必修一同步2.2.2第1课时对数函数及其性质
5．函数y＝lnx的反函数是________． [答案] y＝ex
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●互动探究
对数函数概念
下列函数表达式中，是对数函数的有(
y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤
1 －1 0 ，logaa＝___ 1 ，loga ＝____(a>0，且 a≠1)． 2．loga1＝___ a 指数 函 3．一般地，我们把函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做______
(0，＋∞) ．把指数式 y＝ax 化 数，它的定义域为 R，值域为___________
为对数式为 x＝logay.
A．a>b>1>c>d
B．b>a>1>d>c C．1>c>a>b>c>d D．a>b>1>d>c
[解析]
解法一：观察在x轴上方的图象，从右至左依次为
②①④③，故b>a>d>c. 解法二：在上图中画出直线 y ＝ 1 ，发现分别与①，②，
③ ， ④ 交 于 A(a,1) ， B(b,1) ， C(c,1) ， D(d,1) 四 点 ， 由 图 可 知
(2) 左右比较，在 x 轴
上方，图象从左至右底 数依次增大．
如图所示， 曲线是对数函数 y＝logax 的图象， 已知 a 取 3、 4 3 1 3、5、10，则相应于 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次为( 4 3 1 A. 3、3、5、10 4 1 3 B. 3、3、10、5 4 3 1 C.3、 3、5、10 4 1 3 D.3、 3、10、5 )
在(0，＋∞)上是 减函数 ________
非奇非偶函数
[归纳总结] 对数函数的知识总结： 对数增减有思路，函数图象看底数； 底数只能大于0，等于1来可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(1,0)点．
3．反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且 y＝对称． x a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______
探究1.对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？
[解析]
根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量
出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保
证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x
＋ 2) ，(x ＋ 1) ， ∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中 log4x 系数 虽为 2 ，但可变形为 y ＝ log2x ， ∴ ⑥也是对数函数；只有③、
[答案] (1)(2,4) (2)C
[ 解析 ]
(1) 因为函数 y ＝ loga(x － 1) 的图象过定点 (2,0) ，所
以f(x)＝4＋loga(x－1)的图象过定点(2,4)．
(2) 方法一：若 0 ＜ a ＜ 1 ，则函数 y ＝ ax 的图象下降且过点 (0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象 均不符合． 若a＞1 ，则函数y＝ ax的图象上升且过点 (0,1) ，而函数 y ＝ loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合． 方法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函 数y ＝loga(－ x) 的图象只可能在左半平面，从而排除A， C；再
看单调性， y ＝ ax 与 y ＝ loga( － x) 的单调性正好相反，排除 D. 只
有B中图象符合．
●探索延拓 对数函数性质的综合应用
如图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝
logcx ，④ y ＝ logdx 的图象，则 a ， b ， c ， d 与 1 的大小关系是 ( )
●自主预习 1．对数函数的定义
一般地，我们把函数 y ＝________( a＞ 0，且a≠1) 叫做对数 logax x 是自变量，函数的定义域是__________ (0，＋∞) ． 函数，其中___ [归纳总结 ] a≠1. (2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是 1；②对数的底数是不等于 1的正实数(常数)；③对数的真数仅 (1)由于指数函数 y ＝ax中的底数a满足a＞0， 且 a≠1 ，则对数函数 y ＝ logax 中的底数 a 也必须满足 a ＞ 0 ，且
2
＝log2(x＋1)．
[解析] ①是指数函数；②中log3x的系数为－1，但可变 形为y＝ log1 x；∴②是对数函数；③中的真数为 x ，但可变形
3
为y＝log
0.5
x，∴③是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴⑤
不是对数函数；∴②③④是对数函数．
对数函数的定义域：
求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x)； (2)y＝log(1－x)5； ln4－x (3)y＝ ； (4)y＝ log0.54x－3. x －3 探究1.对数式y＝logax满足什么条件？
●预习自测 1．下列函数是对数函数的是(
A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1) C．y＝logax2(a＞0，且a≠1) D．y＝lnx [答案] D [解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是 否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
)
2．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为 ( ) A．5 1 C.e 1 B.5 1 D.2
探究2.题(2)中，底数当1－x，则x应满足什么条件？ 探究 3. 题 (4) 中，对数式在偶次根式的被开方数中， x 应满
足什么条件？
[解析] (1)要使函数式有意义，需1－x＞0，解得x＜1， 所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}． (2)要使函数式有意义，需
1－x＞0 1－数y＝ log0.54x－3的定义域是{x|4＜x≤1}． [规律总结] 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集
合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概 念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在 底数上，应保证底数大于0且不等于1.
