2018年全国高考模拟文科数学分类总汇编_三角函数和解三角形

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三角函数和解三角形一、选择题 1. 10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，

（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（） A．5 B．6 C．7 D．8 2. 11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（） A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称 3. 4．若tanθ+=4，则sin2θ=（） A． B． C． D．

4. 7.将函数2sin13fxx的图象向右平移3个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数ygx的图象，则图象ygx的一个对称中心为 A．,03 B．,012 C.,13 D．,112 .. .下载可编辑. 5. 7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（） A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z） C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） 6. 11．函数cos,xfxxex的图象大致是

7. 8. 已知函数，则下列结论中正确的是 A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D. 函数在区间上单调递增 8. 9. 函数，则函数的导数的图象是（）

A. B. C. ． D. 9. 8．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（）

A．[2+16k，10+16k]（k∈Z） B．[6+16k，14+16k]（k∈Z） C．[﹣2+16k，6+16k]（k∈Z） D．[﹣6+16k，2+16k]（k∈Z） .. .下载可编辑. 10. 8．已知曲线1215:sin,:cos26CyxCyx，则下列说确的是 A．把1C上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3个单位长度，得到曲线2C

B．把1C上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23个单位长度，得到曲线2C

C.把曲线1C向右平移3个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线2C

D．把曲线1C向右平移6个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线2C

11. 10．函数21cos1xfxxe (其中e为自然对数的底数)图象的大致形状是

12. 9．已知曲线12:2cos,:3sin2cos2CyxCyxx

，则下面结论正确的是

A．把1C各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23个单位长度，得到曲线C2 B．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移至3个单位长度，得到曲线C2 C．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23个单位长度，得到曲线C2 D．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3个 .. .下载可编辑. 单位长度，得到曲线C2 13. 11．现有四个函数①sinyxx ②cosyxx ③cosyxx ④2xyx

的部

分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是

A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②① 14. 6.已知函数sin06fxx的最小正周期为4，则 A．函数fx的图象关于原点对称 B．函数fx的图象关于直线3x对称

C．函数fx图象上的所有点向右平移3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数fx在区间0,上单调递增

15. 7．函数1cos0fxxxxxx且的图象可能为

16. 11．已知函数2()2ln||fxxx与()sin()gxx有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数()gx（）

A．πsinπ2x B．πsinπ2x C．πsin2x D．πsin2π2x

17. 3．已知1sin()3，则tan2值为（） .. .下载可编辑. A．22 B．22 C．24 D．22 18. 5.为了得到函数2sin(3)4yx的图象,只需把函数2sin3yx的图

象上所有的点（） A. 向左平移4个单位 B. 向左平移12个单位 C. 向右平移4个单位 D. 向右平移12个单位

19. 6.已知函数)2,0,0)(sin()(AxAxf的部分图象如图所示,则)(xf

的解析式是（） A. ()sin(3)3fxx B. ()sin(2)3fxx

C. ()sin()3fxx D. ()sin(2)6fxx

二、填空题

1. 14．（5分）已知函数f（x）=2sin（ϖx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则|f（）|= ． 2. 15．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，A=，B=，则△ABC的面积S= ．三、解答题

1. 17．（10分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值． ..

.下载可编辑. 2. 17．(本小题满分12分) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,,3sinsinabcabBC，且． (I)求角A的大小； (Ⅱ)若23a，角B的平分线交AC于点D，求线段BD的长度．

3. 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．

4. 17. 在△中，分别为角的对边，. (Ⅰ) 求的大小； (Ⅱ) 若, , 求△的面积. ..

.下载可编辑. 5. 17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin（B+C）+acosA=0，且c=2，sinC=．（1）求证：A=+B；（2）求△ABC的面积．

6. 17．(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,,2sin3sin.abcbcBA，且 (1)求cosB的值； (2)若2aABC，求的面积．

7. 17．(本小题满分10分) 在平面直角坐标系中，O为原点，221,0,2cos,sin,2cos,22OAOBOC sin,0．

(I)若,ABACBC求； (Ⅱ)设1,1,ODABACAD若求，的值. .. .下载可编辑. 8. 17．（12分）

在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．（1）若2

23coscos20AA，且ABC为锐角三角形，7a,6c，求b的值；

（2）若3a,3A，求bc的取值围． ..

