上海市位育中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含答案
上海位育中学高二期中数学试卷
2020.04
一. 填空题
1.方程221818x x C C +=的解为x=___.
2.3600的正约数共有____个.
3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线___对.
4.将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按在A 前，B 居中，C 在后的原则(允许不相邻)，则有___种不同的排法.
5.在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试，小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有___种.
6.从7幅油画中任选3幅，再从10幅彩画中任选3幅，把选出的6幅画排成一列展出，有____种不同的方法.
7.若1()n x x +
的展开式中的第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x
的系数为____.
8.三个人坐在一排八个空位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为____.
9.4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是_____.
10.若423401234(23)x a a x a x a x a x -=++++，则0123a a a a ----的值=____.
11.回文数是指从左到右与从右到左都一样的正整数，如22、121、 3443、 94249等，则在所有四位数种，回文数的个数是____.
12.从正方体的8个顶点种取4个顶点，取出的4个顶点构成一个正三棱锥的4个顶点，则取法种数为_____.
二.选择题
13.有三个命题:(1)空间中不同三点确定一个平面;(2)空间中两两相交的三条直线确定一个平面;
(3) 一条直线和一个点确定一个平面;其中所有错误命题的序号是( )
A. (1)
B. (1) (3)
C. (2)
D.(1)(2)(3) 14.“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
15. 直角△ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面a 内的射影为1,C 且1,C AB ∉则1ABC V 一定是()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上皆有可能
16.一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A.底面是正方形，有两个侧面是矩形
B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱
17.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
18. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E 、F ，且,2EF =
则下列结论中错误的是( )
A. AC ⊥BE
B. EF //平面ABCD
C.三棱柱A- BEF 的体积为定值
D.异面直线AE 、BF 所成的角为定值
19.已知圆锥底面半径与球的半径都是1，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积为()
A.4
B.4π .C .D
20.某班某次数学测验的平均分为70分，标准差为s ，后来发现成绩记录有误，甲生得80分却误记为60分，某乙得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为1,s 则s 和1s 之间的大小关系是
( )
1.A s s >
1.B s s < 1.C s s = D.与人数有关，无法
确定 21.锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同，从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都有的概率为()
90.91A 50.273B 50.91
C 100.91
D 22.任意确定四个日期，其中至少有两个星期天的概率为() 241.2401A 1105.2401B 1.2C 338.
343D 23.联结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面，上运动，有下列四个命题:
①弦AB 、CD 可能相交于点M;
②弦AB 、CD 可能相交于N;
③MN 的最大值为5;
④MN 的最小值为1;
其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
24. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点,过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是()(写出所有正确命题的编号)
A.①②③
B.①②③④
C.①②③⑤
D.①②③④⑤
①当102CQ <<时，S 为四边形; ②当12CQ =
时，S 为等腰梯形; ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113
C R = ④当314
CQ <<时，S 为六边形; ⑤当CQ=1时，S 的面积为
6.
三、解答题
25.如图所示，圆锥SO 的底面圆半径|OA|=1，母线|SA|= 3.（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
（2）过点O 在圆锥底面作OA 的垂线交底面圆圆弧于点P ，设线段SO 中点为M ，求异面直线AM 与PS 所成角的大小。
26.如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O,钉尖为i A (i=1,2,3,4) .
(1)设(0)i OA a a =>，当123,,A A A 在同一水平面内时,求1OA 与平面123A A A 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ;
(2)若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为232cm 要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料多少米?。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）直线 {x =3+4ty =4−5t（t 为参数）的斜率为___ ．2.（填空题，3分）已知直线l 的一个方向向量为 d ⃗ =（1，-2，0），平面α的一个法向量为 n ⃗⃗ =（m ，3，6），且l || α，则m=___ ．3.（填空题，3分）在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，用 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 、 c ⃗ 作为基底向量表示 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．4.（填空题，3分）已知抛物线y 2=2px 过点A （2，2），则点A 到准线的距离为___ ．5.（填空题，3分）水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为___ ．6.（填空题，3分）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是___ ．7.（填空题，3分）地球（地球半径为R ）表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为___ ．8.（填空题，3分）已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1+2R 2=3R 3，则它们的体积V 1，V 2，V 3满足的等量关系是___ ．9.（填空题，3分）如图，在空间直角坐标系O-xyz 中，四面体C-OAB 的主视图AOC 是面积为4 √3 的直角三角形，且CO=2 √3 ，△OAB 是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于___ ．10.（填空题，3分）若三个平面α、β、γ两两垂直，直线l 与平面α、β、γ所成的角都等于λ，cosλ=___ ．11.（填空题，3分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且AB=10公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 ___ 公里．12.（填空题，3分）在平面xOy上，将曲线x2+ y2=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形记为D，4记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出Ω的体积值为___ ．13.（单选题，3分）空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若m⊥α，n || α，则m⊥n；（2）若α || β，β || γ，m⊥α，则m⊥γ；（3）若m || α，n || α，则m || n；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α || β．A.1B.2C.3D.415.（单选题，3分）在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P平行于A1C的直线与正方体表面（）相交A.ABCDB.BB1C1C1D1DD.AA1B1B16.（单选题，3分）对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：① 若点C在线段AB上．则 || AC || + || BC || = || AB || ；② 在△ABC中，若∠C=90°，则 || AC || 2+ || BC || 2= || AB || 2；③ 在△ABC中， || AC || + || BC || ＞ || AB || ．其中的真命题为（）A. ① ③B. ① ②C. ①D. ③17.（问答题，0分）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3． （1）求四棱锥A 1-ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小．18.（问答题，0分）点A 、B 分别是椭圆 x 236 + y 220 =1长轴的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF ． （1）求P 点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．19.（问答题，0分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm ，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm ．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm 3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？20.（问答题，0分）已知点F 1、F 2为双曲线 C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0) 的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求证： PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1•PP⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 为定值．21.（问答题，0分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．（1）设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，异面直线AD 1与A 1C 1所成角的大小为β，求证：tan 2β=2tan 2α+1；（2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为 43 ，求二面角A-B 1D 1-A 1；（3）在（2）的条件下，若平面BB 1C 1B 内存在点P 满足P 到直线BC 的距离与到直线C 1D 1的距离相等，求 PD1PA 的最小值．2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）直线 {x =3+4ty =4−5t （t 为参数）的斜率为___ ．【正确答案】：[1] −54【解析】：把直线的参数方程化为普通方程，即可求出直线的斜率．【解答】：解：直线 {x =3+4t y =4−5t(t 为参数) ，所以直线的普通方程为：（y-4）=- 54 （x-3），y= −54 x+ 314 ；所以直线的斜率为： −54 ； 故答案为： −54 ．【点评】：本题是基础题，考查直线的参数方程与普通方程的互化，考查转化思想，计算能力． 2.（填空题，3分）已知直线l 的一个方向向量为 d ⃗ =（1，-2，0），平面α的一个法向量为 n ⃗⃗ =（m ，3，6），且l || α，则m=___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：由线面平行得到 n ⃗⃗•d ⃗ =0，由此能求出结果．【解答】：解：∵直线l 的一个方向向量为 d⃗ =（1，-2，0）， 平面α的一个法向量为 n ⃗⃗ =（m ，3，6），且l || α， ∴ n ⃗⃗•d ⃗ =m-6=0， 解得m=6． 故答案为：6．【点评】：本题考查实数值的求法，涉及到线面平行、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3.（填空题，3分）在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，用 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 、 c ⃗ 作为基底向量表示 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] a ⃗ - b ⃗⃗ - c ⃗【解析】：画出图形，根据空间向量的线性表示，用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】：解：平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ， 如图所示：则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ - b ⃗⃗ - c ⃗ ． 故答案为： a ⃗ - b ⃗⃗ - c ⃗ ．【点评】：本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题．4.（填空题，3分）已知抛物线y 2=2px 过点A （2，2），则点A 到准线的距离为___ ． 【正确答案】：[1] 52【解析】：利用抛物线经过的点，求解p ，然后求解点A 到准线的距离．【解答】：解：抛物线y 2=2px 过点A （2，2），可得p=1， 所以抛物线的准线方程为x=- 12 ， 所以点A 到准线的距离为：2+ 12 = 52 ． 故答案为： 52 ．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 5.（填空题，3分）水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为___ ． 【正确答案】：[1] √616【解析】：求出边长为1的正三角形的面积S ，根据斜二测画法得到的直观图面积与原图形的面积比求出即可．【解答】：解：边长为1的正三角形的面积为S= 12 ×12×sin60°= √34 ， 经过斜二测画法得到的直观图面积为S′= √24S= √24× √34= √616． 故答案为： √616 ．【点评】：本题考查了斜二测画法的直观图面积与原图形面积比的应用问题，是基础题． 6.（填空题，3分）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是___ ． 【正确答案】：[1]6π【解析】：根据圆柱的轴截面是面积为4的正方形求出圆柱的母线长和底面圆半径，再求圆柱的表面积．【解答】：解：圆柱的轴截面是面积为4的正方形，所以圆柱的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆柱的表面积是S 表=2π×12+2π×1×2=6π． 故答案为：6π．【点评】：本题考查了圆柱的轴截面与圆柱的表面积计算问题，是基础题．7.（填空题，3分）地球（地球半径为R ）表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为___ ． 【正确答案】：[1] πR3【解析】：A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】：解：地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）， B 的纬圆半径是 √22R ，经度差是90°，所以AB=R ， 球心角是 π3 ，则A 、B 两地的球面距离是 πR3 故答案为： πR3【点评】：本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．