对有理数的认识

第一节 对有理数的认识

2.1 负数的引入

一、知识点梳理：

1．“负数”也是用来表示一类量的多少，这类量都有这样的共同特征：一定存在和它们 。

2．在除了0意外的自然数和分数的前面加上一个“-

”号得到的数就叫做 。 3．我们把整数和分数合并在一起统称为 。

4．有理数的分类：（1）按性质分为： （2）按符号分为： 二、基础练习：

1．填表，在适当的空格里打上“√”记号

2．某轮中超比赛甲队和乙队的比分为2:4，则甲队净胜球记为2+， 那么乙队净胜球记为 。

3．在跳高测试中，合格标准为00.4米，王超同学跳出05.4米，记作05.0+，张凯同学跳出了85.3米，则记作 。

4．把下列各数填写在相应的括号里

17.0-，15-，65

，0，35.12+，11+，

，2012，345-，3.8-，14125.3 正整数：{}；负分数：{

}；

整数：{

}；负数：{

}；

5．在1,0,1,2--四个数中，既不是正数也不是负数的是 。 6．如果用5.1-表示水位下降5.1米，1+表示 。

【例1】填空：

-表示数；2）a＜0时，a表示数，

①用字母a表示有理数时：1）a＞0时，a表示数，a

-表示数；3）a≥0时，a表示数。

a

②一个物体沿着东、西两个相反方向运动时，可以用正负数表示它的运动。

1）如果向东运动4米记作4米，那么相西运动应记作。

2）如果-7米表示物体向西运动7米，那么6米表示。

③如果自行车车条的长度比标准长度长2mm记作：+2mm，那么比标准长度短3mm记作：

。

④一天中午12时的气温是7℃，傍晚5时的气温比中午12时下降了4℃，凌晨4时的气温比中午12时低8℃，

傍晚5时的气温是，凌晨4时的气温是。

⑤第一个冷库的温度是-6℃，第二个冷库的温度是-12℃，冷库的温度高一些。

⑥一潜水艇所在的高度是-50米，一条鲨鱼在艇上方10米处，鲨鱼所在的高度是米。

⑦如果水库的水位上升5cm，记作+5cm，那么水位下降3cm，记作：，上升-2cm表

示。

-不是负数，那么a一定是。

⑧若a

⑨有理数包括和。

⑩最小的正整数是；最大的负整数是；既不是正数又不是负数的数是。

【例2】判断正误：

① 0是最小的有理数。（）

②分数是有理数。（）

③大于负数的数是正数。（）

④有理数中不是正数就是负数。（）

⑤既没有最小的整数，也没有最大的整数。（）

【例3】在下面有理数：-21，-3.11，5

2

，+2，

1

1

7

，0，3.3，-0.732，1中：

正数有；

负数有；

整数有；

非负整数有。

【例4】文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在。

【例5】一小虫从点O处出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬过的各段路程依次为（单位：cm）：

15，-13，20，-18，-16，22，-10

（1）小虫最后能否回到出发点O处？为什么？

（2）小虫离开出发点O最远时的距离是多少？

（3）爬行过程中，如果每爬1cm，奖励两粒芝麻，那么小虫共得了多少粒芝麻？

2.2 用数轴上的点表示有理数

一、知识点梳理：

1．我们把规定了，和的直线叫做数轴。

2．数轴的三要素：，，。

3．每一个有理数都可以在数轴上用一个确定的点表示，反之数轴上的每一个点都可以表示一个确定的有理数。

4．有理数比较大小：（填上大于，小于）

（1）任何负数都任何正数，任何正数都任何负数；

（2）任何负数都零，任何正数都零；

（3）用数轴上的点表示有理数时，位于数轴原点左侧的点表示的数位于数轴原点右侧的点表示的数，位于数轴原点右侧的点表示的数位于数轴原点左侧的点表示的数。

二、基础练习：

【】1．下列图形中，是数轴的是：

2．指出下面数轴上各点所表示的数：

M

F

E

D

C

A

-2-1

2

A 点表示： ；

B 点表示： ；

C 点表示： ；

D 点表示： ；

E 点表示： ；

F 点表示： ；M 点表示： ；N 点表示： ； 3．在数轴上分别用A ，B ，C ，D ，P ，Q ，R ，T 表示下列各数：

3,4,21,1.2--，0,1,5

4

,5.3--

4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“>”把他们连接起来

（1）5.3,4.23

1

,212-- （2）2,1.19.0,1---

2.3 相反数和绝对值

一、知识点梳理

1．相反数的概念：在数轴上位于原点的 ，到原点距离 的两个点所表示的数，其中一个数叫做另一个数的 ，或者说它们 。 2．求一个数的相反数

（1）一个数前面添上“ ”号，得到的数就是这个数的相反数； （2）规定0的相反数仍是 ；

（3）一个数前面加上一个“+”号，得到的仍是这个数，一个数前面加上一个“-

”号，得到的是这个数的 。 3．绝对值的概念：

数轴上的点到原点的距离叫做这个点表示的有理数的绝对值。 4．求一个数的绝对值

（1）正数的绝对值是它本身；

（2）负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值仍是0.

5．绝对值相等，但是符号相反的两个数互为相反数；一个有理数是由这个数的符号和绝对值两部分组成。

6．一个负数的绝对值越小，数轴上表示它的点距离原点越近；反之，一个负数的绝对值越大，数轴上表示它的点距离原点越远。

7．两个负数比较大小：两个负数绝对值大的反而小。 二、基础练习

1．求下列各数的相反数：

⑴ 212-的相反数是 ；⑵ 21

的相反数是 ；⑶ 7的相反数是 ；

⑷ 8-的相反数是 ；⑸ 0的相反数是 ；⑹ 325.0的相反数是 ； ⑺ 26

17

-

的相反数是 ；⑻34+的相反数是 ；⑼ a 的相反数是 ； 2．化简下列有理数的表达式：

⑴ =??? ?