.下载可编辑. 答案一、选择题

1. 10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，

（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．

又f（x）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=在[﹣3，3]上的图象，数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6，故选：B．

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2018届通用课标高考数学第1轮复习第四章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理课件

是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A＝(
)
5π A. 6
2π B. 3
C.π3
D.π6
[解析] 依题意及正弦定理得 c＝2 3b，a2＝b2＋ 3bc＝ 7b2，cosA＝b2＋2cb2c－a2＝4 6b32b2＝ 23.又 0<A<π，所以 A＝π6，选 D.
∴cosB＝2ab＝
5 4.
[答案]
(1)B
5 (2) 4
[拓展探究] (1)若本例(1)中的“a＝ 10”改为“a＝4”，其他条件不变，结果如何？
(2)把本例(2)条件改为“在锐角△ ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，A＝2B”，试求ab的取值范围.
[解析] (1)∵a＝4，b＝2 3，∴a>b，故△ ABC 有一解.
第四章三角函数、解三角形
第六节正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知识
梳理诊断
1.正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
s_ian_A__＝__si_bn_B_＝ __s_in_cC__＝2R a2＝_b2_＋_c_2_－_2_b_c·_co_s_A_____，
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
[解析] (1)∵ssiinnAB＝ac，∴ab＝ac，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12. ∵A∈(0，π)，∴A＝π3，∴△ABC 是等边三角形.
(2)∵sianB＋sibnA＝2c，∴由正弦定理可得：ssiinnAB＋ssiinnBA＝ 2sinC，而ssiinnAB＋ssiinnBA≥2 ssiinnAB·ssiinnBA＝2，当且仅当 sinA＝sinB 时取等号.∴2sinC≥2，即 sinC≥1.

2018年高考数学总复习第四章三角函数、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式!

第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015²全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32B.32C.－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.答案 D2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1B.0C.1D.2解析原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°²tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°²tan 28°)＋tan 17°²tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D3.(2017²西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( )A.－31010B.31010C.－35D.35解析因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2³1010³⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 答案 C4.(2016²河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b解析由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b . 答案 D5.(2016²肇庆三模)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247³1＝－1731.答案 D 二、填空题6.(2016²石家庄模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2³19－1＝－79.答案－797.(2017²杭州月考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ²sin π4＋cos θcos π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－17－11－17³1＝－43. 答案－210 －438.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________.解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 答案－247三、解答题9.(2017²镇海中学模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1). (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值.解 (1)由a ⊥b 可知，a ²b ＝2cos θ－sin θ＝0，所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0.又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，cos θ＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 10.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值. 解法一由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2³13＝1. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016²云南统一检测)cos π9²cos 2π9²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( ) A.－18B.－116C.116D.18解析 cosπ9²cos 2π9²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos 20°²cos 40°²cos 100°＝－cos 20°²cos 40°²cos 80°＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝－12sin 40°²cos 40°²cos 80°sin 20°＝－14sin 80°²cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.答案 A12.(2017²武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1， ∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C. 答案 C13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12³23－32³53＝2－156. 答案2－15614.已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ²b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围.解 (1)因为f (x )＝a ²b ＋λ＝(cos ωx －sin ωx )(－cos ωx －sin ωx )＋23sin ωx ²cos ωx ＋λ ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ²cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ).又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋λ.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53³π4－π6＋λ＝0，所以λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53³π4－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－ 2.故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2].15.(2016²西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S . (1)求S 关于θ的函数关系式. (2)求S 的最大值及相应的θ角.解 (1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则四边形QEDP 为矩形. 由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ²PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ²sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)由(1)得S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.当θ＝π6时，S max ＝36(m 2).。

