)＝|2x−3|，不是单调函数y≥0，不能用二分法求零点．5.【答案】B【考点】两角和与差的余弦公式三角函数线【解析】根据题意求出cosα=−√32，sinα=12，利用两角和与差公式展开代入即可．【解答】解：根据题意，cosα=−√32，sinα=12，则cos(α−π6)=cosαcosπ6+sinαsinπ6=(−√32)×√32+12×12=−34+14=−12.故选B.6.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图：转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成．故：V=12⋅π⋅22⋅4+12⋅13⋅π⋅22⋅4=32π3，由于π2=16⋅58=10，所以：π=√10．故：V=32√103，故选C．7.【答案】A【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】分别求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立可得A，B的坐标，再由双曲线的离心率公式，以及a，b，c的关系式可得a，b的关系，即可得到所求|AB|．【解答】抛物线y2＝4√3x的准线为x=−√3，双曲线x 2a2−y2b2=1的两条渐近线为y＝±bax，可得A(−√3, √3ba )，B（(−√3, −√3ba)，由e=ca =√1+b2a2=2√33，可得ba=√33，则|AB|＝2√3⋅√33=2，8.【答案】D【考点】求解线性回归方程【解析】由散点图中各点分布情况和R2的值，判断①正确；由回归直线方程判断②正确；由回归直线方程计算x＝7时y的值，判断③正确．【解答】由散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.9817趋近于1，所以相关性较强，所以①正确；由回归直线方程y=13.743x+3095.7，知②正确；由回归直线方程y=13.743x+3095.7知，当x＝7时，计算得y=13.743×7+3095.7＝3191.9，其估计值为3191.9≈3192，所以③正确；综上知，正确的命题个数为3．9.【答案】D【考点】直线与圆相交的性质【解析】由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为−1，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．【解答】解：x2+y2−6x=0化为标准方程为(x−3)2+y2=9，∵P(1, 1)为圆(x−3)2+y2=9的弦MN的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为1−01−3=−12，∴弦MN所在直线的斜率为2，∴弦MN所在直线的方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0．故选D．10.【答案】D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据函数y＝cos x的单调递增区间，结合函数在(π2, π)上单调递增，得出关于ω的不等式（组），从而求出ω的取值范围．【解答】∵函数y＝cos x的单调递增区间是[−π+2kπ, 2kπ]，k∈Z；∴−π+2kπ≤ωx+π4≤2kπ，k∈Z；解得：−5π4ω+2kπω≤x≤2kπω−π4ω(k∈Z)，∵函数f(x)＝cos(ωx+π4)在(π2, π)上单调递增，∴(π2, π)⊆[−5π4ω+2kπω, 2kπω−π4ω](k∈Z)，解得4k−52≤ω≤2k−14；又∵4k−52−(2k−14)≤0，且4k−52>0，∴k＝1，∴ω∈[32, 74]．11.【答案】B【考点】向量的共线定理 点到直线的距离公式【解析】由题意知A ，B ，M 共线，先求出直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式，点N 到直线的距离为d ，即为|MN →|的最小值． 【解答】 解：如图∵ OM →=αOA →+βOB →(α+β=1)， ∴ A ，B ，M 共线，∵ A(−2, 0)，B(1, 3)，∴ 直线AB 的方程为x −y +2=0， ∵ N(1, 0)，设点N 到直线的距离为d ， ∴ d =√1+1=3√22∴ |MN →|的最小值为N 到直线AB 的距离3√22， 故选B ．12. 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】依题意，构造函数g(x)=f(x)−16x 3，可知函数g(x)为偶函数且在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，进而题设不等式等价于g(6−a)≥g(a)，即|6−a|≥|a|，解出即可求得实数a 的取值范围．【解答】设g(x)=f(x)−16x 3，则g ′(x)=f ′(x)−12x 2<0(x <0)， 故g(x)=f(x)−16x 3在区间(−∞, 0)上单调递减，又g(x)−g(−x)=f(x)−16x 3−[f(−x)+16x 3]=0，故函数g(x)为偶函数，在区间(0, +∞)上单调递增，而g(6−a)−g(a)=f(6−a)−f(a)−(−13a 3+3a 2−18a +36)≥0，故原不等式等价于g(6−a)≥g(a)，即|6−a|≥|a|，解得a ≤3．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】∃x >1，有x 2+1≤2 【考点】 命题的否定 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，进行判断即可． 【解答】全称命题的否定是特称命题，得命题的否定是：∃x >1，有x 2+1≤2， 【答案】 [−19, 3] 【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可 【解答】由z ＝x −10y 得y =110x −110z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线y =110x −110z ，由图象可知当直线y =110x −110z ，过点A(3, 0)时，直线y =110x −110z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3−0＝3， 由图象可知当直线y =110x −110z ，过点B 时，直线y =110x −110z 的截距最大，此时z 最小， 由{x −y =−1x +y =3，解得{x =1y =2 ，即B(1, 2)，代入目标函数z ＝x −10y ，得z ＝1−10×2＝−19， 故−19≤z ≤3， 【答案】 (0, π3]【考点】 不等式的证明 【解析】将已知不等式化简整理，再由余弦定理，可得cos A≥12(0<A<π)，再由余弦函数的单调性，即可得到A的范围．