8.（填空题，3分）已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1+2R 2=3R 3，则它们的体积V 1，V 2，V 3满足的等量关系是___ ．【正确答案】：[1] √V 13+2√V 23=3√V 33【解析】：表示出三个球的体积，求出三个半径，利用R 1+2R 2=3R 3，推出结果．【解答】：解：因为V 1= 43 πR 13，所以，R 1= √6π2V 132π同理R 2= √6π2V 232π ，R 3= √6π2V 332π ．由R 1+2R 2=3R 3，得√6π2V 132π+2√6π2V 232π=3√6π2V 332π． 它们的体积V 1，V 2，V 3满足的等量关系是： √V 13+2√V 23=3√V 33． 故答案为： √V 13+2√V 23=3√V 33 ．【点评】：本题考查球的体积，考查计算能力，是基础题．9.（填空题，3分）如图，在空间直角坐标系O-xyz 中，四面体C-OAB 的主视图AOC 是面积为4 √3 的直角三角形，且CO=2 √3 ，△OAB 是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：首先利用三视图和几何体的直观图之间的转换，进一步求出几何体的侧面积．【解答】：解：四面体C-OAB 的主视图AOC 是面积为4 √3 的直角三角形，且CO=2 √3 ，△OAB 是正三角形， 所以 12•AO •CO =4√3 ， 则：AO=4，由于△OAB 为等边三角形， 所以BO=4，所以BO 在平面yoz 上的射影长 4×√32=2√3 ，则四面体的左视图的面积S= 12×2√3×2√3=6 ． 故答案为：6．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的侧面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（填空题，3分）若三个平面α、β、γ两两垂直，直线l 与平面α、β、γ所成的角都等于λ，cosλ=___ ． 【正确答案】：[1] √63【解析】：构造棱长为1的正方体，建立空间直角坐标系，把问题转化为解直角三角形问题．【解答】：解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 其中ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，直线l 为B 1D ，平面α、β、γ分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，BD= √12+12 = √2，B1D= √BD2+B1B2 = √3，此时直线l与三个平面α、β、γ所成角都相等，等于λ，于是直线l与平面α成角为∠B1DB=λ，COSλ= BDB1D = √2√3= √63，故答案为：√63．【点评】：本题考查了直线与平面成角问题，属于中档题．11.（填空题，3分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线SA上一点，且AB=10公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路．这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为___ 公里．【正确答案】：[1]18【解析】：根据题意，画出展开图，结合图形转化为求HB，结合三角形相似即可求解．【解答】：解：如图，展开圆锥的侧面，过点S作A'B的垂线，垂足为H，记点P为A'B上任意一点，联结PS，A′Â=∠A′OA•SA=2π•10⇒∠A′OA=π2，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A'B，A′B=√SA′2+SB2=50，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的HB，由Rt△SA'B∽Rt△HSB，可得：SBHB = A′BSB，可求出HB= SB2A′B= 30×3050=18．即下坡段铁路的长度为 18公里．故答案为：18．【点评】：本题考查了圆锥的展开图应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12.（填空题，3分）在平面xOy上，将曲线x2+ y24=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形记为D，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出Ω的体积值为___ ．【正确答案】：[1] 8π3【解析】：曲线x2+ y24=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形为半椭圆，绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，根据对称性构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理求出Ω的体积即可．【解答】：解：根据题意知，曲线x2+ y24=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形为半椭圆，如图所示：该平面图形绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，可知Ω的体积V=2（π•12•2- 13π•12•2）= 8π3．故答案为：8π3．【点评】：本题考查了利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化圆柱与圆锥体积差的计算问题，是中档题．13.（单选题，3分）空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：利用充分条件与必要条件的定义结合公理3以及推论、符合条件的几何体进行判断即可．【解答】：解：在空间四点中，① 当四点不共面时，其中任意三点必不共线，∴必要性成立，② 当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如平行四边形的四个顶点，∴充分性不成立，∴无任何三点共线是四点不共面的必要不充分条件．故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断及平面公理3以及推论的应用，可以借助于空间图形帮助理解，考查了空间想象能力．14.（单选题，3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若m⊥α，n || α，则m⊥n；（2）若α || β，β || γ，m⊥α，则m⊥γ；（3）若m || α，n || α，则m || n；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α || β．A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：直接利用线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】：解：m，n是两条不同的直线α，β，γ是三个不同的平面，对于（1），若m⊥α，n || α，则m⊥n，故（1）正确；对于（2），若α || β，β || γ，所以α || β || γ，由于m⊥α，则m⊥γ，故（2）正确；对于（3），若m || α，n || α，则m || n或m和n异面或m和n相交，故（3）错误；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α || β或α和β相交，故（4）错误．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．15.（单选题，3分）在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P平行于A1C的直线与正方体表面（）相交A.ABCDB.BB1C1C1D1DD.AA1B1B【正确答案】：A【解析】：连接A1P并延长，使其交AD于M，确定P点在AD上，再过P点作A1C平行线，与平面ABCD内线段MC交于Q点，进面判断．【解答】：解：过P作PN⊥A1A于N，A1N=3，PN=2，连接A1P，延长A1P交AD于M，设AM=x，PN A1N =AMA1A，即23=x10，于是x= 203＜10，连接MC，过P作PQ || A1C，交MC于Q，所以Q在平面ABCD内，故选：A．【点评】：本题考查了正方体结构特征，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．16.（单选题，3分）对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B （x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：① 若点C在线段AB上．则 || AC || + || BC || = || AB || ；② 在△ABC中，若∠C=90°，则 || AC || 2+ || BC || 2= || AB || 2；③ 在△ABC中， || AC || + || BC || ＞ || AB || ．其中的真命题为（）A. ① ③B. ① ②C. ①D. ③【正确答案】：C【解析】：首先分析题目任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|，对于① 若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立．成立故正确．对于② 在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③ 在△ABC中，用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于等于||AB||．不成立，故可得到答案．【解答】：解：① 若点C在线段AB上，设点C（x0，y0），那么x0在x1，x2之间．y0在y1，y2之间，∴||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，故① 正确；② 平方后不能消除x0，y0，命题不成立，故② 不正确；③ 在△ABC中，||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|x0-x1+y0-y1+x2-x0+y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，故③ 不正确．故选：C．【点评】：本题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．17.（问答题，0分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．（1）求四棱锥A1-ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）四棱锥A 1-ABCD 的体积 V A 1−ABCD = 13S 矩形ABCD ×AA 1 ，由此能求出结果． （2）由DD 1 || CC 1，知∠A 1CC 1是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小．【解答】：解：（1）∵长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3， ∴四棱锥A 1-ABCD 的体积：V A 1−ABCD = 13S 矩形ABCD ×AA 1 = 13×AB ×AD ×AA 1 = 13×2×2×3 =4．（2）∵DD 1 || CC 1，∴∠A 1CC 1是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A 1CC 1= A 1C1CC 1=√22+223 = 2√23， ∴∠A 1CC 1= arctan2√23． ∴异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小为 arctan 2√23；【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养． 18.（问答题，0分）点A 、B分别是椭圆 x 236 + y 220 =1长轴的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF ． （1）求P 点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）先求出PA 、F 的坐标，设出P 的坐标，求出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 FP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由题意可得 {x 236+y 220=1(x +6)(x −4)+y 2=0，且y ＞0，解方程组求得点P 的坐标．（2）求出直线AP 的方程，设点M 的坐标，由M 到直线AP 的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M 的距离d 的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】：解：（1）由已知可得点A （-6，0），F （4，0），设点P （x ，y ），则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+6，y ）， FP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x-4，y ）． 由已知可得 {x 236+y 220=1(x +6)(x −4)+y 2=0，2x 2+9x-18=0，解得x= 32 ，或x=-6．由于y ＞0，只能x= 32 ，于是y= 5√32．∴点P 的坐标是（ 32 ，5√32）． （2）直线AP 的方程是 5√32−0=x+632+6 ，即 x- √3 y+6=0．设点M （m ，0），则M 到直线AP 的距离是 |m+6|2．于是|m+6|2=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故点M （2，0）．设椭圆上的点（x ，y ）到点M 的距离为d ，有 d 2=（x-2）2+y 2=x 2-4x+4+20- 59 x 2= 49 （x- 92 ）2+15，∴当x= 92 时，d 取得最小值 √15 ．【点评】：本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M的坐标，是解题的难点．19.（问答题，0分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【正确答案】：【解析】：（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】：解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr=24π，解得r=12cm．h1= √202−122=16 cm．∴笼具的体积V=πr2h- 13πr2ℎ1=π×（122×30- 13×122×16）=3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1=2πrh=720πcm2，圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2，圆锥的侧面积为S3=πrl=240πcm2．故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：1104π×50×8104=1104π25元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要1104π25元．【点评】：本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题．20.（问答题，0分）已知点F 1、F 2为双曲线 C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0) 的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求证： PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1•PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 为定值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得a=1，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得b ，即可得到双曲线的方程；（2）设直线l 的方程为y=kx+1，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得k ，进而得到直线l 的方程；（3）设P （m ，n ），则2m 2-n 2=2，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点P 1，P 2，以及 PP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．