2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题第三章三

考点测试20 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质一、基础小题1．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 答案 B解析将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20.故选B.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32.3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4 答案 A解析由题图可知，函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4答案 A解析由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称D ．函数f (x )在区间(0，π)内单调递增答案 C解析因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A 、B 错误．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin x 2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－4π3＋4k π≤x ≤2π3＋4k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡ －4π3＋4k π，⎦⎥⎤2π3＋4k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，2π3，所以D 错误．故选C.7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 ±2解析函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.二、高考小题9．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 D解析该函数的周期为π，将其图象向右平移π4个单位后，得到的图象对应的函数为y＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.10．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度答案 A解析根据“左加右减”的原则可知，把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．故选A.11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 答案 A解析由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT＝2.由x＝π3时，y ＝2，可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.12．已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 答案 D解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，∵x ∈(π，2π)，ω>0，∴ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，∵f (x )在区间(π，2π)内没有零点，∴有以下两种情况： ①⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π，2k π＋π)，k ∈Z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π，2ωπ－π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋14，k ＋58，k ∈Z ，当k ＝0时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58；②⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π＋π，2k π＋2π)，k ∈Z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π＋π，2ωπ－π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋54，k ＋98，k ∈Z ，当k ＝－1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，18，又ω>0，∴ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18.综上，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58，故选D.13．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案π3解析函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．三、模拟小题14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 D解析根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝2sin2x ，故把f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D.15．将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2sin xB ．f (x )＝2sin xC ．f (x )＝22sin2x D ．f (x )＝22(sin2x ＋cos2x ) 答案 A解析由题意得，将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ＝－2sin x ·cos x ，故f (x )的表达式可以是f (x )＝－2sin x ，故选A.16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0答案 A解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，∴12×π3＋φ＝π2＋2m π(m ∈Z )，即φ＝π3＋2m π(m ∈Z )．由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为(2k π－2π3，0)(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.17．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 答案 B解析 ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴f π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2.18．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，⎭⎪⎫|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733 C.833 D ．4 3答案 C解析依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，ω＝π3，A sin φ＝－4.f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A >0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833，选C.19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－A ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6.∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，－π上为减函数，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．一、高考大题1．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos2x )＋sin2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12 k ∈Z(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.3．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得，0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.二、模拟大题4．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 列表如下：(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．5．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)写出φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡ －12，⎦⎥⎤13上的最大值和最小值．解 (1)因为32＝cos(0＋φ)，0<φ<π2，所以φ＝π6，因为32＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6，所以2π－π6＝πx 0＋π6，可得x 0＝53.(2)由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx . 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3，所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.6．已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y＝g (x )的单调递减区间．解 (1)∵a·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， ∴f (x )＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x ) ＝cos(2x －φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3. (2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，于是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3， ∴g (x )的单调递减区间为2k π≤2x －2π3≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . 7．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋(23sin ωx －cos ωx )cos ωx －λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，使f (x 0)＝0，求λ的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin2ωx －cos2ωx －λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－λ. 因为f (x )的图象关于直线x ＝π对称，则2ωπ－π6＝k π＋π2，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则k ＝1，ω＝56.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝6π5. (2)令f (x )＝0，则λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.由0≤x ≤3π5得－π6≤53x －π6≤5π6，则－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1.据题意，方程λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5内有解，所以λ的取值范围是．。

