2021版高一上学期期末数学试卷
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2021版高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） 集合,则 （ ）
A .
B . {2}
C . {0}
D .
2. （2分） (2019高一上·邗江期中) 已知幂函数 ，则 （ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2016高一下·安徽期末) 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，
连接DE并延长到点F，使得DE=4EF，则 的值为（ ）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高一上·抚州期中) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
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A . y=|x|+1
B . y=x3
C . y=﹣x2+1
D . y=2x
5. （2分） 已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0 ， +∞），则（ ）
A . f（x1）＜0，f（x2）＜0
B . f（x1）＜0，f（x2）＞0
C . f（x1）＞0，f（x2）＜0
D . f（x1）＞0，f（x2）＞0
6. （2分） (2015高三上·太原期末) 已知平面内点A，B，O不共线， ，则A，P，B三点
共线的必要不充分条件是（ ）
A . λ=μ
B . |λ|=|μ|
C . λ=﹣μ
D . λ=1﹣μ
7. （2分） 设 ， 则=（ ）
A .
B . 0
C .
D .
8. （2分） (2018·济南模拟) 已知定义在R的函数 是偶函数，且满足 上
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的解析式为 ，过点 作斜率为k的直线l ， 若直线l与函数 的图象至少有
4个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2017·枣庄模拟) 在△ABC中， 的值为（ ）
A .
B . -
C .
D . -
10. （2分） (2015高三上·廊坊期末) 已知函数f（x）= ，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），
则b•f（a）的取值范围是（ ）
A . （0， ）
B . （ ，2]
C . [0， ）
D . （ ，2）
二、 填空题 (共8题；共8分)
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11. （1分） (2018高一上·成都月考) 已知 ，则 ________.
12. （1分） (2017高三上·定西期中) 已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，
2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1 ， x2 ， 则x1+x2=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为________．
13. （1分） 已知不论a为何正实数，y=ax+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是 ________．
14. （1分） (2017高一下·淮北期末) 设 是两个不共线的向量，已知 ，
若A，B，C三点共线，则实数m=________．
15. （1分） (2016高三上·崇明期中) 设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是________
（请将你认为正确的序号都填上）
·（1）f（x）是R上的单调递减函数；
·（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
·（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；
·（4）f（x）存在反函数f﹣1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f﹣1（x）成立．
16. （1分） (2018·临川模拟) 在 中，若 ，且 ，
则 ________.
17. （1分） 下面有四个命题：其中正确命题的个数为 ________．
①集合N中最小的数是1；
②若﹣a不属N，a属N；
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③若a∈N，b∈N则a+b的最小值为2；
④x2+1=2x的解可表示为{1，1}．
18. （1分） 函数f（x）= 的值域是________．
三、 解答题 (共4题；共45分)
19. （10分） (2016高一上·大同期中) 已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．
（1） 当a=3时，求A∩B；
（2） 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
20. （10分） (2016高二下·无为期中) 设△ABC是边长为1的正三角形，点P1 ， P2 ， P3四等分线段BC
（如图所示）．
（1） 求 • + • 的值；
（2） Q为线段AP1上一点，若 =m + ，求实数m的值．
21. （15分） 已知函数f（x）定义域为[﹣1，1]，若对于任意的x，y∈[﹣1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f
（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2） 判断并证明函数f（x）的单调性；
（3） 设f（1）=1，若f（x）＜m2﹣2am+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
22. （10分） (2016高一上·金华期末) 已知f（x）=2x2+bx+c．
（1） 对任意x∈[﹣1，1]，f（x）的最大值与最小值之差不大于6，求b的取值范围；
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（2） 若f（x）=0有两个不同实根，f（f（x））无零点，求证： ﹣ ＞1．
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参考答案
一、 选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、 填空题 (共8题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
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16-1、
17-1、
18-1、
三、 解答题 (共4题；共45分)
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
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21-2、
21-3、
22-1、
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22-2、
贵州省遵义市南白中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】利用平均数和标准差的定义及意义即可求解.
【详解】对于A，因为一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，
所以平均说来一队比二队防守技术好，故A正确；
对于B，因为二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
【详解】解：对A： ，定义域为R，因为 ，所以函数 为偶函数，
而根据幂函数的性质有 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故选项A错误；
对B： ，定义域为 ，因为 ，所以函数 为奇函数，故选项B错误；
对C： 定义域为 ，因为 ，所以函数 为偶函数，
又 时，根据对数函数的性质有 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，故选项C正确；
8.已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （）
A. B. C. D. 1
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域可得 ， ， ，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】解：∵ 的解集为 ，
∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，
∴ ，
又因函数的值域为 ，
∴ ，∴ .
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在毎小题给出的四个选项中，有多项项是符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
所以二队经常失球，故B错误；
对于C，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；
对于D，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
湖南省郴州市2021-2022学年高一上学期期末教学质量监测数学试题(含答案解析)
湖南省郴州市2021-2022学年高一上学期期末教学质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1},{0,1,2}A xx B =≥=∣，则A B =（ ） A ．{0} B ．{1，2} C ．{1} D ．{0，1，2}2．cos120= A ．12BC ．12-D． 3．已知函数()()12,(3)log ,3x xx f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知正数a ，b 满足1a b +=，则19a b+的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．16D ．205．若0.22021a =，0.2log 2021b =，20210.2c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >>D ．c a b >>6．函数()cos f x x x =⋅的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．7．现将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()sin g x x =C ．()sin 12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．函数()f x 为偶函数，且对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x 都有()()12120f x f x x x ->-，则不等式()25(3)xf f -<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(1,3)C ．(3),-∞D ．(1,)+∞二、多选题9．设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．a b e e --> C ．22ac bc <D ．11a b> 10．下列命题正确的是（ ）A ．函数()()2ln f x x x =-的定义域为（1，+∞）B ．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是“20,0x x x ∃>+≤”C ．“α为锐角”是“sin 0α>”的必要不充分条件D ．方程3log 30x x +-=在区间()2,3上有实数根11．已知函数()|sin |f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最小正周期为π C ．67f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 是奇函数12．已知函数f （x ）对,x y R ∀∈都有()()()()++-=f x y f x y f x f y ，且()00f ≠.则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）为偶函数B ．若()0f e =，则()20f e =C ．()()222f x f x =-D ．若()10f =，则()()4f x f x +=三、填空题13．已知幂函数()f x kx α=的图象过点()2,4，则k α+=__________. 14．写出一个最小正周期为π的函数___________.15．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x （10300x ≤≤）万元时奖金为f （x ）千元，下面给出三个函数模型：①()f x k x b =⋅+；②2()log f x k x b =⋅+；③2()f x k x b =⋅+.其中0,k b R >∈.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为___________千元.16．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.四、解答题17．（1）求值：1382log 3lg2lg502+++；（2）已知x 是第三象限角，且tan 2x =，cos cos()2()sin()x x f x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-，先化简()f x ，再求()f x 的值.18．已知集合{26},{04},{121}A xx B x x C x m x m =<≤=<<=+<<-∣∣∣. （1）求A B ，()R A B ⋂；（2）B C C =，求实数m 的取值范围.19．已知0,1a a >≠，且log 101a >，若函数()log a f x x =在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为1. （1）求a 的值；（2）解不等式211327x ax-⎛⎫>⎪⎝⎭； （3）求函数()2()log 2a g x x x =-的单调区间.20．已知函数()2cos (sin )f x x x x =+（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数f （x ）的值域.21．习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青山.绿水青山就是金山银山.”某精细化工厂在生产时，对周边环境有较大的污染，该工厂每年的利润()f x （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系为：()20.120700(60)4100(060)x x x f x x x ⎧-+->=⎨-<≤⎩（1）求该工厂利润最大时的年产量x （吨）的值，并求出最大利润；（2）某项环境污染物指数y （ppm ）与年产量x （吨）和环境治理费t （万元）之间的关系为：1y =-.其中0 6.39ppm y =为污染物指数安全线.该工厂按利润最大时的年产量进行生产，同时环境污染物指数不能超过安全线，则至少需要投入多少万元环境治理费？ 参考：234e 2.71818,e 7.39,e 20.09,e 54.60=≈≈≈，ppm 是百万分比浓度22．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：① ()f x 在[m ，n ]内是单调函数；② 当定义域是[m ，n ]时，()f x 的值域也是[m ，]n ；则称[m ，n ]是该函数的“美好区间”. （1）判断函数()13(0)f x x x=->是否存在“美好区间”，若存在，则求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由；（2）已知函数()()2246(,0)aa x h x a R a a x+-=∈≠有“美好区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n m -的最大值.参考答案1．B 【分析】根据集合交集定义运算即可． 【详解】由于{1},{0,1,2}A xx B =≥=∣，所以{}1,2A B = 故选：B 2．C 【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-，故选C.3．A 【分析】可直接根据分段函数，求得()11f = 【详解】根据分段函数()f x 可知：()11121f -==故选：A 4．C 【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】 由已知条件得()1919910b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=， 当且仅当9b aa b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立.故选：C . 5．C 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】0.20202120211a =>=，0.20.2log 2021log 10b =<=，2021000.20.21c <=<=，因此，a c b >>. 故选：C. 6．A 【分析】先求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性，从函数图像对称性角度排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决. 【详解】函数()cos f x x x =⋅定义域为R ，由()()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-可知，函数()f x 为R 上奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD ； 由cos 0x x ⋅=可得，0x =或,Z 2x k k ππ=+∈,则0x =是函数()f x 的一个零点，2x π=是函数()f x 的第一个正值零点，由(0)0f =，()cos 0444f πππ==>可排除C ，选A.故选：A 7．D 【分析】根据三角函数的图象变换原则，由题中条件，即可得出结果. 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得sin 2sin 2366y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，所以()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D. 8．B 【分析】先由题意判断出函数()f x 的单调性，再把关于偶函数()f x 的抽象不等式转化成整式不等式，解之即可. 【详解】由对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x ，都有()()12120f x f x x x ->-，可知12x x <时，有()()12f x f x <，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，又函数()f x 为偶函数，则不等式()25(3)x f f -<可化为253x-<即228x <<，解之得13x << 故选：B 9．AB 【分析】由不等式的性质，x y e =的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误. 【详解】A ：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a c b c +<+，正确；B ：因为x y e =在定义域内为增函数，由题意知a b ->-，故有a b e e -->，正确；C ：当0c 时，22ac bc =，故错误；D ：当0a b <<时，11a b<，故错误； 故选：AB. 10．BD 【分析】求出()f x 的定义域即可判断选项A ，根据命题的否定可以判断选项B ,举反例1sin 2α=时，π6α=或5π6即可判断选项C 不正确，利用零点存在性定理即可判断选项D . 