【解答】由ba+c +ca+b≥1，可得，b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b)，即b2+c2−a2≥bc，将不等式两边同除以2bc，可得b 2+c2−a22bc≥12，由余弦定理可得，cos A≥12(0<A<π)所以0<A≤π3．【答案】①④【考点】棱锥的结构特征球的表面积和体积【解析】①②由‘’倒影三棱锥‘’的几何特征可知PQ⊥平面ABC．故①正确，当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故②不正确，进而求解．【解答】①由‘’倒影三棱锥‘’的几何特征可知PQ⊥平面ABC．故①正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故②不正确；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P−ABC的外接球半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，可设为R，则AB＝2R×√32=√3R，所以AB=√62PA，故③不正确；由③推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，故④正确，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗)，可得a1+a2＝4，a1+a2+a2+a3＝12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d＝4，4a1+4d＝12，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；由题意可得c1＝a b1=a1＝1，c2＝a b2=a2＝3，可得数列{c n}的公比为3，c n＝3n−1，由c n＝a bn=2b n−1，可得b n=12(1+3n−1)，{b n}的前n项和T n=12(1+3+...+3n−1)+12n=12⋅1−3n1−3+12n=3n−1+2n4．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列的公差为d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．【解答】差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗)，可得a1+a2＝4，a1+a2+a2+a3＝12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d＝4，4a1+4d＝12，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；由题意可得c1＝a b1=a1＝1，c2＝a b2=a2＝3，可得数列{c n}的公比为3，c n＝3n−1，由c n＝a bn=2b n−1，可得b n=12(1+3n−1)，{b n}的前n项和T n=12(1+3+...+3n−1)+12n=12⋅1−3n1−3+12n=3n−1+2n4．【答案】(1)证明：∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴AE⊥BE，AE⊥BC.又∵BC⊥AB，AE∩AB=A，∴BC⊥平面ABE.又BC⊂面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE.(2)解：∵AE=1，AB=2，AE⊥BE，∴BE=√3.假设线段AD上存在一点满足题意，由(1)知，平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB.又∵DA⊥AB，∴DA⊥平面ABE，则DA⊥BE.∵BE⊥AE，BE⊥AD，AE∩AD=A，∴BE⊥平面ADE.又EF⊂平面ADE，∴BE⊥EF，∴V C−BEF=13×(12×√3×EF)×65=√35EF.∵AD//BC，AD⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴AD//平面BCE，∴点F到平面BCE的距离与点A到平面BCE的距离相等．又BC⊥BE，∴V F−BCE=13×(12×2×√3)×1=√33，又V F−BCE=V C−BEF，∴EF=53.∵EF2=AF2+AE2，∴AF=43，∴DFAF =12.【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】(1)先证BC⊥平面ABE，再得面面垂直；(2)利用转换顶点易求三棱锥的体积，进而求得△BEF的面积，从而求出AF，得解．【解答】(1)证明：∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴AE⊥BE，AE⊥BC.又∵BC⊥AB，AE∩AB=A，∴BC⊥平面ABE.又BC⊂面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE.(2)解：∵AE=1，AB=2，AE⊥BE，∴BE=√3.假设线段AD上存在一点满足题意，由(1)知，平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB.又∵DA⊥AB，∴DA⊥平面ABE，则DA⊥BE.∵BE⊥AE，BE⊥AD，AE∩AD=A，∴BE⊥平面ADE.又EF⊂平面ADE，∴BE⊥EF，∴V C−BEF=13×(12×√3×EF)×65=√35EF.∵AD//BC，AD⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴AD//平面BCE，∴点F到平面BCE的距离与点A到平面BCE的距离相等．又BC⊥BE，∴V F−BCE=13×(12×2×√3)×1=√33，又V F−BCE=V C−BEF，∴EF=53.∵EF2=AF2+AE2，∴AF=43，∴DFAF=12.【答案】由表一数据，补出值如图如右：根据上图，可知采购量在168以上的客户端数量为：20×20×(0.005+0.020×180−16820)＝17人，由图一可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为：110×10+120×10+150×5+17−×20+190×5＝7500（箱），∴小张去年年底总的销售量为7500÷58=12000（箱）．