相似三角形预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。
A D B E ∵ DE∥BC C ∴△ADE∽△ABC
AD AE DE \ AB AC BC
A A, ADE B, AED C
如图，△ABC 中，DE∥BC， GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则 图中与△ABC相似的三角形共有多 少个?请你写出来. A
3
B
2
E
l2
?
C
4
F l3
[例一]
AB m 已知：如图，l//l //l ， . 1 2 3 BC n DE m 求证： . DF m n
A E
D B
l1 l2
l3 证明 ：Ql1//l 2 //l 3 , F C AB DE m 注意观察： \ BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D EF DE n m EF n \ ， DE m DE m E B DF m n . 即 DE m [例二] m DE F C \ . DF m n
A
E A
E
D
F D
F B C
B
C
13:如图，E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上的一点，连结AE交CD于F， 则图中共有相似三角形（ ） A1对 B2对 C3对 D4对
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他 两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。
27.2相似三角形的判定1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三 符号语言： 角形是相似三角形. 在△ABC和△A´B´C´中， A′ A
B C B′ C′
A A, B B, C C ∵ AB BC CA . AB BC CA
A D B E C
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A D E
B
C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
？
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E,
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则 3:5 BE:AD=_____，BF:FD=_____。 A 3:5
F B E C
D
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB 于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 3:5 AD:DB=3:2，则EC:BC=______。
△ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
B F
练习：
A E
C
三角形相似具有
3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC
传递性!
这是两个极具代表性的 相似三角形基本模型：“A”型和“X”
A
型
C l
A D B
D
A
E
B
E l
B
C
D
E
C
A
B C
E
E
D A
l
D
B C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你 可要认真噢！
相似三角形判定的预备定理：
C
练一练1
1如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明 理由。
A
A
D F E G
D
E
B
F
C
B
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。
A D B
（图1）
“X”型
D E O
E C
B
（图2）
C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可 练习： 能多地找出图中的相似三角形，并 O 说明理由。 E
Δ OEF∽Δ OAB
Δ OEF∽Δ OCD
C A F
1. EF / / AB , AD AE BF AE \ , AB AC BC AC 四边形DEFB是平行四边形， DE AE \ DE=BF \ BC AC AD AE DE \ AB AC BC
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. AD AE DE AB AC BC ∴△ADE∽△ABC
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与 △ABC相似比为 1 k
对应角_______, 相等
对应边 比相等 ——————的两个三 D 角形, 叫做相似三角形 . A
F
C E B ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
练习：
1、若
BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度 A 吗？ 解： ∵DE∥BC,DF∥AC 1.5 E D ∴四边形DFCE为平行四边形 2 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 6 6 ∵DF∥AC C F B ∴△BDF∽△BAC 3 2 3 6 BF DF ∴B C AC ∴ 3 2 AC ∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
2、 如图：在△ABC中，点M是BC上 练习： 任一点， MD∥AC，ME∥AB， EC 2 BD 若 的值。 = 5，求 AC AB D
A E
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC BD BM 2 ∴ = = BA BC 5 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CM 3 CE = ∴ = 5 CB CA
A
B
D
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
拓展提高：
9.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC， E,F为中点. 求证：（1）△EDM∽△FBM； (2) BD=9，求BM的长
D E
l1 l2
上 上 下 下
F
l3
下 下 全 全
形象记忆
. . . .
左 左 右 右
. . . .
已知：如图，l//l //l ，AB 3, 2, 4. DE EF 1 2 3 求：BC.
A D
l1
解： l1//l 2 //l 3 Q \ AB DE BC EF （平行线分线段成比例定理） 3 2 即 BC 4 \ BC 6
D C F M A E B
10.已知EF∥BC,求证:
F A
BD DC EG GF
G E
A E G F
B
D
C
B
D
C
11.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
A E F
AE AG AB AD
G C
G
E A B
B C
D
F
D
12.已知DE∥BC,EF∥CD, AD AB 求证: AF AD
ABC∽ △DEF △
对应角相等 比相等 相似三角形的———————, 各对应边—。 =k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
AB BC AC 相似比: DE EF DF
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
A B BI CI DI
MC ， = BC
B 3
5
2份
M
3份 5份
C
再 见
L1 L2
B
L5 E A
L4 D C
L1 L2
数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC AD = AE AD = AE AB AC AB AC
∵
L3
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等
∵
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
AB DE 与 BC EF
l3
E
B
l4
F
相等吗？
C
l5
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等. L1 L2 定理的符号语言 A D L3 B E L3//L4//L5 L4 DE C F L5 AB
= BC
EF
(平行线分线段成比例定理)
A B C
D
B
3.AB∥CD
或：
Δ OAB∽Δ OCD Δ OAB∽Δ OCD
三角形相似具有
传递性!
