上海市普陀区2019学年高三数学一模试卷(含答案)
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研1．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为 .2. 132lim 31n nnn +→∞+=+ . 3. 不等式11x>的解集为 . 4. 已知i 为虚数单位，若复数1i 1iz m =++是实数，则实数m 的值为 . 5. 设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 6. 631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b = _ .8. 设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =u u u r u u u r，则Γ的长轴长等于_________.9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.10. 已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21axbx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.11. 设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）. 已知()())22x f x x ⎧<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 ………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件14. 设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有 …（ ） )A (1对 ()B 2对 ()C 3对 ()D 4对15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是 ……（ ）)A (若//a α，b αβ=I ，则//a b()B 若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥()C 若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交 ()D 若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且c αβ=I ，则c 必与a 或b 相交16. 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为 ……（ ） )A (76()B 4- ()C 5-()D 6-三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.C18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=． （1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.NMPBAO21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值； （2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n n S C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k lC C =成立，求λ的所有可能值.普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）三、解答题17.（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，……………… 2分 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=. ………………………… 5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.…………………… 6分（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直， 所以AB ⊥平面PAC ,…………… 3分则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, …………………………… 7分 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.………………… 8分说明：利用空间向量求解请相应评分.18.（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，…………………2分令2xt =，则2540t t -+<，即14t <<，…………………4分 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分（2）任取122x x ≤<，因为函数()22xxf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，E DCBA P17题图所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分 则1122222+20xx x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x x a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，…………………4分 又12x x <，则1222x x<，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分19.（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o,60OPN θ∠=-o, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PNθθ==-o o ，即)ON θ=-o，PN θ，……………………………4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o，即sin(60)S θθ=-o，其中060θ<<o o .………………………6分（2）由（1）得1sin(60)(cos sin )22S θθθθθ=-=-o，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-……………………4分则30)S θ=+-o……………………6分因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o，则23090θ+=oo时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o，又焦距为4，则224a b +=， …………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分 （2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， ………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， ……………………………4分 即223503m m -<-，则m <<m <<， 即实数m的取值范围(U . …………………6分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点0)2y P ， ……………2分 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x y x y -=-，即200000322x x y y x y y -=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -=+，则x = 即点Q的横坐标为024x +， ……………5分则p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. ……6分 说明：看作是PQ uuu r 在OB uuur 或(1,0)i =r 方向上投影的绝对值，请相应评分.21.（1） 由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-，………………1分 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =. …………………………3分当14a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n nn n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14. ………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， ………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--， 即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-. …………………6分（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. ………………………………2分 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾. ………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522kk k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-；当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. ……………………………。
2019年上海市民办普陀前进高级中学 (高中部)高考数学选择题专项训练(一模)
2019年上海市民办普陀前进高级中学 (高中部)高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：内蒙古乌兰察布市2015_2016学年高二数学下学期期末考试试题理下列四组函数中,表示同一函数的是（）A． B．C． D．【答案】A第 2 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期期中试题（普通班）文下列说法中正确的是( )．A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C第 3 题：来源：山东省济南市2017_2018学年高二数学上学期开学考试试题试卷及答案已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A．9 B．18 C．9 D．18【答案】C第 4 题：来源： 2016-2017学年云南省云天化中学高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56,现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C第 5 题：来源：江西省南昌市2018届高三数学上学期第一次晚练试题理试卷及答案已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(┐q)；④(┐p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而┐p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而┐q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(┐q)为真命题；④(┐p)∨q为假命题．故选C.第 6 题：来源：四川省新津县2018届高三数学10月月考试题理试卷及答案一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）.A．B．C．D．【答案】B第 7 题：来源：河南省开封市、商丘市九校2018_2019学年高一数学下学期期中联考试题( )A． B． C． D．【答案】A第 8 题：来源：陕西省黄陵县2018届高三数学上学期期中试题（普通班）理试卷及答案已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为 ( ) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0【答案】C第 9 题：来源：青海省西宁市2017_2018学年高一数学12月月考试题试卷及答案方程的解的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B第 10 题：来源：山东省德州市2017届高考第一次模拟考试数学试题(理科)含答案设集合，，则（）A．B．C ．D ．【答案】B第 11 题：来源：广东省深圳市普通高中2017_2018学年高二数学下学期4月月考试题1201805241393已知函数的定义域为，部分对应值如下表，-10 2 341 2 0 2 0的导函数的图象如右图所示。