2018年高考数学三角函数解三角形与平面向量25平面向量的概念及线性运算试题文

考点测试25 平面向量的概念及线性运算一、基础小题1．关于平面向量，下列说法正确的是( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量是唯一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D．共线向量就是相等向量答案 C解析对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确．故选C.2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a ＋(－b)．正确的个数是( )A．2 B．3C ．4D ．5答案 D解析 ①②③④⑤正确．3．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案 D解析如m ∥0，0∥k ，但k 与m 可能共线也可能不共线，故选D. 4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →答案 A解析如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16答案 A解析由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.6．已知在四边形ABCD 中，O 是四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝a －b ＋c ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C解析因为OD →＝a －b ＋c ，所以AD →＝c －b ，又BC →＝c －b ，所以AD →∥BC →且|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 是平行四边形．7．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA →＝13AB →＋23BC →B ．OA →＝23AB →＋13BC →C ．OA →＝13AB →－23BC →D ．OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →，故选D.8．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA →＝a ，OB →＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR →＝( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a答案 B解析 PR →＝OR →－OP →＝(OR →＋OQ →)－(OP →＋OQ →)＝2OB →－2OA →＝2(b －a )，故选B.9．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①④ 答案 A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故AB →与CD →也可能平行，即A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故④错误．故选A.10.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b答案 D解析连接CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC→＋CD →＝b ＋12a .11．△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34答案 C解析因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.12．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点答案 B解析设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13⎝⎛⎭⎫OM →＋2OC →＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．二、高考小题13．[2015·全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.14．[2014·福建高考]设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于 ( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.15．[2014·全国卷Ⅰ]设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC → 答案 A解析如图， EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.16．[2015·安徽高考]△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析 ∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝AC →－AB →＝BC →，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|b |＝2，a ·b ＝12AB →·BC →＝－1，故a ，b 不垂直，4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，故(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故选D.17．[2015·北京高考]在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析如图在△ABC 中，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →.∴x ＝12，y ＝－16.三、模拟小题18．[2016·山西监测]已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12.若平面向量p 满足p·a ＝p·b ＝12，则|p |＝( )A ．2B ． 2C ．1D ．12答案 C解析设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则a·b ＝cos θ＝－12，θ＝2π3，建立平面直角坐标系，使得a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设p ＝(x ，y )，则由p·a ＝p·b ＝12可得x ＝－12x ＋32y ＝12，解得x ＝12，y ＝32，则|p |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C.19. [2017·河北张家口月考]如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FB →＝( )A ．0B ．BE →C ．AD → D ．CF →答案 A解析在正六边形ABCDEF 中，CD ∥AF ，CD ＝AF ，所以BA →＋CD →＋FB →＝BA →＋AF →＋FB →＝BA →＋AB →＝0，故选A.20．[2016·山东师大附中模拟]已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上，选C.21．[2016·陕西咸阳模拟]在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A ．23b ＋13c B ．53c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c 答案 A解析 BC →＝AC →－AB →＝b －c ，BD →＝23BC →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .22. [2016·四川广元模拟]如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A ．13OA →－43OB → B ．13OA →＋43OB →C ．－13OA →＋43OB →D ．－13OA →－43OB →答案 C解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C.23．[2016·河南中原名校联考]如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A ．23AB →－13AD →B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析解法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C. 解法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.24．[2016·安徽十校联考]已知A 、B 、C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABDS △ACD ＝( )A ．23 B ．32 C ．6 D ．16答案 C解析如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC →.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ， ∴S △ABDS △ACD＝6，故选C. 25．[2017·大连模拟]在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形答案 A解析如图，由cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c .26．[2016·湖南四地一模]如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ，n 对应的值为( )A ．27，47B ．12，14 C ．16，27 D ．16，37答案 A解析根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ， ∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47，故选A.27．[2016·天津模拟]在平行四边形ABCD 中，AE →＝EB →，CF →＝2FB →，连接CE ，DF 相交于点M ，若AM →＝λAB →＋μAD →，则实数λ与μ的乘积为( )A ．14B ．38C ．34D ．43答案 B解析 ∵E ，M ，C 三点共线，∴设AM →＝xAE →＋(1－x )AC →，则AM →＝x 2AB →＋(1－x )(AB →＋AD →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2AB →＋(1－x )AD →.同理D ，M ，F 三点共线，∴设AM →＝yAF →＋(1－y )AD →，则AM →＝yAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－2y 3AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x2＝y ，1－x ＝1－2y3，解得y ＝34，即AM →＝34AB →＋12AD →.∴λ＝34，μ＝12，即λμ＝34×12＝38.28．[2017·安徽马鞍山质检]已知△ABC 是边长为4的正三角形，D 、P 是△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋18BC →，则△APD 的面积为( )A ．34B ．32C ． 3D ．2 3答案 A解析取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE →＝12(AB→＋AC →)，又AD →＝14(AB →＋AC →)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF →＝18BC →，以AD 、AF 为邻边作平行四边形，可知AP →＝AD →＋18BC →＝AD →＋AF →.而△APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD 的面积为12×12×3＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·山东莱芜模拟] 如图，已知△OCB 中，B 、C 关于点A 对称，OD ∶DB ＝2∶1，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，∴DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)∵EC →∥DC →，EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45. 2．[2017·河南安阳周测]如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。

