离散系统单位样值响应
1 y(n) y (n 1) x(n) 2 x(n 1) 3x(n 2) 5
§7.5 卷积和—已知单位样值 响应，求系统零状态响应
x ( n)
h( n)
m
y(n) x(n) * h(n)
x ( n)
x(m) (n m)
y ( n) x ( n ) * h( n)
m
x ( m) h ( n m)
14
一、卷积和
h(n) a nu(n) 0 a 1, 例如：已知 x(n) G(n) u(n) u(n N )
求零状态响应
解
y ( n) ?
y(n) x(n) * h(n)
n 0 h(n) 0
0 n N 1 y(n) x(n m)h(m) a nmu(n m)[u(m) u(m N )]
只考虑 3x(n 2) 激励 h2 (n) 3h 1 ( n 2) 利用LTI
3[3n 1 2n 1 ]u (n 2)
h(n) h1 (n) h2 (n) (3n 1 2n 1 )u (n) 3(3n 1 2n 1 )u (n 2)
（1）求系统单位样值响应 （2）若系统为零状态，求此二阶差分方程
8
g (n) (2 3 5 10)u(n)
n n
解 设此二阶系统的差分方程的一般表达式为：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) br x(n r )
2
g (n) (2 3 5 10)u(n)
（1）激励为 (n) 时，系统在零状态
y(n) 0.5 y(n 1) (n)
y(1) 0
h(0) (0) 0.5 y(1) 1
h(1) (1) 0.5 y(0) 0.5
h(2) (2) 0.5 y(1) (0.5)
2
h(n) (0.5)
m 0 m 0 ( n 1) 1 a a nm a n a m a n 1 1 a m 0 m 0 n n
15
n N 1 y(n) a
m 0
N 1
nm
1 a a 1 a 1
n
N
h(n) a nu(n)
x ( n)
N 1
n1
4
例
y(n) 3 y(n 1) 3 y(n 2) y(n 3) x(n)
1
2
三重根
n
y(n) (C1n C2n C3 )(1)
齐次解
确定初始 条件
x(0) 1, x(1) 0, x(2) 0,
h(0) 1, h(1) 0, h(2) 0,
2 a1 a2 ( 2)( 5)
7 10
2
a1 7 a2 10
9
h(n) 7h(n 1) 10h(n 2) b0 (n) b1 (n 1) b2 (n 2) 1 n 12 n h(n) 14 (n) ( 2 5 )u (n 1) 2 5
1 C1 2 3 C2 2 C3 1
1 2 h(n) (n 3n 2)u (n) 2
5
例
y(n) 5 y(n 1) 6 y(n 2) x(n) 3x(n 2) 只考虑 x( n) 激励
n n
1 2 2 3
3 2C 2 1C )n( 1h h(0) 1, h(1) 0, C1 2, C2 3 1n 1n )n(u) 2 3( )n( 1h
h(n) (0.5)
n
3
在 n 0 时，接入的激励 (n 1) 用线性时不变性来进行计算 r (n)
（3）
y(n) 0.5 y(n 1) (n 1)
x(n) (n)
x(n) (n 1)
h(n) (0.5)
n
r (n) h(n 1) (0.5)
n
2
2）将激励 (n) 转化为系统的零输入时系统起始条件
将 (n) 转化为起始条件，于是齐次解即零 h(n) 就是单位样值响应 输入解
y(n) 0.5 y(n 1) (n)
0.5
y(1) 0
n
h(n) C(0.5)
C 1
h(0) C(0.5)0 1
n 0 u(n) 0 n 0 h(n) anu(n)
1 a 1 n 1 a h ( n ) a u ( n ) n 1 1 a n n a 1 1 a
是因果 系统 有界稳定
发散 不稳定
12
例
Hale Waihona Puke • 求系统单位样值响应 h(n) • 判断系统稳定性 1 1 n 解： h( n) C ( ) n 2 5 5 9 66 h(0) 1, h(1) h(2) C 66 5 25 n 9 1 h(n) (n) (n 1) 66 u(n 2) 5 5 9 稳定系统 n h(n) 1 66(0.2) 5 n2 n 0 13
1 a ( n 1) a 1 a 1
n
1 aN a 1 a 1
n
N 1
16
作业
• 旧版：7-31（3），7.33（1）（2） • 新版：相同
17
n n
r 0
(n) u (n) u (n 1) 由 g(n) 求h(n) h(n) g (n) g (n 1) 1 n 12 n 14 (n) ( 2 5 )u (n 1) 2 5 2 特征方程： a1 a2 0 特征根： 1 2 2 5