【详解】对于选项A ，()f x 的定义域为20x x ->，故定义域为()(),01,-∞⋃+∞，则选项A 不正确； 对于选项B ，命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是“20,0x x x ∃>+≤”, 则选项B 正确；对于选项C ，若“α为锐角”⇒“sin 0α>”，若“sin 0α>” 推不出“α为锐角”，例如：1sin 2α=时，π6α=或5π6，即“α为锐角”是“sin 0α>”的充分不必要条件；则选项C 不正确； 对于选项D ，令函数()3log 3f x x x =+-，其中()332log 223log 210f =+-=-<，()33log 33310f =+-=>，即()()230f f ⋅<，且()3log 3f x x x =+-在区间()2,3上单调递增，故存在0x 使()00f x =，方程3log 30x x +-=在区间()2,3上只有一个实数根0x x =,则选项D 正确. 故选：BD . 11．ABC 【分析】对选项A ，结合正弦函数的值域和绝对值直接可得；对选项B ，根据周期函数的定义可得到()()f x f x π=+即可；对选项C ，根据正弦函数的单调性，可得67f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；对选项D ，根据定义判别函数的奇偶性，可得()f x 为偶函数.【详解】对选项A ，1sin 1x -≤≤，则0|sin |1x ≤≤，故选项A 正确；对选项B ，()|sin ||sin |x x π=+，即有：()()f x f x π=+，故选项B 正确；对选项C ，sin 66f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 77f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有：67f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确； 对选项D ，()()|sin |,()|sin ||sin |,f x x f x x x =-=-=故()f x 为偶函数，故选项D 错误. 故选：ABC 12．ACD 【分析】根据条件，利用赋值法逐一判断即可. 【详解】因为函数f （x ）对,x y R ∀∈都有()()()()++-=f x y f x y f x f y ，且()00f ≠.所以令0x y ==可得()()()2000f f f +=，所以()02f =令0x =可得()()()(0)()2f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，故A 正确；令x y e ==可得(2)(0)()()f e f f e f e +=，所以(2)2f e =-，故B 错误；令y x =可得()()222f x f x =-，故C 正确；若()10f =，则(1)(1)()(1)0f x f x f x f ++-==，所以(1)(1)f x f x +=-- 所以()()()42f x f x f x +=-+=，故D 正确； 故选：ACD 13．3 【分析】先由幂函数定义1k =，再代入点的坐标即可求解. 【详解】解：由幂函数定义知，1k =，又过()2,4，所以422,αα==，3k α+=， 故答案为：3 【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题. 14．()sin2f x x =（答案不唯一） 【分析】直接利用周期的公式写出解答. 【详解】解：由于正弦型函数的最小正周期2,2||T w w ππ==∴=±， 所以这个函数可以是()sin2f x x =（答案不唯一）. 故答案为：()sin2f x x =（答案不唯一） 15．33 【分析】根据“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”可知，给出的模型中只有2()f x k x b =⋅+满足，“必须和原来的计划接轨”表明，当10x =时，0y =，再结合“销售业绩为20万元时奖金为1千元”可知，当20x 时，1y =，然后解出方程即可【详解】根据题意，当0,k b R >∈时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“2()f x k x b =⋅+”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故模型选择：2()f x k x b =⋅+根据题意，则有：10004001k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：130013k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则模型为：21()30130f x x =- 当100x =时，21()1001033330f x -==⨯ 故答案为：3316．9[,4]4-【分析】根据给定图象结合“五点法”作图求出函数()f x 的解析式，再求出函数()g x ，利用二倍角公式化简，借助二次函数即可求解作答. 【详解】观察函数()f x 图象知，令函数()f x 周期为T ，则22362T πππ=-=，即T π=，22T πω==，而当6x π=时，()cos(2)f x A x ϕ=-取得最大值，则22,Z 6k k πϕπ⨯-=∈，又0ϕπ<<，则有0,3k πϕ==，又1(0)cos()cos()132f A A A πϕ=-=-==，解得2A =，因此，()2cos(2)3f x x π=-，则()2cos[2()]2cos[2(2)]2cos 22cos 46363g x x x x x ππππ=+-++-=+22194cos 22cos 224cos 244x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因1cos21x -≤≤，则当1cos 24x =-时，()min 94g x =-，当cos21x =时，max ()4x g =，所以()g x 的值域为9[,4]4-. 故答案为：9[,4]4- 【点睛】方法点睛：求含sin x 或cos x 的二次型函数的值域或最值问题，可以直接配方整体思想求解； 也可以换元转化成二次函数在闭区间上的值域或最值问题求解.17．（1）7；（2）()cos f x x =-【分析】（1）以实数指数幂的运算性质和对数运算性质解之即可；（2）先以三角函数诱导公式化简函数()f x ，再以同角三角函数关系解之即可.【详解】（1）1382log 3lg2lg502+++133(2)lg(252370)23=++++==⨯（2）()cos cos()sin cos 2()cos sin()sin x x x x f x x x x ππ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===-- ∵ tan 2x =，∴ sin 2cos x x =代入22sin cos 1x x +=得25cos 1=x∵ x 是第三象限角，∴cos x =故()cos f x x =-=18．（1）{06}A B xx ⋃=<≤∣，{}()24R A B x x x ⋂=≤≥或（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）利用集合并集、交集和补集的运算法则直接求解即可；（2）由已知条件B C C =可知C B ⊆，则对集合C 分成C =∅和C ≠∅两类进行讨论，最后两者结果求并集即可.（1）由已知得{06}A B xx ⋃=<≤∣； ∵{}24A B x x ⋂=<<，∴{}()24R A B x x x ⋂=≤≥或；（2）∵B C C =，∴C B ⊆，当集合C =∅时，121m m +≥-，即2m ≤；.当集合C ≠∅时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤，综上所述，实数m 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 19．（1）2（2）()1,3-（3）增区间为(2,+∞），减区间为(,0)-∞【分析】（1）由log 101a >可知1a >，知函数()log a f x x =在区间[a ，2a ]上单调递增，据题意列方程即可求得参数a 的值；（2）由13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，可以把所求指数不等式转化成整式不等式，解之即可； （3）由“同增异减”的复合函数单调性判断规则解之即可.（1） 1log 100lg a a =>，∴ lg 0a >，∴ 1a >. ∴ log a y x =在[a ，2a ]上为增函数，函数()log a f x x =在区间[a ，2a ]上的最大值为log (2)a a ，最小值为log a a则log (2)log 1,2a a a a a -=∴=（2）由（1）可知，不等式211327x ax -⎛⎫> ⎪⎝⎭即2231113273x x -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减， ∴223x x -<，解之可得13x∴ 所求不等式的解集为()1,3-（3）由（1）知函数()2()log 2a g x x x =-即()22()log 2g x x x =-要使函数有意义，有220x x ->，即(,0)(2,)x ∞∞∈-⋃+，令22,()u x x y u x =-=在(,0)-∞单调递减，在(2,)+∞单调递增；因为函数2log y u =在(0,)+∞单调递增，.由复合函数的单调性可知：()y g x =的增区间为(2,+∞），减区间为(,0)-∞20．（1）π（2）[2]【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简三角函数解析式，然后由周期公式即可求解； （2）利用整体思想，结合正弦函数的图象，即可求解函数f （x ）的值域.（1）解：因为21cos 2()2sin cos sin 22x f x x x x x +=++sin22sin 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==； （2）解：当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52336x πππ-≤+≤，∴sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()2sin 2[2]3y f x x π⎛⎫∴==+∈ ⎪⎝⎭，所以()y f x =的值域为[2].21．（1）年产量100（吨）时，有最大利润300万元（2）53.60万元【分析】（1）分别在两个区间(]0,60和()60,∞+求函数的最大值，两个最大值之中的较大者为分段函数()f x 的最大值；（2）把指数不等式转化成对数不等式，再转化成整式不等式即可得解.（1）当060x <≤时，()4100(60)140f x x f =-≤=，当60x >时，()()220.1207000.1100300300f x x x x =-+-=--+≤，综上可知max ()(100)300f x f ==（万元）；即年产量100（吨）时，有最大利润300万元；（2）由（1）可知100x =，则有101ln(1)0e1 6.39t y y ++=-≤=. 即()101ln 12e 7.39e t ++≤≈，可得1021ln(1)t ≤++ 整理得4ln(1)4ln e t +≥=，则4153.60t e ≥-≈即：至少需要投入53.60万元环境治理费才满足要求.22．（1）存在，m n ==（2【分析】 （1）按函数()13(0)f x x x=->的单调区间分类讨论()f x 在区间[m ，n ]上的值域，根据题目要求列方程解之即可；（2）由数()h x 有“美好区间”[m ，n ]，可推导出参数a 需满足的条件，进而求出以参数a 表示的n m -的代数式的最大值.（1）函数()f x 存在美好区间.假设存在美好区间[m ，n ]，由函数f （x ）的定义域为(0,)+∞，∴ n >m >0∵()13,(0)f x x x =->∴()113,3 113,03x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩ 由“美好区间”的定义可知：1）当1,0,3m n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1()3f x x =-在（0，13）上为减函数， 故有()()f m n f n m =⎧⎨=⎩，即1313n m m n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时实数m ，n 的值不存在 2）当1,,3m n ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，1()3f x x =-在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. 故有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即1313m m n n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩由此可得m ，n 是方程2310x x -+=的根.解得x =13>，所以此时成立 综上所述，函数()f x存在美好区间，其中m n ==（2）设[m ，n ]是()()2246(0)a a x h x x a x +-=≠的美好区间，则[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，.故函数()()2224646a a x a h x a x a a x+-+==-在[m ，n ]上单调递增. 由[m ，n ]是函数()h x 的“美好区间”，则()()f m m f n n =⎧⎨=⎩， 故m ，n 是方程246a x a a x +-=，即()222460a x a a x -++=的同号的相异实数根. 由260mn a =>，可知m n ，同号，只须()22880a a a ∆=+->，即4a >-+4a <--()h x 有“美好区间”[m ，n ]. 此时()()()2222211124n m x x x x x x -=-=+- 2228811832a a a a +-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭由4a >-+4a <--1a ⎫⎛∈⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭故当112a =即2a =时，n m -。
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（ ） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】 【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误； 函数2log y x =的值域为R ，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】 【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立 令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（ ）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】 【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【答案】6π 【解析】 【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】 【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】 【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点； 根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称 即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可； （2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα， 所以sin 4tan cos 3ααα==， 所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】 【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <； 综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】 【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ， 即3,88k xk k ππππ-++∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <， 所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<， 又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>； 综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可； （2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===， 所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=， 所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米， 所以 5.5y 时，船可以进港， 令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ， 因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =， 因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==， 所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞， 所以412x +≥，解得0x ， 所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立， 因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=， 化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根， 令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =； 当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解； 综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。
河南省郑州市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为 ,
故答案为：
【点睛】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于容易题.
16.高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数 ，则函数 的值域是_________.
则故 取得最小值，为 ，
当 时，函数值最大为 ．
即函数取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
二､填空题
13.已知集合M满足 ，则满足条件的集合M有_________个.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.
【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题.
22.已知函数 为奇函数，其中a为常数.
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）判断函数 在 上的单调性，并证明；
（Ⅲ）对任意 ，都有 恒成立.求实数m的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 在 上为增函数，证明见解析（Ⅲ）
7.已知 ，若 ，则t=（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数 为单调函数，令 ，求出 即可.
