组合及组合数公式

组合及组合数公式

1．组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m_(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数的概念

从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．

3．组合数公式

C m n＝A m n

A m m＝

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

m！

＝

n！

m！(n－m)！

(n，m∈N*，m≤n)．

探究点一组合的概念

例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．

(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？

(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？

(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？

(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？

探究点二组合的列举问题

思考怎样写一个问题的所有组合？

答和解排列问题类似，可以借助树形图来写一个问题的所有组合，组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序(如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b 等)来考虑，否则就会出现重复或遗漏．

例2从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．

踪训练2写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．

探究点三组合数公式及应用

思考1对比排列数的定义，能否给组合数下一个定义？

答从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．

思考2 由例2看出组合数C 34与排列数A 34有什么关系？你能写出求C 34的公式吗？

答 由例2可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排

列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合

的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33

.

例3(1)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；

(2)若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合为________．

跟踪训练3 (1)计算C 38－

n 3n ＋C 3n n ＋21的值； (2)求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n

.

例4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

巩固练习：

1.已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为________．

答案 4

2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．

答案 120

3．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．

答案 96

4．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．

答案 70

5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，求其中一个数是另一个数的两倍的概率．

6．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有________．

答案70

组合的应用

探究点一组合数的两个性质

思考1“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数有什么关系？

答

思考2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

(4)由(1)(2)(3)问的结果你能得到怎样的关系？

答

思考3由思考1、2你能得出组合数的性质吗？如何证明？

答组合数具备以下两个性质：

①C m n＝C n－m

n ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1

n

.

例1计算下列各式的值．

(1)C9699＋C9799；

(2)C n n＋1·C n－2

n

；

(3)C34＋C35＋C36＋…＋C310；

(4)A23＋A24＋A25＋…＋A2100.

探究点二简单的组合应用题

例2某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？

跟踪训练27名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)

答案140

例3 (1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

探究点四有限制条件的组合问题

例4在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．

(1)有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？