上海普陀区2019年高三上12月调研数学试卷(文)含解析解析.doc.doc.doc
上海普陀区2019年高三上12月调研数学试卷(文)含解析解析【一】填空题〔本大题56分〕本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分〕1、假设全集U=R ，集合M={x|x 〔x ﹣2〕≤0}，N={1，2，3，4}，那么N∩∁U M= 、2、假设函数，，那么f 〔x 〕+g 〔x 〕= 、3、在〔2x ﹣1〕7的二项展开式中，第四项的系数为 、4、在，那么函数y=tanx 的值域为 、5、〔文〕在数列{a n }中，a 1=1，，那么数列的各项和为 、6、假设函数f 〔x 〕=〔x ≥0〕的反函数是f ﹣1〔x 〕，那么不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕的解集为 、7、设O 为坐标原点，假设直线与曲线相交于A 、B 点，那么扇形AOB 的面积为 、8、假设正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，那么这个棱柱的体积为 、 9、假设在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两地，经度差为90°，那么A 、B 两地的球面距离与地球半径的比值为 、10、方程的解x= 、11、设P 是双曲线上的动点，假设P 到两条渐近线的距离分别为d 1，d 2，那么d 1•d 2= 、12、如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，假设在其12条棱中随机地取3条，那么这三条棱两两是异面直线的概率是 〔结果用最简分数表示〕13、假设F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P i 〔i=1，2，3，…，10〕在抛物线上，且，那么= 、14、假设函数最大值记为g 〔t 〕，那么函数g 〔t 〕的最小值为 、【二】选择题〔本大题20分，共4小题，每题5分〕A 、假设a ＜b ＜0，那么B 、假设，那么0＜a ＜1C 、假设a ＞b ＞0，那么a 4＞b 4D 、假设a ＜1，那么16、假设集合，那么“x∈A”是“x∈B”成立的〔 〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件17、如图，在四面体ABCD ，AB=CD ，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，假设AB 与CD 所成的角的大小为60°，那么MN 和CD 所成的角的大小为〔 〕A 、30°B 、60°C 、30°或60°D 、15°或60°18、假设函数，关于x 的方程f 2〔x 〕﹣〔a+1〕f 〔x 〕+a=0，给出以下结论：①存在这样的实数a ，使得方程由3个不同的实根； ②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根； ③存在这样的实数a ，使得方程由5个不同的实数根； ④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根、 其中正确的个数是〔 〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【三】解答题：〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤、19、如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆的右顶点，点P 在椭圆上且∠PF 1F 2=arccos 〔1〕计算|PF 1|的值x 〔2〕求△PF 1A 的面积、20、某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm、〔1〕求这种“笼具”的体积〔结果精确到0、1cm3〕；〔2〕现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21、函数f〔x〕=2sin2x+sin2x﹣1、〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕设，求sin2x的值、22、n∈N*，数列{an }的前n项和为Sn，且2an﹣Sn=1、〔1〕求证：数列{an}是等比数列，并求出通项公式；〔2〕对于任意ai 、aj∈{a1，a2，…，an}〔其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数〕，假设ai 和aj的所有乘积ai•aj的和记为Tn，试求的值；〔3〕设，假设数列{cn }的前n项和为Cn，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，假设存在，求出t的取值范围；假设不存在，请说明理由、23、集合M是满足以下性质的函数f〔x〕的全体，存在实数a、k〔k≠0〕，对于定义域内的任意x均有f〔a+x〕=kf〔a﹣x〕成立，称数对〔a，k〕为函数f〔x〕的“伴随数对”〔1〕判断f〔x〕=x2是否属于集合M，并说明理由；〔2〕假设函数f〔x〕=sinx∈M，求满足条件的函数f〔x〕的所有“伴随数对”；〔3〕假设〔1，1〕，〔2，﹣1〕都是函数f〔x〕的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f〔x〕=0、求当2018≤x≤2016时，函数y=f〔x〕的零点、2018-2016学年上海市普陀区高三〔上〕12月调研数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析【一】填空题〔本大题56分〕本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分〕1、假设全集U=R，集合M={x|x〔x﹣2〕≤0}，N={1，2，3，4}，那么N∩∁M= {3，4} 、U【考点】交、并、补集的混合运算、【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案、【解答】解：∵M={x|x〔x﹣2〕≤0}={x|0≤x≤2}，M={x|x＜0或x＞2}，∴∁U又N={1，2，3，4}，∴N∩∁M={3，4}、U故答案为：{3，4}、2、假设函数，，那么f〔x〕+g〔x〕= 1〔0≤x≤1〕、【考点】函数解析式的求解及常用方法、【分析】容易求出f〔x〕，g〔x〕的定义域，求交集便可得出f〔x〕+g〔x〕的定义域，并可求得f〔x〕+g〔x〕=、【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴〔0≤x≤1〕、故答案为：、3、在〔2x﹣1〕7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560 、【考点】二项式系数的性质、【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可、【解答】解：在〔2x﹣1〕7的二项展开式中，第四项的系数为： =﹣560、故答案为：﹣560、4、在，那么函数y=tanx的值域为[﹣1，1] 、【考点】正切函数的图象、【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x ∈[﹣，]时函数y=tanx 的值域即可、【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx ≤1，∴函数y=tanx 的值域为[﹣1，1]、 故答案为：[﹣1，1]、5、〔文〕在数列{a n }中，a 1=1，，那么数列的各项和为 2 、【考点】数列的求和、【分析】利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可的、【解答】解：∵a 1=1，，∴数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2、 ∴a n =2n ﹣1、∴=，∴数列是等比数列，首项为1，公比为、∴数列的各项和==2、故答案为：2、6、假设函数f 〔x 〕=〔x ≥0〕的反函数是f ﹣1〔x 〕，那么不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕的解集为 {x|x ＞1} 、 【考点】反函数、【分析】由y=f 〔x 〕=〔x ≥0〕，求出f ﹣1〔x 〕=x 3，x ≥0，由此能求出不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕的解集、【解答】解：设y=f 〔x 〕=〔x ≥0〕，那么x=y 3，x ，y 互换，得f ﹣1〔x 〕=x 3，x ≥0，∵f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕，∴，∴x 9＞x ，∴x 8＞1，解得x ＞1、∴不等式f ﹣1〔x 〕＞f 〔x 〕的解集为{x|x ＞1}、 故答案为：{x|x ＞1}、7、设O为坐标原点，假设直线与曲线相交于A、B点，那么扇形AOB的面积为、【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积公式、【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分〔含于x轴的交点〕，y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积、【解答】解：由曲线，得x2+y2=1〔y≥0〕∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分〔含于x轴的交点〕y=时，∠AOB=π，扇形AOB的面积为=、故答案为：、8、假设正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，那么这个棱柱的体积为450、【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积、【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积、=6ah=60h=180，【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，那么S侧解得h=3、==150、S底∴正六棱柱的体积V=Sh=450、底故答案为：450、9、假设在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，那么A、B两地的球面距离与地球半径的比值为、【考点】球面距离及相关计算、【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值、【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：、10、方程的解x= log 23 、【考点】对数的运算性质、【分析】化简可得4x ﹣5=4〔2x ﹣2〕，从而可得〔2x 〕2﹣4•2x +3=0，从而解得、【解答】解：∵，∴4x ﹣5=4〔2x ﹣2〕， 即〔2x 〕2﹣4•2x +3=0， ∴2x =1〔舍去〕或2x =3； ∴x=log 23，故答案为：log 23、11、设P 是双曲线上的动点，假设P 到两条渐近线的距离分别为d 1，d 2，那么d 1•d 2=、【考点】双曲线的简单性质、【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C 上的点P 〔x ，y 〕，求出点P 到两条渐近线的距离，结合P 在双曲线C 上，即可求d 1•d 2的值、【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x ±y=0 设双曲线C 上的点P 〔x ，y 〕，那么点P 到两条渐近线的距离分别为d 1=，d 2=所以d 1•d 2=•==、故答案为：、12、如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，假设在其12条棱中随机地取3条，那么这三条棱两两是异面直线的概率是〔结果用最简分数表示〕【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系、 【分析】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率、【解答】解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条， 