【详解】 , ,
令 ,
,
,
即 ，
2021-2022学年河北省廊坊市高一(上)期末数学试卷
2021－2022学年河北省廊坊市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |2＜x ≤4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∩B ＝( ) A ．[3，4] B ．(3，4)C ．[3，4)D ．(3，4]2．sin94π＝＝( )A ．12B C D ． 3．若指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(1，2 )4．若用二分法逐次计算函数f (x )＝lnx ＋x 在区间[0.5，1]内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：x 0.5 1 0.75 0.625 0.5625 f (x )－0.19310.4620.155－0.013则方程lnx ＋x ＝0的一个近似根(精度为0.1)为( ) A ．0.56B ．0.57C ．0.65D ．0.85．关于x 的一元二次不等式2x 2－kx ＋38＞0对于一切实数x 都成立，则实数k 满足( )A ．{k |kB ．{k |kC ．{k |kD ．{k |k 6．“log 5(x ＋3)≤1”是“－3≤x ≤2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为( )(参考数据：取lg 2＝0.3．) A ．5B ．6C ．7D ．88．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －2π)＝f (x ＋2π)，且当x ∈[0，π]时，f (x )＝sin x ，则( ) A ．f (cos120°)＞f (sin(－20°))＞f (sin190°) B ．f (cos120°)＞f (sin190°)＞f (sin(－20°)) C ．f (sin190°)＞f (cos120°)＞f (sin(－20°))D ．f (sin190°)＞f (sin(－20°))＞f (cos120°)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. (多选)9．下列函数中为偶函数的是( ) A ．f (x )＝21x B ．f (x )＝x 4C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝cos x(多选)10．已知a ＞b ＞0，且a ＋2b ＝ab ，则2a ＋b 的取值可以是( ) A ．8B ．9C ．11D ．12(多选)11．已知函数f (x )＝2sin(2x －6π)＋1，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的最小正周期是π B ．f (x )的图象关于点(－56π，0)对称 C ．f (x )在[－π，－2π]上单调递增 D ．f (x ＋12π)是奇函数(多选)12．若m ＞0，n ＞12，且m •2m ＝2n (log 2n ＋1)＝5，则( )A ．m ＋log 2m ＜3B ．log 2n ＋2＞52nC ．m ＝log 2n －1D ．mn ＝52三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知α∈[－3π，3π]，且cos(α－3π)＝12，写出一个满足条件的α的值： ．14．已知函数f (x )＝223,0log ,0x x x x x ⎧-+≤⎨>⎩，则f (f (12))＝ ．15．某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 人．16．若∀x ∈R ，∃a ∈[5，8]，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5，则m 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)求下列各式的值： (1)lg14－lg25；18．(12分)已知()cos cos 23sin cos πααπαα⎫⎛--+ ⎪⎝⎭-＝3． (1)求tan(2π＋α)的值； (2)求sin αcos α的值．19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)用定义证明f (x )在(1，＋∞)上单调递增； (3)求f (x )在[－2，－1]上的值域．20．(12分)已知函数f (x )＝2in(2x ＋3π)＋m ，x ∈R ，且f (x )在[－4π，6π]上的最小值为0． (1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合．21．(12分)冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分．加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用．某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x 千件，需另投入的成本为C (x )(万元)．当年产量低于60千件时，C (x )＝12x 2＋10x ；当年产量不低于60千件时，C (x )＝80x ＋450045x -－2700．每千件产品的售价为60万元，且生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？22．(12分)已知函数f (x )＝3131x x a ⋅+-．(1)当a ＝1时，解方程lgf (2x )－lgf (x )＝1－lg 16；(2)当x ∈(0，1]时，|f (2x )－f (x )|≥1恒成立，求a 的取值范围．2021－2022学年河北省廊坊市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝()A．[3，4] B．(3，4) C．[3，4) D．(3，4]解：因为集合A＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝[3，4]．故选：A．2．sin 94π＝＝()A．12B C D．解：sin 94π＝sin(2π＋4π)＝sin4π．故选：B．3．若指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(1，2 )解：∵指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，∴0＜a－1＜1⇒1＜a＜2．故选D4．若用二分法逐次计算函数f(x)＝lnx＋x在区间[0.5，1]内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：x0.5 1 0.75 0.625 0.5625f(x) －0.193 1 0.462 0.155 －0.013则方程lnx＋x＝0的一个近似根(精度为0.1)为()A．0.56 B．0.57 C．0.65 D．0.8解：由于f(0.625)＞0，f(0.5625)＜0，且0.625－0.5625＜0.1，则方程lnx＋x＝0的一个近似根为0.57．故选：B．5．关于x的一元二次不等式2x2－kx＋38＞0对于一切实数x都成立，则实数k满足()A．{k|k B．{k|k C．{k|k D．{k|k解：因为一元二次不等式2x 2-kx ＋2x 2-kx ＋38＞0＞0对于一切实数x 都成立，所以Δ＝(－k )2－4×2×38＜0，k所以实数k 的取值范围是{k |k． 故选：C ．6．“log 5(x ＋3)≤1”是“－3≤x ≤2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解：∵log 5(x ＋3)≤1，∴3035x x +>⎧⎨+≤⎩，解得：－3＜x ≤2，故“log 5(x ＋3)≤1”是“－3≤x ≤2”的充分不必要条件， 故选：A ．7．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为( )(参考数据：取lg 2＝0.3．) A ．5B ．6C ．7D ．8解：经过n 次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%， 由题意可得，(1－50%)n ＜4%，即n ＞1212log 25＝2log 25＝2lg5lg2＝()21lg2lg2-≈4.7，故至少需要5次提炼． 故选：A ．8．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －2π)＝f (x ＋2π)，且当x ∈[0，π]时，f (x )＝sin x ，则( ) A ．f (cos120°)＞f (sin(－20°))＞f (sin190°) B ．f (cos120°)＞f (sin190°)＞f (sin(－20°)) C ．f (sin190°)＞f (cos120°)＞f (sin(－20°))D ．f (sin190°)＞f (sin(－20°))＞f (cos120°) 解：∵f (x －2π)＝f (x ＋2π)， ∴f (x )的周期为π．∵当x ∈[0，π]时，f (x )＝sin x ， ∴f (x )在[2π，π]上单调递减，在[－2π，π]上单调递减． ∵－1＜sin210°＜sin200°＜sin190°＜0， ∴－1＜cos120°＜sin(－20°)＜sin190°＜0． 故f (cos120°)＞f (sin(－20°))＞f (sin190°)． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. (多选)9．下列函数中为偶函数的是( ) A ．f (x )＝21x B ．f (x )＝x 4C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝cos x解：f (x )＝21x的定义域为{x |x ≠0}，满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，故A 正确； f (x )＝x 4的定义域为R ，满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，故B 正确； f (x )＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，满足f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故C 不正确； f (x )＝cos x 的定义域为R ，满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，故D 正确． 故选：ABD ．(多选)10．已知a ＞b ＞0，且a ＋2b ＝ab ，则2a ＋b 的取值可以是( ) A ．8B ．9C ．11D ．12解：∵a ＞b ＞0，且a ＋2b ＝ab ，∴2a ＋1b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )(2a ＋1b )＝2b a ＋2ab＋5＞＋5＝9， ∴2a ＋b ＞9， 故选：CD ．(多选)11．已知函数f (x )＝2sin(2x －6π)＋1，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的最小正周期是π B ．f (x )的图象关于点(－56π，0)对称 C ．f (x )在[－π，－2π]上单调递增 D ．f (x ＋12π)是奇函数解：由正弦函数的周期公式可得，T ＝22π＝π，A 正确；令2x －6π＝k π得x ＝2k π＋12π，k ∈Z ，令2k π＋12π＝－56π可得此时k ＝－116∉Z ，B 错误；令－2π＋2k π≤2x －6π≤2π＋2k π，k ∈Z ， 解得，－6π＋k π≤x ≤3π＋k π当k ＝－1时，可得函数的一个单调递增区间为[－76π，－23π]，C 显然错误； 因为f (x ＋12π)＝2sin2x ＋1显然不是奇函数，D 错误． 故选：BCD ． (多选)12．若m ＞0，n ＞12，且m •2m ＝2n (log 2n ＋1)＝5，则( ) A ．m ＋log 2m ＜3 B ．log 2n ＋2＞52nC ．m ＝log 2n －1D ．mn ＝52解：A ：∵m •2m ＝5，∴2m ＝5m，∴m ＝log 25－log 2m ，∴m ＋log 2m ＝log 25＜3，∴A 正确， B ：∵2n (log 2n ＋1)＝5，∴log 2n ＋1＝52n ，∴log 2n ＋2＞52n，∴B 正确， C ：log 2n ＋1＝52n⇔log 2(log 2n ＋1)＝log 25－log 2(2n )⇔log 2(log 2n ＋1)＋(log 2n ＋1)＝log 25， 设f (x )＝x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (m )＝f (log 2n ＋1)＝)＝log 25，∴m ＝log 2n ＋1，∴C 错误，D ：将m ＝log 2n ＋1代入m ＋log 2m ＝log 25，得log 2n ＋1＋log 2m ＝log 25，∴log 2n ＋log 2m ＝log 252，∴mn ＝52，∴D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知α∈[－3π，3π]，且cos(α－3π)＝12，写出一个满足条件的α的值： 0(答案不唯一) ．解：因为cos(－3π)＝cos 3π＝12，所以α的值可以为0， 故答案案为：0．14．已知函数f (x )＝223,0log ,0x x x x x ⎧-+≤⎨>⎩，则f (f (12))＝ 5 ．解：根据题意，函数f (x )＝223,0log ,0x x x x x ⎧-+≤⎨>⎩，则f (12)＝log 212＝－1，则f (f (12))＝f (－1)＝1＋1＋3＝5；故答案为：5．15．某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 12 人．解：某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人． 该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组， 则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有： 31＋26－45＝12． 故答案为：12．16．若∀x ∈R ，∃a ∈[5，8]，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5，则m 的取值范围为 (－∞，72] ． 解：根据题意，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5即x 2＋(a －2)x ＋12a 2－am ＋5≥0， 若∀x ∈R ，∃a ∈[5，8]，x 2＋ax ＋12a 2≥2x ＋am －5，即x 2＋(a －2)x ＋12a 2－am ＋5≥0， 则∃a ∈[5，8]，有Δ＝(a －2)2－4(12a 2－am ＋5)≤0成立， 变形可得∃a ∈[5，8]，m ≤4a ＋4a＋1成立， 设f (a )＝4a ＋4a ＋1，在[5，8]上为增函数，则f (a )≤f (8)＝2＋12＋1＝72， 必有m ≤72，即m 的取值范围为(－∞，72]； 故答案为：(－∞，72]． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)求下列各式的值： (1)lg14－lg25；解：(1)原式＝lg(14÷25)＝lg 1100＝lg 10-2＝－2． (2)原式＝()11132263233232⎫⎛⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝111112365622223333-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝11111113323623-++++⨯＝2×9＝18．18．(12分)已知()cos cos 23sin cos πααπαα⎫⎛--+ ⎪⎝⎭-＝3． (1)求tan(2π＋α)的值； (2)求sin αcos α的值． 解：(1)由原式得sin cos 3sin cos αααα+-＝3，所以tan 13tan 1αα+-＝3，解得tanα＝12， 故tan(2π＋α)＝tanα＝12． (2) sin αcos α＝22sin cos sin cos αααα+＝2tan tan 1αα+＝25．19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)用定义证明f (x )在(1，＋∞)上单调递增； (3)求f (x )在[－2，－1]上的值域． (1)解：函数f (x )是奇函数，理由如下： 函数f (x )＝x ＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称， 且f (－x )＝－x －1x ＝－(x ＋1x)＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数；(2)证明：任取x 1、x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋11x )－(x 2＋21x )＝(x 1－x 2)＋(11x －21x )＝(x 1－x 2)(1－121x x )， 因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，且1－121x x ＞0， 所以f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增； (3)解：因为函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，－1)上也单调递增， 当x ∈[－2，－1]时，f (x )min ＝f (－2)＝－2＋12-＝－52，f (x )max ＝f (－1)＝－1＋11-＝－2，所以f (x )在[－2，－1]上的值域是[－52，－2]． 