?-

+43 ；⑵ ()=++5.7 ；⑶ =??

?

??+-85 ；⑷ ()=--8 ； ⑸ ()[]=+-+3 ；⑹ ()[]=+--53.3 ；⑺ =???

?????? ??---2617 ；⑻()[]=+++1.8 ；⑼

=??????????????? ??+-+-113 ；⑽()[]{}=+---99.0 ；⑾ =???

???????????? ??----21 。 3．求下列有理数的绝对值：

3,4576.0,21,1.2-+-，0,1,5

4

,5.3--，

4．计算： ⑴ =-

43 ；⑵ =+5.7 ；⑶ =+8

5

；⑷ =-8 ； ⑸ ()=+-3 ；⑹ ()=+-53.3 ；⑺ =??

?

?????? ??---2617 ；⑻()[]=+++1.8 ；

⑼ =??????????????? ??+-+-113 ；⑽()[]{}=+---99.0 ；⑾ =?

??

???????????? ??----21 。

5．计算：

⑴ =++-

41

43 ； ⑵ =--+5.25.7 ； ⑶ =+-+

16

185 ；⑷ =---912 ； ⑸ ()=+++-1.43 ；⑹ ()=+++-21.253.3 ； ⑺ =++-

2692617 ；⑻=--+6.35 ； ⑼ =--+++

81

4121 ；⑽=---+--+9.1136 ； ⑾ =-++-

23

6532 ；⑿=-+-----8.16.14.22.7 。 ⒀ =+?-

5

632 ；⒁ =+?+118411 。

6．求出绝对值分别为0,16,5

1

,5.1的有理数。

7．用“>”，“+”，“<”号填空： ⑴ 4

1

4

3

+

-

； ⑵ 5.75.7-+； ⑶ 22.02.0-+； ⑷ 55

-+；

⑸6

1

7

2-

+

； ⑹ 5.55.4-+； ⑺9.910-+；⑻ 3

17

2-

+。 8．画数轴，在数轴上标出表示5.1-和5.2的两点，并写出比5.1-大，且比5.2小的所有整数，并且用“<”

将它们与这两个数连接起来。

9．判断正误：对的打上“√”，错的打上“×”并加以更正。 ⑴ 4

3

43+=-

[ ] ； ⑵ 5.75.7->+ [ ] ； ⑶ 01000>- [ ]； ⑷ 负数的绝对值都是正数 [ ] ；

⑸ 符号相反而绝对值相等的两个数互为相反数 [ ] ； ⑹ 有理数的绝对值一定不是负数 [ ] ；

⑺ 规定了正方向，单位长度的直线叫做数轴 [ ] ； ⑻ 有理数都是成对出现的 [ ] ；

⑼ 任何负数小于任何正数 [ ]： ⑽ 任何负数都小于零 [ ]； ⑾ 数轴上的点表示有理数时，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 [ ]； ⑿ 一个负数的绝对值越小，数轴上表示它的点距离原点越远 [ ]； ⒀ 绝对值最小的数是零 [ ]； ⒁ 9

7

96-<- [ ]； ⒂ 零是最小的正整数 [ ]； ⒃ 4

3

32-<-

[ ]； ⒄ 两个有理数相等，则它们的绝对值也相等 [ ]； ⒅两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 [ ]。 ⒆ 11

10

65-<- [ ]； ⒇

二、有理数的四则运算

2．4有理数的加法

一、知识点梳理： 1．有理数的加法法则：

（1）同号两个有理数相加， 不变，并把 相加；

（2）异号两个有理数相加，取 的加数的符号，并用较 的绝对值减去较 的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得 ； （4）任何一个数和零相加，得 ； 2．有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：两个数相加，可以 两个的加数的顺序，和不变， 即=+b a ；

（2）加法结合律：三个数相加，先把两个数相加，或者先把两个数相加，和不变，即

()()c b a c b a ++=++。

3．一个有理数由符号和绝对值两部分组成，运算时，应注意：

（1）先判断两个加数是同号还是异号，确定用那条法则，确定和的符号； （2）然后再确定绝对值的大小，最后将绝对值 。 二、基础练习：

1．下列运算中，正确的个数是

⑴ ()()044=-+-； ⑵ ()()1468-=++-； ⑶ ()()550=-+；

⑷214143=??? ??-+??? ??； ⑸585585-=??

?

??-+??? ??+。 A 、4

B 、1

C 、2

D 、3

5．计算：()()=++-3.44.3 ；=??? ?

?

++??? ??-512523 。

6．计算下列各题：

（1）()()310-+- （2）()()1018-++ （3）()()1.171.17++- （4）()()70-+ （5）()()3223++- （6）()()1826-+-

（7）??? ??-+??? ??+863823 （8）??? ??-+??? ??-71775 （9）??

?

??++??? ??-43421

7．运用加法运算律计算下列各题：

⑴ ()()()()23398311-+++-++ ⑵ ()()()()41334133-+++++-

⑶ 1338195757????????

++++-+- ? ? ? ?????????

⑷

481639392????????-+++-++ ? ? ? ?????????

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 。 1．计算

（1）()()55--- （2）()()55+-+ （3）()()17.117.1--+

（4）()()07-- （5）()()2332--+ （6）()()2618---

（7）236388????+-+ ? ????? （8）53377????--- ? ????? （9）21344????--+ ? ?????

2．计算

（1）()()()667--+-+????

（2）113224??????+---+ ? ? ??????? （3）133484??????

--+-- ? ? ???????