基本事件总数n==220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8，∴这三条棱两两是异面直线的概率是p===、故答案为：、13、假设F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P i 〔i=1，2，3，…，10〕在抛物线上，且，那么= 200 、【考点】抛物线的简单性质、 【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到此题答案、 【解答】解：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F 〔1，0〕，准线为x=﹣1，∴根据抛物线的定义，P i 〔i=1，2，3，…，2018〕到焦点的距离等于P i 到准线的距离，即|P i F|=x i +1，，可得1﹣x 1+1﹣x 2+…+1﹣x 100=0，∴x 1+x 2+…+x 100=100 ∴|P 1F|+|P 2F|+…|P 100F|=〔x 1+1〕+〔x 2+1〕+…+〔x 100+1〕=〔x 1+x 2+…+x 100〕+100=100+100=200、 故答案为：200、14、假设函数最大值记为g 〔t 〕，那么函数g 〔t 〕的最小值为、【考点】函数的最值及其几何意义、【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，从而求得g 〔t 〕=f max 〔x 〕=，从而求值、【解答】解：∵sinx+=sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx ≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，〔x〕=，∴g〔t〕=fmax∴当t=时，函数g〔t〕有最小值为；故答案为；、【二】选择题〔本大题20分，共4小题，每题5分〕A、假设a＜b＜0，那么B、假设，那么0＜a＜1C、假设a＞b＞0，那么a4＞b4D、假设a＜1，那么【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可、【解答】解：对于A，a＜b＜0，那么•a＜•b，∴，正确对于B，，那么＞0，∴0＜a＜1，正确对于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确；对于D，a=，=2＞1，不正确，应选：D、16、假设集合，那么“x∈A”是“x∈B”成立的〔〕A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断、【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断、【解答】解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=〔0，3]，∵lg|2x﹣3|＜0=lg1，∴|2x﹣3|＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=〔1，〕∪〔，2〕，∴“x∈A”是“x∈B”成立的必要非充分条件，应选：B、17、如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，假设AB与CD所成的角的大小为60°，那么MN和CD所成的角的大小为〔〕A、30°B、60°C、30°或60°D、15°或60°【考点】异面直线及其所成的角、【分析】取BD中点O，连结MO、NO，由得∠ONM是MN和CD所成的角〔或补角〕，且∠MON=60°，OM=ON，由此能求出MN和CD所成的角的大小、【解答】解：取BD中点O，连结MO、NO，∵在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，AB与CD所成的角的大小为60°，∴MO，NO，∴∠ONM是MN和CD所成的角〔或所成角的补角〕，且∠MON=60°，OM=ON，∴∠ONM=60°，或∠ONM=30°，∴MN和CD所成的角为60°或30°、应选：C、18、假设函数，关于x的方程f2〔x〕﹣〔a+1〕f〔x〕+a=0，给出以下结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根、其中正确的个数是〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个【考点】根的存在性及根的个数判断、【分析】由f 2〔x 〕﹣〔a+1〕f 〔x 〕+a=0可解得f 〔x 〕=1或f 〔x 〕=a ，作函数的图象，从而讨论求解、【解答】解：∵f 2〔x 〕﹣〔a+1〕f 〔x 〕+a=0， ∴f 〔x 〕=1或f 〔x 〕=a ，作函数的图象如下，，当a=1时，方程有3个不同的实根，故①正确；当a ＞1或a ≤﹣1时，方程有6个不同的实根，故④不正确； 当﹣1＜a ＜1时，方程有5个不同的实根，故③正确； 综上可知，不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根；故②正确； 应选：C 、【三】解答题：〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤、19、如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆的右顶点，点P 在椭圆上且∠PF 1F 2=arccos 〔1〕计算|PF 1|的值x 〔2〕求△PF 1A 的面积、【考点】椭圆的简单性质、【分析】〔1〕根据椭圆的性质，可得|PF 1|=x ，那么|PF 2|=10﹣x ，|F 1F 2|=2=8，结合可余弦定理构造方程，解得x 值；〔2〕由出sin ∠PF 1F 2，进而计算△PF 1F 2的面积，可得P 到x 轴的距离d ，结合△PF 1A 的底边|F 1A|=a+c=9，可得三角形面积、【解答】解：〔1〕∵椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，|PF 1|=x ，那么|PF 2|=10﹣x ，|F 1F 2|=2=8，∵∠PF 1F 2=arccos ，故cos ∠PF 1F 2==，解得：x=6，〔2〕由∠PF 1F 2=arccos ，可得：sin ∠PF 1F 2==，故△PF 1F 2的面积S=〔5+〕•〔5﹣〕•=，故P 到x 轴的距离d==，由|F 1A|=a+c=9，可得△PF 1A 的面积为：×=20、某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，圆柱的底面周长为24πcm ，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm 、 〔1〕求这种“笼具”的体积〔结果精确到0、1cm 3〕；〔2〕现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积、 【分析】〔1〕笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；〔2〕求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面、 【解答】解：〔1〕设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆锥的母线长为l ，高为h 1，那么2πr=24π，解得r=12cm 、h 1=cm 、∴笼具的体积V=πr 2h ﹣=π×=3552π≈11158、9cm 3、〔2〕圆柱的侧面积S 1=2πrh=720cm 2， 圆柱的底面积S 2=πr 2=144πcm 2， 圆锥的侧面积为πrl=240πcm 2、故笼具的表面积S=S 1+S 2+S 3=1104πcm 2、故制造50个这样的笼具总造价为：元、答：这种笼具的体积约为11158、9cm 3，生产50个笼具需要元、21、函数f 〔x 〕=2sin 2x+sin2x ﹣1、 〔1〕求函数f 〔x 〕的单调递增区间；〔2〕设，求sin2x 0的值、【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性、【分析】〔1〕由三角函数公式可得f 〔x 〕=sin 〔2x ﹣〕，解2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+可得单调递增区间；〔2〕由变形可得sin 〔x 0﹣〕=，由和差角公式可得sinx 0﹣cosx 0=，平方由二倍角的正弦可得、 【解答】解：〔1〕变形可得函数f 〔x 〕=2sin 2x+sin2x ﹣1=sin2x ﹣〔1﹣2sin 2x 〕=sin2x ﹣cos2x=sin 〔2x ﹣〕，由2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+可得k π﹣≤x ≤k π+，∴函数f 〔x 〕的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ；〔2〕∵，∴f 〔〕=sin 〔x 0﹣〕=〔cos α﹣sin α〕〔cos α+sin α〕+sin 2α=cos2α﹣sin 2α+sin 2α=，即〔sinx 0﹣cosx 0〕=，∴sinx 0﹣cosx 0=，平方可得1﹣sin2x 0=，故sin2x 0=22、n ∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n ﹣S n =1、 〔1〕求证：数列{a n }是等比数列，并求出通项公式；〔2〕对于任意a i 、a j ∈{a 1，a 2，…，a n }〔其中1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i 、j 均为正整数〕，假设a i 和a j 的所有乘积a i •a j 的和记为T n ，试求的值；〔3〕设，假设数列{c n }的前n 项和为C n ，是否存在这样的实数t ，使得对于所有的n 都有成立，假设存在，求出t 的取值范围；假设不存在，请说明理由、【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的极限、 【分析】〔1〕当n ≥2时通过2a n ﹣S n =1与2a n ﹣1﹣S n ﹣1=1作差，进而计算可得结论； 〔2〕通过〔1〕可得T n 的表达式，进而计算即得结论；〔3〕通过〔1〕可知数列{c n }的通项公式，利用并项相加、分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可、 【解答】〔1〕证明：∵2a n ﹣S n =1， ∴当n ≥2时，2a n ﹣1﹣S n ﹣1=1，两式相减，整理得：a n =2a n ﹣1〔n ≥2〕， 又∵2a 1﹣S 1=1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1；〔2〕解：∵T n =〔1+2+22+…+2n ﹣1〕〔1+2+22+…+2n ﹣1〕=•=4n ﹣2•2n +1，∴==1；〔3〕结论：存在这样的实数t ，使得对于所有的n 都有成立、理由如下：由〔1〕可知，1+b n =3log 2a n =3n ﹣3，即b n =3n ﹣4，b n+1=3n ﹣1， 故c n =〔﹣1〕n+1b n •b n+1=〔﹣1〕n+1〔3n ﹣4〕〔3n ﹣1〕，c n+1=〔﹣1〕n+2〔3n ﹣1〕〔3n+2〕， 特别地，当n 为奇数时，有n+1为偶数， 此时c n +c n+1=〔3n ﹣4〕〔3n ﹣1〕﹣〔3n ﹣1〕〔3n+2〕=﹣6〔3n ﹣1〕， ①假设n 为偶数，那么C n =〔c 1+c 2〕+〔c 3+c 4〕+…+〔c n ﹣1+c n 〕 =﹣6×[2+8+…+〔3n ﹣4〕] =﹣n 〔3n ﹣2〕，由可知t ≤﹣〔3﹣〕对所有正偶数n 都成立，故t ≤﹣；②假设n 为奇数，那么C n =C n ﹣1+c n 〔n ≥2〕，由①可知C n =﹣〔n ﹣1〕〔3n ﹣5〕+〔3n ﹣4〕〔3n ﹣1〕=n 2﹣3n ﹣， 其中C 1=﹣2满足上式；由①②可得实数t 的取值范围是：t ≤﹣，所以存在这样的实数t ，使得对于所有的n 都有成立、23、集合M 是满足以下性质的函数f 〔x 〕的全体，存在实数a 、k 〔k ≠0〕，对于定义域内的任意x 均有f 〔a+x 〕=kf 〔a ﹣x 〕成立，称数对〔a ，k 〕为函数f 〔x 〕的“伴随数对” 〔1〕判断f 〔x 〕=x 2是否属于集合M ，并说明理由；〔2〕假设函数f 〔x 〕=sinx ∈M ，求满足条件的函数f 〔x 〕的所有“伴随数对”； 〔3〕假设〔1，1〕，〔2，﹣1〕都是函数f 〔x 〕的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，；当x=2时，f 〔x 〕=0、求当2018≤x ≤2016时，函数y=f 〔x 〕的零点、 【考点】函数与方程的综合运用、 【分析】〔1〕由题意可得〔a+x 〕2=k 〔a ﹣x 〕2，化为〔1﹣k 〕x 2+2a 〔1+k 〕x+〔1﹣k 〕a 2=0对x ∈R 