20．(12分)已知函数f (x )＝2in(2x ＋3π)＋m ，x ∈R ，且f (x )在[－4π，6π]上的最小值为0．(1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合． 解：(1)f (x )的最小正周期为π．令－2π＋2k π≤2x ＋3π≤2π＋2k π，k ∈Z ，解得－512π＋k π≤x ≤12π＋k π，k ∈Z所以f (x )的单调递增区间为[－512π＋k π，12π＋k π](k ∈Z )；(2)当x ∈[－4π，6π]时，2x ＋3π∈[－6π，23π]．f (x )min ＝2×(－12)＋m ＝0，解得m ＝1． 所以f (x )＝2in(2x ＋3π)＋1． 当2x ＋3π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝12π＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，且最大值为3．故f (x )的最大值为3，取得最大值时x 的取值集合为{x |x ＝12π＋k π，k ∈Z }． 21．(12分)冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分．加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用．某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x 千件，需另投入的成本为C (x )(万元)．当年产量低于60千件时，C (x )＝12x 2＋10x ；当年产量不低于60千件时，C (x )＝80x ＋450045x -－2700．每千件产品的售价为60万元，且生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0＜x ＜60时，L ＝60x －12x 2－10x －300＝－12x 2＋50x －300， 当x ≥60时，L ＝60x －(80x ＋450045x -－2700) －300＝－20x －450045x -＋2400， 故L ＝2150300,06024500202400,6045x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎪--+≥⎪-⎩．(2)当0＜x ＜60时，L ＝－12x 2＋50x －300＝－12(x －50)2＋950， 当x ＝50时，L 取得最大值，且最大值为950， 当x ≥60时，L ＝－20x －450045x -＋2400＝－20(x －45＋22545x -＋45)＋2400 ≤－＋45)＋2400＝900，当且仅当x －45＝22545x -，即x ＝60时，等号成立， 因为950＞900， 所以当该企业年产量为50千件时，所获得的利润最大，最大利润是950万元．22．(12分)已知函数f (x )＝3131x x a ⋅+-． (1)当a ＝1时，解方程lgf (2x )－lgf (x )＝1－lg 16；(2)当x ∈(0，1]时，|f (2x )－f (x )|≥1恒成立，求a 的取值范围．(1)解：当a ＝1时，f (x )＝3131x x a ⋅+-＝3131x x +-，f (2x )＝223131x x +-＝()()223131x x +-．原方程等价于lg ()()2f x f x ＝lg 1016且f (2x )＞0，f (x )＞0， 即()()2f x f x ＝58，()()223131x x +-＞0，3131xx +-＞0，所以()()2231313131x x x x +-+-＝58，且3x ＞1． 令3x ＝t ，则原方程化为()2211t t ++＝58， 整理得3t 2－10t ＋3＝0，解得t ＝3或t ＝13，即3x ＝3或3x ＝13(舍去)， 所以x ＝1．故原方程的解为x ＝1．(2)解：因为|f (2x )－f (x )|≥1，所以|()()223131x x a ⋅+-－3131x x a ⋅+-|≥1，即|()23331x x x a -⋅--|≥1． 令3x ＝t ，因为x ∈(0，1]，所以t ∈(1，3]，t 2－1＞0．则 |()211a t t +⋅-|≥1 恒成立，即|a ＋1|≥|21t t-| 在(1，3]上恒成立， 令函数g(t )＝t －1t ，因为函数y ＝t 与y ＝1t在(1，3]上单调递增， 所以g (t )在(1，3]上单调递增．因为g(3)＝83，g(1)＝0， 所以g(t )∈(0，83]，则21t t -≤83，所以|a ＋1|≥83， 解得a ≤－113或a ≥53．11 3]∪[53，＋∞)．故a的取值范围是(－∞，－。
2020-2021学年辽宁省大连市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.“a⃗=b⃗ ”是“|a⃗|=|b⃗ |”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.若A=(−1,3)，B={x|y=log2(2−x)}，则A∩(∁R B)=()A. {x|3≤x}B. {x|−1<x<2}C. {x|2≤x<3}D. {x|x<3}3.若样本平均数为x.，总体平均数为μ，则()A. x.=μB. x.≈μC. μ是x.的估计值D. x.是μ的估计值4.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.幂函数y=x−1及直线y=x，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y=x12的图象经过的“卦限”是()A. ④⑦B. ④⑧C. ③⑧D. ①⑤6.从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是()A. 34B. 23C. 12D. 147. 基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(ln2≈0.69)A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天8. 已知函数f(x)={e x ,x ≥0lg(−x),x <0，若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+t =0有三个不同的实根，则t 的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [1,+∞)C. [−2,1]D. (−∞,−2]∪[1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设A ，B ，C 为三个事件，下列各式意义表述正确的是( )A. A −BC 表示事件A 不发生且事件B 和事件C 同时发生 B. A +B +C −表示事件A ，B ，C 中至少有一个没发生 C. A +B 表示事件A ，B 至少有一个发生D. A −B −C +A −BC −+AB −C −表示事件A ，B ，C 恰有一个发生10. 已知正数a ，b ，则下列不等式中恒成立的是( )A. a +b ≥2√abB. (a +b)(1a +1b )≥4 C. (a +b)2≥2(a 2+b 2)D. 2aba+b >√ab11. 下列结论正确的是( )A. 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底B. 若a e 1⃗⃗⃗ +b e 2⃗⃗⃗ =c e 1⃗⃗⃗ +d e 2⃗⃗⃗ ，(a,b ，c ，d ∈R ，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是单位向量)，则a =c ，b =dC. 向量a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ⃗ +λ2b ⃗ =0⃗ D. 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =1 12. 已知函数f(x)={|log 2x|(0<x <2)x 2−8x +13(x ≥2)，若f(x)=a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A. 0<a <1B. x 1+2x 2∈(3,+∞)C. x 1+x 2+x 3+x 4∈(10,212)D. x 3∈[2,+∞)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. lg2+lg5+2log 23的值为______ ．14. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ +k b ⃗ ，A ，B ，C 三点共线，则k = ______ ．15. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为______石；(结果四舍五入，精确到各位)． 16. 已知定义在R 上函数f(x)=ln(√x 2+1−x)−e x −e −x e x +e −x+2x +1，已知定义在R 上函数y =g(x)满足g(x)+g(−x)=2，设函数f(x)与g(x)图象交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x n ,y n )，则f(2)+f(−2)的值为______ ；∑(n i=1x i +y i )的值为______ .(用n 表示) 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，已知M ，N ，P 是△ABC 三边BC ，CA ，AB 上的点，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用基底{a ⃗ ,b ⃗ }表示向量NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)假设同组中的每个数据都用该组区间的中值点代替，估计全市家庭月均用水量的平均数．19. 已知函数f(x)=e x −ae −x 的反函数f −1(x)的图象经过点P(32,ln2)．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性，并证明．20. 某项选拔共有四轮考核．每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率．(注：本小题结果可用分数表示)21.定义满足性质“y=f(x)(x∈D)，对任意x，y，x+y2∈D均满足f(x+y2)≥12[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立”的函数叫M函数．(Ⅰ)下列函数(1)g(x)=−x2；(2)m(x)=x2；(3)ℎ(x)=e x；(4)g(x)=log2x是M 函数是_____(直接写出序号)．(Ⅱ)选择(Ⅰ)中一个M函数，加以证明；(Ⅲ)试利用M函数解决下列问题：若实数m，n满足2m+2n=1，求m+n的最大值．22.已知函数f(x)=2log a(mx+b)−log a x，其中b∈R．(Ⅰ)若m=b=2，且x∈[14,2]时，f(x)的最小值是−2，求实数a的值；(Ⅱ)若m=2，0<a<1，且x∈[14,2]时，f(x)≤0恒成立，求实数b的取值范围；(Ⅲ)若a=2，b=1，∀t∈[12,1]，函数g(x)=f(x)−log2x在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不大于2，求正数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：a ⃗ =b ⃗ 时，有|a ⃗ |=|b ⃗ |成立，是充分条件； |a ⃗ |=|b ⃗ |时，a ⃗ =b ⃗ 不一定成立，不是必要条件； 所以“a ⃗ =b ⃗ ”是“|a ⃗ |=|b ⃗ |”的充分不必要条件． 故选：A ．分别判断充分性和必要性是否成立即可．本题考查了平面向量的基本概念与充分、必要条件的判断问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：B ={x|y =log 2(2−x)}={x|2−x >0}={x|x <2}， 则∁R B ={x|x ≥2}，则A ∩(∁R B)={x|2≤x <3}， 故选：C ．求出集合B 的等价条件，结合集合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合集合的基本运算是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】D【解析】解：样本平均数为x .，总体平均数为μ， 统计学中，利用样本数据估计总体数据， ∴样本平均数x .是总体平均数μ的估计值． 故选：D ．统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值． 本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求． 【解答】解：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．5.【答案】D【解析】解：取x =12得y =(12)12=√12=√22∈(0,1)，故在第⑤卦限；再取x =2得y =212=√2∈(1,2)，故在第①卦限 故选：D ．结合幂函数的五种形式，再代入12和2验证即可． 本题考查幂函数的图象，考查对函数图象的分析和理解．6.【答案】B【解析】解：从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的3件产品中， 按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回， 基本事件总数n =3×2=6，取出的两件产品中恰有一件次品包含的基本事件个数m =2×1+1×2=4， 则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是P =m n=46=23．故选：B ．基本事件总数n =3×2=6，取出的两件产品中恰有一件次品包含的基本事件个数m =2×1+1×2=4，由此能求出取出的两件产品中恰有一件次品的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】【分析】根据所给模型求得r=0.38，令t=0，求得I，根据条件可得方程e0.38t=2，然后解出t即可．本题考查函数模型的实际运用，考查学生阅读理解能力，计算能力，属于中档题．【解答】解：把R0=3.28，T=6代入R0=1+rT，可得r=0.38，∴I(t)=e0.38t，当t=0时，I(0)=1，则e0.38t=2，≈1.8．两边取对数得0.38t=ln2，解得t=ln20.38故选：B．8.【答案】A【解析】解：设m=f(x)，作出函数f(x)的图象如图：则m≥1时，m=f(x)有两个根，当m<1时，m=f(x)有1个根，若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，当m=1时，t=−2，此时由m2+m−2=0得m=1或m=−2，满足f(x)=1有两个根，f(x)=−2有1个根，满足条件当m≠1时，设ℎ(m)=m2+m+t，则ℎ(1)<0即可，即1+1+t<0，则t <−2， 综上t ≤−2， 故选：A ．利用换元法设m =f(x)，将方程转化为关于m 的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．本题主要考查方程根的个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合以及换元法是解决本题的关键．9.【答案】ACD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，A −BC 表示事件A 不发生且事件B 和事件C 同时发生，A 正确，对于B ，A +B +C 表示事件A 、B 、C 至少一个发生，则A +B +C −表示事件ABC 都没有发生，B 错误，对于C ，A +B 表示事件A ，B 至少有一个发生，C 正确，对于D ，A −B −C 表示事件A 、B 不发生且事件C 发生，A −BC −事件A 、C 不发生且事件B 发生，AB −C −事件B 、C 不发生且事件A 发生，则A −B −C +A −BC −+AB −C −表示事件A ，B ，C 恰有一个发生， 故选：ACD ．根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案． 本题考查对立，互斥事件的定义以及概率性质，10.