i-截面几何性质-习题答案

习题
I−1 试求平面图形的形心位置。

[
解：由对称 m3.0cz
m357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0cy

解：m093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0cz
、

m193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0cy

I−2 试求平面图形的形心坐标。

"
y=z
n

z
l
O

(c)

-
z

O
(a)

z
y
—
(b)
解：
lnndzzzdzzzlnln2100c





200cn
l

dzz
ydyyl

y
n

l
n

·
解：由对称 rzc
3423222232022crrrrydyyryr
I−3 试求图示截面的阴影线面积对z轴的静矩。（图中C为截面形心）

—
解：3c**mm24000302040yASz

;
z
l
O

(d)

80
20
z

：

40
(a)

80
80
20

y
20

C
解：3c**mm422505.322065yASz
(
I−4 求以下截面对z轴的惯性矩。（z轴通过截面形心）

）
解：64646442414241ddddIz

【
解：
121212

4241424
1
aaaaIz



I−5 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的z轴的惯性矩。

解：

z
d
2

d
1

(a)

C
z
a
1

a
2

[
a
2

(b)

z
h
b

B
C

y
|
4302bhybdyhyIhz
I−6 试求图示r=1m半圆形截面对于z轴的惯性矩。其中z轴与半圆形的底边平行，
相距1m。
/

、
解：
444m3927.06422164211dIz

由（I-2）知z1、 z0之间的距离34cry
所以由 2c01AyIIzz 得 4222cm1098.0314213927.010AyIIzz
于是 4222m30.33141211098.00AaIIzz
·
I−7 在直径D=8a的圆截面中，开了一个2a×4a的矩形孔，如图所示。试求截面对
其水平形心轴的和竖直形心轴的惯性矩Iz和Iy。

,
解：令圆截面的惯性矩为I1，矩形孔的惯性矩为I2
aaaaaay18928.0848042222c

2a
2a
2a

D
yc

z
r
O

z1

422

3
22
4

219.18818928.08122418928.0464aaaaaaaaDIIIzzz




434213.190124264aaaDIIIyyy
I−8 正方形截面中开了一个直径d=100mm的半圆形孔，如图所示。试确定截面的
形心位置，并计算截面对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩Iz和Iy。

￥
解：令正方形截面的惯性矩为I1，半圆形孔的惯性矩为I
2

mm31.281002003504810002002222cy


48

2
24224

21mm10307.131.2350481005098831.220012200zzz
III

48
44
21mm10309.1641002112200yyy
III

I−9 图示为由两个18a号槽钢组成的组合截面，如欲使此截面对两个对称轴的惯性
矩相等，问两根槽钢的间距a应为多少

解：查型钢表可知
4cm254012702zI
?










88.12699.256.982aI
y

由 yzII 得 cm76.9a
I−10 求图示截面的形心主轴的位置和形心主惯性矩。

y
z

a
O

习题I−9图

?
100
d
100

100
yc

120
10

z
yC

C
:

zC
:
解：
mm737.39701010120570106010120Cz

mm737.19701010120457010510120Cy
46232
3
mm100032.1263.257010127010737.14101201210120CzI

462323mm107832.2737.347010121070263.20101201212010CyI


45

mm107263.9737.19455737.3970105737.19737.396010120CCzyI

由 093.12783200100320097263022tanCCCCyzzyIII 得 6.22720，即 8.1130

46
2222
mm1021.39726304)27832001003200(212278320010032004)(212CCCCCC0
zyyzyzzIIIIII

45
2222
mm1075.59726304)27832001003200(212278320010032004)(212CCCCCC0
zyyzyzyIIIIII