10
二、根据单位样值响应 分析系统的因果性和稳定性
• 因果性：输入变化不领先于输出变化 充分必要条件
n 0 h(n) 0
• 稳定性：输入有界则输出必定有界 充分必要条件
n
h( n )
11
例：已知某系统的 h(n) a nu(n)
问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？
6
作业
• 第一版：7-6(2)，7-10, 7-13(3)，7-20（2） • 第二版：7-5（2），7-9，7-12（3）， 7-18（2）
7
求系统单位样值响应（2）
• 利用已知的阶跃响应求单位冲激响应h(n) 例：已知因果系统是一个二阶常系数差分 方程，并已知当x(n)=u(n) 时的响应为：
h(0) 14 h(1) 13 h(2) 62
n 0 h(0) 14 b0 14 n 1 h(1) 13 b1 98 13 85 n 2 h(n) 62 b2 63 7 13 1014 111
y(n) 7 y(n 1) 10 y(n 2) 14x(n) 85x(n 1) 111x(n 2)
§7.4 离散系统单位样值响应
• (t ) 和 (n) 的定义的区别 • (t ) 的定义
(t )dt
1
(t 0) (t 0)
0
(t ) 0
t
•
( n)
的定义
0
1 n 0 (n) 0 n 0
n
1
一、求系统单位样值响应 h(n)
离散系统的时域分析_OK
pk[c cos k Dsin k] 或Apk cos(k )
其 中
Ae j
C
jD
Ar1k r1 k cos( k r1) Ar2k r2 k cos( k r2) ... A0 k cos( k 0)
8
2. 特解
激励 f (k)
特解 yp (k)
km
Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0 k r Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0
y
f
(1)
3y f
(0) 2 y f
(1)
f
(1)
1
14
系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解,分别求出方程
的齐次解和特解,得
yf
(k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
yp (k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
1 3
(2)k
将初始值代入上式,得
y
f
(0)
C
f
1
C
f
2
1 3
1
yf
(1)
1C f
yx
(1)
y(1)
0,
yx
2
y
2
1 2
yx (0) 3 yx (1) 2 yx 2 1
yx 1 3yx 0 2 yx 1 3
2021/9/5
求得初始值
13
1 1, 1 2
yx
(k)
Cx1
(1)k
Cx2
(2)k
yx yx
(0) (1)
Cx1 Cx2 Cx1 2Cx2
差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相互对 应的.
电子信息工程专业信号与系统复习题
第4页
不包括δ (t) 及其导数项的条件为（
）
A. N=0
B. M>N
C. M<N
D. M=N
29.已知 f (t) = u(t) − u(t − nT ) ,n 为任意整数，则 f (t) 的拉氏变换为（
）
A. 1 (1 − e−sT ) s
C. 1 (1 − e−ns ) s
B. 1 (1 − e−nsT ) s
）
20．已知 f (t) 的频谱为 F(j ω )，则 f (2t − 4) 的频谱为（
）
A．－ 1 F（ jw ）e－j2ω 22
C． 1 F（
jw
）e
−
j
1 2
ω
22
B． 1 F（ jw ）e－j2ω 22
D．2F（ 2 jw ）ej2ω
21．已知 F (z) ＝ z ，则其原函数 f (n) 为（
）
A．线性非时变系统 C．非线性非时变系统
B．线性时变系统 D．非线性时变系统
18． f (t) ＝ (t −1)u(t) 的拉氏变换 F (s) 为（
）
A．
e−s s2
B．
1+ s2
s
C． (s +1)e-s s2
D． 1− s s2
19．信号 f (t) 的波形如右下图所示，则 f (−2t +1) 的波形是（
4．符号信号 Sgn(2t − 4) 的频谱函数 F( jω) =_______________。