成立，需满足条件，解方程即可判断；〔2〕哟题意可得sin 〔a+x 〕=ksin 〔a ﹣x 〕，运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；〔3〕由〔1，1〕和〔2，﹣1〕都是函数f 〔x 〕的“伴随数对”，所以f 〔1+x 〕=f 〔1﹣x 〕且f 〔2+x 〕=﹣f 〔2﹣x 〕，可得f 〔x 〕为周期为4的函数，求得0＜x ＜1，1＜x ＜2，2＜x ＜3，3＜x ＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2018＜x ＜2018，2018＜x ＜2016，x=2018，2018，2016的解析式，即可得到所求零点、 【解答】解：〔1〕由f 〔x 〕=x 2及f 〔a+x 〕=kf 〔a ﹣x 〕，可得〔a+x 〕2=k 〔a ﹣x 〕2，即为〔1﹣k 〕x 2+2a 〔1+k 〕x+〔1﹣k 〕a 2=0对x ∈R 成立，需满足条件，解得，故k=1≠0，a 存在，所以f〔x〕=x2∈M、〔2〕由f〔x〕=sinx∈M得：sin〔a+x〕=ksin〔a﹣x〕，sinacosx+cosasinx=k〔sinacosx﹣cosasinx〕，所以〔1+k〕cosasinx+〔1﹣k〕sinacosx=0，sin〔x+φ〕=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，即cos2a=﹣〔k+〕，由于|k+|≥2〔当且仅当k=±1时，等号成立〕，所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1、其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z；k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z、故函数f〔x〕的“伴随数对”为〔nπ+，1〕和〔nπ，﹣1〕，n∈Z、〔3〕因为〔1，1〕和〔2，﹣1〕都是函数f〔x〕的“伴随数对”，所以f〔1+x〕=f〔1﹣x〕且f〔2+x〕=﹣f〔2﹣x〕，于是f〔x+4〕=f〔x〕，故函数f〔x〕是以4为周期的函数、假设0＜x＜1，那么1＜2﹣x＜2，此时f〔x〕=f〔2﹣x〕=﹣cos〔x〕，假设2＜x＜3，那么1＜4﹣x＜2，此时f〔x〕=﹣f〔4﹣x〕=﹣cos〔x〕，假设3＜x＜4，那么0＜4﹣x＜1，此时f〔x〕=﹣f〔4﹣x〕=cos〔x〕，f〔x〕=故f〔x〕=当2018≤x≤2016时，函数f〔x〕的零点分别为2018，2018，2016、2016年7月30日。
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A略2. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.3. 若关于的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为 ( )参考答案：B5. 已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( )A．x－y >0 B．x＋y<0C．x＋y >0 D．x－y<0参考答案：C略6. 命题“使得”的否定是A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B7. 函数的单调递增区间是 ( )参考答案：A略8. 已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（）A． B． C.D．参考答案：B9. 在中,所对的边分别为,边上的高,则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：12. 已知命题. 若命题p是假命题，则实数的取值范围是 .参考答案：因为命题为假命题，所以。
2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
普陀区一模高三数学试卷
普陀区一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1，4，7，则该数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数y = 2x - 3与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (3, 0)C. (-3/2, 0)D. (0, -3)4. 已知圆心在原点，半径为5的圆的方程为（）A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 16C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 495. 已知抛物线y^2 = 4px（p > 0）的焦点坐标为（）A. (p, 0)B. (-p, 0)C. (0, p)D. (0, -p)6. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，直线m的方程为x - y + 3 = 0，直线l与直线m的交点坐标为（）A. (-1, -3)B. (1, 3)C. (-1, 1)D. (1, -1)7. 已知复数z = 1 + i，那么|z| =（）A. √2B. 2C. √3D. 18. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 4B. -1C. 1D. 79. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f'(x) =（）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x - 2C. x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x - 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(-1) = 0，f(1) = 0，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学〔理〕考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟. 一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分.1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，那么A B =. 4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成的角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.5.【理科】假设函数3()log f x a x =-的图像经过点)1,1(，那么=--)8(1f .6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式 为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕.（第4题图）8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-〕的部分图像如右图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11.【理科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=-)10(f _.12.【理科】假设)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，那么11MC MD+的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥， 假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的〔〕（第13题图）SBAEHGFA.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16.【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--〔22b a >>λ〕的焦点坐标为〔〕 A.)0,(22b a +±.B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a .D.),0(22b a +±. 17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是〔〕 A.7B.8C.9D.1018.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断 正确的选项是．．．．．．〔〕 A.满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个. C.λμ+的最大值为3. D.λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .P（第18题图）〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？ 〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质， 如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，假设AF AK 2=，求△AFK 的面积21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题题8分.a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、〔1〕求c ； 〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； 〔2〕记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈（第20题图）都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、 23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ； 〔2〕假设函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上的解析式.参考答案【一】填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 605.936.32n a n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题15. 16. 17. 18. BBDC三、解答题19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分=V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p ，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分〔2〕过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分其中4||=KF …………2分 所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.【解】〔1〕在ABC △中，…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分 即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分 在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分 由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，那么11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕 〔2〕由〔1〕得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分 设),(n n n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121210911092323n n n n n nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分 于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}na 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有pa n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立 (2)分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分 所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。