若没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为12000×20＝240000（元），若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为12000+1000m（箱），每箱的利润为20−m（元），则今年的年底小张的收入为Y＝(20−m)(12000+1000m)＝1000(−m2+8m+240)＝1000[−(m−4)2+256]＝256000（元），∵256000>240000，∴小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值为256000（元）【考点】频率分布直方图【解析】（1）根据统计表和直方图即可求出，（2）根据统计表和直方图即可求出，（3）没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为12000×20＝240000（元），若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为12000+1000m，即可求出Y的最大值，比较即可【解答】由表一数据，补出值如图如右：根据上图，可知采购量在168以上的客户端数量为：20×20×(0.005+0.020×180−16820)＝17人，由图一可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为：110×10+120×10+150×5+17−×20+190×5＝7500（箱）， ∴ 小张去年年底总的销售量为7500÷58=12000（箱）．若没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为12000×20＝240000（元）， 若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为12000+1000m （箱），每箱的利润为20−m （元）， 则今年的年底小张的收入为Y ＝(20−m)(12000+1000m)＝1000(−m 2+8m +240)＝1000[−(m −4)2+256]＝256000（元）， ∵ 256000>240000，∴ 小张在今年年底收入Y （单位：元）的最大值为256000（元）【答案】设C(x, y)(y ≠0)．则G(x 3,y3)，由于QG // AB 则Q(0,y3)，由|QA|=|QC|⇒1+y 29=x 2+4y 29⇒x 2+y 23=1①，故轨迹E 的方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．当L 与y 轴重合时不符合条件．假设存在直线L:y ＝kx +1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2) 联立y =kx +1x 2+y 23=1，则有(3+k 2)+2kx −2＝0，x 1+x 2=−2k3+k 2，x 1⋅x 2=−23+k 2 由于MP →=2PN →则有x 1＝−2x 2，即x 1x 2=−2，(x 1+x 2)2x 1x 2=(4k 23+k 2)2⋅(−3+k 22)=−2k23+k 2由于(x 1+x 2)2x 1x 2=x 1x 2+x 2x 1+2=−12则有k 2＝1即k ＝±1，则直线L 过(−1, 0)，或(1, 0)， 轨迹E 的方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．所以直线L 不存在．【考点】 椭圆的应用 轨迹方程直线与椭圆的位置关系【解析】（1）设出G 的坐标，椭圆向量相等，转化求解轨迹方程即可．（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量关系，转化求解即可． 【解答】设C(x, y)(y ≠0)．则G(x 3,y3)，由于QG // AB 则Q(0,y3)， 由|QA|=|QC|⇒1+y 29=x 2+4y 29⇒x 2+y 23=1①，故轨迹E 的方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．当L 与y 轴重合时不符合条件．假设存在直线L:y ＝kx +1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2) 联立y =kx +1x 2+y 23=1，则有(3+k 2)+2kx −2＝0，x 1+x 2=−2k3+k ，x 1⋅x 2=−23+k由于MP →=2PN →则有x 1＝−2x 2，即x 1x 2=−2，(x 1+x 2)2x 1x 2=(4k 23+k 2)2⋅(−3+k 22)=−2k 23+k 2由于(x 1+x 2)2x 1x 2=x 1x 2+x 2x 1+2=−12则有k 2＝1即k ＝±1，则直线L 过(−1, 0)，或(1, 0)， 轨迹E 的方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．所以直线L 不存在． 【答案】（1）函数f(x)可化f(x)={x −ln x −a,x ≥a a −x −ln x,0<x <a，当0<x <a 时，f ′(x)=−1−1x <0，从而f(x)在(0, a)上总是递减的， 当x ≥a 时，f ′(x)=1−1x =x−1x，此时要考虑a 与1的大小．若a ≥1，则f ′(x)≥0，故f(x)在[a, +∞)上递增，若0<a <1，则当a ≤x <1时，f ′(x)<0，当x >1时，f ′(x)>0，故f(x)在[a, 1)上递减， 在(1, +∞)上递增，而f(x)在x ＝a 处连续，所以当a ≥1时，f(x)在(0, a)上递减，在[a, +∞)上递增； 当0<a <1时，f(x)在(0, 1)上递减，在[1, +∞)上递增．（2）由(Ⅰ)可知当a ＝1，x >1时，x −1−ln x >0，即ln x >1−x ， 所以ln xx <1−1x ．所以ln 2222+ln 3232+⋯+ln n 2n 2<1−122+1−132+⋯1−1n 2，=n −1−(122+132+⋯+1n2)，<n −1−(12×3+13×4+⋯+1n(n+1))，=n −1−(12−1n+1)，=(n −1)−n−12(n+1)，=2n 2−2−n+12(n+1)=(n−1)(2n+1)2(n+1)．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．(Ⅱ)将要证的不等式等价转化为ln x >1−x ，在区间(1, 2)上恒成立，利用导数求出g(x)的最小值，只要最小值大于0即可． 