2.1.1指数与指数幂的运算(一)教案
§2.1.1 指数
一．教学目标：
1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法：
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.
3．情态与价值
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
二．重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解
三．学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若2xa，则x叫做a的平方根.同理，若3xa，
则x叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方
根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、
立方根均为零.
二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.
n次方根：一般地，若nxa，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈
Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用na表示，如果是负数，用na表示，na叫
做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号na表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数
时呢？
n
n
nanaanana为奇数, 的次方根有一个,为
为正数:
为偶数, 的次方根有两个,为
n
nanaanan为奇数, 的次方根只有一个,为
为负数:
为偶数, 的次方根不存在.
零的n次方根为零，记为00n
举例：16的次方根为2，527527的次方根为等等，而27的4次方根不存在.
小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还
要分清n为奇数和偶数两种情况.
根据n次方根的意义，可得：
()nnaa
()nnaa
肯定成立，nna表示an的n次方根，等式nnaa一定成立吗？如果不一
定成立，那么nna等于什么？
让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n为奇数，nnaa
n为偶数, ,0||,0nnaaaaaa
如34334(3)273,(8)|8|8
小结：当n为偶数时，nna化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样
就避免出现错误：
例题：求下列各式的值
（1）33(1)(8) 2(2)(10) 44(3)(3) 2(4)()ab
分析：当n为偶数时，应先写||nnaa，然后再去绝对值.
思考：()nnnnaa是否成立，举例说明.
课堂练习：1. 求出下列各式的值
4
734
73
(1)(2)(2)(33)(1)(3)(33)aaa
2．若2211,aaaa求的取值范围.
3．计算343334(8)(32)(23)
三．归纳小结：
1．根式的概念：若n＞1且*nN，则n,xaxan是的次方根,n为奇数时,=
n
为偶数时，nxa；
2．掌握两个公式：(0),||(0)nnnaananaaaan为奇数时,()为偶数时,
3．作业：P69习题2.1 A组 第1题
2.1.1指数与指数幂的运算
a
n
n
1 n (a 0, n N ) a
m n ( m , n Z );(a m )n
n( n Z ).
a
(n N ), a
1 (a 0)
(2)a a
m
n (ab)
n
a b
2
a
a
mn ( m , n Z );
3 0 (3) 9 3 , 9 -3 , 0 , 8 -2
（1）n为奇数时，正数的n次方根是一个正数； 负数的n次方根是一个负数， 这时a的n次方根即为n a 表示.
（2）n为偶数时，正数的n次方根有两个, 且互为相反数,即 n a； 负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0, 记作 0 0.
n
n
式子 a叫做根式( radical ), n叫做根指数(radical exponent ), a叫做被开方数( radicand ).
mn
(3)(ab ) a b ( n Z );
n
b n b (4))( ) n ( n Z , a 0); a a n m n m (5)a a a ( m , n Z , n m , a 0); 1 0 n (6)a 1(a 0);(7)a n . a
(4)( a )
a
(a 0), a
2
a
.
类比推广
若x 2 a, 那么x叫a的平方根, 如 2是4的平方根; 若x a, 那么x叫a的立方根, 如2是8的立方根;
3
由于(2) 16, 则 2叫做16的4次方根;
4
问1 : 若x a, x应称为什么呢?
2.1.1指数与指数幂的运算 指数幂及其运算性质
【例 3】
1
已知 a 2
+
1
a2
=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2;
解:(1)将
1
a2
+
1
a2
=3
两边平方,
得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49, 所以a2+a-2=47.
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
知识探究
n am
1
m
an 0
没有意义
探究
1:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,那么分数指数幂
m
an
能否理解为
m
n
个 a 相乘(a>0,m,n∈N*,且 n>1),该式有何规定?
m
答案:不能.分数指数幂是根式的另一种写法,规定 a n = n am .