上海普陀区2019高考一模--数学(文科)
上海普陀区2019高考一模--数学（文科）考生注意：2018.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟.一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,,2,}3，那么A B =. 4.【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为.5.【文科】假设函数x x f 3log 1)(-=，那么=--)8(1f.6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意 取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕. 8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅BC AB .11.【文科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=)10(f _. 12.【文科】假设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，那么（第13题图）S B ACE HGFA BCD1A 1B 1C 1D （第4题图）2111MF MF +的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………〔〕 〔A 〕充分非必要条件.〔B 〕必要非充分条件. 〔C 〕充要条件.〔D 〕非充分非必要条件. 16.【文科】双曲线17922=-+-λλy x 〔97<<λ〕的焦点坐标为…………………………〔〕〔A 〕)0,4(±.〔B 〕)0,2(±. 〔C 〕)4,0(±.〔D 〕)2,0(±.17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n n n a b a b++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是…………………〔〕 〔A 〕7.〔B 〕8.〔C 〕9.〔D 〕10.18.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断正确的选项是．．．．．．…………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. 〔B 〕满足1λμ+=的点P 有且只有一个.P（第18题图）〔C 〕λμ+的最大值为3. 〔D 〕λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？ 〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程； （2）记点)0,2(-K ，假设AFAK 2=，求△AFK 的面积.21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题6分，第2a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、 〔1〕求c ； 〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【文科】)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕假设函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.〔2〕假设集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M上是否互为“H 函数”，并说明理由.（第20题图） 6cm〔3〕函数x a x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分. 【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点nA 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点nA 在直线1y x =+上； 〔2〕记四边形11n n n n AB B A ++的面积为n a ，求na 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的na ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、2018学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.[1,3]2.π3.}0,1{- 4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.的规定区域内写出必要的步骤. 19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克. 20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AK 是等腰直角三角形………2分其中|所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.ABC △A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分 即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(n n n y x OA =，那么11=-+n n x x，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n=⋅-+=1)1(1………2分 即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分 〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕 〔2〕由〔1〕得),1(n n A n-)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(nn n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121************n n n nn nn PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈ ))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分. 当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈ (2)分(假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。
2019年普陀中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年普陀中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：重庆市长寿一中2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（）A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0【答案】A第 2 题：来源：广东省中山市普通高中2017_2018学年高一数学11月月考试题试卷及答案01 已知函数则A． B．9 C． D．【答案】A第 3 题：来源：黑龙江省虎林市2016_2017学年高二数学5月月考试题理试卷及答案某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（）A.120种B.240种C.264种D.356种【答案】B第 4 题：来源：黑龙江省伊春市2016_2017学年高二数学下学期期中试题理试卷及答案定义在上的函数满足，且当时，，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵f(0)=0,f(x)+f(1−x)=1,令x=1得：f(1)=1，又，∴当x=1时,；令,由得：；同理可求：再令,由f(x)+f(1−x)=1,可求得，,解得，令,同理反复利用，可得由①②可得：..................所以有本题选择C选项.第 5 题：来源：广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一数学12月月考试题试卷及答案对于向量及实数，给出下列四个条件：①且；②③且唯一；④其中能使与共线的是A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】 C第 6 题：来源：河北省保定市2016_2017学年高二数学3月月考试题理试卷及答案定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】C 当时，由单调性可求出.由有,当时,,故.,,故在为增函数,,即,由题意有,所以,,故选C.第 7 题：来源： 2017年河南省高考数学适应性试卷（理科）含答案解析下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1【答案】C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，判断A错误；举例说明x=2时2x=x2=4，判断B错误；根据a＞2，b＞2时ab＞4，判断充分性成立C正确；举例说明a=b=0时=﹣1不成立，判断D错误．【解答】解：对于A，∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤＜正确，∴该命题的否定是假命题，A错误；对于B，当x=2时，2x=x2=4，∴B错误；对于C，a，b为实数，当a＞2，b＞2时，ab＞4，充分性成立，是充分条件，C正确；对于D，a，b为实数，a+b=0时，若a=b=0，则=﹣1不成立，∴不是充要条件，D错误．故选：C．第 8 题：来源：黑龙江省牡丹江市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A． B． C．D．【答案】D第 9 题：来源：甘肃省甘谷第一中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理若直线与直线4x+ky=1垂直，则常数k的值为【答案】A第 10 题：来源：广东省广州市荔湾区2016_2017学年高一数学下学期期末考试试题试卷及答案若，下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A第 11 题：来源： 2017年3月湖北省七市（州）高三联合考试数学试卷（理科）含答案秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A．6B．25C．100D．400【答案】C第 12 题：来源：辽宁省沈阳市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点C，若，且，则为A ．B ． C．D ．【答案】C第 13 题：来源：西藏拉萨中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题函数是R上的减函数，那么的取值范围是A. B. C.， D.【答案】C第 14 题：来源：云南省玉溪市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．【答案】C第 15 题：来源： 2016-2017学年重庆市璧山中学高二数学上学期期中试题试卷及答案理若直线过点且斜率为1，圆上恰有1个点到的距离为1，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B第 16 题：来源：福建省平潭县新世纪学校2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题已知数列满足，若，则的值为( )A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而可得结论．【详解】依题意，a2=2a1﹣1=2•﹣1=，a3=2a2﹣1=2•﹣1=，a4=2a3=2•=，∴数列{an}是以3为周期的周期数列，因为2020=3×673+1，∴a2020=a1=，故答案为：．【点睛】本题主要考查数列的周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.