【解答】：解：（1）由双曲线的方程可得a=1， 在直角三角形MF 1F 2中，∠MF 1F 2=30°，MF 2⊥F 2F 1， 可得|MF 1|=2|MF 2|，且|MF 1|-|MF 2|=2a=2， 解得|MF 2|=2，又|MF 2|= b 2a =b 2， 所以b 2=2，则双曲线的方程为 x 2−y 22=1 ；（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为y=kx+1， 联立 {y =kx +12x 2−y 2=2 ，可得（2-k 2）x 2-2kx-3=0， Δ=4k 2+12（2-k 2）＞0，解得- √3 ＜k ＜ √3 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2= 2k2−k 2 由A 、B 中点的横坐标为1，可得 k2−k 2 =1， 解得k=1或-2（舍去），所以直线l 的方程为y=x+1；（3）证明：设P （m ，n ），则2m 2-n 2=2，由 {y =√2x y −n =−√22(x −m ) ，解得P 1（ m+√2n 3 ， √2m+2n 3 ）， 由 {y =−√2x y −n =√22(x −m )，解得P 2（ m−√2n 3 ， −√2m+2n 3 ）， 所以 PP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2n−2m 3 ， √2m−n 3 ）•（ −2m−√2n 3 ， −√2m−n 3） = (√2n−2m)(−2m−√2n)9 + (√2m−n)(−√2m−n)9 = 4m 2−2n 2+n 2−2m 29 =2m 2−n 29 = 29， 即 PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1⋅PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=29 ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．（1）设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，异面直线AD 1与A 1C 1所成角的大小为β，求证：tan 2β=2tan 2α+1；（2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为 43 ，求二面角A-B 1D 1-A 1；（3）在（2）的条件下，若平面BB 1C 1B 内存在点P 满足P 到直线BC 的距离与到直线C 1D 1的距离相等，求 PD1PA 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据线面角的定义、异面直线所成角的定义求出tanα，ta nβ的大小，即可证明；（2）根据面面垂直的性质定理可以找到点C 在平面AB 1D 1的射影位置，利用相似三角形性质求解即可；（3）建立合适的空间直角坐标系，设出点P 的坐标，求出点P 的轨迹方程，计算 PD1PA 的表达式，进行恒等变换后求解最小值即可．【解答】：（1）证明：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，因为AA1⊥底面A1B1C1D1，所以∠AB1A1=α，于是tanα= AA1A1B1=ℎ，因为AC || A1C1，如图所示，所以∠CAD1=β，由勾股定理可知，CA= √2，CD1=AD1= √ℎ2+1，在等腰三角形CAD1中，底边CA上的高为√(√ℎ2+1)2−(12√2)2=√ℎ2+12，所以tanβ= √ℎ2+12√22=√2ℎ2+1，则tan2β=2h2+1=2tan2α+1；（2）解：因为O1为A1C1与B1D1的交点，三角形AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，所以AO1⊥B1D1，根据线面垂直的判定定理可知，B1D1⊥平面ACC1A1，由面面垂直的判定定理可知，平面AB1D1⊥平面ACC1A1，且平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1，、则点C在平面AB1D1的射影H在AO1上，即CH= 43，如图所示，在矩形ACC1A1中，AH= √AC2−CH2=√2−(43)2=√23，因为Rt△AA1O∽Rt△CHA，则A1O1AA1=AHCH，即√22AA1=√2343，解得AA1=2，所以正棱柱ABCD-A1B1C1D1的高2，因为AB1=AD1=√5，O为B1D1的中点，则AO1⊥B1D1，又O1为正方形对角线A1C1与B1D1的交点，则A1O1⊥B1D1，所以∠AO1A1为二面角的A-B1D1-A1平面角，则Rt△AO1A1中，AA1=2，A1O1=√22，故tan∠AO1A1= AA1A1O1=2√2，所以二面角A-B1D1-A1的大小为arctan 2√2；（3）解：以A1为空间直角坐标系的坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设P（1，y，z）（0≤y≤1），因为C1D1⊥平面BB1C1C，故C1D1⊥PC1，由题意可知，2−z=√(y−1)2+z2，即4-4z=（y-1）2（0≤z≤1），所以有PD1PA =√12+(y−1)2+z2√12+y2+(z−2)2= √(z−2)2+112+y2+(z−2)2=√11+y2(z−2)2+1，当y=1时，y2有最大值1，此时z=1，而（z-2）2+1也达到最小值，所以 y 2(z−2)2+1 有最大值，则 √11+y 2(z−2)2+1有最小值，最小值为 √63 ， 故 PD 1PA 的最小值为 √63 ．【点评】：本题考查了线面角、异面直线所成的角的计算，正四棱柱高的求解，利用函数求解最值的应用，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．。
2019-2020学年上海市位育中学高二下学期期中考试数学试题 Word版
绝密★启用前上海位育中学高二期中数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一. 填空题1.方程221818x x C C +=的解为x=___.2.3600的正约数共有____个.3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线___对.4.将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按在A 前，B 居中，C 在后的原则(允许不相邻)，则有___种不同的排法.5.在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试，小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有___种.6.从7幅油画中任选3幅，再从10幅彩画中任选3幅，把选出的6幅画排成一列展出，有____种不同的方法.7.若1()n x x +的展开式中的第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为____.8.三个人坐在一排八个空位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为____.9.4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是_____.10.若423401234(23)x a a x a x a x a x -=++++，则0123a a a a ----的值=____.11.回文数是指从左到右与从右到左都一样的正整数，如22、121、 3443、 94249等，则在所有四位数种，回文数的个数是____.12.从正方体的8个顶点种取4个顶点，取出的4个顶点构成一个正三棱锥的4个顶点，则取法种数为_____.二.选择题13.有三个命题:(1)空间中不同三点确定一个平面;(2)空间中两两相交的三条直线确定一个平面; (3) 一条直线和一个点确定一个平面;其中所有错误命题的序号是( )A. (1)B. (1) (3)C. (2)D.(1)(2)(3) 14.“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15. 直角△ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面a 内的射影为1,C 且1,C AB ∉则1ABC V 一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上皆有可能16.一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱17.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°18. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E 、F ，且EF =则下列结论中错误的是( )A. AC ⊥BEB. EF //平面ABCDC.三棱柱A- BEF 的体积为定值D.异面直线AE 、BF 所成的角为定值 19.已知圆锥底面半径与球的半径都是1，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积为()A.4B.4π .C .D20.某班某次数学测验的平均分为70分，标准差为s ，后来发现成绩记录有误，甲生得80分却误记为60分，某乙得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为1,s 则s 和1s 之间的大小关系是( )1.A s s >1.B s s < 1.C s s = D.与人数有关，无法确定 21.锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同，从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都有的概率为()90.91A 50.273B 50.91C 100.91D 22.任意确定四个日期，其中至少有两个星期天的概率为() 241.2401A 1105.2401B 1.2C 338.343D 23.联结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面，上运动，有下列四个命题:①弦AB 、CD 可能相交于点M;②弦AB 、CD 可能相交于N;③MN 的最大值为5;④MN 的最小值为1;其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.424. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点,过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是()(写出所有正确命题的编号)A.①②③B.①②③④C.①②③⑤D.①②③④⑤①当102CQ <<时，S 为四边形; ②当12CQ =时，S 为等腰梯形; ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R = ④当314CQ <<时，S 为六边形; ⑤当CQ=1时，S 的面积为6.2三、解答题25.如图所示，圆锥SO 的底面圆半径|OA|=1，母线|SA|= 3.（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O 在圆锥底面作OA 的垂线交底面圆圆弧于点P ，设线段SO 中点为M ，求异面直线AM 与PS 所成角的大小。
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷(含参考答案)
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷一、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平方根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平面内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四面体ABCD 的棱AD 与面ABC 所成角的大小为____________．5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点， 则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球面上任意一点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意一个非零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是方程10x x+=的一个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的方程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x 1、x 2且满足-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发生的概率为____________．二、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z z <⇔-<<B ．0z z +=⇔z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥⇔z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n nn n n n ---++++等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )n n C ．2C n nD ．212C n n -三、解答题（本大题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ 的值．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）(1) 两个相交平面M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平面M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(2) 某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题4分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学生人数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为面EB1F内的一点，且∠EBN=45︒，∠FBN=60︒，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1小题8分，第2小题5分，第3小题5分）(1) 已知二项式(x+2)n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；(2) 记(x+2)n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不小于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第二学期高二期终考试数学答案一、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、 5、24； 6； 7、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4；11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625． 二、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ=⎧⎪⎨⎪⎩，∴1sin 2tan θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平面．6分(2) 设开始有n 个班参加比赛，1︒ 若这两个班级之间比赛过1场，则22584n C -+=，无解，8分2︒ 若这两个班级之间没有过比赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加比赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-⨯+++⨯=3分 所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 8分所以，抽样学生成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9，所以从成绩不及格的学生中选两人， 他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分） 解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=︒∠=︒111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=︒==︒= 2222111,BE BF BG BN ++=112BG BN ∴=，即160B BN ∠=，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D ，在面BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF ．在平面BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，又B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2． 这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最大的项是101102r rr r T C x -+=⋅(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅⋅≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⋅⋅⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩， 5分得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，（r =1,2,…,9），∴ r =7， 7分展开式中系数最大的项是7373810215360T C x x =⋅=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nnn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分 综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大． 15分证明如下：1!!!C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+⋅--⋅-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1． 若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<<，13122C>C>C C n n n nnnn n ++->>， 若n 为偶数，201222C C C C C n n nnnnn-<<<<<，2122C >C>C C n n n nnnn n+->>， 18分。