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s
(4)常用的变换方法有: ①把小数化为分数,把根式化为分数指数幂; ②若指数是负数,则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数; ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式 分解进行变形. (5)注意灵活运用分式化简的方法和技巧.例如,①把分子、分母分解因式,可 约分的先约分;②利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分母为同分母; ③把适当的几个分式先化简,各个击破;④适当利用换元法.
题型四
1
易错辨析——忽略 a n有意义出错
11
【例 4】 化简:(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2 .
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第二章 2.1 2.1.1 第1课时 根
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
课时作业
第二十四页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
解析：4 0.062 5＋
245－
3
27 8
＝4 0.54＋ 2 522－ 3 323＝12＋52－32＝32. 答案：32
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
4．化简：( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3. 解析：由题得 a≥1， ∴( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3 ＝a－1＋|1－a|＋1－a ＝a－1.
原式＝[a
2 3
·(a－3)
1 2
]
1 3
·(a
5 2
·a
13 2
)
1 2
＝a
2 9
·a
1 2
·a
5 4
·a
13 4
＝a
5 18
·a－2＝a
41 18
＝
1
.
a2·18 a5
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[易错警示]
错误原因
纠错心得
避免错误的方法是先将根式化
错解中主要是在进行化简时，根 为分数指数幂，然后按分数指数
C．1 或 2a－1
D．0
(2)当 a、b∈R 时，下列各式总能成立的是( )
A．(6 a－6 b)6＝a－b
8 B.
a2＋b28＝a2＋b2
4 C.
a4－4
b4＝a－b
D．10 a＋b10＝a＋b
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[解析] (1)a＋4 1－a4＝a＋|1－a|＝1 或 2a－1，故选 C. (2)取 a＝0，b＝1，A 不成立． 取 a＝0，b＝－1，C、D 不成立． ∵a2＋b2≥0，∴B 正确，故选 B. [答案] (1)C (2)B
指数函数(一)
2.1.1指数与指数幂的运算(一)班别：__________ 组别：_______ 姓名：___________ 学号：______【学习目标】1．了解根式的概念及表示方法；2. 掌握根式的性质，会进行根式的运算.【问题探究】一、问题提出：1、我们在初中已经学习过正整数指数幂，你能举出几个实例说明它的运算法则吗？二、自主探究：（预习教材P49～P50，思考并准确理解以下问题）知识探究（一）1、类比初中学过的平方根、立方根的定义，你能说出a 的n 次方根的定义吗？思考：4的平方根和27-的立方根是什么？知识探究（二）2、我们把式子n a （1n >，*n ∈N ）叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么a 的n 次方根，用根式怎么分类表示？知识探究（三）3、3，5，4分别等于什么？一般地，n 等于什么？等于什么？三、例题探究：求下列各式的值：（1）33)(a -； （2 （3）44)3(-π； （4a b <）.【自我检测】1．的值是（ ）A.3 B ．3- C ．3± D ．812．625的4次方根是（ ）A ．5B ．5-C ．5±D ．253．化简2= .4．化简2 = .【反思总结】通过本节课的学习，请反思你学习的内容和未掌握的方面，并做好记录。