第 17 题：来源：湖南省衡阳县第四中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题．设取实数，则与表示同一个函数的是（）A． B．C． D．【答案】B第 18 题：来源：安徽省太和县2016_2017学年高二数学下学期期中试题试卷及答案文设命题：“，”，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由题意得，命题：“，”，则为，，故选A.第 19 题：来源：湖南省湘南三校联盟2018_2019学年高二数学10月联考试题理命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，＋m＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是( )A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1【答案】C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.第 20 题：来源：山东省济宁市2019届高三数学第一次模拟考试试题理已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)【答案】C第 21 题：来源：内蒙古巴彦淖尔市2016_2017学年高一数学下学期期中试题试卷及答案（A卷）的值为（）A. B.C. D.【答案】C第 22 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案05 点为圆内弦的中点,则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C第 23 题：来源： 2017年高中数学第一章计数原理单元测评1（含解析）新人教A版选修2_3一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A．40 B．74C．84 D．200【答案】B解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法C C＋C C＋C C＝74种．第 24 题：来源：黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017_2018学年高二数学下学期期中试题理用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是A . B. C.D.【答案】 A第 25 题：来源：广西南宁市2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷及答案下列不等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B 【解析】当x＞0时，，当x＜0时，，所以，故A不正确，B正确；由于x＞0，所以，当且仅当，即时取等号，故C不正确；当时，，时，，故D不正确.第 26 题：来源：江西省南昌市2016_2017学年高二数学下学期期中试题试卷及答案理在四棱锥中，平面，底面为矩形，．若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在四棱锥中，平面，底面为矩形，由边上有且只有一个点，使得，可得边上有且只有一个点，使得，则以为直径的圆与直线相切，设中点为，则，可得平面，作于，连接，则是二面角的平面角，设,则，直角三角形中，可得，，二面角的余弦值为，故选A.第 27 题：来源：河南省信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018_2019学年高一数学下学期期中联考试题理两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（）A．甲、乙两人的各科平均分相同B．甲的中位数是83，乙的中位数是85C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D．甲的众数是89，乙的众数为87【答案】D第 28 题：来源：湖南省衡阳市2017届高三数学第六次月考试题试卷及答案理（实验班）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C．D．或【答案】D第 29 题：来源：广东省深圳市耀华实验学校2018_2019学年高二数学下学期入学考试试题（华文部）设满足约束条件,则的最大值为（）A．5 B. 3 C. 7 D. -8【答案】C第 30 题：来源： 2017年高考仿真卷•数学试卷含答案(二)理科采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )A.12B.13C.14D.15【答案】A 解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C的有12人.第 31 题：来源：广东省中山市普通高中2017_2018学年高一数学11月月考试题试卷及答案07函数的图像大致为【答案】A第 32 题：来源：吉林省长春市第十一高中2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )A．在上为减函数 B．在处取极小值C．在处取极大值 D．在上为减函数【答案】D第 33 题：来源：安徽省2016_2017学年高一数学下学期期中试题试卷及答案已知向量，，，则向量的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B第 34 题：来源：河南省三门峡市陕州区2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案设全集，则=( )A. B.C．D．【答案】C第 35 题：来源：高中数学第一讲不等式和绝对值不等式综合测试（含解析）新人教A版选修4_5已知的解集为，则实数等于（）A．1 B．2 C．3D．4【答案】C 由，得，由已知得，解得第 36 题：来源：宁夏银川一中2019届高三数学第一次模拟考试试题理高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A．，，，的平均数 B．，，，的标准差C．，，，的最大值 D．，，，的中位数【答案】B第 37 题：来源：黑龙江省肇东市2016_2017学年高一数学下学期期中试题试卷及答案已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）A. B. C.D.【答案】C第 38 题：来源：四川省成都外国语学校2019届高三数学下学期入学考试试题理函数有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A． B． C. D．【答案】A第 39 题：来源：湖南省衡阳市2018届高三数学上学期第二次月考试题（实验班）理已知全集N=Z，集合A={﹣1，1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁UA）∩B=（）A．{3，4} B．{﹣2，3} C．{﹣2，4} D．{﹣2，0}【答案】D第 40 题：来源：青海省西宁市2017_2018学年高一数学12月月考试题试卷及答案等于（）A． B．C．D．【答案】B第 41 题：来源：四川省广元市2018_2019学年高二数学下学期期中试题理集合,则集合P∩Q的交点个数是（）A．0 个B．1个C．2个D．3个【答案】B第 42 题：来源：山东省曲阜市2016_2017学年高二数学下学期第一次月考试题理试卷及答案.直线与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为( )A.1B.-1C.1或-1D. 1或-1或0【答案】C第 43 题：来源：云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案已知四个关系式：，，，，其中正确的个数（）A．4个 B. 3个C．2个 D. 1个【答案】 C第 44 题：来源：内蒙古包头市第一中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理试卷及答案在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P到平面ABC的距离为( )A. B. C. D.【答案】B第 45 题：来源： 2017-2018学年吉林省通化市辉南高一（上）期末数学试卷（含答案解析） (1)已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C】解：由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有 2+||•4||•cosθ=0，即 cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．第 46 题：来源：山西省临汾市侯马市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案方程的实数解落在的区间是( )A. B. C. D.【答案】C第 47 题：来源：河北省沧州市2017_2018学年高一数学上学期第二次月考试题试卷及答案下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A. B. C.D.【答案】C第 48 题：来源：广东省深圳市耀华实验学校2018_2019学年高一数学下学期入学考试试题（华文部）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B第 49 题：来源：河南省六市2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A.和B.和C.和D.和【答案】C第 50 题：来源： 2016_2017学年四川省三台县高二数学下学期半期补练试题试卷及答案已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A 解：∵=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴1×（k+2）-3k=0，解得：k=1．故选：A．。
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学（理）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定旳区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号旳空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式1|2|≤-x 旳解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=旳最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = .4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成旳角旳大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.【理科】若函数3()log f x a x =-旳图像经过点)1,1(，则=--)8(1f .6. 若等差数列}{n a 旳前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 旳通项公式 为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地旳五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意（第4题图）取两个，则编号旳和是奇数旳概率为 （结果用最简分数表示）. 8.在210(2x 旳二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-）旳部分图像如右图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11. 【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f _.12. 【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上旳动点，则11MC MD+ 旳最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 旳中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分旳体积之比为 . 