5．已知某一因果信号 f (t) 的拉普拉斯变换为 F(s) ，则信号 f (t − t0 ) *ε(t),t0 > 0 的单边拉氏变换为 _____________________。
信号系统面试题
第1章信号与系统的根本概念1.信号、信息与消息的差异？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2.什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号〔在t=0点时，不连续〕，单边正弦信号〔在t =0时的一阶导函数不连续〕。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号d(t)和单位阶跃信号u(t)。
5.线性时不变系统：同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应〔或单位脉冲响应〕、系统函数或频率响应进行描述。
而且多个系统可以以不同的方式进行连接，根本的连接方式为：级联和并联。
第2章连续时间系统的时域分析1.如何获得系统的数学模型？数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。
不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。
对于线性时不变系统，其数学模型通常由两种形式：建立输入-输出信号之间关系的一个方程或建立系统状态转换的假设干个方程组成的方程组〔状态方程〕。
对于本课程研究较多的电类系统而言，建立系统数学模型主要依据两个约束特性：元件特性约束和网络拓扑约束。
一般地，对于线性时不变连续时间系统，其输入-输出方程是一个高阶线性常系数微分方程，而状态方程那么是一阶常系数微分方程组。
在本章里，主要讨论系统的输入-输出方程。
2.系统的起始状态和初始状态的关系？起始状态：通常又称状态，它是指系统在鼓励信号参加之前的状态初始状态：通常又称状态，它是指系统在鼓励信号参加之后的状态。
起始状态是系统中储能元件储能情况的反映。
3.零输入响应和零状态响应的含义？零输入响应和零状态响应是根据系统的输入信号和起始状态的性质划分的。
如果系统无外加输入信号〔即输入信号为零〕时，由起始状态所产生的响应〔也可以看作为由起始状态等效的电压源或电流源----等效输入信号所产生的响应〕，称为零输入响应，一般用表示；如果系统起始无储能，系统的响应只由外加信号所产生，称为零状态响应，一般用表示。
《信号与线性系统分析》重要公式
《信号与线性系统分析》重要公式信号与线性系统分析是电子信息专业重要的基础课程之一，具有重要的理论和实际应用价值。
随着信息技术的快速发展，信号与线性系统的研究在通信、图像处理、音频处理、控制系统等各个领域都扮演着重要的角色。
本文将介绍信号与线性系统分析中的一些重要公式，帮助读者更好地理解和应用信号与线性系统分析。
1.线性系统的定义：-叠加定理：线性系统对两个输入信号的线性组合作用后的响应等于对每个输入信号分别进行线性系统的响应再进行线性组合，即y(t)=a1*x1(t)+a2*x2(t)=>H[a1*x1(t)+a2*x2(t)]=a1*H[x1(t)]+a2*H[x2 (t)]-时间因果性：线性系统的输出，必须要随着输入的改变而改变，即输出仅依赖于当前和过去的输入值，而与未来的输入无关。
-线性系统的时不变性：线性系统的性质和特性在不同时刻都是不变的，即系统的输出只依赖于当前的输入和系统的当前状态。
-线性系统的稳定性：当输入系统后，输出会逐渐趋于有限值的性质。
2.常见信号的基本性质：-单位冲激函数δ(t)：在t=0时刻取值为无穷大，其他时刻取值为0，可以表示信号的零值以外的非零值。
-单位阶跃函数u(t)：在t=0时刻取值为0，t>0取值为1，可以表示信号的跃迁性质。
-正弦信号：具有周期性的函数，可表示信号的频率和相位。
-矩形信号：具有有限宽度和平坦的值，可表示信号的持续时间。
3.傅里叶级数与傅里叶变换：-傅里叶级数：将周期性信号分解为一系列正弦和余弦函数，以求得信号频谱的方法。
-傅里叶变换：将非周期性信号分解为连续频谱的方法，常用于信号的频谱分析和滤波等应用。
-时域与频域的转换关系：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，反之，傅里叶逆变换可以将信号从频域转换到时域。
4.系统的频率响应：- 时域脉冲响应h(t)与频域频率响应H(f)的关系：频域频率响应等于时域脉冲响应与复指数e^(-j2πft)的卷积。
§3.2 单位序列和单位序列响应
2.阶跃响应
当LTI系统的激励为单位序列ε(k)时，系统的 零状态响应称为阶跃响应，用g(k)表示。