【课后提升】1、下列说法正确的是：（ ）A 、正数的 n 次方根是一个正数B 、负数的n 次方根是一个负数C 、正数的 n 次方根有两个D 、负数没有偶次方根2、求下列各式的值：（1）= ； （2= ；（3）= ； （4）= （x y >）；3、计算下列各式：（1）023225-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭（2）（选做题）.。
2.1.1指数与指数幂的运算
a
|
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ; 2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
•甚是感激。”“把身子养好咯，比啥啊都强。”“知道咯，爷。耿姐姐，您走好，妹妹就不送您咯。”王爷的书院靠近园子大门，耿格格的 院子在惜月的院子与爷的书院之间。听闻惜月的道别，耿格格再是愚钝，也知道赶快接咯话茬儿：“爷，惜月妹妹身子才好，那就由妾身送您 吧。”王爷没有说啥啊，转身向书院的方向走去。韵音见状，来不及跟惜月打招呼，赶快追上爷的步伐。壹路上两各人默默地前行，只有呼啸 的寒风围绕着他们左右。终于，韵音的院子就在眼前咯。这壹路上，耿格格的脑子里只有壹各想法，那就是把爷送到书院；这壹路上，王爷的 脑子里也只有壹各想法，把韵音送到院子。眼看着韵音的院子已经到咯，他就停下咯脚步，而耿格格哪里知道爷会停下来，原本她就壹直低着 头，爷这么突然壹停，她根本来不及收住脚步，猛地壹下子撞上咯爷的后背。随即她就感到鼻梁壹阵酸痛，继而壹阵热流从鼻子里涌出。她赶 快拿手捂住咯鼻子，闷闷地说：“爷，对不起！”他回头壹看，虽然黑漆漆的夜色中看不清是怎么回事儿，但韵音手捂鼻子的样子还是让他感 觉到咯事态的严重性，于是他赶快抱起韵音，飞快地冲进咯她的院子，壹边焦急地问：“怎么回事儿！撞到哪里咯？痛不痛？”韵音哪里还说 得出来话？鼻子里的血还没有止住，而现在又由于被爷平躺着抱在怀里，鼻血直接倒灌进咯嘴里。进咯屋子他才发现，她的脸已经被鼻血弄得 像各大花猫，狼狈不堪。不待他吩咐，众人见到格格这副样子，早就开始找药的找药，打水的打水，迅速忙咯起来。好不容易壹切都料理妥当， 望着终于恢复咯壹张干净脸庞的韵音，他又好气又好笑地说：“你怎么这么不小心？到咯自己的院子都不停下来，你这是还想去哪儿？”“妾 身送爷啊？”第壹卷 第166章 情苦韵音万分不解地望着爷，闷声闷气地回着话。作为爷的诸人，她不送爷回书院，还能干啥啊去？总不能让 爷自己壹各人回去吧。虽然脸上恢复咯干净，可是鼻子里因为放咯止血药，又用纱布堵塞着，怎么看怎么都是滑稽，他忍不住笑咯：“还送爷 呢，自己先负伤咯，这是你送爷呢，还是爷送你？”闻听此言，韵音也不好意思地笑咯：“好不容易为爷办壹件事情，还办砸咯。”“唉，爷 哪里需要你们为爷办啥啊事情，你们只要安安生生，不出乱子，就是给爷办的最大、最好的事情咯。”他说的可是真心实意的大实话！今天韵 音的出现，真真地打咯他壹各措手不及。深更半夜地同时面对两各诸人，他还真是平生第壹次遇到这么尴尬的状况。刚刚情况紧急，都没有容 得他仔细思索这件事情，当时只是希望尽快抽身逃离事非之地。现在踏实下来，他才又认真地琢磨起这各问题来。韵音怎么会大晚上出现
《指数与指数幂的运算(1)》导学案
2.1.1《指数与指数幂的运算（1）》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1、理解根式的概念2、理解分数指数幂的概念3、能运用根式、指数幂的运算性质进行化简、求值 【重点难点】▲重点：根式、分数指数幂的概念 ▲难点：根式、指数幂的运算性质 【知识链接】1、二次根式的性质 a a =2)(，⎩⎨⎧<->==00||2a a a a a a2、整数指数幂及运算性质【学习过程】阅读课本P49，尝试回答以下问题 知识点一：根式的定义问题1：一般地，如果a x n=，那么 叫做 的 ，其中 。
①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数， 这时a 的n 次方根用符号______表示。
②当n 为偶数时，正数的n 次方根是____________，记为__________。
负数没有偶次方根 ，0的任何次方根都等于_____问题2：式子na 叫_______，其中n （1>n 且*∈N n ）叫做________，a 叫做___________。
