证明切线的方法
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证明切线的方法
证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。
（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半径，证垂直
（比较常用）。
（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。
例 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB
上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE
是圆O的切线吗？
分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，
∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，
∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
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DCOB
A
2
1
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DCOB
A
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
数学切线证明题解题方法
数学切线证明题解题方法
数学切线证明题是数学中常见的问题类型，通常涉及到几何和代数知识。
以下是一些解题方法：
1. 理解题目要求：首先，要明确题目要求证明的内容，理解切线的定义和性质。
2. 分析图形：根据题目描述，画出相应的几何图形，标出已知条件和未知量。
3. 应用切线性质：切线具有一些重要的性质，如切线和半径垂直、切线和切点的距离等于半径等。
在证明过程中，要充分利用这些性质。
4. 使用反证法：如果直接证明切线的性质很困难，可以考虑使用反证法。
假设与已知条件相矛盾的结论，然后推导出矛盾，从而证明原命题。
5. 代数推导：在证明过程中，可能需要进行代数推导，如解方程、不等式等。
要熟练掌握代数运算的基本技巧。
6. 总结答案：在完成证明后，要总结答案，确保逻辑严密、推理清晰。
下面是一个具体的例子：
题目：证明过圆上一点作圆的切线与过该点作圆的半径垂直。
证明：
1. 设圆心为$O$，过点$P$作圆的切线与半径$OP$交于点$Q$。
2. 根据切线的性质，切线与半径垂直，所以$\angle OPQ = 90^\circ$。
3. 又因为$OP$是圆的半径，所以$\angle OQP = 90^\circ$。
4. 由于两个直角相等，所以过圆上一点作圆的切线与过该点作圆的半径垂直。
通过以上步骤，我们证明了过圆上一点作圆的切线与过该点作圆的半径垂直。
证明切线的方法
证明切线的方法证明切线的方法证明直线与圆相切，可分两种情况分析。
（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半径，证垂直（比较常用）。
（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。
DE是圆O的切线吗？分析:这属于第一种情况，可以考虑连接半径，然后证明垂直度。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB中考数学23题圆的切线证明及不规则阴影面积问题的解法探究关于相切证明，通常给出直线与圆相交时，需要通过证明半径垂直于直线来连接半径，从而解决问题，证明垂直度:(1)证明三角形全等，对应的角相等，然后证明垂直度；(2)通过证明角相等，90度角垂直；(3)通过角度之间的关系，得出两个角度是互补垂直的。
如果直线和圆没有交点，可以用圆心做垂直线，证明垂直线的长度等于半径。
这类证明多由全等三角形解决。
不规则图形面积的求解通常转化为三角形面积和扇形面积的和与差。
在具体证明解题时，要根据问题中的条件来确定解题思路。
解题时注意三角形的中线定理和等腰三角形性质的应用；圆形、平行四边形、菱形、正方形的综合题要学会着眼于整体，从局部入手，充分利用特殊四边形的性质解题。
切线的证明方法。-概述说明以及解释
切线的证明方法。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：引言部分旨在介绍本文将要探讨的主题——切线的证明方法。
切线作为数学中重要的概念，在几何、微积分等领域中都起着至关重要的作用。
切线的证明方法是指在给定一个曲线时，如何确定该曲线上某点的切线。
本文将会介绍三种常见的切线的证明方法，并对其进行详细的讲解和演示。
这些证明方法包括第一个证明方法、第二个证明方法和第三个证明方法。
第一个证明方法将从基础的几何知识出发，通过利用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方程。
我们将详细介绍这个方法的步骤和计算过程，并通过实例来加深理解。
第二个证明方法将引入导数的概念，利用导数来求解切线的斜率。
我们将介绍导数的定义和性质，以及如何利用导数求解切线的斜率，并通过例子来说明这个方法的应用。
第三个证明方法与微积分中的极限概念相关，通过极限的定义来求解切线的斜率。
我们将探讨极限的概念和性质，以及如何运用极限来确定切线的斜率，并通过实例进行演示。
本文的目的是帮助读者更加深入地理解切线的概念和证明方法。
通过学习这些方法，读者将能够独立地解决切线相关的问题，并将这些方法应用到其他数学领域中。
在结论部分，我们将对这三种证明方法进行总结，并探讨它们在实际问题中的应用。
同时，我们也将展望未来，探讨可能的改进和拓展方向，以进一步提升切线的证明方法的应用价值。
接下来，我们将详细介绍第一个证明方法，以便读者能够更好地理解和掌握这个技巧。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的组织和章节安排进行介绍。
在本篇文章中，我们将讨论切线的证明方法，并按照如下结构进行阐述：第一部分是引言。
在引言中，我们将对切线的概念进行概述，介绍其在数学中的重要性以及与其他几何概念的关系。
同时，我们还会简要介绍本文的结构和目的。
第二部分是正文。
在正文中，我们将详细介绍三种不同的证明方法。
首先，我们将讨论第一个证明方法，详细描述其步骤和推导过程。
然后，我们将进一步介绍第二个证明方法，指出其与第一个证明方法的异同之处。
圆的切线证明方法
圆的切线证明方法
圆的切线证明方法一般有以下几种：
1. 切线定理证明法：利用切线与半径垂直的性质，证明切线与圆的切点在切线上。
2. 直角三角形证明法：构造一条过切点和圆心的线段，利用直角三角形的性质证明切线与半径垂直。
3. 切线与弦的性质证明法：构造一条与切线垂直的弦，利用弦和切线的性质证明切线与圆的切点在切线上。
4. 借助割线证明法：构造一条通过切点的割线，利用割线的性质证明切线与圆的切点在切线上。
以上是常见的几种证明方法，具体选择哪种方法取决于题目条件和需要证明的结论。
切线证明方法
方法一 ：角平分线证相切 例 2 如图，AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB交⊙O于点C， 过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D. 求证：CD是⊙O的切线．
切点确定， 连半径，证垂直
方法二 ：平行证相切 例 3 如图所示，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作⊙O 交BC于点D，DE⊥AC于点E. 求证：DE是⊙O的切线．
圆综合---切线证明
目 录
类型一： 切点不确定，证相切 类型二： 切点确定，证相切 类型三： 已知相切，证其他
切点不确定， 作垂直，证半径
例 1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，以D为圆心，DC为半径作⊙D. 求证：AB是⊙D的切线．
切点确定， 连半径，证垂直
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO. (1)求证：BC是∠ABE的平分线； (2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．
练习4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线 于点D. (1)E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线； (2)若AC＝3CD，求∠A的大小．
已知相切 找角度关系
例 6 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC 是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与⊙O相交于点 E，连接AD.求证：AD平分∠BAC.