14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥， 若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅旳取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸旳相应编号上，将代表答案旳小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.（第13题图）S BAEHGF15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”旳（ ）A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）旳焦点坐标为（ ） A.)0,(22b a +±. B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a . D.),0(22b a +±. 17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +旳值不可能．．．是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形旳边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断 正确．．旳是（ ） A.满足λμ+2=旳点P 必为BC 旳中点. B.满足1λμ+=旳点P 有且只有一个. C.λμ+旳最大值为3. D.λμ+旳最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号旳规定区域内写出必要旳步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.P（第18题图）如图，某种水箱用旳“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球旳直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）这种“浮球”旳体积是多少3cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质， 如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 旳距离相等. （1）求动点A 旳轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 旳面积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠旳对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．（1）求c ；（第20题图）（第19题图）6cm（2）求)42cos(π-B 旳值．22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 旳坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++旳面积为n a ，求na 旳表达式；（3）对于（2）中旳na ，是否存在最小旳正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 旳值；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上旳函数,对于任意旳x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ； （2）若函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上旳解析式.参考答案一、填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-（*N n ∈） 7.53 8.180 9.1-10.3 11.【理科】1021【文科】102 12.1 13.1:114.)2,43[二、选择题15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”旳表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”旳表面积旳和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶旳质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分 答：这种浮球旳体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 旳轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 旳轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形 ………2分其中4||=KF …………2分 所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分 （2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中， 由正弦定理，得sin sin a b A B=则36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上. (1)分（证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++ ………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+， 逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴旳交点()1,0P -，则()111121210911092323n n n nn nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分（3）由（2）na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分 于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}na 中项旳最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小旳正整数p旳值为6，所以，存在最小旳自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f = 恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 （2）假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意旳M x ∈ ))(())((x f g x g f = 恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分 所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.（3）由题意得，11+=+x x a a （0>a 且1≠a ）………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a 11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(l o g --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分 解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出旳答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π旳非空子集，扣1分，以示区别。
2019-2020学年上海市普陀区高考数学一模试卷
上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= ． 2．（4分）若，则= ．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ．5．（4分）不等式的解集为 ．6．（4分）函数的值域为 ．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限．8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 ．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 ．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 ．12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点； 则其中所有真命题的序号为 ．祝您高考马到成功！二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 216．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．祝您高考马到成功！18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式； （2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．祝您高考马到成功！20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；（3）当时，求直线F 2N 的方程．21．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．祝您高考马到成功！上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= {1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}， 集合A={3，4，5}， ∴∁U A={1，2}． 故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ﹣1 ．【解答】解：∵方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ﹣84 ．【解答】解：二项展开式的通项=，祝您高考马到成功！由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为 [0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x ＜1或1＜x ≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为 [﹣1，3] ． 【解答】解：∵=sinx +cosx +1=2sin （x +）+1，∵sin （x +）∈[﹣1，1]，∴f （x ）=2sin （x +）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 一 象限．【解答】解：，设z=a +bi ，则z ×2i ﹣（1+i ）=0，即（a +bi ）×2i ﹣1﹣i=0，则2ai ﹣2b ﹣1﹣i=0，∴﹣2b ﹣1+（2a ﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i ，则=+i ，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限， 故答案为：一．祝您高考马到成功！8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ﹣2 ．【解答】解：数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），可得n=1时，a 1=S 1=﹣3+2+1=0；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣3n 2+2n +1+3（n ﹣1）2﹣2n +2﹣1=﹣6n +5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 16 ．【解答】解：直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则：，所以：2x 2﹣10x +9=0， 则：x 1+x 2=5，，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1（5﹣x 2）+x 2（5﹣x 1），=5（x 1+x 2）﹣2x 1x 2，=25﹣9， =16．故答案为：16．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 15 ． 【解答】解：根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列， 则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况，祝您高考马到成功！