【解答】（1）函数f(x)可化f(x)={x −ln x −a,x ≥aa −x −ln x,0<x <a，当0<x <a 时，f ′(x)=−1−1x <0，从而f(x)在(0, a)上总是递减的， 当x ≥a 时，f ′(x)=1−1x =x−1x ，此时要考虑a 与1的大小．若a ≥1，则f ′(x)≥0，故f(x)在[a, +∞)上递增，若0<a <1，则当a ≤x <1时，f ′(x)<0，当x >1时，f ′(x)>0，故f(x)在[a, 1)上递减， 在(1, +∞)上递增，而f(x)在x ＝a 处连续，所以当a ≥1时，f(x)在(0, a)上递减，在[a, +∞)上递增； 当0<a <1时，f(x)在(0, 1)上递减，在[1, +∞)上递增．（2）由(Ⅰ)可知当a ＝1，x >1时，x −1−ln x >0，即ln x >1−x ， 所以ln x x<1−1x．所以ln 2222+ln 3232+⋯+ln n 2n 2<1−122+1−132+⋯1−1n 2，=n −1−(122+132+⋯+1n 2)， <n −1−(12×3+13×4+⋯+1n(n+1))， =n −1−(12−1n+1)， =(n −1)−n−12(n+1)， =2n 2−2−n+12(n+1)=(n−1)(2n+1)2(n+1)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】设A(x, y)，又A 点的直角坐标为(√3+2cos α,1+2sin α)，∴ {x =√3+2cos αy =1+2sin α ，把两式移项平方作和得：(x −√3)2+(y −1)2=4；由2ρcos (θ+π6)=m ，得2ρ×√32cos θ−2ρ×12sin θ=m ，即√3x −y −m =0，如图，要使曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，则圆C 的圆心C(√3,1)到直线√3x −y −m =0的距离小于1． 即|3−1−m|2<1，解得0<m <4．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）由题意写出A 的参数方程{x =√3+2cos αy =1+2sin α ，把两式移项平方作和得答案；（2）化直线的极坐标方程为直角坐标方程，画出图形，应用点到直线的距离公式求解． 【解答】设A(x, y)，又A 点的直角坐标为(√3+2cos α,1+2sin α)，∴ {x =√3+2cos αy =1+2sin α，把两式移项平方作和得：(x −√3)2+(y −1)2=4；由2ρcos (θ+π6)=m ，得2ρ×√32cos θ−2ρ×12sin θ=m ，即√3x −y −m =0，如图，要使曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，则圆C 的圆心C(√3,1)到直线√3x −y −m =0的距离小于1． 即|3−1−m|2<1，解得0<m <4．第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）【答案】∵ ∀x ∈R ，1m −4≥f(x)恒成立，∴ m +1m ≥x −|x +2|−|x −3|+4，令g(x)＝x −|x +2|−|x −3|+4，则g(x)在(−∞, 3)上是增函数， (3, +∞)上是减函数，g(x)max ＝g(3)＝2，∴ m +1m ≥2，∴ m >0；证明：m >0，可得m +3>m +2>m +1>1，则lg (m +3)>lg (m +2)>lg (m +1)>lg 1＝0，∵ lg (m +1)lg (m +3)<[lg (m+1)+lg (m+3)2]2=[lg (m+1)(m+3)]24<lg 2(m +2)，∴ lg (m+2)lg (m+1)>lg (m+3)lg (m+2)，∴ log （m+1）(m +2)>log （m+2）(m +3)．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由∀x ∈R ，1m −4≥f(x)恒成立，可得m +1m ≥x −|x +2|−|x −3|+4，求出右边的最大值，即可求m 的取值范围；（2）利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论．【解答】∵ ∀x ∈R ，1m −4≥f(x)恒成立，∴ m +1m ≥x −|x +2|−|x −3|+4，令g(x)＝x −|x +2|−|x −3|+4，则g(x)在(−∞, 3)上是增函数， (3, +∞)上是减函数，g(x)max ＝g(3)＝2，∴ m +1m ≥2，∴ m >0；证明：m >0，可得m +3>m +2>m +1>1，则lg (m +3)>lg (m +2)>lg (m +1)>lg 1＝0， ∵ lg (m +1)lg (m +3)<[lg (m+1)+lg (m+3)2]2=[lg (m+1)(m+3)]24<lg 2(m +2)， ∴ lg (m+2)lg (m+1)>lg (m+3)lg (m+2)， ∴ log （m+1）(m +2)>log （m+2）(m +3)．。
2020年湖北省高考数学(文科)模拟试卷(10)
2020年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（10）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅2．（5分）设z =2+2i1−i ，z 是z 的共轭复数（注：a +bi 的共轭复数为a ﹣bi ），则z •z =（ ） A ．﹣2iB ．iC ．2D ．43．（5分）已知tan （α+β）＝2，tan α＝﹣1，则tan β＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−13D ．134．（5分）在区间[﹣2，4]上：任取一个实数x ，则使得|x −1|≤32成立的概率为（ ） A ．37B ．45C ．23D ．125．（5分）设a ＝log 318，b ＝log 424，c =234，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a6．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）7．（5分）方程x 2m−2+y 23−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（ ）A ．2＜m ＜3B ．2＜m ＜52C ．52＜m ＜3D ．114＜m ＜38．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →=（ ） A ．