【答案】AB【解析】解：A ：当a >0，b >0时，由基本不等式得，a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时取等号，A 成立；(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√a b ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，B 成立；2(a 2+b 2)−(a +b)2=a 2+b 2−2ab =(a −b)2≥0，则(a +b)2≤2(a 2+b 2)，C 不恒成立；因为a +b ≥2√ab ，所以2ab ≤(a +b)√ab ，所以2aba+b ≤√ab ，当且仅当a =b 时取等号，D 不恒成立． 故选：AB ．由已知结合基本不等式及不等式的性质分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了基本不等式，不等式的性质的应用，属于中档题．11.【答案】CD【解析】 【分析】本题主要考查基底的概念、平面向量共线的充要条件、平面向量共线定理，属于中档题． 根据基底的概念即可判断选项A ；当e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是共线向量时即可判断选项B ；根据向量共线定理即可判断选项C ，D ． 【解答】解：根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底，故A 错误；当e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是共线向量时，结论不一定成立，故B 错误；若a ⃗ 与b ⃗ 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a ⃗ +λ2b ⃗ =0⃗ ； 若a ⃗ ≠0⃗ ，则由两向量共线知，存在λ，使得b ⃗ =λa ⃗ ，即λa ⃗ −b ⃗ =0⃗ ，符合题意，故C 正确；由于A ，B ，P 三点共线，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 由共线向量定理可知，存在实数λ使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故x =1−λ，y =λ， 所以x +y =1，故D 正确． 故选：CD ．12.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．作函数f(x)={|log 2x|(0<x <2)x 2−8x +13(x ≥2)的图象，由图象可得x 1⋅x 2=1，x 3+x 4=8；从而逐项判断各选项即可得答案． 【解答】解：作函数f(x)={|log 2x|(0<x <2)x 2−8x +13(x ≥2)的图象如下，f(x)=a 有四个解，即y =a 与f(x)的图象有4个交点，x 1<x 2<x 3<x 4， 可得0<a <1，可知选项A 正确； 图象可得x 1⋅x 2=1， 则1x 1=x 2∵12<x 1<1，且1<x 2<2，∴1=x 1⋅x 2=1⋅x 1⋅2x 2≤1⋅(x 1+2x 2)2 令y =x 1+2x 2=x 1+2x 1，根据函数单调性可得y ∈(3,4.5)．可知选项B 错误；∵12<x 1<1，且1<x 2<2，得1=x 1⋅x 2<(x 1+x 22)2，可得x 1+x 2>2，当且仅当x 1=x 2=1时，取等号． ∵x 3+x 4=8；∴x 1+x 2+x 3+x 4∈(10,212)，可知选项C 正确； 从图象可知x 3∈[2,+∞)不正确； 故选：AC ．13.【答案】4【解析】解：原式=lg10+3=1+3=4， 故答案为：4．根据对数的运算法则计算即可．本题考查了对数的运算法则，考查了运算能力，属于基础题．14.【答案】−2【解析】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ +k b ⃗ ，A ，B ，C 三点共线， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴42=k −1，解得k =−2．故答案为：−2．由A ，B ，C 三点共线，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出k 的值．本题考查利用三点共线求参数的值，向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】169【解析】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×28254≈169石， 故答案为：169．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】2 2n【解析】解：函数f(x)=ln(√x 2+1−x)−e x −e −x e x +e −x+2x +1，那么f(−x)=2+1+x)+e x −e −xe x +e −x −2x +1，则f(x)+f(−x)=2，∴f(2)+f(−2)=2，g(x)+g(−x)=2， 可知f(x)与g(x)的图象都关于点(0,1)对称，函数f(x)与g(x)图象交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，可得这些交点也关于(0,1)对称；∴∑(n i=1x i +y i )=x 1+y 1+x 2+y 2+⋯+x n +y n =2n ； 故答案为2；2n ．由f(x)+f(−x)=2，可知f(2)+f(−2)的值为2，g(x)+g(−x)=2，可知f(x)与g(x)的图象都关于点(0,1)对称，即可求解∑(n i=1x i +y i )的值．本题考查函数与方程的应用，函数的对称性的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ −34b ⃗ ， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ．【解析】根据向量运算的三角形法则及共线向量定理，即可求得结论．本题主要考查向量加法的三角形法则和共线向量定理以及平面向量基本定理，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由频率和为1，得a =1−0.12−0.22−0.36−0.12=0.18．(Ⅱ)计算平均数为x −=0.5×0.12+1.5×0.22+2.5×0.36+3.5×0.18+4.5×0.12=2.46(t)，估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46t ．【解析】(Ⅰ)由频率和为1求出a 的值；(Ⅱ)利用该组区间的中值点代替同组中的数据，计算月均用水量的平均数即可． 本题考查了频率求值问题，也考查了平均数计算问题，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=e x −ae −x 的反函数f −1(x)的图象经过点P(32,ln2)．所以函数f(x)经过(ln2,32)，即当x =ln2时，f(ln2)=32，所以a =1， 所以f(x)=e x −e −x ．(Ⅱ)由(1)知f(x)=e x −e −x ，则函数为奇函数．证明如下：因为f(x)的定义域为R ，且f(−x)=e −x −e x =−(e x −e −x )=−f(x)． 所以函数f(x)为奇函数．【解析】(Ⅰ)直接利用原函数和反函数的关系式，求出a 的值，进一步得到f(x)的解析式；(Ⅱ)利用函数的奇偶性的定义进行判断即可．本题考查的知识要点：原函数和反函数的关系，函数的奇偶性的判断与证明，主要考查运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i =1,2，3，4)，则P(A 1)=45，P(A 2)=35，P(A 3)=25，P(A 4)=15， ∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率P 1=P(A 1A 2A 3A 4−) =P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(P 4−) =45×35×25×45=96625．(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率P 2=P(A 1−+A 1A 2−+A 1A 2A 3−)=P(A 1−)+P(A 1)P(A 2−)+P(A 1)P(A 2)P(A 3−) =15+45×25+45×35×35=101125【解析】(1)该选手进入第四轮才被淘汰，表示前三轮通过，第四轮淘汰，则该选手进入第四轮才被淘汰的概率P =P(A 1A 2A 3A 4−)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(P 4−)，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．(2)求该选手至多进入第三轮考核表示该选手第一轮被淘汰，或是第二轮被淘汰，或是第三轮被淘汰，则该选手至多进入第三轮考核的概率P =P(A 1−+A 1A 2−+A 1A 2A 3−)，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步)，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．21.【答案】(Ⅰ)(1)(4)．(Ⅱ)若选(1)g(x)=−x2，那么任取x，y∈R，则g(x+y2)=−(x+y2)2，g(x)+g(y)2=−x2+(−y2)2，所以g(x+y2)−g(x)+g(y)2=−(x+y2)2−−x2+(−y2)2=−2xy+x2+y24=(x−y)22≥0，当且仅当x=y时，取等号，所以g(x+y2)≥g(x)+g(y)2．若选(4)g(x)=log2x，任取x，y∈(0,+∞)，则g(x+y2)=log2x+y2，g(x)+g(y)2=log2x+log2y2=log2√xy，所以g(x+y2)−g(x)+g(y)2=log2x+y2−log2√xy，因为x+y2≥√xy，(当且仅当x=y时，取等号)，所以log2x+y2≥log2√xy，所以g(x+y2)−g(x)+g(y)2=log2x+y2−log2√xy≥0，所以g(x+y2)≥g(x)+g(y)2．(Ⅲ)利用g(x)=log2x，设x=2m，y=2n，则m=log2x，n=log2y，由(Ⅱ)知，log2x+y2≥log2√xy，(当且仅当x=y时，取等号)，所以log212≥12(m+n)，(当且仅当m=n时，取等号)，所以−1≥12(m+n)，所以m+n≤−2，所以m+n的最大值为−2．【解析】(Ⅰ)(1)(4)．(Ⅱ)分别选(1)(4)，结合M 函数的定义，即可得出证明． (Ⅲ)利用g(x)=log 2x ，设x =2m ，y =2n ，由(Ⅱ)知，log 2x+y 2≥log 2√xy ，(当且仅当x =y 时，取等号)，推出log 212≥12(m +n)，(当且仅当m =n 时，取等号)，即可得出m +n 的最大值．本题考查“M 函数”的新定义，解题关键是对“M 函数”定义的理解，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)若m =b =2，则f(x)=2log a (2x +2)−log a x =log a (2x+2)2x=log a (4x +4x +8)，当0<a <1时，f(x)在[14,1]上单调递增，(1,2]上单调递减，此时f(x)min =f(14)=−2，即log a (4×14+414+8)=log a 25=−2，∴a =±15，又∵0<a <1，∴a =15，当a >1时，f(x)在[14,1]上单调递减，(1,2]上单调递增，此时f(x)min =f(1)=−2，即log a (4+4+8)=log a 16=−2，解得a =±14，又a >1，故不符合题意， 综上所述，a 的值为15；(Ⅱ)若m =2，f(x)=2log a (2x +b)−log a x =log a (4x +b 2x+4b)=log a(2x+b)2x，由题意可知当x ∈[14,2]时，f(x)≤0恒成立，即(2x+b)2x≥1，即4x 2+(4b −1)x +b 2≥0在[14,2]上恒成立， 令ℎ(x)=4x 2+(4b −1)x +b 2，1°{−4b−18≤14ℎ(14)≥0ℎ(2)≥0，解得b ≥0，2°{−4b−18≥2ℎ(14)≥0ℎ(2)≥0，解得b ≤−4−√2，而2x +b >0，故不符合题意，3°{14<−4b−18<2△≤0，无解，综上所述：b ≥0；(Ⅲ)若a =2，b =1，f(x)=2log 2(mx +1)−log 2x =log 2(m 2x +2m +1x )， g(x)=f(x)−log 2x =log 2(m 2+2m x+1x 2)=2log 2mx+1x，令p(x)=mx+1x，则原问题转化成p(x)在区间[t,t +1]上的最大值与最小值的比不大于2，p(x)=mx+1x，x ∈[t,t +1]，故p(x)max =m +1t ，p(x)min =m +1t+1， 故m +1t ≤2(m +1t+1)，即m ≥1t −2t+1，t ∈[12,1]， 令H(t)=1t −2t+1，H′(x)=−1t 2+2(t+1)2=t 2−2t−1t 2(t+1)2<0， 所以H(t)max =H(12)=23，故m ∈[23,+∞)． 解得：m 的取值范围为[23,+∞)．【解析】(Ⅰ)先利用对数的运算法则化简函数解析式，讨论a ，根据函数的单调性建立方程，解之即可；(Ⅱ)要使x ∈[14,2]时，f(x)≤0恒成立，转化成4x 2+(4b −1)x +b 2≥0在[14,2]上恒成立，利用二次函数的性质进行求解即可；(Ⅲ)利用函数的单调性求出函数g(x)在[t,t +1]的最大值和最小值，然后建立不等式解之即可．本题主要考查了函数恒成立问题，解题的关键是转化成利用函数单调性研究函数的最值，同时考查了学生运算求解的能力．。
山东省滨州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
，则
1 a
1 b
______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．已知函数 f x x2 1 a x a ，
(1)当 a＝2 时，求不等式 f x 0 的解集；
(2)若函数 f x 在1,3 上具有单调性，求实数 a 的取值范围．
18．已知函数
亏损，公司有关人员提出了两种建议，如图②③所示．（图②中实线与虚线平行），则下列说
法正确的有（
）
A．图②的建议：提高票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
(1)用 表示平行四边形 ABCD 的面积 S； (2)当 取何值时，平行四边形 ABCD 的面积 S 最大？并求出这个最大面积．
22．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，
客，则（
）
A． x y 12
B． x y 12
C． x y 12
D．以上选项都有可能
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0
分．
9．下列函数中，既是偶函数，又在区间 0, 上单调递减的是（
19．某同学用“五点法”画函数 f x Asin x （ω＞0， ）在某一个周期内的图
2 象时，列表并填入了部分数据，如下表：
x
0
2
π
3 2
2
2
5
x
9
9
Asin x 0 2 0 －2 0
山东省滨州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题 附答案
