点到平面的距离
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法求点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们经常需要计算一个点到一个平面的距离，这个距离可以用来判断点是否在平面上，或者用来计算点到平面的投影等。
下面介绍几种常用的求点到面距离的方法：1. 点到平面的投影点到平面的投影是求点到面距离的一种常用方法。
它的基本思想是将点沿着法向量投影到平面上，然后计算投影点到原点的距离。
具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
2. 点到平面的距离公式点到平面的距离公式是另一种常用的求点到面距离的方法。
它的基本思想是将点到平面的距离分解为点到平面法向量的投影和平面法向量的长度两部分，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
3. 点到三角形的距离点到三角形的距离是求点到面距离的一种特殊情况。
它的基本思想是将点到三角形所在平面的距离和点到三角形的距离两部分相加，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是三角形所在平面上的任意一点，n是三角形所在平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
求点到面距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来求解点到面的距离，以满足不同的需求。
平面外一点到平面的距离公式
平面外一点到平面的距离公式平面外一点到平面的距离是指在三维空间中，给定一个平面和一个在平面外的点，求该点到平面的最短距离。
这个问题可以通过向量和点之间的关系来解决。
让我们通过以下步骤来一步一步地推导出平面外一点到平面的距离公式。
首先，我们定义一个平面，可以用一般式方程表示为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的常数项。
然后，我们选择一个在平面外的点P(x1,y1,z1)。
现在，我们需要找到点P(x1,y1,z1)到平面的最短距离。
为了做到这一点，我们可以找到一个平行于平面的向量，然后用这个向量和点P(x1,y1,z1)之间的关系来找到距离。
考虑平面 ABC 的一个法向量 A(xa, ya, za) 和一个点 P(x1, y1,z1)。
我们可以证明，向量 AP 平行于平面 ABC，并且向量 AP 与平面垂直。
为了找到向量AP和平面ABC的关系，我们可以使用向量的点积。
我们知道，两个垂直向量的点积等于零。
所以我们可以得到以下关系式：A·AP=0(xa, ya, za) · (x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0) = 0xa(x1 - x0) + ya(y1 - y0) + za(z1 - z0) = 0我们可以从中解出点P(x1,y1,z1)到平面ABC的距离。
首先，令d为点P到平面ABC的距离，则有：d = ，xa(x1 - x0) + ya(y1 - y0) + za(z1 - z0)，/ √(xa^2 + ya^2 + za^2)这就是平面外一点到平面的距离公式。
其中，分子部分是在点P(x1,y1,z1)与平面上一点Q(x0,y0,z0)连线上的向量与平面的法向量之间的点积。
分母部分是法向量的模，也就是平面的法向量的长度。
注意，如果平面的法向量已经被单位化，分母部分可以简化为1这个公式可以很容易地推广到三维空间中的其他几何图形，例如直线和平面之间的距离。
点到平面距离的计算公式
点到平面距离的计算公式
点到平面距离的计算公式如下：
设点P(x1, y1, z1)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离为d，则有：
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
其中，| |表示绝对值，√表示开方。
解释如下：
平面方程Ax + By + Cz + D = 0表示平面上所有点的坐标(x, y, z)都满足这个方程。
设点P(x1, y1, z1)到平面的距离为d，则点P到平面上任意一点Q(x2, y2, z2)的距离也为d，这个距离可以用向量来表示：
向量PQ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
由于向量PQ垂直于平面，所以它在平面法向量n = (A, B, C)上的投影也是d，即：
|(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)·(A, B, C)| = d
其中，·表示向量的数量积。
将平面方程中的x、y、z分别替换为x2、y2、z2，得到：
A·x2 + B·y2 + C·z2 + D = 0
解出其中的一个坐标（如z2），代入上式中，则有：
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
这就是点到平面距离的计算公式，其中分子为点P的坐标与平面方程的代数和，分母为平面法向量的模长。
点到面距离求解技巧
点到面距离求解技巧点到面的距离是计算计算机图形学中常见的问题之一，它用于确定给定点与给定平面之间的最短距离。
在本文中，我们将介绍如何计算点到平面的距离，并提供一些求解技巧。
1.点到平面的距离公式点到平面的距离可以通过向量运算来计算。
给定平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是平面的系数。