专题10 解三角形——三年(2018-2020)高考真题文科数学分项汇编(解析版)

2
2
2
ac
4a c (4a c)(1 1) 5 c 4a 5 2 c 4a 9 ，当且仅当 c 2a 3 时取等号，则 4a c 的
ac
ac
ac
最小值为 9. 【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力，考查
的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，
角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题
可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用.
5．【2018 年高考全国Ⅱ文数】在 △ABC 中， cos C 5 ， BC 1， AC 5 ，则 AB 25
A． 4 2
B． 30
sin A
2 tan A 2
C 为钝角， B π ,0 A π ，
3
6
tanA 0,
3 3
,
1 tanA
3, ，故 c 2, .
a
故答案为 60 ， 2, .
【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解
题的第一个关键；根据三角形内角 A B C π 的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含 A 的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 9．【2018 年高考浙江卷】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a 7 ，b=2，A=60°，
B=___________.
3π
【答案】
4 【解析】由正弦定理，得 sin B sin A sin Acos B 0 ． A (0, ), B (0, ) ，sin A 0,

五年(2018-22)高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题16 三角函数单选题(解析版)

A．0B．1C．2D．3
【答案】C解析:法1：由基本不等式有，
同理，，
故，故不可能均大于．
取，，，则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于．
取，，，则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选C．
【题目栏目】三角函数\三角恒等变换\三角恒等变换的综合应用
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以．故选：A
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的图象
【题目来源】2022新高考全国I卷·第6题
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第11题)函数在区间的最小值、最大值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】D
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题16三角函数单选题
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第5题)已知函数，则( )
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
解析:因为．
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．
故选,C．
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的单调性与周期性
【题目来源】2022高考北京卷·第5题
2．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数 1年新高考Ⅰ卷·第4题

教育最新K122018年高考数学总复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案

第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( )(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( )解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.答案 D3.(2017·湖州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A，则cos B ＝( ) A.－12B.12C.－32D.32解析由正弦定理知sin B3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B.答案 B4.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3C.2 3D.2解析因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B5.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形6.(2017·绍兴调研)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则角B ＝________，AC ＝________.解析 ∵钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，∴12＝12×1×2×sin B ，解得sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4， ∵当B ＝π4时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝1＋2－2×1×2×22＝1，此时，AB 2＋AC 2＝BC 2，可得A ＝π2，此△ABC 为直角三角形，与已知矛盾，舍去.∴B ＝3π4，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝1＋2＋2×1×2×22＝ 5. 答案3π45考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个D.无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________.(3)(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C＝π6，则b ＝________. 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b .∴满足条件的三角形有2个.(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝45°，sin B ＝12，又B ∈(0°，180°)，b ＜a ，∴B ＝30°，∴C ＝105°.(3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 规律方法 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【训练1】 (1)(2017·金华模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )A.1B.2C.4D.6(2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去).(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.答案 (1)C (2)2113考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)【例2】 (经典母题)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定解析由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.答案 B【迁移探究1】将本例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( ) A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析法一由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .法二由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .答案 B【迁移探究2】将本例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴△ABC 为钝角三角形.答案 C【迁移探究3】将本例条件变为“若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ”，试确定△ABC 的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又∵a 2＋b 2－c 2＝ab .∴2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形. 法二利用角的关系来判断：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )，又∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0，又∵A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B . 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形.规律方法 (1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 考点三和三角形面积有关的问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sinC ，故2sin C cos C ＝sin C .由C ∈(0，π)知sin C ≠0，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7. 规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练2】 (2017·日照模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2a －b )cosC －c cos B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若三边a ，b ，c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积.解 (1)根据正弦定理，(2a －b )cos C －c cos B ＝0可化为(2sin A －sin B )cos C －sin C cos B ＝0.整理得2sin A cos C ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos C ＝12.又∵0<C <π，∴C ＝π3.(2)由(1)知cos C ＝12，又a ＋b ＝13，c ＝7，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝169－3ab ＝49，解得ab ＝40.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×40×sin π3＝10 3.[思想方法]1.应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要化到只含角或只含边. [易错防范]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.。

