6.1 数列的概念与简单表示法

1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件

按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N* 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1＝an

摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 【知识拓展】 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

则an＝ S1， n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.

2．在数列{an}中，若an最大，则 an≥an－1，an≥an＋1. 若an最小，则 an≤an－1，an≤an＋1. 3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，„，不能构成一个数列．( × ) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × ) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )

1．把1,3,6,10,15,21，„这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第7个三角形数是( ) A．27 B．28 C．29 D．30 答案 B 解析 由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.

2．已知数列11×2，12×3，13×4，„，1nn＋1，„，下列各数中是此数列中的项的是( )

A.135B.142C.148D.154 答案 B 3．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋－1nan－1(n≥2)，则a5等于( ) A.32 B.53 C.85 D.23 答案 D 解析 a2＝1＋－12a1＝2，a3＝1＋－13a2＝12，a4＝1＋－14a3＝3，a5＝1＋－15a4＝23. 4．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是________． 答案 30

解析 an＝－n2＋11n＝－(n－112)2＋1214， ∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30. 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.

答案  2，n＝1，2n－1，n≥2 解析 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，

故an＝

 2，n＝1，

2n－1，n≥2.

题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，„的一个通项公式是( ) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1

C．an＝nn＋12 D．an＝nn－12 (2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________. 答案 (1)C (2)2n＋1n2＋1 解析 (1)观察数列1,3,6,10，„可以发现 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， „

第n项为1＋2＋3＋4＋„＋n＝nn＋12. ∴an＝nn＋12. (2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理． 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，„； (2)0.8,0.88,0.888，„；

(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，„. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．

(2)数列变为891－110，891－1102，891－1103，„，

故an＝891－110n. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，„，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，

原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，„， 故an＝(－1)n2n－32n. 题型二 由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)(2017·南昌月考)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________. 答案 (－2)n－1 解析 由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当

n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列， 故an＝(－2)n－1. (2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式． ①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b. 解 ①a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. ②a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b) ＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式； 当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；

当b≠－1时，an＝ 3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2. 思维升华 已知Sn，求an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于( )

A．2n－1 B．(32)n－1

C．(32)n D.12n－1 答案 (1)an＝ 2，n＝1，6n－5，n≥2 (2)B 解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为an＝ 2，n＝1，6n－5，n≥2. (2)由an＋1＝Sn＋1－Sn，得12Sn＝Sn＋1－Sn， 即Sn＋1＝32Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1， 所以数列{Sn}是首项为1，公比为32的等比数列， 所以Sn＝(32)n－1，故选B. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．

(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.

解 (1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，

∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝lnnn－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1 ＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋„＋ln32＋ln2＋2

＝2＋ln(nn－1·n－1n－2·„·32·2) ＝2＋lnn(n≥2)． 又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn(n∈N*)．

(2)∵an＋1＝2nan，∴anan－1＝2n－1 (n≥2)，

∴an＝anan－1·an－1an－2·„·a2a1·a1 ＝2n－1·2n－2·„·2·1＝21＋2＋3＋„＋(n－1)＝(1)22nn. 又a1＝1适合上式，故an＝(1)22nn. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；(3)当

出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．

(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝n－1n·an－1(n≥2且n∈N*)，则an＝________.