点P(x0, y0, z0)到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|是点P到平面的有向距离，√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法向量的长度。
2.点到平面距离的向量推导我们可以将点到平面的距离表示为该点到平面投影点的距离。
设点Q(x, y, z)为点P(x0, y0, z0)在平面上的投影点，那么向量PQ与平面的法向量垂直，也就是说，它们的点积为零。
根据向量点积的定义，我们可以得到：(A, B, C)·((x - x0, y - y0, z - z0)) = 0展开上述式子并整理，得到：Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0这就是点到平面的投影点的坐标。
接下来，我们可以计算点P到平面的有向距离d。
根据直线的距离公式，我们有：d = |PQ| = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)将上述公式展开并整理后，可以得到点到平面距离的公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)3.点到平面距离的应用点到平面的距离在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
例如，在三维计算机图形中，我们可以使用点到平面距离来实现碰撞检测、裁剪算法和视景体计算等。
同时，点到平面的距离也可以用于优化算法，例如最小二乘法中的参数估计和误差优化。
4.求解技巧求解点到平面距离的过程中，有一些技巧可以加速计算。
点到平面距离公式向量推导过程
点到平面距离公式向量推导过程在三维空间中，我们经常需要求解点到平面的距离。
这个问题可以通过向量的方法来解决，本文将详细介绍点到平面距离公式的向量推导过程。
1. 平面方程在三维空间中，一个平面可以用一个方程表示。
假设平面上的一点为P，平面的法向量为n，平面上的任意一点为Q，则平面方程可以表示为：n·(Q-P) = 0其中“·”表示向量的点积。
这个方程的意义是，平面上的任意一点Q与P的向量与平面的法向量n的点积为0，即这个向量垂直于平面。
2. 点到平面的距离点到平面的距离可以用点P到平面的垂线的长度来表示。
假设平面上的一点为P，平面的法向量为n，点P到平面的垂线的长度为h，则有：h = |(Q-P)·n| / |n|其中“| |”表示向量的模长。
这个公式的意义是，点P到平面的垂线的长度等于点P到平面上的任意一点Q的向量与平面的法向量n的点积的绝对值再除以平面的法向量n的模长。
3. 向量推导过程现在我们来推导点到平面距离公式的向量表达式。
首先，我们可以将平面方程展开：n·Q - n·P = 0将上式中的Q替换为点P到平面上的任意一点Q的向量QP+P，得到：n·(QP+P) - n·P = 0展开后可得：n·QP + n·P - n·P = 0消去n·P，得到：n·QP = 0这个式子的意义是，点P到平面上的任意一点Q的向量与平面的法向量n的点积为0，即这个向量垂直于平面。
现在，我们来计算点P到平面上的任意一点Q的向量的模长。
由于Q点在平面上，所以它满足平面方程，即：n·(Q-P) = 0展开后可得：n·Q - n·P = 0移项得到：n·Q = n·P将上式中的Q替换为点P到平面上的任意一点Q的向量QP+P，得到：n·(QP+P) = n·P展开后可得：n·QP + n·P = n·P消去n·P，得到：n·QP = 0这个式子的意义是，点P到平面上的任意一点Q的向量与平面的法向量n的点积为0，即这个向量垂直于平面。
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式是指，给定三维空间中的一个点P(x0, y0, z0)和一个平面Ax + By + Cz + D = 0，求点P到该平面的距离。
首先，我们可以通过点P和平面上的一点Q(x1, y1, z1)来确定该平面的法向量n(A, B, C)，其中A = x1 - x0，B = y1 - y0，C = z1 - z0。
因为任意一条连接点P和平面上的一点的直线都垂直于该平面，在此基础上，我们可以得到点P到该平面的距离公式：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
其中，|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点P到平面的有向距离，可能为负值，需要取绝对值；√(A^2 + B^2 + C^2)表示平面的法向量n的模长。
通过这个公式，我们可以计算出点P到任意平面的距离，从而应用于多个三维空间问题中，如点到平面的投影、点与三角形的关系判断等。
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点到平面距离公式向量推导过程
点到平面距离公式向量推导过程点到平面的距离公式的推导涉及到向量和线性代数的知识。
下面将详细介绍点到平面距离公式的向量推导过程。
假设有一个平面P上的点A(x1,y1,z1)，平面的法向量为n(a,b,c)。
任意一个平面上的点B(x,y,z)，则向量AB的坐标表示为：AB=(x-x1，y-y1，z-z1)我们知道，平面上的任意一个点B到平面的距离可以定义为这个向量AB在平面的法向量n上的投影。
设投影点为C，向量CB与向量n垂直，则有向量CB与向量n的点积为零：CB⋅n=(x-x1，y-y1，z-z1)⋅(a,b,c)=0展开这个点积，我们可以得到以下方程：a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0这个方程定义了一个平面，即垂直于法向量n通过点A(x1，y1，z1)的平面。