2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)_2
2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中是虚数单位）的虚部是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【详解】解：，故复数的虚部为，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.2.下列求导数运算正确的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3.棣莫弗公式（是虚数单位），是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据公式化简,进而得出象限即可.【详解】由题, ,因为.故复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题.4.函数的单调减区间为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可．【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所，令，解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题．5.函数在区间上（）.A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为函数，；；当且仅当即时等号成立；函数在区间上有最大值：，无最小值．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.7.已知函数在处有极大值，则常数c的值为（）.A. 1或3B. 3C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的值舍去．【详解】解：函数，它导数为，由题意知，在处的导数值为，，或，又函数在处有极大值，故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，导数值在处左侧为负数，右侧为正数．故．故选：B．【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题．8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，定义域为，因为恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则恒成立，即在定义域上单调递减，又，所以当时，当时，即当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，即最大值，，所以，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分.9.对于复数，下列结论错误的是（）.A. 若，则为纯虚数B. 若，则C. 若，则为实数D. 纯虚数的共轭复数是【答案】AB【解析】【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．10.直线能作为下列（）函数的图像的切线.A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．【详解】解：函数，可得不成立；所以不正确；，可以成立；所以正确；，，可以成立；所以正确；，可成立．所以正确；故直线能作为函数图象的切线，故选：BCD．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）.A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极大值.【答案】BC【解析】【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值．【详解】解：由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对．故选：BC．【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题．12.若函数在定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数为（）.A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据已知中函数具有性质的定义，一一验证可得．【详解】解：对于A，定义域为，则恒成立，故满足条件；对于B，定义域为，则，又，，即当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故不满足条件；对于C，定义域为，，又，即在定义域上单调递减，且，故不满足函数在定义域上单调递增，故错误；对于D，定义域为，，令，，则时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，所以恒成立，即在定义域上单调递增，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算____.【答案】13【解析】【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.14.已知函数，那么的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．15.函数在上的单调递减，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得在上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为，，所以，因为函数在上的单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递减，所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.16.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分别求得，时的导数，求得单调性、极值，讨论，，，，结合函数存在正的零点，可得的范围．【详解】解：由的导数为，可得为增函数，可得，且时，的导数为，即有时，单调递减；或时，单调递增，可得为极小值，处取得极大值，时，时，；时，在递减，递增，无正的零点；时，时，，，故函数存在正的零点，满足条件；当时，时，递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，则时函数取得极小值即最小值，，故不存在，使得；当时，在上单调递增，且，故不存在，使得；综上可得时，存在，使得；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.已知，复数.（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；（2）若的共轭复数与复数相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可；（2）首先求出复数的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的取值范围是；（2）因为，所以，因为与复数相等，所以，解得.【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18.已知函数且（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）（2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可；（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为，由，得，解得（2）由（1）得，因为，所以在上单调递增，所以在时取得最大值，【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19.已知复数（，为虚数单位）.（1）若且是纯虚数，求实数的值；（2）若复数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出，再根据复数的类型求出参数的值；（2）根据复数的几何意义得到复数的轨迹，即可得到复数的取值范围；【详解】解：（1）由是纯虚数，得，解得（2）由，得，所以，即的轨迹是以为圆心，半径为的圆，可得即【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.20.已知函数.（1）若在处的切线斜率为，求的值；（2）若在处取得极值，求的值及的单调区间.【答案】（1）（2）；单调增区间为；减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可得到参数的值；（2）依题意可得，从而求出参数的值，即可得到（），再令，解出，最后求出函数的单调区间；【详解】解：（1）因为所以，又因为在点处的切线斜率为，所以，即，解得（2）因为在处取得极值，所以，即，解得，所以（），令，即，解得，当，；当且，；当，，所以的单调递增区间为和；单调递减区间为和.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.21.如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路（点分别在与上），为切点，设.（1）试求观光道路长度的最大值；（2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值.【答案】（1）（2）平方千米【解析】【分析】（1）求出，分别求出，，从而求出的表达式，求出的最大值即可；（2）求出的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值即可．【详解】解：（1）由题意可知，在中，，在中，，则，又因，所以当时，，此时，故的最长值为；（2）在中，，由（1）得，则则，令即，解得，当单调递增；当单调递减，所以为函数的极大值，又函数在区间极大值唯一，因此这个极大值也是函数的最大值.，所以草坪面积最大值平方千米.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，属于中档题．22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：在上恒成立.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论计算可得；（2）令，求出函数的导函数，再令，说明函数的单调性，从而得到函数的单调性，即可得证；【详解】解：（1）因为，定义域为，所以当时，增区间为；当时，令解得，令，解得函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）令则令，则，又函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得且时，；时，即时，；时，函数在上单调递减，在上单调递增，而，即两边取对数得，故在上恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于中档题.2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中是虚数单位）的虚部是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【详解】解：，故复数的虚部为，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.2.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3.棣莫弗公式（是虚数单位），是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据公式化简,进而得出象限即可.【详解】由题, ,因为.故复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题.4.函数的单调减区间为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可．【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所，令，解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题．5.函数在区间上（）.A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为函数，；；当且仅当即时等号成立；函数在区间上有最大值：，无最小值．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.7.已知函数在处有极大值，则常数c的值为（）.A. 1或3B. 3C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的值舍去．【详解】解：函数，它导数为，由题意知，在处的导数值为，，或，又函数在处有极大值，故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，导数值在处左侧为负数，右侧为正数．故．故选：B．【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题．8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，定义域为，因为恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则恒成立，即在定义域上单调递减，又，所以当时，当时，即当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，即最大值，，所以，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分.9.对于复数，下列结论错误的是（）.A. 若，则为纯虚数B. 若，则C. 若，则为实数D. 纯虚数的共轭复数是【答案】AB【解析】【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．10.直线能作为下列（）函数的图像的切线.A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．【详解】解：函数，可得不成立；所以不正确；，可以成立；所以正确；，，可以成立；所以正确；，可成立．所以正确；故直线能作为函数图象的切线，故选：BCD．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）.A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极大值.【答案】BC【解析】【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值．【详解】解：由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对．故选：BC．【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题．12.若函数在定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数为（）.A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据已知中函数具有性质的定义，一一验证可得．【详解】解：对于A，定义域为，则恒成立，故满足条件；对于B，定义域为，则，又，，即当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故不满足条件；对于C，定义域为，，又，即在定义域上单调递减，且，故不满足函数在定义域上单调递增，故错误；对于D，定义域为，，令，，则时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，所以恒成立，即在定义域上单调递增，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算____.【答案】13【解析】【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.14.已知函数，那么的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．15.函数在上的单调递减，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得在上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为，，所以，因为函数在上的单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递减，所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.16.