迭分：
∑i
k = −∞
ε
(i
)
=
⎧0, ⎩⎨k +
1,
k<0 k≥0
= (k + 1)ε (k)
k
∑ε (i)
i = −∞
1
（3）δ (k) 与ε (k) 的关系：
δ (k) = ε (k) − ε (k − 1)
k
ε(k) = ∑δ (i) i = −∞
3.正弦序列：
f (k) = A cos(Ω0k + ϕ )
δ (k − 1) ⋅ δ (k − 2) = 0
迭分：
∑k
δ
i = −∞
(i)
=⎩⎨⎧10,,
k <0 k ≥0
= ε(k)
3δ (k) 3
-2 -1 0 1 2 3
k
δ (k −1) + δ (k − 2)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 k
ε (k)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k
（b）解析表示：
ε (k)
−1 0 1 2 3 4 5 k
ε
(k)
=
⎧1 ⎩⎨0
k≥0 k<0
f
(k
)
=
⎧e− ⎨
§7.5 单位样值响应
a 1 a 1
，是稳定的。
退出
§5.5 单位样值响应
主要内容
单位样值响应
求解h(n)
如何求待定系数？
因果性、稳定性 重点 单位样值响应
《信号与系统》
难点 如何求待定系数？
结束 开始
f (t ) Acos t u(t ) Acos (t 1)u(t 1)
F (s) As 1 es s2 2
4.已知系统的单位冲激响应为 h(t ) 3e 2 t u(t ) 3 写出此系统的频率响应特性
j 2
退出
§5.5 单位样值响应
主要内容
退出
如何求待定系数？
冲激响应是零状态的
先求边界条件。
h 1 h 2 h 3 0
可求出 h0 , h1, h2
迭代: h0 3h 1 3h 2 h 3 2 3 h2 3h1 3h0 h 1 6 1 3 2 代入 hn C 1 n C 2 n C 3 得 C 1 , C 2 , C 3 1 2 2 1 2 3 hn n n 1 un 2 2
(n)
3
Z 1 Z 1 Z 1
h(n)
3 1
解：列方程
yn 3 yn 1 3 yn 2 yn 3 xn退出
求解h(n)
单位样值信号 n 作用于系统： hn 3hn 1 3hn 2 hn 3 n
当 n 0 时 hn 3hn 1 3hn 2 hn 3 0 方程成为齐次方程。
特征方程: r 3 3r 2 3r 1 0 ,
特征根:
§3.7 用单位抽样响应表示系统的性质
2)、可否由已知的三个初始条件确定系数？ 不行！
由于输入 2 (n) 在n=0时加入系统，
必然 y(0) 1已经含有输入引起的初始 条件，必须剔除它。而 y0(3)是在n=0 之前就有的初始条件，我们设法求解它
目 录 30
对原方程设n=0,则
2 y(0) 12 y(1) 24 y(2) 16 y(3) 2
2 y(n) 12 y(n 1) 24 y(n 2) 16 y(n 3) x(n) 2 (n)
y(0) 1, y(1) 1, y(2) 11 8
解：1）根据特征方程 2 p3 12 p2 24 p 16 2( p 2)3 0 y0(n) (C1 C2n C3n2 )(2)n
的零输入响应？
y0[1] 1 y0[2] 11/ 8 y0[3] 21/16
解： 其特征方程为 ( 2)3 0 2 为方程的三重特征根
y[n] (c1n2 c2n c3 )(2)n
代入初始条件，得 c1 0,c2 5/ 4,c3 3/ 4, y0[n] 5 / 4n[2]n 3 / 4[2]n
目 录 27
3、在用经典法求全响应时，可以用以上
y(k )求得全响应的待定系数。因为它
同时反映了系统初态及输入信号作用 共同引起的初态的变化；但是不能用 Y(k)确定零输入响应的待定系数 4、为了确定零输入响应的系数，必须求 得信号没有加入之前的系统的初始状 态引起的初始条件
目 录 28
例：已知系统的差分方程，求零输入响应
目 录 26
有关初始条件的讨论 1、以上两个例题所给的初始条件 y0(1)
y0(2) y0(k) 等都是系统在未加入输入 信号时的起始状态，可以用来求解零 输入响应的未知系数 2、但是当微分方程有x(n)作用时，它同样 对系统的初态有影响，记为 yx (k)。它 们共同引起的初始条件记为y(k) y0(k) yx (k)
离散时间系统的零状态响应
离散时间系统的零状态响应
重点：零输入响应；卷积和; 因果和稳定性
1）经典法:分通解和特解两部分分别求解。 2）时域卷积和法:类似与连续时间系统中的卷积积 分方法。 3）变换域法:Z.T. ，类似于L.T.