已知相切 证线段垂直
例 8 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E. 求证：DE⊥AC.
(1)求证：CF＝BF； (2)若cos∠ABE＝ 4 ，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6.求
5 证：直线CM是⊙O的切线．
切线定理证明
切线定理证明
证明切线有三种办法
①与圆只有一个交点的直线；
②存有未知交点，连半径，证横向（根据切线认定定理）；
③无已知交点，作垂直，证半径（根据直线与圆的位置关系，d=r)。
利用切线的性质定理以及推断，切线的认定定理，切线短定理展开证明。
1.切线的性质定理:：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2.切线的性质定理的推断1：经过圆心且旋转轴切线的直线必经过切点。
3.切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4.切线的认定定理：经过半径的外端并且旋转轴这条半径的直线就是圆的切线。
5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
小专题11 证明切线的两种常用方法-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共26张PPT)
1．(咸宁中考改编)如图，在△ ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，过点 D 作 DF⊥AC，垂足 为 F.求证：DF 是⊙O 的切线．
证明：连接 OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B.
又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B. ∴∠ODB＝∠C. ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°. ∴∠ODF＝∠DFC＝90°. 又∵OD 为⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线．
证明：连接 OC. ∵⊙O 的半径为 3， ∴OC＝OB＝3. 又∵BP＝2，∴OP＝5. 在△ OCP 中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2， ∴△OCP 为直角三角形，∠OCP＝90°. ∴OC⊥PC. ∵C 是⊙O 上一点， ∴PC 为⊙O 的切线．
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证 明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平 分线上的点到角的两边的距离相等．
5．(临沂中考改编)如图，△ ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中 点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D，OB 与⊙O 相交于点 E.求证：AC 是 ⊙O 的切线．
证明：连接 OA，OD，作 OF⊥AC 于点 F，垂足为 F. ∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC. ∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴OD⊥AB. 而 OF⊥AC，∴OF＝OD. ∴AC 是⊙O 的切线．
第二十四章 圆 小专题11证明切线的两种常用方法
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直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直， 得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90°的角，如直径所 对的圆周角等于 90°等．
切线证明的常用方法
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切线证明的常用方法
1、圆的切线的判定方法有三种： ①．定义法：直线l 与圆只有唯一的公共点 ②．距离法：圆心O与直线l 的距离d=r ③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。 2、切线的证明方法： ①．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线的垂线段 为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。简记为：作垂直，证 半径。 ②．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得到辅助半 径，再证所作半径与这条直线垂直。简记为：连半径，证垂直。
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径， 作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证： 直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， 而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．
变式练习
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． 求证：直线PB也与⊙切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
课堂小结
有切点，连半径， 证垂直
切线证明的常用 方法
切线的判定定理的证明过程
切线的判定定理的证明过程要证明一个直线与一个函数图像的切线，可以使用切线的判定定理。
切线的判定定理：设函数f(x)在点x=a处可导，则直线y=f(a)+f'(a)(x-a)是函数图像y=f(x)在点x=a处的切线。
证明过程如下：1. 首先，我们假设函数f(x)在点x=a处可导。
2. 接下来，我们考虑直线y=f(a)+f'(a)(x-a)。
我们知道这条直线通过点(x=a, y=f(a))，即代入x=a得到y=f(a)。
这表明该直线与函数图像y=f(x)在点x=a处相交。
3. 然后，我们考虑直线y=f(a)+f'(a)(x-a)的斜率。
根据导数的定义，函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)是函数图像在该点的切线的斜率。
因此，直线y=f(a)+f'(a)(x-a)与函数图像y=f(x)在点x=a处的切线的斜率一致。
4. 最后，我们证明直线y=f(a)+f'(a)(x-a)与函数图像y=f(x)在点x=a处相切。
我们可以取函数f(x)在点x=a处的极限值，即lim(n->∞)(f(a+n)-f(a)) / (n-a)。
由于f(x)在点x=a处可导，这个极限值存在。
然后我们考虑直线y=f(a)+f'(a)(x-a)在该点的极限值，即lim(n->∞) (f(a)+f'(a)(a+n-a)) = lim(n->∞) (f(a)+f'(a)n) = ∞。
因此，这条直线在点x=a处是函数图像的一个切线。
综上所述，直线y=f(a)+f'(a)(x-a)是函数图像y=f(x)在点x=a处的切线。