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分别求得，时的导数，求得单调性、极值，讨论，，，，结合函数存在正的零点，可得的范围．【详解】解：由的导数为，可得为增函数，可得，且时，的导数为，即有时，单调递减；或时，单调递增，可得为极小值，处取得极大值，时，时，；时，在递减，递增，无正的零点；时，时，，，故函数存在正的零点，满足条件；当时，时，递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，则时函数取得极小值即最小值，，故不存在，使得；当时，在上单调递增，且，故不存在，使得；综上可得时，存在，使得；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.已知，复数.（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；（2）若的共轭复数与复数相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可；（2）首先求出复数的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的取值范围是；（2）因为，所以，因为与复数相等，所以，解得.【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18.已知函数且（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）（2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可；（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为，由，得，解得（2）由（1）得，因为，所以在上单调递增，所以在时取得最大值，【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19.已知复数（，为虚数单位）.（1）若且是纯虚数，求实数的值；（2）若复数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出，再根据复数的类型求出参数的值；（2）根据复数的几何意义得到复数的轨迹，即可得到复数的取值范围；【详解】解：（1）由是纯虚数，得，解得（2）由，得，所以，即的轨迹是以为圆心，半径为的圆，可得即【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.20.已知函数.（1）若在处的切线斜率为，求的值；（2）若在处取得极值，求的值及的单调区间.【答案】（1）（2）；单调增区间为；减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可得到参数的值；（2）依题意可得，从而求出参数的值，即可得到（），再令，解出，最后求出函数的单调区间；【详解】解：（1）因为所以，又因为在点处的切线斜率为，所以，即，解得（2）因为在处取得极值，所以，即，解得，所以（），令，即，解得，当，；当且，；当，，所以的单调递增区间为和；单调递减区间为和.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.21.如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切。
2023-2024学年上海市徐汇区位育中学高二(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.95，根据这一数据分析，下列说法正确的是附：P(χ2≥3.841)≈0.05( )A. 有95%的人认为该电视栏目优秀B. 有95%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D. 没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系2.直线l1：(a−1)x+y+1=0，l2：4x+(a+2)y−1=0，则“a=2”是“l1//l2”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P 131313则当a在(0,1)内增大时，( )A. D(X)增大B. D(X)减小C. D(X)先增大后减小D. D(X)先减小后增大4.在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′(yx2+y2,−xx2+y2)；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.直线x−3y +1=0的倾斜角是______．6.方程x 225−m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______．7.双曲线3x 2−y 2=8的两条渐近线夹角为______．8.(x +2x )6的二项展开式中常数项是______．9.已知双曲线C ：x29−y 27=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线C 上有一点P ，若|PF 1|=5，则|PF 2|=______．10.为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据： 时间(s)1234567位移(cm)1.83.65.37.18.810.412.0这组数据的线性回归方程经过点(4,a)，则a = ______．11.已知X ～N(4,σ2)，且P(X ≤2)=0.3，则P(X ≤6)= ______．12.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为______．13.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种______(用数字作答)14.已知实数x ，y 满足y =−4−(x−1)2，则y−2x−4的取值范围是______．15.已知点P 在圆O ：x 2+y 2=1上运动，若对任意点P ，在直线l ：x +y−4=0上均存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是______．16.设F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，曲线C 1，C 2在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈[33,1)，则双曲线的离心率e 2的取值范围是______．三、解答题：本题共5小题，共42分。
2019年上海市高二第二学期期中数学试卷含详细答案
2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．54的不同正约数有个．2．从10名学生中选出6名学生去参加一个展览会，共有种不同选法．3．方程的解为x＝．4．已知△ABC是边长为4的正三角形，那么它的平面直观图△A'B'C'的面积为．5．（2x+1）6的二项展开式第4项的系数是．6．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为．7．已知球的表面积为4π，则该球的体积为．8．若一个圆锥的底面半径为1，其侧面展开图的圆心角大小为，则该圆锥的高为．9．在北纬60°圈上有A、B两地，A、B之间的球面距离为（R为地球半径），则A、B两地在此纬度圈上的弧长等于．10．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的底面边长为．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝CC1＝2，点P是直线BC1上一动点，则A1P+PC的最小值是．二、选择题13．“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要14．已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行15．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C．D．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④三、解答题17．现有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队．（1）要求甲、乙两个人必须站在相邻位置，共有几种排队方法？（2）要求甲、乙两个人不相邻，共有几种排队方法？18．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，点E是棱BC的中点．（1）求异面直线BB1与D1E所成角的大小；（2）求点A到平面A1DE的距离．19．某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m．（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（π取3.14，结果精确到0.01万元）（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（π取3.14，结果精确到0.01吨）20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB＝AP．若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．21．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直．（1）求证：平面A1DC∥平面BD1C1；（2）若CC1与平面ABB1A1的距离为x，A1C＝AB1＝6，三棱锥A1﹣ACD的体积为y，试写出y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当CC1与平面ABB1A1的距离为多少时，三棱锥A1﹣ACD的体积取得最大值？并求出最大值．四、附加题.22．代数式（4x2﹣2x﹣5）（x2+1）5的展开式中，含x4项的系数是．23．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是4，点E是棱BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合，设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，则tanθ的最小值为．24．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数为．25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是．26．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2＝4y，x2＝﹣4y，x＝4，x＝﹣4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1＝V2B．V1＝V2C．V1＝V2D．V1＝2V2参考答案一、填空题1．54的不同正约数有8个．【分析】根据正约数的定义，即可求解．解：54的正约数有1，2，3，6，9，18，27，54，共8个．故答案为：8．2．从10名学生中选出6名学生去参加一个展览会，共有210种不同选法．【分析】由题意可知，可归类为组合模型，利用组合数公式即可．解：由题意知，＝＝＝210，故答案为：210．3．方程的解为x＝2．【分析】由组合数的运算公式，列方程求出x的值即可．解：由组合数的运算公式知，，所以2x＝x+2，或2x+（x+2）＝18，解得x＝2，或x＝（不合题意，舍去）；所以x＝2．4．已知△ABC是边长为4的正三角形，那么它的平面直观图△A'B'C'的面积为．【分析】根据题意，设△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为S1，求出△ABC的面积S，又由S1＝S，计算可得答案．解：根据题意，设△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为S1，△ABC是边长为4的正三角形，其面积S＝×4×4×＝4，则有＝，则S1＝S＝；故答案为：．5．（2x+1）6的二项展开式第4项的系数是160．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．解：（2x+1）6的二项展开式第4项的系数是23＝160．故答案为：160．6．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为．【分析】取AB的中点D，连接SD，由题意可求出BD，SB的长，再在Rt△SBD中由勾股定理可求出SD的长，从而求出正三棱锥的侧面积．解：如图所示，取AB的中点D，连接SD，∵正三棱锥的底面边长为2，∴BD＝＝1，又∵侧棱长为4，∴SB＝4，在Rt△SBD中，由勾股定理可得SD＝＝，∴正三棱锥的侧面积为3×＝3，故答案为：3．7．已知球的表面积为4π，则该球的体积为．【分析】由球的表面积是4π，求出球的半径r＝1，由此能求出该球的体积．解：∵一个球的表面积是4π，∴球的半径r＝1，∴该球的体积是V＝．故答案为：．8．若一个圆锥的底面半径为1，其侧面展开图的圆心角大小为，则该圆锥的高为．【分析】易知底面圆的周长为2π，根据扇形的弧长公式，可得母线长，再由勾股定理，得解．解：设圆锥的高为h，底面半径为r＝1，母线长为R，∴底面圆的周长为l＝2πr＝2π，∵圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，∴l＝•R，即2π＝•R，∴R＝3，∴h＝＝＝2．故答案为：2．9．在北纬60°圈上有A、B两地，A、B之间的球面距离为（R为地球半径），则A、B两地在此纬度圈上的弧长等于．【分析】根据A、B两地的球面距离求出球心角，再求北纬60°圈的纬圆半径和A、B 两地的北纬60°圈的纬圆弧长．解：设地球的中心为O，因为A、B之间的球面距离为，R为地球半径，所以A、B两地对应大圆的圆心角是∠AOB＝，即AB＝OA＝OB＝R，如图所示：又因为在北纬60°圈上所在圆的半径为r＝R cos60°＝R，所以AB是北纬60°圈的一条直径，即A、B在纬度圈上的圆心角为π，所以A、B在北纬60°圈对应的弧长为πr＝．故答案为：．10．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的底面边长为4．【分析】由俯视图可知三棱柱高为2，底面三角形的高为2．解：由侧视图可知三棱柱的高为2，即侧棱长为2．由侧视图可得底面正三角形的高为2，∴底面正三角形的边长为4．故答案为：4．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为【分析】三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，利用正三棱锥P﹣ABC的体积转化求解即可．解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为1，∴正方体的棱长为，即，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积，△ABC为边长为的正三角形，，∴，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为．故答案为：．12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝CC1＝2，点P是直线BC1上一动点，则A1P+PC的最小值是10．【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，则CP+PA1的最小值是A1C，然后求解三角形得答案．解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．∵BC＝CC1＝2，∴BC1＝4，又A1C1＝12，A1B＝4，则，得∠A1C1P＝90°，又∠BC1C＝45°，∴∠A1C1C＝135°，在△A1C1C中，由余弦定理可求得：A1C＝＝10．故答案为：．二、选择题13．“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【分析】根据直棱柱的定义依次判断由前面是否可以推到后面，后面是否可以推到前面，再根据充分条件和必要条件的定义可得答案．解：若侧棱与底面两条平行的两边垂直，则侧棱与底面不一定垂直，而棱柱为直棱柱必有侧棱与棱柱底面垂直，即侧棱必与底面两边垂直，所以“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的必要非充分条件，故选：B．14．已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，从而a与b不可能垂直．解：直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，排除选项AD；当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，∴a与b不可能垂直，排除B．故选：C．15．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C．D．【分析】本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．解：如果水瓶形状是圆柱，V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别判断选项，利用排除法能得出结论．解：①当点P与B1重合时，CP⊥AB，且CP⊥AD1，所以CP⊥平面ABD1，因为对于任意给定的点Q，都有D1Q⊂平面ABD1，所以对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q，所以①正确；②只有D1Q⊥平面BCC1B1，即D1Q⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP，因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1∥AB，所以②错误；③当R与A1，重合时，在线段B1B上找不到点P，使CP⊥D1R，所以③不正确；④只有当CP⊥平面A1CD1时，④才正确，所以对于任意给定的点P不存在点R，使D1R⊥CP，故④不正确．