>
I−11 图示为一正方形截面，z、y为截面的两个对称轴，z1、y1为与z、y轴成α角的
一对正交轴。
（1）求截面对z1和y1轴的惯性矩Iz1和Iy1，并将Iz1、Iy1值与Iz、Iy值比较；
（2）z1、y1轴是否为主轴由此可得出什么结论

z
z
1

y
1
y

a
a
α
α

习题I−11图
解：
124aIz ，12
4
a

Iy
，0yzI

则

122sin2cos22
4
1
a

IIIIIIyzyzyzz


122sin2cos22
4
1
a

IIIIIIyzyzyzy


02cos2sin211yzyzzyIIII
所以z1、y1轴也是主轴，又由于z1、y1轴过形心，因此此两轴为形心主轴。
由此可见，如果一个平面图形对两个直角坐标轴的惯性矩相等，并且此两轴为主轴，则
转轴后的坐标轴也应该是主轴，并且惯性矩不变。
I−12 试证明：如果平面图形过一点有两对以上的主轴，则过该点的任一对正交轴都
是主轴。
证明：
设两对主轴对应的转角分别为α1、α2，则有

02cos2sin21111yzyzzyIIII

02cos2sin22222yzyzzyIIII
因此，有

002yzyzIII
即有 yzII 、0yzI，由上题结论可知“如果平面图形过一点有两对以上的主
轴，则过该点的任一对正交轴都是主轴。”
、

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材料力学截面的几何性质

1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D

家电公司研发部资料材料力学习题答案(十)

第九章压杆稳定9-1 由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d ＝40mm ，材料的弹性模量E =200GPa, a =1m ，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。

如F 力向里作用，则最小荷载又是多少？答：F t =124kN, F c =350.2kN解：当F的杆受压由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F29422200100.04124()124cr t cr EIF kN l F F kNπππμ⨯⨯⨯⨯===∴==当F 为压力时，长为a 的杆受压由静力学平衡方程可知该杆所受压力为2F294222200100.0464248()(11)248350.7cr c c EIF kNl F kN F kNπππμ⨯⨯⨯⨯===⨯=∴=9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。

答：（d ）解：F题 9 - 1 图题 9 - 2 图220.50.70.72()a b c d cr d c b aEI F l μμμμπμμμμμ=====>=>crd F ∴最小∴d 杆最容易失稳9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。

答：F cr =19.7kN解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ=22()cr EI F l πμ=840840 2.92100.7710x y I m I m --=⨯=⨯因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向所以8400.7710y II m -==⨯ 2982210100.771019.7(20.45)crF kN π-⨯⨯⨯⨯∴==⨯题 9 - 3 图30X 30X 40xy C9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？答：最易失稳方向即惯性矩最小方向，也即形心主惯性轴方向对于圆来说，各个方向的的惯性矩都相同，所以各个方向失稳容易程度相同对于正方形来说：对于长方形：对于等边三角形：对于等腰三角形：对于工字钢：不等边角钢：等边角钢：9-5在图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80mm, BC杆为长方形截面，边长为60mm×40mm，两杆材料均为钢材，它们可以各自独立发生弯曲而互不影响。

附录I 截面的几何性质

二、组合截面的惯性矩、惯性积
n
I
=
x
å
I xi
i= 1
n
I y = å I yi i= 1
n
I å I =
xy
xyi
i= 1
Ixi , Iyi —— 第i个简单截面对x,y轴的惯性矩、惯性积。
13
例3-1 求梯形截面对其形心轴yc的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
zc
截面的形心必在对称轴 zc 上。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴。形心主惯性矩——截面对形心主惯性轴的惯性矩。
17
主惯性轴的位置：设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角，则有：
Ix- Iy 2
sin 2a 0
+
I xy
cos 2a 0
=
0
tg2a 0 =
-
xy ) = 1.093 I
x
y
I x < I y 2a 0 在第三象限
2a
=
0
227.60
a 0 = 113.80
形心主惯性轴x0 , y0 分别由x轴和y轴绕 C点逆时针转113.80 得出。形心主惯形矩为:
( ) ( ) Ix0 = Ix + I y ? 1
I y0
22
Ix
Iy
2+ 4 Ixy
附录I 截面的几何性质
1. 截面的静矩和形心 2. 极惯性矩、惯性矩、惯性积 3. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式、组合截面
的惯性矩和惯性积 4. 惯性矩和惯性积的转轴公式、截面的主惯性
轴和主惯性矩
1