充分条件
n
h(k )
例4：h(k ) 14 (k ) (2k 1 12 5k 1 ) (k 1)
此系统为不稳定系统
七 离散系统的全响应 例4：已知一离散因果系统
y(k 2) 0.7 y(k 1) 0.1 y(k ) 7e(k 2) 2e(k 1)
r(0) =0
r(1) =A
r(1)= r(0)+ A(0)
r(k+1) - r(k)= 0 k>=1
r(k+1) = r(k)
k>=1
1 若H ( S ) ( S )2
h(k ) (k 1) k 2 (k 1)
bm S bm1S bm2 S ... b1S b0 H (S ) n n 1 n2 S an1S an2 S ... a1S a0
离散系统的描述与模拟
S y(k ) y(k 1)
e (t)
1/S
x ( n)
D
x(n 1)
∑ -a
e (k)
y(t) y'(t)＋ay(t)＝e(t)
∑ -a
D
y(k)
y(k+1)＋ay(k)＝e(k)
一、离散信号的时域分解
(k )
信号与系统第五章(2)冲激序列响应
3 i0
1 1 1 k1 2 1 2k1
3
1 1
3
1 2
gk
1 3
1 1k1 1 1
2 3
1 2k1 1 2
1 1 1k 2 1 2k1
6
3
1 6
阶跃响应满足方程：
gk gk 1 2gk 2 k
g1
g 2
0
由方程利用迭代得：
g0 g1 2g 2 1 1
g1
g0
2g
1
1
2
阶跃响应满足方程：
gk gk 1 2gk 2 k
2 3
2k
k
1 3
1 k2
2 3
2k2
k
2
2.阶跃响应
当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列 k 时，
系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响
应，用 gk表示。
若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系 统的单位阶跃响应。
另外，若已知系统的 hk，根据LTI系统的线性性质
1 1, 2 2
hk C1 1k C22k
代入初值得
h0 h1
C1 C2 1 C1 2C2
1
hk
1 3
1k
2 3
2k
k
C1
C 2
1 3 2 3
7.离散时间信号与系统的z域分析
第七章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求1.熟练掌握信号的Z域分析方法：Z变换的定义、收敛区及基本性质，能够应用长除法和部分分式分解法求Z反变换。
2.掌握序列的傅里叶变换的定义和基本性质，并了解Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。
3.掌握离散系统响应的Z变换分析方法：深刻理解离散系统的系统函数的概念，掌握离散时间系统的时域和Z域框图与流图描述形式。
7.2 学习重点1.z变换,z反变换定义、基本性质、计算方法。
2.离散时间系统的z域分析。
3.离散时间系统的频率响应特性。
7.3知识结构7.4内容摘要7.4.1 Z变换1.定义∑∞-∞=-=n nz n x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。
2. 收敛域 (1) 有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他当0,021>>n n 时，收敛条件为0>z ；当0,021<<n n 时，收敛条件为∞<z ；当0,021><n n 时，收敛条件为∞<<z 0。
(2) 右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩当01>n 时，收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；当01<n 时，收敛域为∞<<z R x 1。
(3) 左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他 当02<n ，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； 当02>n ，收敛域为20x R z <<。
(4) 双边序列双边序列指n 为任意值时,)(n x 皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。
其z 变换：∑∑∑∞=--∞=--∞-∞=-+==1)()()()(n n nnn nzn x zn x zn x z X双边序列的收敛域为一环形区域21x x R z R <<。