假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况， 此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立的情况有3×3=9种， 则至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立排列数有24﹣9=15个； 故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 [0，6] ．【解答】解：以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A （0，0），B （，0），C （，），∵，不妨设M （cosθ，sinθ）， ∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ）， ∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin （θ+），∵﹣1≤sin （θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin （θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]祝您高考马到成功！12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 ①② ． 【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f （x ）的图象关于原点对称， 即有f （x ）为奇函数，故①对； 由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x ，可得f （x ）的图象的渐近线为x=0和y=±x ，图象关于直线y=x 对称，可得f （x ）的图象过点，或，由对称性可得f （x ）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限； 按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；祝您高考马到成功！f （x ）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限， 由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f （x ）的值域不是；f （x ）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限， 由对称性可得f （x ）的值域也不是．故③不对；当f （x ）的图象位于一三象限时，f （x ）的图象与直线y=x 有两个交点， 函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；当f （x ）的图象位于二四象限时，f （x ）的图象与直线y=x 没有交点，函数y=f （x ）﹣x 没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定 【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，祝您高考马到成功！则有===，则方程组的解有无数个；故选：C ．14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m ＞0，∴函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |，∵f （0）=0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |在区间（0，+∞）上为增函数，f （0）=0，∴m ∈R ，∴“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件． 故选：A ．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 2 【解答】解：设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S=2（ab +bc +ac ）≤（a +b ）2+（b +c ）2+（a +c ）2， 当且仅当a=b=c 时上式“=”成立． 由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，祝您高考马到成功！用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm 2）． 故选：C ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8【解答】解：∵函数，且f （x ﹣1）=f （x +1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f （x ）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f （x ）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f （x ）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称． 又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f （x ）=g （x ）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f （x ）和y=g （x ）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于（2，3）中心对称，祝您高考马到成功！∴x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2， ∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．∴PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系， 则A （0，﹣1，0），P （0，0，），D （0，﹣，），B （0，1，0），C （1，0，0）， =（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），祝您高考马到成功！设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB 与CD 所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？祝您高考马到成功！【解答】解：（1）由总成本p （x ）=+x +150万元，可得 每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m （60﹣m ）=﹣160m 2+9600m ，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000． 当m ＞30时，日平均分拣量为480×300=144000． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；祝您高考马到成功！（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点， 当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．则：T=π， 所以：ω=，所以：； （2）由于：=sin （）=，且0＜C ＜π， 解得：C=，△ABC 面积为， 所以：，解得：ab=20．由于：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，c=2，所以：20=（a +b ）2﹣3ab ，解得：a +b=4，所以：．20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程； （2）当时，求△F 1MN 的面积；祝您高考马到成功！（3）当时，求直线F 2N 的方程．【解答】解：（1）点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，∴a=t ，c=t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，∴a ﹣c=t ﹣t=2﹣2，解得t=2， ∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）， 点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N （2cosθ，2sinθ）， ∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵， ∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin 2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N （0，2）， ∴=（﹣2，2）， ∴k==﹣1， ∵向量与向量平行，∴直线F 1M 的斜率为﹣1， ∴直线方程为y=﹣x ﹣2， 联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M （﹣，）， ∴|F 1M |==，祝您高考马到成功！点N 到直线直线y=﹣x ﹣2的距离为d==2， ∴△F 1MN 的面积=|F 1M |•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴λ（x 1+2）=x 2﹣2，y 2=λy 1， ∴x 2=λx 1+2（λ+1） ∵+=1，∴x 22+2y 22=8，∴[λx 1+2（λ+1）]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x 1=8，∴4λ（λ+1）x 1=（1﹣3λ）（λ+1）， ∴x 1==﹣3，∴y 12=4﹣， ∴||2=（x 1+2）2+y 12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0 解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x 1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y 12=4﹣=2﹣==，祝您高考马到成功！∴y 1=，∴k ==﹣，∴直线F 2N 的方程为y ﹣0=﹣（x ﹣2），即为x +y ﹣2=021．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．【解答】解：（1）（n ∈N *），可得n=1时，T 1+=﹣b 1=﹣T 1， 解得b 1=﹣，T 2+=b 2=﹣+b 2+=b 2，T 3+=﹣b 3=﹣+b 2+b 3+，即b 2+2b 3=，T 4+=b 4=﹣+b 2+b 3+b 4+，即b 2+b 3=，解得b 2=，b 3=﹣，同理可得b 4=，b 5=﹣，b 6=，b 7=﹣， …，b 2n ﹣1=﹣，d=a 5=b 2，可得d=a 1+4d=，祝您高考马到成功！解得a 1=﹣，d=，a n =，P 6={x |a 4＜x ＜a 9}（k ∈N *，k ≥3）={x |0＜x ＜}， 则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；（2）证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列， 可得S n +1﹣2λa n +1≥S n ﹣2λa n ， 即为≥，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3）， 且a 1=﹣，d ＞0，可得P k 中的元素大于﹣1，则对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=﹣，H 3=T 1+T 2+T 3=﹣，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=﹣，H 7=﹣+0﹣=﹣，…，H 2n ﹣1=H 2n ﹣3+b 2n ﹣1，（n ≥2），当k=3时，P 3={x |a 1＜x ＜a 6}={x |﹣＜x ＜}， 当k=4时，P 4={x |a 2＜x ＜a 7}={x |﹣＜x ＜}，当k=5时，P 5={x |a 3＜x ＜a 8}={x |﹣＜x ＜1}， 当k=6时，P 3={x |a 4＜x ＜a 9}={x |0＜x ＜}， 显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4．祝您高考马到成功！。