BA →+AC →B ．DC →+CB →C ．AD →+AC →D ．AB →+AD →9．（5分）设f （x ），g （x ）分别为定义在[﹣π，π]上的奇函数和偶函数，且f （x ）+g （x ）＝2e x cos x （e 为自然对数的底数），则函数y ＝f （x ）﹣g （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f(x)=sin(π3−ωx)(ω＞0)向左平移半个周期得g （x ）的图象，若g （x ）在[0，π]上的值域为[−√32，1]，则ω的取值范围是（ ）A ．[16，1]B ．[23，32] C ．[13，76]D ．[56，53]11．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ≠c ，sin B2=√33，△ABC 的面积为2√2，则b 2|a−c|最小值为（ ）A ．4√3B ．2√3C ．4√2D ．2√212．（5分）制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆．甲小组制作的晶圆厚度为13sin 12毫米，乙小组制作的晶圆厚度为12sin 13毫米，丙小组制作的晶圆厚度为12cos 78毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A ．甲小组和丙小组 B ．丙小组和乙小组 C ．乙小组和丙小组D ．丙小组和甲小组二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）＝f （x +2），当x ∈[0，2]时，f （x ）＝e x ，则f （7）＝ ．14．（5分）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为．15．（5分）在平面四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△ADC是以AC为斜边的等腰直角三角形，以AC为折痕把△ADC折起，当DA⊥AB时，四面体D﹣ABC 的外接球的体积为．16．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情．某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟．教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0，40]，（40，80]，（80，120]，（120，160]，（160，200]得到如图所示的频率分布直方图．全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人．若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率． 18．（12分）已知正项等比数列{a n }满足S 2＝6，S 3＝14． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＝log 2a n ，已知数列{1b n b n+1}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜1． 19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 是PC 的中点．（1）求证：P A ∥平面EDB ；（2）若PD ＝AD ＝2，求三棱锥P ﹣EDB 的体积V P ﹣EDB ．20．（12分）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点P （2，m ），F 为焦点，△PFO 面积为1．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆M ：x 2+(y −3)2=r 2(0＜r ＜√2)的两条切线P A 、PB ，切线P A 、PB 与抛物线C 的另一个交点分别为A 、B ，求直线AB 斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax （x ∈R ）．（I ）若f （x ）在x ＝0处的切线与直线x +2y ﹣2＝0垂直，求实数a 的值； （II ）若对任意x ≥0，都有f(x)≥1+12x 2恒成立，求实数a 的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|+|OQ|的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥3．2020年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（10）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅【解答】解：∵集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}＝（﹣1，1}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}＝（0，+∞）， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：C ．2．（5分）设z =2+2i1−i ，z 是z 的共轭复数（注：a +bi 的共轭复数为a ﹣bi ），则z •z =（ ） A ．﹣2iB ．iC ．2D ．4【解答】解：∵z =2+2i1−i ， ∴|z |＝|2+2i 1−i|=|2+2i||1−i|=2√2√2=2， ∴z •z =|z |2＝4． 故选：D ．3．（5分）已知tan （α+β）＝2，tan α＝﹣1，则tan β＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−13D ．13【解答】解：tan β＝tan （α+β﹣α）=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2+11−2=−3， 故选：A ．4．（5分）在区间[﹣2，4]上：任取一个实数x ，则使得|x −1|≤32成立的概率为（ ） A ．37B ．45C ．23D ．12【解答】解：在闭区间[0，4]上等可能的任取一个实数x ， 解不等式|x −1|≤32，得：−12≤x ≤52，∴在闭区间[0，4]上等可能的任取一个实数x ，使不等式|x −1|≤32成立的概率是： P =52−(−12)4−(−2)=12， 故选：D ．5．