故选：A．三、解答题17．现有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队．（1）要求甲、乙两个人必须站在相邻位置，共有几种排队方法？（2）要求甲、乙两个人不相邻，共有几种排队方法？【分析】（1）先排甲、乙，再利用捆绑法求解；（2）先排丙、丁、戊，再利用插空法排甲、乙．解：（1）先排甲、乙，共有种方法，再将甲、乙捆绑，共有种方法，故共有•＝48种；（2）先排丙、丁、戊，共有种方法，再利用插空法排甲、乙，共有种方法，故共有•＝72种．18．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，点E是棱BC的中点．（1）求异面直线BB1与D1E所成角的大小；（2）求点A到平面A1DE的距离．【分析】（1）BB1∥CC1∥DD1，得∠ED1D或其补角为异面直线所成的角，再求其大小．（2）先作出垂线AM，再证AM的长为点A到平面A1DE的距离，再求其大小．解：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1得BB1∥CC1∥DD1，∴∠ED1D或其补角为异面直线所成的角，在Rt△ECD中，由勾股定理得ED＝，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，知DD1⊥DE，DD1＝1∴∴∠ED1D＝；∴异面直线BB1与D1E所成角的大小；（2）过点A作AM⊥A1E于M，∵AA1⊥面ABCD，易证得AA1⊥ED，在Rt△BAE中，易得AE＝，AD＝2，所以△AED为直角三角形，∴AE⊥DE∵AA1∩AE＝A，AA1⊂面AA1E，AE⊂面AA1E，∴DE⊥AA1E，∵AM⊂面AA1E，∴DE⊥AM，又AM⊥A1E，A1E∩DE＝E，∴AM⊥面A1ED，所以AM的长为点A到到平面A1DE的距离．∵，所以，又，∴AM＝；∴点A到到平面A1DE的距离．19．某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m．（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（π取3.14，结果精确到0.01万元）（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（π取3.14，结果精确到0.01吨）【分析】（1）根据已知条件，先求出母线长，再求得组合体的表面积，从而求得造价．（2）根据已知条件，求得组合体体积，从而求得储油量．解：（1）∵圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m，∴圆锥的母线长l＝，组合体的表面积为S＝2πr•h+πr2+＝2π×10×5+＝（200+50）π，则总造价为（200+50）π×1≈979.56万元．（2）组合体的体积V＝＝π×102×5+＝，∵油罐的储油量为0.95吨/m3，∴一个油罐可储存油量为吨．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB＝AP．若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．【分析】（1）证明平面PAB⊥平面PAD，只需证明AB⊥平面PAD，只需证明PA⊥AB，AB⊥AD；（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，求出平面PCD的一个法向量，利用直线PB与平面PCD所成的角为30°，建立方程，即可求线段AB的长．【解答】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．在Rt△CDE中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1，设AB＝AP＝t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD＝4，得AD＝4﹣t，所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0），．设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），由，，得取x＝t，得平面PCD的一个法向量＝（t，t，4﹣t），又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°，得cos60°＝||，即，解得（舍去，因为AD＝4﹣t＞0），所以．21．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直．（1）求证：平面A1DC∥平面BD1C1；（2）若CC1与平面ABB1A1的距离为x，A1C＝AB1＝6，三棱锥A1﹣ACD的体积为y，试写出y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当CC1与平面ABB1A1的距离为多少时，三棱锥A1﹣ACD的体积取得最大值？并求出最大值．【分析】（1）由平面与平面平行的判定证明；（2）找到三棱锥合适的底和高，利用等体积法写出三棱锥A1﹣ACD的体积为y关于CC1与平面ABB1A1的距离x的函数关系式；（3）利用函数思想通过二次函数求最值．【解答】（1）证明：在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，且D为AB的中点，D1为A1B1的中点，∴A1D1∥BD且A1D1＝BD，∴四边形A1DBD1为平行四边形，则A1D∥D1B，∵A1D⊄平面BD1C1，D1B⊂平面BD1C1，∴A1D∥平面BD1C1，连接DD1，如图所示，∴DD1∥AA1∥CC1，且DD1＝AA1＝CC1，则四边形DD1C1C为平行四边形，∴DC∥D1C1，且DC⊄平面BD1C1，D1C1⊂平面BD1C1，∴DC∥平面BD1C1，∵A1D∩DC＝D，且A1D，DC⊂平面A1DC，∴平面A1DC∥平面BD1C1；（2）解：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，∴平面ABC⊥平面ABB1A1，且平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，CD⊥AB，CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABB1A1，CC1∥平面ABB1A1，∴CC1与平面ABB1A1的距离x＝CD，∵A1D⊂平面ABB1A1，∴CD⊥A1D，在Rt△A1DC中，A1C＝6，则（0＜x ＜6），∴，∵CD⊥平面ABB1A1，则C1D1⊥平面ABB1A1，而AB1⊂平面ABB1A1，∴C1D1⊥AB1，且AB1⊥BC1，又C1D1∩BC1＝C1，C1D1，BC1⊂平面BD1C1，∴AB1⊥平面BD1C1，且BD1⊂平面BD1C1，∴AB1⊥BD1，记交点为E，则三角形AEB为直角三角形，∵△B1D1E∽△ABE，且，AB1＝6，，∴B1E＝2，，，∴＝，∴，即（0＜x＜6）；（3）解：由（2）得：＝（0＜x＜6），令φ（x）＝36x2﹣x4，当x2＝18，即时，φ（x）取最大值为324，此时y max＝6．四、附加题.22．代数式（4x2﹣2x﹣5）（x2+1）5的展开式中，含x4项的系数是﹣30．【分析】先将问题转化为（x2+1）5的展开式的特定项问题，再求出其展开式的通项得到各项的系数．解：在（4x2﹣2x﹣5）（x2+1）5的展开式中，含x4项的系数是由（x2+1）5的含x2项的系数的4倍加上含x4项的系数的（﹣5）倍的和，∵（x2+1）5展开式的通项T r+1＝C5r x10﹣2r，∴展开式中含x4项的系数是4C54﹣5C53＝﹣30．故答案为：﹣30．23．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是4，点E是棱BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合，设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，则tanθ的最小值为．【分析】过点E作EM⊥AC于M，过点M作MN⊥AF于N，连接EN，可证EM⊥平面ACC1A1，从而知∠ENM＝θ，而tanθ＝，于是要求tanθ的最小值，需求MN的最大值，当点F与C1重合时，即为所求．解：过点E作EM⊥AC于M，过点M作MN⊥AF于N，连接EN，∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，∴EM⊥平面ACC1A1，∴∠ENM为二面角C﹣AF﹣E的平面角，在Rt△EMN中，tanθ＝tan∠ENM＝，在等边△ABC中，AC＝4，E为BC的中点，∴ME＝，AM＝3，要求tanθ的最小值，则需求MN的最大值，而当点F与C1重合时，MN最大，为AM•sin45°＝，∴（tanθ）min＝＝．故答案为：．24．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数为420．【分析】依次对四棱锥的五个顶点上色，注意分类讨论即可．解：第一步：点A上色，5种方法，第二步：点B上色，4种方法，第三步：点C上色，3种方法，第四步：点D上色，若与点B相同，则有1种方法，若与点B不同，则有2种方法，第五步：点E上色，若点D与点B相同，则有3种方法，若点D与点B不同，则有2种方法，故不同的染色方法总数为5×4×3×1×3+5×4×3×2×2＝420，故答案为：420．25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是πa3．【分析】取底面BCD的中心G，CD的中点E，球心O（在线段AG上），作OH⊥AB，垂足为H，并求出有关线段的长，利用Rt△ABG∽Rt△AOH，即可求出球的半径．解：取球心O，则O与任一棱的距离即为球的半径．如图，设CD的中点为E，底面的中心为G，则AG⊥底面BCD，AE＝BE＝a，AG＝a，AO＝a，BG＝a，由Rt△ABG∽Rt△AOH，∴AB：AO＝BG：OH．∴OH＝＝a．∴V＝πr3＝πa3．故答案为πa3．．26．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2＝4y，x2＝﹣4y，x＝4，x＝﹣4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1＝V2B．V1＝V2C．V1＝V2D．V1＝2V2【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．解：如图所示，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1＝π（42﹣4|y|），S2＝π（42﹣y2）﹣π[4﹣（2﹣|y|）2]＝π（42﹣4|y|）；∴S1＝S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C．。
上海市高二第二学期期终考试数学卷(共3套,含答案)
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷一、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平方根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平面内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四面体ABCD 的棱AD 与面ABC 所成角的大小为____________．5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点， 则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球面上任意一点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意一个非零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是方程10x x+=的一个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的方程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x 1、x 2且满足-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发生的概率为____________．二、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z z <⇔-<<B ．0z z +=⇔z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥⇔z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n ---++++L 等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )nn C ．2C nn D ．212C nn -三、解答题（本大题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ 的值．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）(1) 两个相交平面M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平面M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(2) 某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题4分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学生人数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A 1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为面EB1F内的一点，且∠EBN=45︒，∠FBN=60︒，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1小题8分，第2小题5分，第3小题5分）(1) 已知二项式(x+2)n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；(2) 记(x+2)n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不小于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第二学期高二期终考试数学答案一、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、； 5、24； 67、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4； 11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625． 二、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴1sin 2tan θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平面．6分(2) 设开始有n 个班参加比赛，1︒ 若这两个班级之间比赛过1场，则22584n C -+=，无解，8分2︒ 若这两个班级之间没有过比赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加比赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-⨯+++⨯=3分 所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 8分所以，抽样学生成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9，所以从成绩不及格的学生中选两人， 他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分） 解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=︒∠=︒111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=︒==︒=g 2222111,BE BF BG BN ++=Q 112BG BN ∴=，即160B BN ∠=o ，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D ，在面BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF ．在平面BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，又B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2． 这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最大的项是101102r rr r T C x -+=⋅(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅⋅≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⋅⋅⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩， 5分得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，（r =1,2,…,9），∴ r =7，7分展开式中系数最大的项是7373810215360T C x x =⋅=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nnn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分 综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大． 