问题3：根据n 次方根的意义，可以得到：⑴()=nna ⑵为偶数为奇数n n a n n ⎩⎨⎧=问题4：计算 （1）=333（2）=-55)5.0(（3）=-44)2(（4）=-44)3(π阅读P50—52内容，尝试回答以下问题 知识点二：分数指数幂 问题1：当a ＞0时， ①5102510a a a==②==4312a a _________③47a 也能写成分数指数幂的形式么？ 问题2：我们规定正分数指数幂的意义： =nm a______________________________________ (注意条件)我们规定负分数指数幂的定义：=-nm a______________________________________ （注意条件）0的正分数指数幂_______________，0的负分数指数幂_______________ 问题3：用分数指数幂表示下列各式（1）=32x __________（2）=+43)(b a __________（0>+b a ）（3）=-6)(n m __________（n m >）问题4：有理数指数幂的运算性质是:（1）sra a =________（a ＞0，r 、s Q ∈） （2）s r a )(=________（a ＞0，r 、s Q ∈）（3）r ab )(=________（a ＞0，b ＞0，r Q ∈） 它可推广到无理数。
福建省晋江市首峰中学高一数学2.1.1指数与指数幂的运算导学案1新必修1
福建省晋江市首峰中学2014年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算
导学案（1）新人教A版必修1
知识与技能：（1）理解n次方根及根式的概念；（2）能利用根式的性质对根式进行化简。
过程与方法：由简单的根式运算推广到一般的根式运算。
情感态度与价值观：提高学生的分析问题的能力，体会数学的魅力。
重点：利用根式的运算性质进行化简。
难点：条件求值问题。
联系初中学习的幂值运算知识，认真阅读教材P48—P50页，对照学习目标，完成导学案，适当总结。
一、知识链接：
1）4的平方根是，4的算术平方根是，4的值是；
2）0的平方根是，正数的平方根有个，负数的平方根有个.
3）实常数a的平方根、立方根是什么概念？
二、新课导学：
※ 例题: 学习课本P50例1
※ 练习1：完成《优化设计》P28页
【做一做1-1】 ；【做一做1-2】 ；【做一做1-3】 . ※ 练习2：完成《优化设计》P28页
【做一做2-1】 ， ；【做一做2-2】 ， .
三、达标检测：
B1.0(4)a -有意义，则a 的取值范围是( )
A ．2a ≥
B ．24a ≤<或4a >
C ．2a ≠
D ．4a ≠。
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
(学习方略)高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修1
A
28
【解】 当n为奇数时， 原式＝a－b＋a＋b＝2a； 当n为偶数时，∵a<b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a＋(－a－b)＝－2a. 综上知， n a－bn＋n a＋bn＝2－a2an为n奇 为数 偶数 ，.
A
29
规律技巧 为使开偶次方不出现符号错误，先用绝对值保 留开方的结果，然后根据题设条件化去绝对值符号，没给条件 的要分情况讨论．
A
7
2．根式的性质
(1)当n为奇数时， n an ＝________，当n为偶数时， n an ＝ ________.
(2)负数没有偶次方根，零的任何次方根都是________．
A
8
3．分数指数幂的意义
(1)设a>0，m，n∈N*，n>1，则将 n am 表示为a的分数指数
幂的形式为____________，a－
A
10
1.(1)xn＝a 根式 根指数 被开方数 a
(2)负数 n a n a －n a ±n a
自 2.(1)a |a|＝a a≥0 －a a<0 我 (2)0
校
m1
3.(1)a n m
对
an
(2)0 没有意义
4.ar＋s ars arbr
A
11
思考探究 在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
A
32
规律技巧 本题ab与a－b互为倒数，抓住这一点，已知和 所求分别平方很快得出答案，这里运用了公式变形a－b2＝a ＋b2－4ab.
A
33
变式训练4
已知a
1 2
＋a－
1 2
＝m，求a2＋a 1的值．