（5分）设a ＝log 318，b ＝log 424，c =234，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【解答】解：c =234＜2，a =log 318＞log 39=2，b =log 424＞log 416＞2， 又a =log 318=1+log 36，b =log 424=1+log 46，∵log 46=1log 64，log 36=1log 63且log 64＞log 63＞0， ∴1log 64＜1log 63，∴log 424＜log 318， ∴c ＜b ＜a ． 故选：D ．6．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【解答】解：由题意函数f （x ）可看成是分段函数， f （x ）={2x ，x ∈[−2，2]2，x ∈(−∞，2)∪(2，+∞)，当输出的函数值f(x)∈[14，2]时， ①f （x ）＝2x∈[14，2]，x ∈[﹣2，2]，即解14≤2x ≤2，解得﹣2≤x ≤1，即x ∈[﹣2，1]，②f （x ）＝2时，x ∈（﹣∞，2）∪（2，+∞），由①②两种情况都有可能，所以想的范围为①②并集， 即x ∈（﹣∞，1]∪（2，+∞）． 故选：D ． 7．（5分）方程x 2m−2+y 23−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（ ）A ．2＜m ＜3B ．2＜m ＜52C ．52＜m ＜3D ．114＜m ＜3【解答】解：方程x 2m−2+y 23−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆时，{m −2＞03−m ＞0m −2＞3−m，解得52＜m ＜3，由52＜m ＜3可得出2＜m ＜3；而由2＜m ＜3得不出52＜m ＜3， ∴方程x 2m−2+y 23−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆的一个必要不充分条件是2＜m ＜3．故选：A ．8．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →=（ ） A ．BA →+AC →B ．DC →+CB →C ．AD →+AC →D ．AB →+AD →【解答】解：如图：；平行四边形ABCD 中， ∵AB →+BD →=AD →=BC →； 而BA →+AC →=BC →； 即AB →+BD →=BA →+AC →； 故选：A ．9．（5分）设f （x ），g （x ）分别为定义在[﹣π，π]上的奇函数和偶函数，且f （x ）+g （x ）＝2e x cos x （e 为自然对数的底数），则函数y ＝f （x ）﹣g （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵f （x ）+g （x ）＝2e x cos x ，∴f （﹣x ）+g （﹣x ）＝2e ﹣x cos （﹣x ），即﹣f （x ）+g （x ）＝2e ﹣x cos x ，∴f(x)−g(x)=−2cosxe x， ∵y =−2cosxe x，当x ＝0.01时，y ＜0， ∴可排除选项C ，D ；又y ′=2(sinx+cosx)e x =2√2sin(x+π4)e x ，故x =−π4为极值点，即选项B 错误； 故选：A ．10．（5分）已知函数f(x)=sin(π3−ωx)(ω＞0)向左平移半个周期得g （x ）的图象，若g （x ）在[0，π]上的值域为[−√32，1]，则ω的取值范围是（ ） A ．[16，1]B ．[23，32]C ．[13，76]D ．[56，53]【解答】解：函数f(x)=sin(π3−ωx)(ω＞0)=−sin （ωx −π3）向左平移半个周期得 g （x ）＝﹣sin （ωx +ω•12⋅2πω−π3）＝﹣sin （ωx +2π3）＝sin （ωx −π3）的图象， 由x ∈[0，π]，可得ωx −π3∈[−π3，ωπ−π3]，由于g （x ）在[0，π]上的值域为[−√32，1]．即函数g （x ）的最小值为−√32，最大值为1，则π2≤ωπ−π3≤4π3，求得56≤ω≤53． 综上，ω的取值范围是[56，53]， 故选：D ．11．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ≠c ，sin B 2=√33，△ABC 的面积为2√2，则b 2|a−c|最小值为（ ）A ．4√3B ．2√3C ．4√2D ．2√2【解答】解：因为sin B 2=√33，所以cos B ＝1﹣2sin 2B 2=13， 所以sin B =2√23，又因为12ac sin B ＝2√2，所以ac ＝6，所以b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝（a ﹣c ）2+43ac ＝（a ﹣c ）2+8， 所以b 2|a−c|=|a ﹣c |+8|a−c|≥2√8=4√2，当且仅当|a ﹣c |＝2√2，即a ＝3√2，c =√2时取等号， 故b 2|a−c|最小值为4√2．故选：C ．12．（5分）制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆．甲小组制作的晶圆厚度为13sin 12毫米，乙小组制作的晶圆厚度为12sin 13毫米，丙小组制作的晶圆厚度为12cos 78毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A ．甲小组和丙小组 B ．丙小组和乙小组 C ．乙小组和丙小组D ．丙小组和甲小组【解答】解：设a =13sin 12，b =12sin 13，c =12cos 78， ∴6a ＝2sin 12，6b ＝3sin 13，6c ＝3cos 78．∵78＜π3，∴3cos 78＞3cos π3=32．又12＜π6，13＜π6，∴2sin 12＜2sinπ6=1，3sin 13＜3sinπ6=32．∴c 最大，否定B ，D ．设f （x ）=sinxx ，x ∈（0，π2）．f ′（x ）=xcosx−sinxx 2． 令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈（0，π2）．g ′（x ）＝﹣x sin x ＜0．∴函数g （x ）在x ∈（0，π）时为减函数，∴g （x ）＜g （0）＝0．∴）．f ′（x ）＜0．∴函数f （x ）在x ∈（0，π2）时为减函数．∴f （13）＞f （12），即sin1313＞sin1212，∴3sin 13＞2sin 12．∴b ＞a ．故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）＝f （x +2），当x ∈[0，2]时，f （x ）＝e x ，则f （7）＝ e ．