我们将上述方程稍作变形，得到以下形式：ax - ax1 + by - by1 + cz - cz1 = 0将这个方程与平面方程:ax + by + cz + d = 0进行对比，我们可以得到：- ax1 - by1 - cz1 = d这里，d为平面方程的常数项。
将其带入之前的方程，我们可以得到：ax - ax1 + by - by1 + cz - cz1 = -ax1 - by1 - cz1化简后得：ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0这个方程表示平面上的任意一点B(x,y,z)与点A(x1,y1,z1)的连线与平面P的法向量n所构成的向量的点积为零。
回到距离的定义，我们希望计算点B到平面P的距离。
而点B到平面P的距离可以定义为向量AB在法向量n上的投影长度。
我们设投影点D，向量BD与向量n垂直。
则有向量BD与向量n的点积为零：BD⋅n=(x-x1，y-y1，z-z1)⋅(a,b,c)=0展开这个点积，我们可以得到以下方程：a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0化简后得到：ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0这个方程表示平面上的任意一点B(x,y,z)与点A(x1,y1,z1)的连线与平面P的法向量n所构成的向量的点积为零。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法点到平面的距离是空间几何中一个重要的概念，它对于解决一些实际问题以及理论研究都有着重要的意义。
在本文中，我将介绍点到平面距离的基本方法，包括数学公式的推导、几何解法、向量法和线代法等。
首先，我们考虑三维空间中的一个平面，假设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C和D为常数，并且平面上有一点P(x0,y0,z0)。
我们的目标是求点P到平面的距离。
一、数学公式的推导为了推导出点到平面距离的公式，我们可以利用向量的知识。
首先，设平面上任意一点Q(x,y,z)，则该点到平面的距离为点PQ的长度。
由于平面上的点Q一定满足平面方程，将Q的坐标代入平面方程可得：Ax+By+Cz+D=0然后，我们用向量表示点P到点Q的向量为向量v=PQ=(x-x0,y-y0,z-z0)。
由向量的点积定义可知，点积v·(A, B, C) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ，其中，v，表示向量v的长度，(A, B, C)，表示向量(A, B, C)的长度，θ表示二者之间的夹角。
将向量v和(A,B,C)的定义代入点积公式可得：(A, B, C)·(x - x0, y - y0, z - z0) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ化简上式得：Ax - Ax0 + By - By0 + Cz - Cz0 = ，v， * (A^2 + B^2 + C^2) * cosθ由于点P和点Q都在平面上，点P到平面的距离与平面的法向量垂直，即θ = 90°，cosθ = 0。
因此，上式最后一项为0。
进一步得到点P到平面的距离公式为：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这就是点到平面的距离的数学公式。
二、几何解法除了数学公式，我们还可以利用几何的方法来求点到平面的距离。
首先，我们可以将平面方程转化为点法式方程，即n·(P-P0)=0，其中n为平面的法向量，P为平面上任意一点的坐标，P0为平面上已知的一点的坐标。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
点到平面距离公式的推导过程
点到平面距离公式的推导过程《点到平面距离公式的推导》当我们需要计算一个点到给定平面的距离时，我们可以使用向量和线性代数的知识来推导出一个通用的公式。
首先，我们假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D分别为平面的法向量的分量和平面的截距。
同时，假设平面上一点的坐标为P(x1, y1, z1)。
我们知道平面的法向量为N = (A, B, C)，那么从平面上的任意一点P到原点O的向量OP为r = (x1, y1, z1)。
现在我们需要计算点P到平面的距离d。
我们可以使用点P到平面上任一点Q的向量QP的投影长度来表示点P到平面的距离d。
向量QP的投影长度为|QP|cosθ，其中θ为向量QP与平面法向量N的夹角。
现在，我们知道向量QP = r - q，其中q是平面上的任意一点的坐标。
因此，向量QP与平面法向量N的夹角θ可以表示为θ = arccos((N • (r - q)) / (|N||r - q|))，其中•表示内积运算，|N|表示向量N的长度，|r - q|表示向量r - q的长度。
根据向量的性质，我们可以将向量N • (r - q)表示为Ax1 + By1 + Cz1 + D，并将|r - q|表示为√((x1 - x2)² + (y1 - y2)² + (z1 - z2)²)。
将θ = arccos((Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (√(A² + B² + C²)√((x1 - x2)² + (y1 - y2)² + (z1 - z2)²)))代入|QP|cosθ，我们可以得到点P到平面的距离公式为d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A² + B² + C²)。
因此，我们通过向量和几何知识的推导，得到了点到平面的距禿公式。