A D B E ∵ DE∥BC C ∴△ADE∽△ABC
AD AE DE \ AB AC BC
A A, ADE B, AED C
如图，△ABC 中，DE∥BC， GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则 图中与△ABC相似的三角形共有多 少个?请你写出来. A
3
B
2
E
l2
?
C
4
F l3
[例一]
AB m 已知：如图，l//l //l ， . 1 2 3 BC n DE m 求证： . DF m n
A E
D B
l1 l2
l3 证明 ：Ql1//l 2 //l 3 , F C AB DE m 注意观察： \ BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D EF DE n m EF n \ ， DE m DE m E B DF m n . 即 DE m [例二] m DE F C \ . DF m n
A
E A
E
D
F D
F B C
B
C
13:如图，E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上的一点，连结AE交CD于F， 则图中共有相似三角形（ ） A1对 B2对 C3对 D4对
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他 两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。
27.2相似三角形的判定1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三 符号语言： 角形是相似三角形. 在△ABC和△A´B´C´中， A′ A
B C B′ C′
A A, B B, C C ∵ AB BC CA . AB BC CA
A D B E C
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A D E
B
C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
？
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E,
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则 3:5 BE:AD=_____，BF:FD=_____。 A 3:5
F B E C
D
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB 于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 3:5 AD:DB=3:2，则EC:BC=______。
△ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
B F
练习：
A E
C
三角形相似具有
3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC
传递性!
这是两个极具代表性的 相似三角形基本模型：“A”型和“X”
A
型
C l
A D B
D
A
E
B
E l
B
C
D
E
C
A
B C
E
E
D A
l
D
B C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你 可要认真噢！
相似三角形判定的预备定理：
C
练一练1
1如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明 理由。
A
A
D F E G
D
E
B
F
C
B
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。
A D B
（图1）
“X”型
D E O
E C
B
（图2）
C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可 练习： 能多地找出图中的相似三角形，并 O 说明理由。 E
Δ OEF∽Δ OAB
Δ OEF∽Δ OCD
C A F
1. EF / / AB , AD AE BF AE \ , AB AC BC AC 四边形DEFB是平行四边形， DE AE \ DE=BF \ BC AC AD AE DE \ AB AC BC
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. AD AE DE AB AC BC ∴△ADE∽△ABC
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与 △ABC相似比为 1 k
对应角_______, 相等
对应边 比相等 ——————的两个三 D 角形, 叫做相似三角形 . A
F
C E B ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
练习：
1、若
BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度 A 吗？ 解： ∵DE∥BC,DF∥AC 1.5 E D ∴四边形DFCE为平行四边形 2 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 6 6 ∵DF∥AC C F B ∴△BDF∽△BAC 3 2 3 6 BF DF ∴B C AC ∴ 3 2 AC ∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
2、 如图：在△ABC中，点M是BC上 练习： 任一点， MD∥AC，ME∥AB， EC 2 BD 若 的值。 = 5，求 AC AB D
A E
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC BD BM 2 ∴ = = BA BC 5 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CM 3 CE = ∴ = 5 CB CA
A
B
D
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
拓展提高：
9.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC， E,F为中点. 求证：（1）△EDM∽△FBM； (2) BD=9，求BM的长
D E
l1 l2
上 上 下 下
F
l3
下 下 全 全
形象记忆
. . . .
左 左 右 右
. . . .
已知：如图，l//l //l ，AB 3, 2, 4. DE EF 1 2 3 求：BC.
A D
l1
解： l1//l 2 //l 3 Q \ AB DE BC EF （平行线分线段成比例定理） 3 2 即 BC 4 \ BC 6
D C F M A E B
10.已知EF∥BC,求证:
F A
BD DC EG GF
G E
A E G F
B
D
C
B
D
C
11.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
A E F
AE AG AB AD
G C
G
E A B
B C
D
F
D
12.已知DE∥BC,EF∥CD, AD AB 求证: AF AD
ABC∽ △DEF △
对应角相等 比相等 相似三角形的———————, 各对应边—。 =k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
AB BC AC 相似比: DE EF DF
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
A B BI CI DI
MC ， = BC
B 3
5
2份
M
3份 5份
C
再 见
L1 L2
B
L5 E A
L4 D C
L1 L2
数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC AD = AE AD = AE AB AC AB AC
∵
L3
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等
∵
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
AB DE 与 BC EF
l3
E
B
l4
F
相等吗？
C
l5
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等. L1 L2 定理的符号语言 A D L3 B E L3//L4//L5 L4 DE C F L5 AB
= BC
EF
(平行线分线段成比例定理)
A B C
D
B
3.AB∥CD
或：
Δ OAB∽Δ OCD Δ OAB∽Δ OCD
三角形相似具有
传递性!