2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组五三角函数与解三角形试题文

重组五三角函数与解三角形测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·长春质检]已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( ) A. 5 B.4＋255 C.4＋55 D.5－25答案 C解析由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C.2．[2016·西安八校联考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案 A解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4可变形为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴平移函数g (x )＝cos2x 的图象，向右平移π8个单位长度，即可得到f (x )的图象．为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位．故选A.3．[2016·天津高考]在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.4．[2016·江南十校联考]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为4π，且对∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 答案 A解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.5．[2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 B解析解法一：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sin α2cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.解法二：因为α是第四象限角，sin α＋cos α＝15，则cos α＝45，α2是第二、四象限角，tan α2＝－sin2α2cos2α2＝－ 1－cos α21＋cos α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13. 6. [2016·安庆二模]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )，如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2k π，5π12＋2k π，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 答案 B解析解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，故ω＝2.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－2，得φ＝2k π－π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．解法二：34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π12，π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12，所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．7．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A 解析因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s >0，故s 的最小值为π6.故选A.8．[2017·四川绵阳模拟]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos2β＋2cos2α＝0 D ．cos2β＝2cos2α答案 D解析 sin θ＋cos θ＝2sin α⇒1＋sin2θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)，cos2β＝2cos2α，故选D.9．[2016·山西质监]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32 D ．1 答案 C解析由题意2·π12＋φ＝k π＋π2⇒φ＝k π＋π3，k ∈Z ，∵|φ|<π2，所以φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x 1＋x 2＝2×π12＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin 2π3＝32.故选C.10．[2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( )A.32 B ．－22 C ．－24 D ．－34答案 C解析设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝22＋22－422×22×2＝－24，故选C.11.[2017·河北唐山模拟]已知将函数f (x )＝a sin2x ＋b cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后所得到的图象关于直线x ＝π4对称，则ba的值为( )A.33B ．1 C. 3 D ．2 答案 C解析 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝b a，将其图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝a 2＋b 2sin ( 2x －π3＋φ )，其对称轴为2x －π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由题意知其中一解为x ＝π4，则φ＝k π＋π3，k ∈Z ，即tan φ＝b a＝3，故选C.12．[2016·长春质检]在△ABC 中，D 是BC 中点，已知∠BAD ＋∠C ＝90°，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 D解析如图，由题可知，∠BAD ＋∠C ＝∠B ＋∠CAD ＝90°，在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ADsin B ＝BDcos C ，在△ADC 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin C ＝CD cos B ，所以sin B cos C ＝sin Ccos B，即sin2B ＝sin2C ，所以B ＝C 或2B ＋2C ＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＋b ＝________.答案2＋1解析由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1，即A ＋b ＝2＋1.14．[2016·衡水大联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝________. 答案 79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－3π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.15．[2016·贵阳一中月考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知cos A＝c a cos C ，b ＋c ＝2＋2，cos B ＝34，则△ABC 的面积是________．答案72解析由cos A ＝c acos C ，得a cos A ＝c cos C ，结合正弦定理有sin A cos A ＝sin C cos C ，即sin2A ＝sin2C ，∴A ＝C 或A ＋C ＝π2，又因为cos B ＝34≠0，∴A ＝C ，即a ＝c ，即△ABC 为等腰三角形；根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，结合a ＝c ，b ＋c ＝2＋2，有b ＝22c ，c ＝2＝a ，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝2sin B ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝72. 16．[2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高均为3丈的标杆BC 和DE ，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D 与前标杆杆脚B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A 、C 、F 三点共线，从后标杆杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰，A 、E 、G 三点也共线，问岛峰的高度AH ＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)答案 1255解析如图，由题意BC ＝DE ＝5步，设AH ＝h 步，BF ＝123步，DG ＝127步，BC AH ＝BFHF，HF ＝123h 5 步，同理HG ＝127h 5步，由题意得(HG －DG )－(HF －BF )＝1000步，即127h 5－123h 5－4＝1000，h ＝1255.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1.(2分) ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12，k ∈Z .∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1.(4分)由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(5分)(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．