15分证明如下：1!!!C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+⋅--⋅-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1． 若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<<L ，13122C>C>C C n n n n nnn n ++->>L ，若n 为偶数，201222C C C CC n n nnnnn-<<<<<L ，2122C >C>C C n n n nnnn n +->>L ，18分上海市青浦区2017学年第二学期高二年级期终学业质量调研数学试卷（满分150，时间120分钟）考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚.2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题 卷上答题无效.3. 本试卷共有21道试题,可以使用规定型号计算器.一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分 1. 复数i z 43-=（i 是虚数单位）的虚部是 【答案】4-2. 平面直角坐标系中点）（2,1到直线012=++y x 的距离为 【答案】53. 62)12(xx +的展开式中的常数项是 【答案】604. 已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为 【答案】185. 已知球的半径为R ，B A 、为球面上两点，若B A 、之间的球面距离是3Rπ，则这两点间的距离等于【答案】R6. 如图，以长方体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1→DB 的坐标为)2,3,4(，则1→AC 的坐标为【答案】)2,3,4(-7. 过点)1,3(的直线l 与圆4)2()2(:22=-+-y x C 相交于B A 、两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾斜角等于 【答案】4π 8. 抛物线x y 42=上一动点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线距离之和的最小值为 【答案】59. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】x y 33±= 10. 平面上两组平行线互相垂直，一组由6条平行线组成，一组由5条平行线组成，则它们能围成的矩形个数是 【答案】15011. 设α和β是关于x 的方程022=++m x x 的两个虚数根，若O 、、βα在复平面对应的点构成直角三角形，那么实数=m 【答案】212. 已知曲线C 的方程为0),(=y x F ，集合}0),(|),{(==y x F y x T ，若对于任意的T y x ∈),(11，都存在T y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称曲线C 为∑曲线.下列方程所表示的曲线中,是∑曲线的有（写出所有∑曲线的序号）①1222=+y x ；②122=-y x ；③x y 22=；④1||||+=x y【答案】①③二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 13. “直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“α⊥l ”的一个（） 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件【D 】既非充分也不必要条件 【答案】B14. 曲线12:22=+-Γy xy x 的图像（） 【A 】关于x 轴对称【B 】关于原点对称,但不关于直线x y =对称 【C 】关于y 轴对称【D 】关于直线x y =对称，关于直线x y -=对称 【答案】D15.下列命题中,正确的命题是【A 】若0,2121>-∈z z C z z 、，则21z z >4)-x 【B 】若R z ∈，则2||z z z =⋅-不成立 【C 】0,,2121=⋅∈z z C z z ，则01=z 或02=z 【D 】0,222121=+∈z z C z z 、，则01=z 且02=z 【答案】C16.如图，正方体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线D A 1所成角的大小不变； ②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角C AD P --1的大小不变； ④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变. 其中的真命题是（） 【A 】①③ 【B 】③④ 【C 】①②④ 【D 】①③④【答案】D三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.已知复数i m i -==βα,-2，其中i 是虚数单位，R m ∈. （1）若||2||-<+αβα，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程)(0102R n nx x ∈=+-的一个根，求实数m 与n 的值.【答案】（1）)2,6(-；（2）6,36,3-=-===n m n m 或18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图所示圆锥中，CD AB 、为底面圆的两条直径，O CD AB =I ，且CD AB ⊥，2==AB SO ，P 为SB 的中点.求:（1）该圆锥的表面积；（2）异面直线SA 与PD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）π)15(+；)35arccos 32arcsin (552arctan 或或19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.已知四边形ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，2,1===AD AB PA ，点N M 、在线段DC PB 、上（不为端点），且满足→→→→==NC DN MP BM λλ,，其中0>λ.（1）若1=λ，求直线MN 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）是否存在λ，使MN 是DC PB ，的公垂线，即MN 同时垂直DC PB ，？说明理由.【答案】 （1）)322arccos 31arcsin (42arctan 或或；（2）21=λ20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的左右顶点分别是)0,2(),0,2(B A -.点)21,3(在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作x PQ ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||PC QP =. （1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同B A 、）与直线2=x 交于R ，D 为线段RB 的中点，证明:直线CD 与曲线相切.【答案】（1）1422=+y x ；（2）422=+y x ；（3）证明如下 【解析】21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线0:=++c by ax l ，我们称2200ba c by ax +++=δ为点),(00y x P 到直线0:=++c by ax l 的方向距离.（1）设双曲线1422=-y x 上的任意一点),(y x P 到直线02:1=-y x l ，02:2=+y x l 的方向距离分别为21δδ、，求21δδ的值；（2）设点)0,()0,(t F t E 、-、到直线02sin 2cos :=-+ααy x l 的方向距离分别为21ηη、，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成立？说明理由；（3）已知直线0:=+-n y mx l 和椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，设椭圆E 的两个焦点21F F 、到直线l 的方向距离分别为21λλ、满足221b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试问的长||AB 与b a +的大小.【答案】（1）54；（2）1±=t ；（3）b a AB +>|| 【解析】上海市七宝中学高二第二学期期末数学试卷一. 填空题 1. 将参数方程122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t R ∈，t 为参数）化为普通方程2. 已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是3. 123101011111111111392733C C C C -+-+-⋅⋅⋅-+除以5的余数是 4. 如右图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm5. 甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是6. 在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=，若过点A 的截面AEF ，交VB 于E ，交VC 于F ，则截面AEF 周长的最小值是7. 长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球面距离为8. 已知从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球，0m n <<，,m n ∈N ，共有1mn C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和(1)m -个白球，共有01111m m nn C C C C -+种取法，即有等 式11m m mn n n C C C -++=成立，试根据上述思想，化简下列式子：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+= (1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N9. 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ︒∠=，60BAA DAA ︒''∠=∠=，则AC '的长为10. 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大 值为11. 数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且1||1k k a a +-=， 1,2,,12k =⋅⋅⋅，满足这种条 件不同的数列个数为12. 如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底 面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知 过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线 的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为二. 选择题13. 若x 、y 满足约束条件2,22x y x y ≤≤⎧⎨+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5] 14. 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：① 从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；② 从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况； 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（ ）A. ①用系统抽样，②用随机抽样B. ①用系统抽样，②用分层抽样C. ①用分层抽样，②用系统抽样D. ①用分层抽样，②用随机抽样15. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A. 2283C PB. 2686C PC. 2286C PD. 2285C P16. 如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是（ ）A. 该四面体体积有最大值，也有最小值B. 该四面体体积为定值C. 该四面体体积只有最小值D. 该四面体体积只有最大值三. 简答题17. 有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端； （2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻； （4）甲不在排头，乙不在排尾. 18. 在二项式3121(2)x x+的展开式中.（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ︒∠=，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12， 求四棱锥1C BAPB -的体积.20. 如图，圆锥的轴截面为等腰Rt △SAB ，Q 为底面圆周上一点.（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平面SBQ ；（2）如果60AOQ ︒∠=，QB =（3）若二面角A SB Q --大小为arctan 3，求AOQ ∠.21.（1）集合12{|(,,,)n Q x x x x x ==⋅⋅⋅，0i x =或1}，对于任意x Q ∈，定义1()ni i f x x ==∑，对任意{0,1,2,,}k n ∈⋅⋅⋅，定义{|(),}k A x f x k x Q ==∈，记k a 为集合k A 的元素个数，求122n a a na ++⋅⋅⋅+的值；（2）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，是否存在正整数b ， 使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中，若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由； （3）已知当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x =-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，根据此信息，若对任 意1||2x <，都有20123(1)(12)nn x a a x a x a x x x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-+，求10a 的值.参考答案一. 填空题1. 250x y +-=2.3. 34. 4π5. 166. 67. 23π 8. mn k C + 9. 10. 4 11. 495 12.二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）77630240P ⋅=；（2）77210080P ⋅=； （3）535614400P P =；（4）876876230960P P P -+=；18.（1）123；（2）841227920C =；（3）339324121(2)()112640C x x x=；19.（1）2π；（2）14； 20.（1）略；（2）83π；（3）3π；21.（1）k k n a C =，11222n n a a na n -++⋅⋅⋅+=⋅；（2）b 为正偶数；（3）455-；。