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相似三角形的判定定理
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
相似三角形(预备定理)
例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。
3.4.1相似三角形的判定定理3
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ ABC 中，
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2
3.4.1相似三角形的判定1(预备定理)
∴AE=CE
B
又DE=FE,∠AED=∠CEF
△ADE≌△CFE
E F
C
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∴△CFE∽△ABC
练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形 EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上. 已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
A
解：由题可知：△AED∽△ABC
“A”型 A
“X”型
D
E
D
E
O
B
C
（图1）
几何语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
B
（图2）
C
几何语言： ∵DE∥BC
∴△DOE∽△COE
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过 点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F， 使DE=EF.
A
求证：△CEF∽△ABC
思路
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AD ED AC BC
7.5 x x 7.5 5
解得 x=3
E
D
B
C
F
∴正方形的边长为3
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
上的点，且
AM 1 BM 3
，作AG∥MN.
求 CN 的值.
BN
∵AG∥MN
A M
O
∴△BMN∽△BAG
B
∴△CON∽△CAG
C
N
G
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD，
∴∠EOF=∠BCD,
∴∠EAD=∠BAC,
课堂小结：本节课你学到了什么？
九年级数学相似三角形性质
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 C △ABC相似的三角形（ ）。 A.4个
C D
B. 5个 C. 6个
D. 7个
B A F
E
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形对应高的比，对应 中线的比，对应角平分线的比， 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
直角三角形相似判定的情况
除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。 2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么着两个直角三角形相似。
1.下列命题正确的是（
）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。 B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。 C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1. D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ）D C
A.没有实数根 B.有两个相等 实根 C.有两个不等 实根 D.以上都不对
A B
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ） D C c
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。 5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形的预备定理
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
相似三角形的判定预备定理
已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交 AC于E . 猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , DB= EF 又∵ AD = DB 2 ∴ AD = EF D E ∵ ∠ A =∠ 3 ， ∠ 2 =∠ C 3 ∴ △ADE≌△EFC B F C ∴ DE = FC =BF，AE=EC AE 1 DE 1 AD AE DE 1 ∴ ∴ AC 2 BC 2 AB AC BC 2 ∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC 1 三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。 A
D B A
即： 在△ABC中， 如果DE∥BC， E 那么△ADE∽△ABC
C
即： 在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么
AD AE DE , AB AC BC
A
D
E C
B
AB AC BC , AD AE DE
（上比全， 全比上）
DB EC AB AC ， , AB AC DB EC
1： 4 。 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
A E F D
G H I C
B
5.如图，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若 AD：DB=2：3，BC=15，求DE的长。
A D E
B
C
2
当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？
相似三角形判定-预备定理
创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1， ＝ ＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两 个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜 想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测 反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， 全比上） AB AC BC AD AE DE
27.2.2相似三角形的判定(2)预备定理.
再见
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：∵ l3∥l4 ∥l5 ,
∴
AB BC
DE , EF
BC AB
EF , DE
l1
l2
A
D
l3
AB DE , AC DF
AC DF AB DE
27.2相似三角形的判定
预备定理
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵A A, B B, C C
AB BC CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
三角形相似具有
传递性!
或：Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
Δ OAB∽Δ OCD
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
F
G
B
D
C
F
GE
A
B
D
C
相似三角形判定方法
相似三角形预备定理
l2
E
l3 l4
C
l4 l5
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线）， ），所得的对 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等. 应线段的比相等
三角形的中位线截得的三角形与 三角形的中位线截得的三角形与原三角形 截得的三角形 是否相似？相似比是多少？ 是否相似？相似比是多少？
5、如图，在 、如图， ABCD中，E是边 上的一点， 是边BC上的一点 中 是边 上的一点， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则 BE:AD=_____，BF:FD=_____。 A 3:5 ， 3:5 。 D
F B E C
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交 、如图， 中 的平分线交AB 的平分线交 于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 ∥ AD:DB=3:2，则EC:BC=______。 B ， 3:5 。
AC DF = AB DE
l1
A B
l2
D E
l3 l4 l5
AC DF = , BC EF
C
F
练习： 练习：
请指出成比例的线段. 如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段 l1
A D B E C
l2 l3 l4 l5
l1
D A B
l2
E
l3 l4
C
l5
l1
A D B
l2 l3
E C
l1
D A B
D
E G
B
F
C
B
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 如图， 是 延长线上一点， 如图 的 延长线上一点 BC交对角线 于E，交AD于F，则： 交对角线AC于 ， 于 ， 交对角线 (1)图中与△AEF相似的三角形有 图中与△ 相似的三角形有___。 图中与 相似的三角形有 。 (2)图中与△ABC相似的三角形有 图中与△ 相似的三角形有___。 图中与 相似的三角形有 。 (3)图中与△GFD相似的三角形 图中与△ 相似的三角形____。 图中与 相似的三角形 。