高一数学试题2022.1本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．在考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,5N =，则()UM N ⋃=（ ）A. {}2,3,4,5B. {}5C. {}1,6D. {}1,2,3,4,6【答案】C 【解析】【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】因为{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,5N =， 所以{}2,3,4,5M N ⋃=，所以(){}U1,6M N ⋃=故选：C2. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. 2)y x =与y x =B. 2y lnx =与2y lnx =C. 211x y x -=-与1y x =+D. 21x y x+=与1y x x =+【答案】D 【解析】【分析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.【详解】A 中2)y x = 定义域为[)0,+∞，而y x =定义域为R ，所以定义域不同，不是同一函数，排除A ；B 中2y lnx =定义域()(),00,-∞⋃+∞，而2y lnx =定义域为()0,∞+，所以定义域不同，不是同一函数，排除B ；C 中 y =211x y x -=- 定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，而1y x =+定义域为R ，所以定义域不同，不是同一函数，排除C ；D 中，21x y x +=与1y x x =+的定义域均为()(),00,-∞⋃+∞，且211+==+x y x x x，对应法则一致，所以是同一函数，D 正确. 故选D【点睛】本题主要考查判断两函数是否是同一函数，熟记相等函数的判定条件即可，属于基础题型. 3. 对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4. 一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】因为一个扇形的弧长与面积的数值都是4， 即4,4S l == 所以22S r l ==，所以圆心角为2lr= 故选：C5. 已知3log 4a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较可得1c a >>，根据指数函数的单调性可得1b <.【详解】11133331log log 5log 5log 45c a --===>=3log 31>=, 10311144b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以c a b >>. 故选；D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量（通常找0和1）进行比较. 6. 若()tan 2πα+=，则()()2sin 4sin cos 2παπαα⎛⎫----=⎪⎝⎭（ ） A. 95- B. 75- C.75 D.95【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，然后可算出答案. 【详解】因为()tan tan 2παα+==所以()()222222cos 4sin cos 14tan 7sin 4sin cos cos 4sin cos 2cos sin 1tan 5παααααπαααααααα--⎛⎫----=-===- ⎪++⎝⎭故选：B7. R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-．设0x 为函数()23log 1f x x x=--的零点，则[]0x =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据函数零点存在定理判断零点0x 的取值范围即可求解. 【详解】解：因为()23log 1f x x x=--在()0,∞+上单调递增， 又()2233log 31log 3203f =--=-<，()2314log 41044f =--=>， 所以()03,4x ∈， 所以[]03x =， 故选：B.8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g 黄金，售货员先将6g 的砝码放在天平左盘中，取出x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g 的砝码放在天平右盘中，再取出y g 黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（ ） A. 12x y +> B. 12x y += C. 12x y +< D. 以上选项都有可能【答案】A 【解析】【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，利用杠杆的平衡原理可得16a m b =，26bm a=，再利用作差法比较12m m +与12的大小即可．【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ， 由杠杆的平衡原理：16bm a =⨯，26am b =⨯，解得16a m b =，26bm a =， 则1266a b m m b a+=+， 下面用作差法比较12m m +与12的大小，212666()()1212a b b a m m b a ab-+-=+-=， 又a b ≠，∴26()0b a ab->，1212m m ∴+>，∴顾客实际购买的黄金大于12克．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的是（ ） A. 1y x=B. 2y x =-C. 12log y x = D. cos y x =【答案】BC 【解析】【分析】利用奇偶性和单调性的知识逐一判断即可. 【详解】1y x=是奇函数，不满足题意； 2y x =-是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减，满足题意；12log y x =是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减，满足题意；cos y x =是偶函数，但在区间()0,+∞上不单调递减，不满足题意；故选：BC10. 已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期是πB. ()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()f x 的图象 D. 若方程()f x m =在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(2,3--【答案】AD 【解析】【分析】利用三角函数的知识逐一判断即可. 【详解】因为函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是22ππ=，故A 正确； 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调递增，故B 错误； 将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，得到函数22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以若方程()f x m =在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(2,3--，故D 正确 故选：AD11. 已知函数()lg f x x =，若a ＞b ＞c ，且()()()f c f a f b >>，则（ ） A. a ＞1 B. b ＞1 C. 0＜c ＜l D. 0＜ac ＜1【答案】ACD 【解析】【分析】去掉绝对值，化为分段函数，根据函数图象，可判断出01c <<及1a >，b 则可能大于1，也可能大于0小于1，再结合,a c 范围得到不等式，求出01ac <<.【详解】()lg ,01lg ,1x x f x x x -<<⎧=⎨≥⎩，定义域为()0,∞+，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为a ＞b ＞c ，且()()()f c f a f b >>，结合函数图象可知，01c <<，且1a >，b 则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC 正确，B 错误；其中lg lg c a ->，则lg lg lg 0c a ac +=<，故01ac <<，D 正确；故选：ACD12. 如图①是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的函数的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种建议，如图②③所示．（图②中实线与虚线平行），则下列说法正确的有（ ）A. 图②的建议：提高成本，并提高票价B. 图②的建议：降低成本，并保持票价不变C. 图③的建议：提高票价，并保持成本不变D. 图③的建议：提高票价，并降低成本 【答案】BC 【解析】【分析】根据图像反应了收支差额与乘客量x 的变化情况，即直线的斜率说明票价问题，当0x =时的点说明公司的成本情况，再结合图像进行分析可得答案．【详解】由（2）直线平行，即票价不变，直线向上平行移动时说明当乘客量为0时，收入为0， 但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；（3）当乘客量为0时，支出不变，但是倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大， 即票价提高了说明此建议是提高票价而保持成本不变． 故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数()223,0,2ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，则()()01f f +=______．【答案】5-【解析】【分析】根据解析式算出答案即可.【详解】因为()223,0,2ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩所以()()01325f f +=--=- 故答案为：5-14. 2232711849⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】3 【解析】【分析】根据指数幂的运算算出答案即可.【详解】2220333271131911138492444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：315. 已知()1cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=，则tan tan αβ=______.【答案】12【解析】【分析】利用两角和差余弦公式将()cos αβ+和()cos αβ-分别展开，再将两式进行加和减，可求得sin sin αβ和cos cos αβ，两式相除即可求得结果.【详解】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=…①， ()3cos cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=…②， ①+②得：42cos cos 5αβ=，解得：2cos cos 5αβ=； ①-②得：22sin sin 5αβ-=-，解得：1sin sin 5αβ=1sin sin 15tan tan 2cos cos 25αβαβαβ∴===.故答案为：12. 【点睛】本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题.16. 已知223log 64a b==，则11a b+=______． 【答案】1 【解析】【分析】将指数式变为对数式，求出,a b 的值，然后利用换底公式即可求解.【详解】解：因为223log 646a b===，所以23log 6,log 6a b ==，所以()66623log 2log 3log 2311log 6log 1116a b +=+=+=⨯=， 故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数()()21f x x a x a =+--，（1）当a ＝2时，求不等式()0f x >的解集；（2）若函数()f x 在[]1,3上具有单调性，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()(),12,-∞-⋃+∞ （2）3a ≤或7a ≥ 【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出答案即可； （2）由条件可得112a -≤或132a -≥，解出即可. 【小问1详解】当2a =时，()220f x x x =-->，解得2x >或1x <-故不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞-⋃+∞ 【小问2详解】因为函数()f x 在[]1,3上具有单调性，所以112a -≤或132a -≥，解得3a ≤或7a ≥18. 已知函数()()2log 1f x x =+，()21log 1g x x=-， （1）设函数()()()h x f x g x =+，判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由；（2）()1,1x ∀∈-，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，求函数()M x 的解析式．【答案】（1）()h x 是奇函数； （2）()()21log ,1,11M x x x=∈--. 【解析】【分析】（1）判断()h x -与()h x 的关系即可； （2）利用作差法比较()(),f x g x 的大小关系即可. 【小问1详解】()()()()22221log 1log log 1log 11h x x x x x=++=+---， ()h x 的定义域为()1,1-，()()()()22log 1log 1h x x x h x -=--+=-，所以()h x 是奇函数， 【小问2详解】()()()()()()2222221log 1log log 11log 1log 101f x g x x x x x x-=+-=+-=-≤=- 所以当()1,1x ∈-时，()()f x g x ≤所以()()(){}()()21max ,log ,1,11M x f x g x g x x x===∈-- 19. 某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（ω＞0，2πϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+2π π32π 2πx29π59π()sin A x ωϕ+0 20 －2（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）当R x ∈时，求使()1f x ≤成立的x 的取值集合． 【答案】（1）表中数据见解析，()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）22,,3339k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表示数据可得函数的最值、周期和取得最值时的x 的值，然后可得答案； （2）由条件可得1sin 362x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，然后解出即可. 【小问1详解】 表中数据补充完整为：x ωϕ+2π π 32π 2πx18π 29π 718π 59π 1318π()sin A x ωϕ+2－2()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】 由2sin 316x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭可得1sin 362x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以7232666k x k πππππ-≤-≤+，解得22,3339k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以使()1f x ≤成立的x 的取值集合为22,,3339k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20. 已知指数函数()y f x =的图象经过点()2,9P ， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数()()1g x f x =，证明：函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．【答案】（1）()3xf x =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设指数函数()x y f x a ==(0a >且1)a ≠，由函数图象过点()2,9P 即可求解；（2）任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，证明()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上即可.【小问1详解】解：由题意，设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，因为函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，所以29a =，解得3a =， 所以函数()3xf x =；【小问2详解】证明：由（1）知()()1133x x y g x f x -====， 任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，则003xy =，因为()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-，且()00033xx y --==，所以()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上，所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称． 21. 如图，扇形OPQ 的半径为1，圆心角为6π，平行四边形ABCD 的顶点C 在扇形弧上，D 在半径OQ 上，A ，B 在半径OP 上，记平行四边形ABCD 的面积为S ，COP α∠=．