【解答】解：因为f （x ）＝f （x +2），周期T ＝2， 当x ∈[0，2]时，f （x ）＝e x ， ∴f （7）＝f （1）＝e ． 故答案为：e ．14．（5分）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为 0.21 ．【解答】解：设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A ，B ，C ， 则{P(A)+P(B)=0.86P(B)+P(C)=0.35P(A)+P(B)+P(C)=1，解得抽到二等品的概率P （B ）＝0.21． 故答案为：0.21．15．（5分）在平面四边形ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，△ADC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，以AC 为折痕把△ADC 折起，当DA ⊥AB 时，四面体D ﹣ABC 的外接球的体积为 √6π ．【解答】解：在四面体中，由已知条件可知，AD ＝CD ，AB ＝BC ，BD ＝BD ，则△BAD ≌△BCD ，所以，∠BCD ＝∠BAD ＝90°，所以，△BAD 和△BCD 是公共斜边的直角三角形，则BD 是四面体D ﹣ABC 外接球的一条直径，易知，AD ＝AC cos45°=√2，且BD =√AB 2+AD 2=√6， 设四面体D ﹣ABC 的外接球的半径为R ，则R =BD2=√62，因此，四面体D ﹣ABC 的外接球的体积为43π×(√62)3=√6π．故答案为：√6π．16．（5分）已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为 √5 ．【解答】解：∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，设|AF |＝m ，|BF |＝n ，则m ﹣n ＝2a ．△ABF 的面积S △ABF =12m ⋅n =4a 2，且m 2+n 2＝|AB |2＝4c 2，联立三式：{m −n =2amn =8a 2m 2+n 2=4c 2，得{m =4an =2a ，故20a 2=4c 2⇒e =√5． 故答案为：√5．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情．某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟．教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0，40]，（40，80]，（80，120]，（120，160]，（160，200]得到如图所示的频率分布直方图．全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人．若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率．【解答】解：（1）男生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0025×40×1500＝150人，女生自主学习不超过40分钟的人数为：0.00125×40×1500＝75人，∴估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数为：150+75＝225人．（2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数：40×0.0025×40＝4人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数：40×0.00125×40＝2人，∴选4名男生，2名女生，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数n=C62=15，至少抽到1名男生包含的基本事件个数m=C42+C41C21=14，∴至少抽到1名男生的概率p=mn=1415．18．（12分）已知正项等比数列{a n}满足S2＝6，S3＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a n，已知数列{1b n b n+1}的前n项和为T n，证明：T n＜1．【解答】解：（1）设等比数列的首项及公比分别为a1＞0，q＞0，∵S2＝6，S3＝14，∴{a1(1−q2)1−q=6a1(1−q3)1−q=14，解得{a1=2q=2，∴a n=2n；（2）证明：由（1）知，b n＝n，则1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，∴T n=1−12+12−13+⋯⋯+1n−1−1n+1n−1n+1=1−1n+1，∵n∈N•，∴T n＜1．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E 是PC的中点．（1）求证：P A∥平面EDB；（2）若PD＝AD＝2，求三棱锥P﹣EDB的体积V P﹣EDB．【解答】解：（1）证明：连结AC，交BD于O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面EDB．（2）解：∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥CD，BC⊥PD，又CD∩PD＝D，∴BC⊥平面PDE，∵PD＝AD＝2，∴三棱锥P﹣EDB的体积：V P﹣EDB＝V B﹣PDE=13×S△PDE×BC=13×(12S△PDC)×2=13×(12×12×2×2)×2=23．20．（12分）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点P （2，m ），F 为焦点，△PFO 面积为1．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆M ：x 2+(y −3)2=r 2(0＜r ＜√2)的两条切线P A 、PB ，切线P A 、PB 与抛物线C 的另一个交点分别为A 、B ，求直线AB 斜率的取值范围． 