(10分)18．[2016·济南质检](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2A2＋()cos B －3sin B cos C ＝1.(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b .解 (1)2cos 2A2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1，故cos A ＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(2分)则－cos(B ＋C )＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(4分) 展开得：sin B sin C －3sin B cos C ＝0，∵sin B ≠0，即tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(6分)(2)三角形面积为12ab sin π3＝3，故ab ＝4.(8分)由余弦定理得4＝(a ＋b )2－2ab －ab ，所以a ＋b ＝4，(10分) 故a ＝b ＝2.(12分)19．[2016·云南师大附中月考](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(3c －2b )cos(π－A )＝3a cos C .(1)求解A 的值；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由(3c －2b )cos(π－A )＝3a cos C ，得2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B .(4分) 又sin B ≠0，所以cos A ＝32. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(6分)(2)由B ＝π6，A ＝π6，知a ＝b .在△ACM 中，由余弦定理得cos 2π3＝b 2＋b 24－7b2＝－12，(10分)求得b ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12×2×2×32＝ 3.(12分)20．[2017·河北武邑二调](本小题满分12分) 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，0<ω<1，|φ|<π2，x ∈[0，3]的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝120°.(1)求A ，ω，φ的值；(2)若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．解 (1)由已知A ＝2，(1分)且有2sin(ω·0＋φ)＝3，即sin φ＝32，由|φ|<π2，得φ＝π3.(3分) 又∵最高点为(1,2)，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＋π3＝2，解得ω＝π6，(5分)∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(6分)(2)∵B 点的横坐标为3，代入函数解析式，得 y B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋π3＝1，∴BD ＝12＋－2＝ 2.(8分)在△BCD 中，设∠CBD ＝θ，则∠BDC ＝180°－120°－θ＝60°－θ. 由正弦定理，有BD sin120°＝CD sin θ＝BC－θ，∴CD ＝263sin θ，BC ＝263sin(60°－θ)，(9分)∴BC ＋CD ＝263[sin θ＋sin(60°－θ)]＝263⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋32cos θ－12sin θ ＝263sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∴当且仅当θ＝π6时，折线段BCD 最长，最长为263千米．(12分)21．[2016·北京东城区模拟](本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝22，AC ＝2，且cos(A ＋B )＝－22. (1)求AB 的长度；(2)若f (x )＝sin(2x ＋C )，求y ＝f (x )与直线y ＝32相邻交点间的最小距离．解 (1)∵cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝22，且C ∈(0，π) ∴C ＝45°.(2分) ∵BC ＝22，AC ＝2， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝(22)2＋22－82cos45°＝4. ∴AB ＝2.(4分)(2)由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝32，解得2x ＋π4＝2k π＋π3或2x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ，(6分)解得x 1＝k 1π＋π24或x 2＝k 2π＋5π24，k 1，k 2∈Z .(8分)因为|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 2－k 1π＋π6≥π6，当k 1＝k 2时取等号，(10分) 所以当f (x )＝32时，相邻两交点间最小的距离为π6.(12分) 22. [2016·安庆二模](本小题满分12分)如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长．解 (1)在△ADC 中，根据正弦定理，有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC. 因为AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32.(2分) 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°，所以∠ADC ＝120°.(4分)于是∠C ＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B ＝60°.(6分)(2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x .于是sin B ＝ACBC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x .(8分) 在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2，(10分) 得x ＝2.故DC ＝2.(12分)。

2018高考数学考点突破三角函数与解三角形：函数y=Asin

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考点梳理】1．y ＝A sin (ωx ＋φ)的有关概念所示先平移后伸缩先伸缩后平移⇓ ⇓【考点突破】考点一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解析] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.【类题通法】1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位． 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．【对点训练】1. (1)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案] (1)D (2)π3解析] (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.(2)∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到．考点二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2答案] (1)A (2)D解析] (1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.【类题通法】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.【对点训练】2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22 D ．－1答案] D解析] 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z)，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D. 考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用【例3】已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解析](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.【类题通法】讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．【对点训练】3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.考点四、三角函数模型的简单应用【例4】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解析] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温. 【类题通法】1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．【对点训练】4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案] C解析] 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.。

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