2019-2020学年上海市徐汇区西南位育中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市徐汇区西南位育中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（共14小题）.1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为．2．直线l过A（3，﹣1），且l的一个法向量，则直线l的点法向式方程为．3．将代数式b2﹣4ac表示成一个二阶行列式．4．已知＝（1，2），＝（4，6），是的单位向量，则的坐标为．5．已知线性方程组的增广矩阵为，若该方程组的解为，则c1+c2＝．6．行列式中元素0的代数余子式的值为5，则k＝．7．已知直线l的法向量，若l与直线x﹣ay+1＝0的夹角为，则实数a ＝．8．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，若BF2＝F1F2＝2，则该椭圆的标准方程为．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m与直线3x+4y+10＝0相切，则m＝．10．若，且与的夹角为，则．11．设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝k（x+2）与区域M有公共点，则实数k的取值范围是．12．已知P（x，y）为直线y＝x上的动点，，则m的最小值为．13．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．14．已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1，直线l1、l2分别过圆心M、N，且l1与圆M相交于A、B两点，l2与圆N相交于C、D两点，P是圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，则的最小值为．二.选择题15．已知梯形ABCD，AB∥CD，设，向量的起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，若对平面内任意的非零向量，都可以唯一的表示为和的线性组合，下面几个选项中，不可以作为的是（）A．B．C．D．16．已知△ABC的周长为12，B（0，﹣2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（）A．（x≠0）B．（y≠0）C．（x≠0）D．（y≠0）17．已知向量均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（）A．在方向上的投影是﹣4B．在方向上的投影是2C．在方向上的投影是2D．在方向上的投影是418．在直角坐标系xOy中，异于坐标原点的点P（x P，y P）和点Q（x Q，y Q）满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若若∠POQ ＝θ，其中O为坐标原点，则m与θ的值（）A．m不确定，B．，θ不确定C．D．m不确定，θ不确定三、解答题19．已知向量．（1）求与的坐标；（2）求△ABC的面积．20．已知曲线C：4x2+ay2＝4a（a∈R）．（1）当a∈（4，+∞）时，求曲线C的焦点坐标（用a表示）；（2）当a＞0时，讨论曲线C的类型．21．已知关于x，y的二元一次方程组（a∈R），讨论方程组解的情况，并求解方程组．22．如图，矩形ABCD的两条对角线交于M（3，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣7＝0，点E（0，1）在BC边所在直线上．（1）求AD边所在的直线方程（2）求点A的坐标以及矩形ABCD外圆的方程．23．2019年国庆，甲同学在10月1日看完阅兵式之后，10月2号启程前往某一著名沿海城市O地旅游，10月3号从天气预报上看到该沿海城市附近海面有一台风“米娜”，据监测，当前台风中心位于城市O（看作一点）的西偏北角方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向东南方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问：（1）10小时后，该台风是否开始侵袭城市O，说明理由；（2）城市O受到该台风侵袭的持续时间为多久？24．如图，已知A（6，6），B（0，0），C（12，0），直线．（1）求直线l经过的定点坐标；（2）若直线l等分△ABC的面积，求直线l的方程；（3）若，点E、F分别在线段BC和AC上，上S△APF＝S△BPE，求的取值范围．参考答案一.填空题1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为．【分析】先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可求答案．解：将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为2．直线l过A（3，﹣1），且l的一个法向量，则直线l的点法向式方程为3（x﹣3）+2（y+1）＝0．【分析】由题意直接求出直线的点法式方程．解：直线l过A（3，﹣1），且l的一个法向量，则直线l的点法向式方程为3×（x﹣3）+2×（y+1）＝0，故答案为：3（x﹣3）+2（y+1）＝0．3．将代数式b2﹣4ac表示成一个二阶行列式．【分析】将所给的代数式表示为一个二阶行列式即可．解：由于b2−4ac＝b×b−2a×2c，故将其表示为一个二阶行列式可以是：．故答案为：．4．已知＝（1，2），＝（4，6），是的单位向量，则的坐标为．【分析】直接利用向量的线性运算，单位向量的应用求出结果．解：已知＝（1，2），＝（4，6），则，故向量的单位向量为故答案为：．5．已知线性方程组的增广矩阵为，若该方程组的解为，则c1+c2＝4．【分析】由题意首先求得c1，c2的值，然后计算两者之和即可．解：由题意可得：，从而c1＝3，c2＝1，c1+c2＝4．故答案为：4．6．行列式中元素0的代数余子式的值为5，则k＝5．【分析】由题意得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．解：由题意可得，即−（15−4k）＝5，解得k＝5．故答案为：5．7．已知直线l的法向量，若l与直线x﹣ay+1＝0的夹角为，则实数a＝﹣．【分析】求出直线的斜率，结合直线的法向量的倾斜角，利用夹角求解即可．解：直线l的法向量，法向量的倾斜角为，若l与直线x﹣ay+1＝0的夹角为，可得：直线x﹣ay+1＝0的倾斜角为，所以，所以a＝﹣．故答案为：﹣．8．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，若BF2＝F1F2＝2，则该椭圆的标准方程为．【分析】直接利用椭圆中a、b、c的关系，求出椭圆的方程．解：由于椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，若BF2＝F1F2＝2，所以：2c＝2，解得c＝1，a2＝4，故椭圆的方程为．故答案为：．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m与直线3x+4y+10＝0相切，则m＝4．【分析】由已知可得圆心C到直线3x+4y+10＝0的距离等于圆的半径，列方程即可求解m的值．解：圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m的圆心坐标为C（1，﹣2），半径r＝，因为圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m与直线3x+4y+10＝0相切，所以圆心C到直线3x+4y+10＝0的距离d＝r，所以＝，解得m＝4．故答案为：4．10．若，且与的夹角为，则2．【分析】由向量模的公式计算即可．解：＝＝2，故答案为：2．11．设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝k（x+2）与区域M有公共点，则实数k的取值范围是[，1]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线和区域的关系即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域，直线y＝k（x+2）过定点P（﹣2，0），由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，联立方程组解得A（2，4），B（2，2），，，∴实数k的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．12．已知P（x，y）为直线y＝x上的动点，，则m的最小值为．【分析】利用两点间的距离公式得到m即为点P（x，y）到点（2，4）和点（﹣2，1）的距离之和，求出点（2，4）关于直线y＝x的对称点，由两点间距离公式即可求解m的最小值．解：表示点P（x，y）到点（2，4）和点（﹣2，1）的距离之和，点（2，4）关于直线y＝x的对称点为（4，2），所以点P（x，y）到点（2，4）和点（﹣2，1）的距离之和的最小值为点（4，2）与点（﹣2，1）之间的距离，所以m min＝＝．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合＝0求得a值得答案．解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．14．已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1，直线l1、l2分别过圆心M、N，且l1与圆M相交于A、B两点，l2与圆N相交于C、D两点，P是圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，则的最小值为32．【分析】由题意可知，＝﹣1，＝﹣1，结合P为圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，可用P的坐标表示，然后结合圆的性质即可求解．解：由题意可得，M（0，1），N（0，﹣1），r M＝r N＝1，则＝（）•（）＝+•（）+＝﹣1，＝（）•（）＝+•（）+＝﹣1，∵P是圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，圆方程可化为（x﹣3）²+（y﹣4）²＝1，不妨设P（﹣cos x+3，﹣sin x+4），∴＝+﹣2＝（cos x﹣3）²+（sin x﹣3）²+（cos x﹣3）²+（sin x ﹣5）²﹣2＝50+2﹣12cos x﹣16sin x＝52﹣20sin（x+φ），其中sinφ＝，cosφ＝，所以当sin（x+φ）＝1时，上式取最小值52﹣20＝32，故答案为：32．二.选择题15．已知梯形ABCD，AB∥CD，设，向量的起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，若对平面内任意的非零向量，都可以唯一的表示为和的线性组合，下面几个选项中，不可以作为的是（）A．B．C．D．【分析】利用平面向量基本定理以及基底的定义可知，与不共线，再利用向量共线的定义分析判断即可．解：由基底的定义可知，与不共线，因为AB∥CD，，向量的起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，所以，故不可以作为．故选：B．16．已知△ABC的周长为12，B（0，﹣2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（）A．（x≠0）B．（y≠0）C．（x≠0）D．（y≠0）【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解：∵△ABC的周长为12，顶点B（0，﹣2），C（0，2），∴BC＝4，AB+AC＝12﹣4＝8，∵8＞4，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝4，c＝2∴b2＝12，∴椭圆的方程：（x≠0）故选：A．17．已知向量均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（）A．在方向上的投影是﹣4B．在方向上的投影是2C．在方向上的投影是2D．在方向上的投影是4【分析】根据向量的投影的概念可得结果．解：因为向量均为非零向量，且在方向上的投影是2，所以||cos＝2，而＝，所以在2方向上的投影为||cos＝||cos＝2，故选：C．18．在直角坐标系xOy中，异于坐标原点的点P（x P，y P）和点Q（x Q，y Q）满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若若∠POQ ＝θ，其中O为坐标原点，则m与θ的值（）A．m不确定，B．，θ不确定C．D．m不确定，θ不确定【分析】可以根据条件求出|OQ|＝•＝|OP|，从而求出m的值，并可求出•＝x P2+y P2，，从而可根据cosθ＝求出cosθ，进而得出θ．解：|OQ|＝＝＝•＝|OP|，可得•＝（x P，y P）•（y P+x P，y P﹣x P）＝x P2+y P2，所以m＝，cosθ＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝．故选：C．三、解答题19．已知向量．（1）求与的坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则能求出向量与的坐标．（2）由cos∠ABC＝＝0，得到AB⊥AC，由此能求出△ABC的面积．解：（1）∵向量．∴＝（2，﹣1），＝（2，4）；（2）cos∠ABC＝＝0，∴AB⊥AC，∴△ABC的面积S＝＝＝5．20．已知曲线C：4x2+ay2＝4a（a∈R）．（1）当a∈（4，+∞）时，求曲线C的焦点坐标（用a表示）；（2）当a＞0时，讨论曲线C的类型．【分析】（1）由曲线C：+＝1，当a∈（4，+∞）时，曲线为椭圆，则c2＝a2﹣b2＝a﹣4，即可得出答案．（2）分三种情况：当a＝4时，当a＞4时，当0＜a＜4时，讨论曲线C的类型..解：（1）因为曲线C：+＝1，当a∈（4，+∞）时，曲线为椭圆，所以c2＝a2﹣b2＝a﹣4，所以曲线C的焦点的坐标为（﹣，0），（，0）．（2）曲线C：+＝1，当a＝4时，曲线为圆，当a＞4时，曲线为焦点在x轴上的椭圆，当0＜a＜4时，曲线为焦点在y轴上的椭圆．21．已知关于x，y的二元一次方程组（a∈R），讨论方程组解的情况，并求解方程组．【分析】分a＝2，a＝﹣1，a≠2且a≠﹣1三种情况分别求解方程组即可．解：①当a＝2时，方程组为，此时两直线重合，方程组有无数组解；②当a＝﹣1时，方程组为，此时两直线平行，方程组无解；③当a≠2且a≠﹣1时，由解得，综上所述，当a＝2时，无数解；当a＝﹣1时，无解；当a≠2且a≠﹣1时，．22．如图，矩形ABCD的两条对角线交于M（3，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣7＝0，点E（0，1）在BC边所在直线上．（1）求AD边所在的直线方程（2）求点A的坐标以及矩形ABCD外圆的方程．【分析】（1）利用垂直关系求出斜率，写出方程；（2）联立解方程组求出A坐标，求出圆的半径，得到圆的方程．解：（1）∵AB⊥AD，∴k AD＝﹣＝﹣＝﹣3，E（0，1）关于M（3，0）的对称点为（6，﹣1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为：y+1＝﹣3（x﹣6），即3x+y﹣17＝0．（2）联立，解得A（5.8，﹣0.4），r2＝|AM|2＝（5.8﹣3）2+（0﹣0.4）2＝8，∴矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣3）2+y2＝8．23．2019年国庆，甲同学在10月1日看完阅兵式之后，10月2号启程前往某一著名沿海城市O地旅游，10月3号从天气预报上看到该沿海城市附近海面有一台风“米娜”，据监测，当前台风中心位于城市O（看作一点）的西偏北角方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向东南方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问：（1）10小时后，该台风是否开始侵袭城市O，说明理由；（2）城市O受到该台风侵袭的持续时间为多久？【分析】（1）写出t小时后台风中心P的坐标，求得|PO|，10小时后台风的半径为160，半径|PO|与160的大小得结论；（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以（﹣30+10，）为圆心，60+10t 为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，整理后求解不等式得结论．解：（1）由图可知，O（0，0），P（，210），设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，此时台风的半径为60+10t．10小时后，|PO|＝，∵r＝160＜20，∴10小时后，该台风还未开始侵袭城市O；（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以（﹣30+10，）为圆心，60+10t 为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，整理可得：300t2﹣10800t+86400≤0，解得12≤t≤24．故城市O受到该台风侵袭的持续时间为12小时．24．如图，已知A（6，6），B（0，0），C（12，0），直线．（1）求直线l经过的定点坐标；（2）若直线l等分△ABC的面积，求直线l的方程；（3）若，点E、F分别在线段BC和AC上，上S△APF＝S△BPE，求的取值范围．【分析】（1）将直线变形为k（x﹣2）+（x﹣y）＝0，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点；（2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由S△APD ＝确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程；（3）由S△APF＝S△BPE可得有|BE|＝2|AF|，设E（x，0）（0＜x≤12），可确定|AF|＝|AC|，由向量共线可得出F点坐标，表示出，应用二次函数求得其取值范围．解：（1）直线可化为k（x﹣2）+（x﹣y）＝0，联立，解得，故直线l经过的定点坐标为（2，2）；（2）因为A（6，6），B（0，0），C（12，0），所以有|AB|＝|AC|＝|BC|＝12，由题可得直线AB方程为y＝x，故直线l经过的定点P（2，2）在直线AB上，所以|AP|＝8，设直线l与AC交于点D，所以有S△APD＝，即＝×|AB||AC|sin A，所以|AD|＝|AC|＝9，设D（x0，y0）所以，即（x0﹣6，y0﹣6）＝（6，﹣6），所以x0＝，y0＝，所以D（，），将D点坐标代入直线l的方程，解得k＝﹣，所以直线l的方程为：；（3）由（2）可知△ABC为等边三角形，所以S△APF＝|AP||AF|sin60°，S△BPE＝|BP||BE|sin60°而S△APF＝S△BPE，|AP|＝8，|BP|＝4，所以有|BE|＝2|AF|，设E（x，0）（0＜x≤12），则|BE|＝x，所以|AF|＝，因为F在AC上，设F（x1，y1）所以＝，即（x1﹣6，y1﹣6）＝（6，﹣6），解得x1＝6+，y1＝6﹣，所以F（6+，6﹣），所以＝（x﹣2，﹣2），＝（4+，4﹣），故＝（x﹣2）（4+）﹣2（4﹣）＝，因为0＜x≤12，所以∈（﹣32，64]．。