附录I截面的几何性质

i1截面的静矩和形心位置i3平行移轴公式i4转轴公式i2惯性矩惯性积惯性半径i1截面的静矩和形心位置静矩是对一定的轴而言同一截面对不同的轴静矩不同静矩可为正可为负也可为零
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 惯性矩 ·惯性积 ·惯性半径 §I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式
二、组合截面的惯性矩和惯性积的计算
n
I x I xi i 1 n
I y I yi i 1
n
I xy I xyi i 1
例2.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。
20
y
Ⅰ
解：1.建立参考坐标x′y
2.求形心坐标 xc， yc
xc 0
60 Ⅱ
C (xc,yc)
cos 2
I x1

Ix
2
Iy

Ix
2
Iy
cos 2

I xy
sin 2
(1)
I y1

Ix
2
Iy

Ix
2
Iy
cos 2

I xy
sin 2
(2)
I x1 y1

Ix
2
Iy
sin 2

I xy
cos 2
(3)
转轴公式
讨论： 1.（1）+（2）得
I x1 I y1 I x I y I p
二、形心（平面图形的几何中心）
y
由静力学可知：
均质平面薄板的重心公式
x
dA
xc C
y
yc
A
xdA
ydA

截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式

yC 2 140mm
c 50
50 250
zC 1 zC 2 zC 3 0
C2
A1 yC1 A2 yC 2 A3 yC 3 yC A1 A2 A3
C3
z
y
150 50 255 180 50 140 250 50 25 mm 150 50 180 50 250 50
n
= ∑ Iyi
i=1
同理 Iz = ∑ Izi
i=1 n
Iyz = ∑ Iyzi
i=1
12
n
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
Iz
1 3 5 bh d 4 12 32
z y
13
HOHAI UNIVERSITY
y dA dA z z y
6
HOHAI UNIVERSITY
三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴：惯性积为零的一对坐标轴。
主惯性矩：截面对主轴的惯性矩。
b/2 b/2 h/2
形心主轴：过截面形心的主轴。
形心主惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩。
z'
z
h/2
y
7
HOHAI UNIVERSITY
例3
计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
注意平方问题
10
HOHAI UNIVERSITY
§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式 Iz=∫ A y2dA =∫ A (a+yC)2dA =∫ A a2dA + 2a ∫ A yCdA + ∫ ∫ ∫

材料力学附录I-1

I.2 极惯性矩惯性矩惯性积 2. 惯性矩
x 2 d A A I x y 2 d A A Iy

称为整个截面对y轴或x轴的惯性矩，亦称面积对轴的二次矩，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
I p 2 d A x2 d A y 2 d A I y I x
A A A
上式表明平面图形对任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和等于该图形面积对两轴交点的极惯性矩。平面图形对过同一原点的任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和是一个常量。
3. 惯性积
I xy
xy d A
A
称为整个截面图形A对x、y轴的惯性积。惯性积是对一对正交轴定义的，
因此也是面积的二次矩，可正、可负也可能为零，常用单位为m4或mm4。若x、y轴中有一个轴为截面的对称轴，则整个截面对两轴的惯性积恒等于零。可以证明，在对称轴两侧对称位置处的微面积对于两轴的惯性积数值相等而符号相反，因此整个截面对两轴的惯性积必然等于零。若x、y 轴都为对称轴，则整个截面对两轴的惯性积自然为零。
S x S x I S xII
图 I-4 例题I-3图
由 S x I S xII 0 ，可得
S x I S xII
I.2 极惯性矩惯性矩惯性积 1. 极惯性矩
I p 2 dA
A
定义为整个截面对O点的极惯性矩。极惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
S x y d A y d A1 y d A2 A A1 A2 S y x d A x d A1 x d A2 A A1 A2
或
S x yC A yC1 A1 yC 2 A2 yCi Ai i 1 n S y xC A xC1 A1 xC 2 A2 xCi Ai i 1