（1）用α表示平行四边形ABCD 的面积S ；（2）当α取何值时，平行四边形ABCD 的面积S 最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）3sin 2,0,326S ππαα⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）当12πα=时，S 取得最大值312-. 【解析】【分析】（1）过点C 作CE OP ⊥交OP 于点E ，在OCE △中可得sin CE α=，在OCD 中由正弦定理可得2sin 6CD πα⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后可得答案. （2）根据正弦函数的知识可得答案. 【小问1详解】过点C 作CE OP ⊥交OP 于点E ，在OCE △中1OC =，COE α∠=，所以sin CE α= 在OCD 中，,6COD OCD παα∠=-∠=，所以56ODC π∠=由正弦定理可得5sin sin 66CD OCππα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 6CD πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()22sin sin cos 3sin sin cos 36S CD CE παααααααα⎛⎫=⋅=-== ⎪⎝⎭11cos 23sin 23sin 20,2236αππααα-⎛⎫⎛⎫==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】因为0,6πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当232ππα+=即12πα=时，S 取得最大值312-22. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，（1）当x ＜0时，()()1f x x x =-，求当x ＞0时，()f x 的解析式； （2）若()f x 在(],0-∞上单调递增，①判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义证明你的判断；②若()()22220f x x f x k -++--<对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）()()1f x x x =-+；（2）①()f x 在()0,∞+上单调递增，理由见解析；②1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性求出当x ＞0时，()f x 的解析式；（2）①根据函数定义及奇偶性证明函数单调性，②根据函数奇偶性和单调性进行不等式的求解. 【小问1详解】当0x >时，0x -<，()()1f x x x -=---，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，故()()1f x x x -=---，所以当0x >时，()()1f x x x =-+； 【小问2详解】①()f x 在()0,∞+上单调递增，理由如下：因为()f x 在(],0-∞上单调递增，所以对任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x <时，有()()12f x f x <，则()12,0,x x --∈+∞，且12x x ->-，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f x f x =--，()()22f x f x =--，故()()12f x f x --<--，即()()12f x f x ->-，故函数()f x 在()0,∞+上的单调递增；②因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在(],0-∞上的单调递增，可得：函数()f x 在R 上单调递增，又()()2222f x x f x k -+<---，则()()2222f x x f x k -+<+，因为()f x 在R 上的单调递增，故2222x x x k -+<+恒成立，即221144816k x x x ⎛⎫>-+=--+ ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围为1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
2021年高一上学期期末考试数学含解析
2021年高一上学期期末考试数学含解析一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4}, B．{3，4}, C．{3}, D．{4}2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球, B．三棱锥, C．正方体, D．圆柱【答案】C【解析】试题分析：球的三视图都是大圆，故A正确；如图：这样的三个角都为直角的棱锥的三视图都是等腰直角三角形；故B正确；正方体的三视图都是正方形，故C正确；圆柱的俯视图是圆，正视图，侧视图都是长方形，故D错.考点：几何体的三视图3.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2, B．1：4, C．1：8, D．1：164.已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切, B．相交, C．相离, D．不确定5.在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6.由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间是，则的值为（）-1 0 1 2 30．37 1 2．72 7．39 20．091 2 3 4 5A．-1 B．0 C．1 D．27.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：函数与轴有公共点，即设函数,,有交点，函数如图:,即,故选B.考点：函数图像8.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增．若实数满足, 则的取值范围是（）A．B．C．D．9.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为( ) A．xx B．2013 C．4024 D．4026【答案】C【解析】试题分析：设,,()()[]()()20122212211-+-=+-=x f x x f x x x f x f , ,即所以是单调递增函数，其最大值和最小值是,()()()()20122013201320132013+-+=-+=+f f f N M ,令代入得：,得,所以，,故选C. 考点：抽象函数10.一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，、分别为、的中点．下列结论中正确的个数有( ) ①直线与 相交． ②． ③//平面． ④三棱锥的体积为． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.函数的定义域为___________．12.在轴上与点和点等距离的点的坐标为．13.已知集合，，且，则实数的取值范围是_______________．考点：1.半圆方程；2.直线与曲线相交；3.数形结合.14.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．【答案】【解析】15.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设全集为，集合，．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知，若，求实数的取值范围．【答案】(1);(2) .17.已知直线：，（不同时为0），：，（1）若且，求实数的值；（2）当且时，求直线与之间的距离的方程为：即，…………11分则它们之间的距离为．…………12分考点：1.两条直线平行垂直的充要条件；2.平行线间距离.18.已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围．19.如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角，为底面圆周上一点．（1）若的中点为，,求证平面；（2）如果,,求此圆锥的全面积．【答案】(1)详见解析；(2).【解析】考点：1.线面垂直的判定；2.线面垂直的性质；3.几何体的表面积.20.已知圆的方程:,其中．（1）若圆C与直线相交于,两点，且,求的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．21.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为．……8分288 54 70B6 炶39847 9BA7 鮧27430 6B26 欦25729 6481 撁33319 8227 舧38231 9557 镗25282 62C2 拂23050 5A0A 娊23858 5D32 崲29832 7488 璈1X29747 7433 琳。
2021-2022学年安徽省合肥市巢湖市高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{a 2，0}，B ＝{a ，0，2}，若A ∩B ＝{1，0}，则实数a ＝（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．22．已知x ∈R ，则“x ≤﹣3”是“（x +2）（x ﹣3）≥0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知cos(π2−α)=−2cosα，则cosα+sinαcosα−sinα=（ ） A ．32B ．12C ．−13D ．﹣44．函数f(x)=x 3+e x −e −x2的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知扇形的周长是6，圆心角为1rad ，则扇形的面积是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，设物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，其中θ0＜θ1，经过tmin 后物体温度θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt （其中k 为正常数，与物体和空气的接触状况有关）．现有一个62℃的物体，放在12℃的空气中冷却，1min 后物体的温度是52℃，则k ≈（ ）（参考数据：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61） A ．1.17B ．0.85C ．0.65D ．0.237．已知函数f （x ）={2−x −3，x ≤0lnx ，x ＞0，则满足f （x ）＞1的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，e ）B ．（﹣2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（e ，+∞）8．若关于x 的方程4x +（a +4）•2x +4＝0在[﹣1，2]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−252，−8]B ．(−∞，−252]C ．[﹣25，﹣8]D ．[﹣8，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．已知函数f （x ）＝x ﹣4，若f （3a ﹣2）＝f （a ﹣1），则实数a 的值可能为（ ）A ．−12B ．−34C ．12D ．34（多选）10．下列选项中的图象变换，能得到函数y =sin(2x −π4)的图象的是（ ） A ．先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移3π8个单位长度B ．先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π8个单位长度C ．先将y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12D ．先将y ＝cos x 的图象向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12（多选）11．下列计算结果正确的是（ ） A ．cos(−15°)=√6−√24B ．sin15°sin30°sin75°=18C ．cos(α−35°)cos(25°+α)+sin(α−35°)sin(25°+α)=−12 D ．tan22.5°tan45°−tan 222.5°=12（多选）12．已知a ，b ，c ∈R ，且lna ＝e b ＝1﹣c ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x ∈N |2x ≤4}，B ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，则集合A ∩B 的子集个数为 ． 14．已知a ＞0且a ≠1，若log a 2＝2m ，log a 3＝n ，则a 3m﹣n的值为 ．15．在平面直角坐标系中，已知点A 在单位圆上且位于第三象限，点A 的纵坐标为−√23，现将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为π2，则点B 的坐标为 ． 16．如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中AB ∥CD ，AD ⊥AB ．某研究小组计划在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为 ．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |2﹣a ≤x ≤2+a }，B ＝{x |0≤log 2x ≤3}． （Ⅰ）若A ∩B ＝{x |1≤x ≤4}，求a 的值；（Ⅱ）若A ≠∅且“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点P(513，1213)． （Ⅰ）求sin(α+π4)cos(2α+4π)的值；（Ⅱ）若第一象限角β满足sin(α+β)=45，求cos β的值． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣mx ﹣2．（Ⅰ）若m ＞0且f （x ）的最小值为﹣3，求不等式f （x ）＜1的解集； （Ⅱ）若当x 2≤1时，不等式f （x ）﹣2x ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=√3cos(2x −π3)−2sinxcosx ．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期以及对称轴方程；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x−π12)−f(x−5π12)，求g（x）在[0，π2]上的值域．21．（12分）为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实险室对该种微生物进行培育实验．前三天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26．根据实验数据，用y 表示第x（x∈N*）天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①y＝ax2+bx+c；②y＝p•q x+r，其中q＞0且q≠1．（Ⅰ）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（Ⅱ）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500．22．（12分）已知函数f(x)=32x+1 3x．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）若关于x的方程t=12f(x)+8f(x)在R上有四个不同的根，求实数t的取值范围．2021-2022学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{a 2，0}，B ＝{a ，0，2}，若A ∩B ＝{1，0}，则实数a ＝（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．2解：∵集合A ＝{a 2，0}，B ＝{a ，0，2}，A ∩B ＝{1，0}， ∴实数a ＝1． 故选：B ．2．已知x ∈R ，则“x ≤﹣3”是“（x +2）（x ﹣3）≥0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为x ≤﹣3时，不等式（x +2）（x ﹣3）≥0成立，即充分性成立； 解不等式（x +2）（x ﹣3）≥0得，x ≤﹣2或x ≥3，所以（x +2）（x ﹣3）≥0时，x ≤﹣3不一定成立，即必要性不成立； 所以是充分不必要条件． 故选：A ．3．已知cos(π2−α)=−2cosα，则cosα+sinαcosα−sinα=（ ） A ．32B ．12C ．−13D ．