【解答】解：（1）由已知得，12|OF|×2=1，即p2=1，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ；（2）由（1）得P （2，1），设直线P A 斜率为k 1，则P A 方程为y ﹣1＝k 1（x ﹣2），即k 1x ﹣y +1﹣2k 1＝0，又∵直线P A 与圆M ：x 2+(y −3)2=r 2(0＜r ＜√2)的相切，∴1√k 12+1=r ，∴(4−r 2)k 12+8k 1+4−r 2=0，设直线PB 斜率为k 2，同理得(4−r 2)k 22+8k 2+4−r 2=0， ∴k 1，k 2 是方程（4﹣r 2）k 2+8k +4﹣r 2＝0 的两个根 ∴△＝4r 2（8﹣r 2）＞0 （∵0＜r ＜√2）， ∴k 1+k 2=−84−r 2=8r 2−4，k 1k 2＝1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y −1=k 1(x −2)x 2=4y 得x 2﹣4k 1x +8k 1﹣4＝0，由韦达定理得x 1+2＝4k 1， ∴x 1＝4k 1﹣2，同理x 2＝4k 2﹣2，所以k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x 2−x 1=14（x 1+x 2）＝k 1+k 2﹣1=8r 2−4−1，又∵0＜r ＜√2，∴−4＜82＜−2，∴k AB ∈（﹣5，﹣3）， ∴直线AB 斜率的取值范围是（﹣5，﹣3）． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax （x ∈R ）．（I ）若f （x ）在x ＝0处的切线与直线x +2y ﹣2＝0垂直，求实数a 的值； （II ）若对任意x ≥0，都有f(x)≥1+12x 2恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）＝e x ﹣a ， f ′（0）＝1﹣a ＝2，解得：a ＝﹣1； （Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣1−12x 2，（x ≥0）， 当x ≥0时，g '（x ）＝e x ﹣x ﹣a ，令h （x ）＝g '（x ），则h '（x ）＝e x ﹣1≥0，则g '（x ）单调递增，g '（x ）≥g '（0）＝1﹣a当a ≤1即g '（x ）≥g '（0）＝1﹣a ≥0时，g （x ）在（0，+∞）上递增，g （x ）≥g （0）＝0成立；当a ＞1时，存在x 0∈（0，+∞），使g '（x 0）＝0，则g （x ）在（0，x 0）上递减，则当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＜g （0）＜0，不合题意． 综上a ≤1．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1，转换为极坐标方程为4ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ＝4．即ρ2=43sin 2θ+1． （2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ， 设P （ρ1，θ），则Q （ρ2，θ±π2）， 所以|OP|2⋅|OQ|2|OP|+|OQ|=11|OP|2+1|OQ|2=11ρ12+1ρ22=134sin 2θ+14+34cos 2θ+14=45．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |，f （x ）≤2， ∴当x ≤0时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）+2x ＝x +3， 由f （x ）≥2，得x +3≥2，解得x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0 当0＜x ＜3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）﹣2x ＝3﹣3x ， 由f （x ）≥2，得3﹣3x ≥2，解得x ≤13，此时0＜x ≤13； 当x ≥3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（x ﹣3）﹣2x ＝﹣x ﹣3≤﹣6， 此时不等式f （x ）≥2无解，综上，不等式f （x ）≥2的解集为[−1，13]．（2）由（1）可知，f(x)={x +3，x ≤03−3x ，0＜x ＜3−x −3，x ≥3．当x ≤0时，f （x ）＝x +3≤3；当0＜x ＜3时，f （x ）＝3﹣3x ∈（﹣6，3）； 当x ≥3时，f （x ）＝﹣x ﹣3≤﹣6．∴函数y ＝f （x ）的最大值为m ＝3，则a +b +c ＝3． 由柯西不等式可得（1+1+1）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +c ）2， 即3（a 2+b 2+c 2）≥32，即a 2+b 2+c 2≥3， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 因此a 2+b 2+c 2≥3．。
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
5
参考答案
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7. B 8.B 9. D 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13.
x
R， x2
1 x
0 14.
4
1
15.
15 3
16.
23
2
4
3
三、解答题
a2＋ c2－ b2 17. 解： (1) 由已知及余弦定理得 2c× 2ac ＝ 2a＋ b,
PM
一点，且满足
2 ，求三棱锥 M PBD 的体积
MC
20. （本试题满分 12 分）
已知椭圆 C ： x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1， F2 ，点 P 是椭圆 C 上的一点，若
PF1 PF2 ， F1F2 2 ， F1PF2 的面积为 1. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过 F2 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点， 设 O 为坐标原点， 若 OE OA OB ，求四边形 AOBE
A. 2 2
11. 函数 f x
B. 3 2
1 的定义域为 M, g x
1 2x
C. 2
D. 3
x 1 的定义域为 N，则 M N＝
A． 1,
1 B ． 1,
1 C ． 1,
D．
,1
2
2
2
12．已知
，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13. 命题：“
x0
1
2π 1
33
S＝ BC· AC·sin
＝ × 2 × 2× ＝ .