第三章截面的几何性质

[例3-4] 计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩Iz。 500
C
·
z
(mm)
50
50
500
yC
y C外 400
z’
解：选参考系 yz 确定形心位置：
· C ·1 C ·
z
yC
y C内 425
C2
500 800 400 400 550 425 500 800 400 550 369.44 mm
I yc、I zc、I yczc
tan 2 0
2
2 I yczc I yc I zc
I yc I zc I yc 0 I yc I zc 2 I yczc I zc0 2 2
[例3-5] 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
I y0 I y I z I y Iz 主惯性矩： 2 2 I z0 I2 yz
2
I y0z0
I y Iz 2
sin 2 0 I yz cos 2 0 0
tan 2 0
2 I yz I y Iz
i 1
n
i 1
Ai
zc
Sy A

i 1 n
Ai z i
i 1
n
Ai
[例3-1]
试确定左图的形心。
zc
C2
C yc , zc
C1
y
A1 z1 A2 z2 A1 A2 10 80 5 10 110 65 39.74 mm 10 80 10 110 A1 y1 A2 y2 yc A1 A2 10 80 40 10 110 5 19.74 mm 10 80 10 110

材料力学附录截面的几何性质

(Properties of Plane Areas) 三、组合截面的静矩和形心 (The first moments &centroid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
1
矩形 2
A2 10 80 800mm2
y2
10
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
(Properties of Plane Areas)
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
yC , zC￣过截面的形心 C 且与 y, z轴平行
的坐标轴(形心轴）
z
Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.
zC
IyC , IzC , IyCzC￣截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
n
Ai zi
z

附录Ⅰ 截面的几何性质

I max I y Iz 2 Iy Iz 2 1 2 1 2
z0
z z
y0
0
O
2
y
I I
y
I z 4 I yz
2
I min
y
I z 4 I yz
2 2
三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
特殊地：若坐标原点即为图形的形心此时的主惯性轴称为形心主惯性轴主惯性矩称为形心主惯性矩形心主轴形心主矩
y1
y
y1
dA
z α
z1
y1
α
y
O
z1
z
y1
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
y αz
dA
z1
y1
α y
I y1

A
z1 dA
2 2 2
z cos y sin 2 dA A
2 2 A
O
cos z dA sin y dA 2 sin cos yzdA
一、转轴公式二、主惯性轴，主惯性矩三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
一、转轴公式
I 已知：I y ， z ，I yz ，α
求： I y , I z , I y
1 1
1 z1
z
z1
解： α 从老轴y转至新轴逆时针转向为正
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
已求得 I y , I z , I y z
1 1 1 1
z1
1 1
z
y1 y
我们最感兴趣的是 I y , I z 取极值的情况。由：得：

I形工字形截面—截面几何性质计算

7.5422E+06 (mm3) 截面抵抗矩 Wxx=Ix/(h-y)
6.7925E+05 (mm3) 截面抵抗矩 Wy=Iy/b*2
3.8814E+05 (mm3)
78.5
(kN/m3 )
1.5543 (kN/m)
截面抵抗矩 Wyy=Iy/bb*2 材料重度 γ(钢材为78.5kN/m3) 每延米自重 G=Aγ
声明： 1。本程序编制的目的是为了便于在电脑上用Excel和在PDA上用Pocket Excel进行简单的结构手算，程序根据新规范编制，如有什么疑问请联系我，以便立刻修正！ 2。程序中黄底红字的部分需要使用者根据实际情况输入，黑色的部分请不要随便更改，除非你发现有错误！
3.7588E+09 (mm4) 惯性矩 Ix=∑(Ix1+Ai*yi^2)
6.7925E+07 (mm4) 惯性矩 Iy=∑(Iy1+Ai*xi^2)
4.3570E+02 (mm) 回转半径 ix=sqrt(Ix/A)
5.8571E+01 (mm) 回转半径 iy=sqrt(Iy/A)
5.9321E+06 (mm3) 截面抵抗矩 Wx=Ix/y
工字形截面性质计算
b＝ t＝ bb＝ tt＝ hw＝ tw＝ h＝ A＝ S＝ y＝ yy＝ Ix＝ Iy＝ ix＝ iy＝ Wx＝ Wxx＝ Wy＝ Wyy＝ γ= G＝
200 (mm) 下翼缘宽 bb
16 (mm) 下翼缘厚 tt
1100 (mm) 腹板净高 h0
10 (mm) 腹板厚 tw
1132 (mm) 总高 h
19800 (mm) 1.2546E+07 (mm3) 6.3364E+02 (mm)

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