﹣4解：因为cos(π2−α)=−2cosα， 所以sin α＝﹣2cos α， 则cosα+sinαcosα−sinα=cosα−2cosαcosα+2cosα=−cosα3cosα=−13．故选：C ．4．函数f(x)=x 3+e x −e −x2的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（﹣x）3+e−x−e x2=−f（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，f（1）＝1+e−1e2＞0，故排除A．故选：B．5．已知扇形的周长是6，圆心角为1rad，则扇形的面积是（）A．1B．2C．3D．4解：设扇形的弧长为l，半径为r，则l+2r＝6，且lr=1，则l＝2，r＝2，所以扇形面积为S=12×lr=12×2×2=2，故选：B．6．英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，设物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，其中θ0＜θ1，经过tmin后物体温度θ℃满足θ=θ0+ (θ1−θ0)e−kt（其中k为正常数，与物体和空气的接触状况有关）．现有一个62℃的物体，放在12℃的空气中冷却，1min 后物体的温度是52℃，则k ≈（ ）（参考数据：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61） A ．1.17B ．0.85C ．0.65D ．0.23解：由题意可知，θ1＝62，θ0＝12，当t ＝1时，θ＝52，于是52＝12+（62﹣12）e ﹣k ，得e ﹣k =45=0.8， ∴﹣k ＝ln 0.8，则k ＝﹣ln 0.8＝﹣（2ln 2﹣ln 5）≈﹣（2×0.69﹣1.61）＝0.23， 故选：D ．7．已知函数f （x ）={2−x −3，x ≤0lnx ，x ＞0，则满足f （x ）＞1的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，e ）B ．（﹣2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（e ，+∞）解：根据题意，函数f （x ）={2−x −3，x ≤0lnx ，x ＞0，当x ≤0时，f （x ）＝2﹣x ﹣3，若f （x ）＞1，即2﹣x ﹣3＞1，解可得x ＜﹣2，又由x ≤0，此时x 的取值范围为x ＜﹣2； 当x ＞0时，f （x ）＝lnx ，若f （x ）＞1，即lnx ＞1，解可得x ＞e ， 又由x ＞0，此时x 的取值范围为x ＞e ， 综合可得：x 的取值范围为{x |x ＜﹣2或x ＞e }． 故选：D ．8．若关于x 的方程4x +（a +4）•2x +4＝0在[﹣1，2]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−252，−8]B ．(−∞，−252]C ．[﹣25，﹣8]D ．[﹣8，+∞）解：当x ∈[﹣1，2]时， 令t ＝2x ∈[12，4]，则t 2+（a +2）t +4＝0，可得﹣（a +2）＝t +4t ，设g （t ）＝t +4t ，其中t ∈[12，4]，任取t 1，t 2∈[12，4]，则g （t 1）﹣g （t 2）＝（t 1+4t 1）﹣（t 2+4t 2）＝（t 1﹣t 2）−4(t 1−t 2)t 1t 2=(t 1−t 2)(t 1t 2−4)t 1t 2， 当12≤t 1＜t 2≤2时，14＜t 1t 2＜4，则g （t 1）﹣g （t 2）＞0，即g （t 1）＞g （t 2）， 所以函数g （t ）＝t +4t在[12，2]上为减函数；当2≤t 1＜t 2≤4时，4＜t 1t 2＜16，则g （t 1）﹣g （t 2）＜0，即g （t 1）＜g （t 2）， 所以函数g （t ）＝t +4t 在[2，4]上为增函数． 所以g （t ）min ＝g （2）＝4， ∵g （12）=172，g （4）＝5，则g （t ）max ＝g （12）=172， 故函数g （t ）＝t +4t 在[12，4]上的值域为[4，172]，所以，4≤﹣（a +4）≤172， 解得−252≤a ≤−8． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．已知函数f （x ）＝x ﹣4，若f （3a ﹣2）＝f （a ﹣1），则实数a 的值可能为（ ）A ．−12B ．−34C ．12D ．34解：∵函数f （x ）＝x ﹣4=1x 4，故f （x ）为偶函数， 若f （3a ﹣2）＝f （a ﹣1），则3a ﹣2＝a ﹣1，或3a ﹣2＝1﹣a ，求得a =12，或a =34， 故选：CD ．（多选）10．下列选项中的图象变换，能得到函数y =sin(2x −π4)的图象的是（ ） A ．先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移3π8个单位长度B ．先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π8个单位长度C ．先将y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12D ．先将y ＝cos x 的图象向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12解：为得到函数y =sin(2x −π4)的图象，只需先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移3π8个单位长度，即可得到，故A 正确；为得到函数y =sin(2x −π4)的图象，只需先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π8个单位长度，即可得到，故B 正确；为得到函数y =sin(2x −π4)的图象，只需先将y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12即可得到，故C 正确．故选：ABC ．（多选）11．下列计算结果正确的是（ ） A ．cos(−15°)=√6−√24B ．sin15°sin30°sin75°=18C ．cos(α−35°)cos(25°+α)+sin(α−35°)sin(25°+α)=−12D ．tan22.5°tan45°−tan 222.5°=12解：A ．cos （﹣15°）＝cos （30°﹣45°）＝cos30°cos45°+sin30°sin45°=√22×（√32+12）=√6+√24，故A 错误，B ．sin15°sin30°sin75°=12sin15°cos15°=14sin30°=14×12=18，故B 正确， C ．cos （α﹣35°）cos （25°+α）+sin （α﹣35°）sin （25°+α）＝cos （α﹣35°﹣25°﹣α）＝cos （﹣60°）=12，故C 错误， D .tan22.5°tan45°−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°==12，故D 正确，故选：BD ．（多选）12．已知a ，b ，c ∈R ，且lna ＝e b ＝1﹣c ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解：作出函数y ＝lnx ，y ＝e x ，y ＝1﹣x 的图象如下，当y ＝m 时，则c ＜b ＜a ，∴A 正确， 当y ＝n 时，则b ＜c ＜a ，∴B 正确， 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x ∈N |2x ≤4}，B ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，则集合A ∩B 的子集个数为 2 ． 解：集合A ＝{x ∈N |2x ≤4}＝{x ∈N |x ≤2}＝{0，1，2}， B ＝{x |x 2﹣2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{1}，则集合A ∩B 的子集有∅，{1}，子集个数为2个． 故答案为：2．14．已知a ＞0且a ≠1，若log a 2＝2m ，log a 3＝n ，则a 3m﹣n的值为2√23． 解：∵log a 2＝2m ，∴a 2m ＝2，∴a m =√2， ∵log a 3＝n ，∴a n ＝3， ∴a3m ﹣n=a 3m a n =(a m )3a n =2√23，故答案为：2√23． 15．在平面直角坐标系中，已知点A 在单位圆上且位于第三象限，点A 的纵坐标为−√23，现将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为π2，则点B 的坐标为 (√23，−√73) ．解：设点A 对应的角为α，则B 对应的角为α+π2， 由题意可得sin α=−√23，则cos α=−√1−sin 2α=−√73， 所以sin （α+π2）＝cos α=−√73，cos （α+π2）＝﹣sin α=√23，则点B 的坐标为（√23，−√73）， 故答案为：（√23，−√73）． 16．如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中AB ∥CD ，AD ⊥AB ．某研究小组计划在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为 75 ．解：设AG ＝x ，则6≤x ＜15，∵BG ＝15﹣x ，tan B =1215−6=43， ∴EG ＝BG •tan B =43（15﹣x ），∴矩形区域的面积S =43（15﹣x ）x ≤43⋅(15−x+x 2)2=75，当且仅当15﹣x ＝x 即x =152时，等号成立，∴该矩形区域的面积最大值为75，故答案为：75．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |2﹣a ≤x ≤2+a }，B ＝{x |0≤log 2x ≤3}．（Ⅰ）若A ∩B ＝{x |1≤x ≤4}，求a 的值；（Ⅱ）若A ≠∅且“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设知A ＝{x |2﹣a ≤x ≤2+a }，B ＝{x |0≤log 2x ≤3}＝{x |1≤x ≤8}，∵A ∩B ＝{x |1≤x ≤4}，∴2﹣a ≤1且2+a ＝4，可得a ＝2．（Ⅱ）∵A ≠∅，∴2+a ≥2﹣a ，解得a ≥0．∵“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要不充分条件，∴A ⫋B ，∴{2−a ≥12+a ≤8，得a ≤1． 因此，实数a 的取值范围为[0，1]．18．（12分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点P(513，1213)． （Ⅰ）求sin(α+π4)cos(2α+4π)的值；（Ⅱ）若第一象限角β满足sin(α+β)=45，求cos β的值．解：（Ⅰ）角α的终边经过点P(513，1213)，所以sinα=1213，cosα=513．（2分） 所以sin(α+π4)cos(2α+4π)=√22sinα+√22cosαcos 2α−sin 2α=√22cosα−sinα=−13√214． （Ⅱ）由条件可知α为第一象限角，又β为第一象限角，45＜1213，所以α+β为第二象限角，（6分）由sin(α+β)=45得c os(α+β)=−35，（8分）由β＝（α+β）﹣α，得cos β＝cos αcos （α+β）+sin αsin （α+β）（10分）=513×(−35)+1213×45=3365．（12分）19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣mx ﹣2．（Ⅰ）若m ＞0且f （x ）的最小值为﹣3，求不等式f （x ）＜1的解集；（Ⅱ）若当x 2≤1时，不等式f （x ）﹣2x ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）f （x ）的图象是对称轴为x =m 2，开口向上的抛物线，∴f(x)min =f(m 2)=m 24−m 22−2=−m 24−2=−3， ∴m ＝±2，又∵m ＞0，∴m ＝2．由f （x ）＜1，得x 2﹣2x ﹣3＜0，即（x ﹣3）（x +1）＜0，得﹣1＜x ＜3，∴不等式f （x ）＜1的解集为（﹣1，3）．（Ⅱ）由x 2≤1，得﹣1≤x ≤1．设函数g （x ）＝f （x ）﹣2x ＝x 2﹣（m +2）x ﹣2，∵g （x ）的图象是开口向上的抛物线，∴要使当x2≤1时，不等式f（x）﹣2x＜0恒成立，即g（x）＜0在[﹣1，1]上恒成立，则{g(1)＜0g(−1)＜0，可得{1−m−2−2＜01+m＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，因此，m的取值范围是（﹣3，﹣1）．20．（12分）已知函数f(x)=√3cos(2x−π3)−2sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期以及对称轴方程；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x−π12)−f(x−5π12)，求g（x）在[0，π2]上的值域．解：（Ⅰ）f(x)=√3cos(2x−π3)−2sinxcosx=√3(12cos2x+√32sin2x)−sin2x=√32cos2x+12sin2x=sin(2x+π3)，（3分）所以f（x）的最小正同期为2π2=π，（4分）令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)，得对称轴方程为x=kπ2+π12(k∈Z)；（6分）（Ⅱ）由题可知g(x)=sin(2x+π6)+cos2x=√32sin2x+32cos2x=√3sin(2x+π3)，（8分）因为x∈[0，π2]，所以2x+π3∈[π3，4π3]，（9分）故−√32≤sin(2x+π3)≤1，所以−32≤g(x)≤√3，（11分）故g（x）在[0，π2]上的值域为[−32，√3]．（12分）21．（12分）为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实险室对该种微生物进行培育实验．前三天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26．根据实验数据，用y 表示第x（x∈N*）天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①y＝ax2+bx+c；②y＝p•q x+r，其中q＞0且q≠1．（Ⅰ）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（Ⅱ）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500．解：（Ⅰ）对于函数模型①：把x＝1，2，3及相应y值代入，得：{a +b +c =84a +2b +c =149a +3b +c =26，解得a ＝3，b ＝﹣3，c ＝8，所以y ＝3x 2﹣3x +8．对于函数模型②：把x ＝1，2，3及相应y 值代入得：{p ⋅q +r =8p ⋅q 2+r =14p ⋅q 3+r =26，解得p ＝3，q ＝2，r ＝2，所以y ＝3⋅2x +2．（Ⅱ）对于模型①，当x ＝4时，y ＝44，当x ＝5时，y ＝68，故模型①不符合观测数据； 对于模型②，当x ＝4时，y ＝50，当x ＝5时，y ＝98，符合观测数据，所以函数模型②更合适．要使3⋅2x +2＞500，则x ≥8，即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500．22．（12分）已知函数f(x)=32x+13x ． （Ⅰ）判断f （x ）的奇偶性；（Ⅱ）判断f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）若关于x 的方程t =12f(x)+8f(x)在R 上有四个不同的根，求实数t 的取值范围． 解析（Ⅰ）f （x ）的定义域为R ，∵f(x)=32x +13x =3x +3−x ， ∴f （﹣x ）＝3﹣x +3x ＝f （x ）， ∴f （x ）是偶函数；（Ⅱ）f （x ）在[0，+∞）上单调递增．证明如下：任取x 1＞x 2≥0，则f(x 1)−f(x 2)=3x 1+3−x 1−3x 2−3−x 2=(3x 1−3x 2)−3x 1−3x 23x 13x 2=(3x 1−3x 2)(1−13x 1+x 2)， ∵x 1＞x 2≥0，∴3x 1−3x 2＞0，另一方面3x 1+x 2＞1，∴1−13x 1+x 2＞0，∴f(x1)−f(x2)=(3x1−3x2)(1−13x1+x2)＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；（Ⅲ）由t=12f(x)+8f(x)，整理得（3x+3﹣x）2﹣2t（3x+3﹣x）+16＝0，由（Ⅰ）（Ⅱ）可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，最小值为f（0）＝2，令a＝3x+3﹣x，则当a＞2时，每个a的值对应两个不同的x值，设h（a）＝a2﹣2ta+16，原方程有4个不同的根等价于h（a）在（2，+∞）上有2个不同的零点，∴{t＞24t2−64＞022−4t+16＞0，解解得4＜t＜5，即t的取值范围是（4，5）．。