有自变量x.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y ＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如 下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
a＞1
0＜a＜1
(0，＋∞) 定义域：________
值域：R 性质
(1,0) ，即当x＝1时，y＝0 图象过定点______ 增函数 在(0，＋∞)上是_______
1 (1)(2014· 全国高考山东卷)函数 f(x)＝ 的定义域为 log2x－1 ( ) A．(0,2) C．(2，＋∞) 域为________． B．(0,2] D．[2，＋∞)
(2)函数 y＝f(x)的这义域为(－1,1)，则函数 y＝f(lgx)的定义
1 [答案] (1)C (2)(10，10)
探究1.函数y＝logax过定点是哪个点？ 探究2.函数y＝ax与y＝logax的图象有怎样的关系？ 探究3.给定的x＝3处函数值满足的关系式有什么作用？ [ 解析 ] (1) 因为函数 y ＝ logax(a＞ 0 ，且a≠1) 的图象恒过点
(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2.
c<d<1<a<b. [答案] B
[ 规律总结 ]
知函数 y ＝ logax(a ＞ 0 ，且 a≠1) 的底数变化对
图象位臵的影响．
如图，观察图象，注意变化规律： (1) 上 下 比 较 ： 在 直
线 x ＝ 1 的右侧，当 a ＞ 1 时，a越大，图象越靠近x 轴；当 0 ＜ a ＜ 1 时， a 越 小，图象越靠近x轴．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数及其性质
1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
优效预习
●知识衔接
a>0，且a≠1 ， 1．对数式 x＝logaN 中，a 的取值范围是_______________ N>0 N 的取值范围是_____.
(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底 数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，也就是为正数，简称为 “同正”；
(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底
④、⑥符合对数函数的定义．
[答案] C [规律总结] 对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a>0且a≠1. (2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为
x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．
指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5 x ；④y＝ log3 x；⑤y
所以函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0， －2)．
(2)方法一：由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象
关于直线y＝x对称，故选项A，D错误； 观察B，C两个选项中的图象，B中显然f(3)·g(3)＞0，不符 合要求． 方法二：∵a＞0且a≠1，∴f(3)＝a3＞0.
[思路点拨]
[答案] A
首先按照底数大于1和底数大于0小于1分类，
2.2.2对数函数及其性质1
质
x>1时, y>0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
例1：求下列函数的定义域： （1）y=logax2 ; （2）y=loga(4-x).
分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为 （0，+∞）求解.
解 （1）由x2>0 得x≠0， ∴函数y=logax2的定义域是 {x│x≠0}. （2）由4-x>0 得x<4，
(2)真数位置是自变量x，且x的系数是1，x>0；
(3)logax的系数是1.
常用对数函数与自然对数函数
(1).常用对数函数：以10为底的对数函数
常用对数函数；
y lg x 为
(2).自然对数函数：以无理数
e 为底的对数函数
y ln x
为自然对数函数.
探索研究：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
首先想到要做什么？
要使函数有意义
依据： (1)若a 1,loga m loga n m n 0
(2)若0 a 1,loga m loga n 0 m n
[典例3]
(1)解方程：log2(x2－2x－3)＝log2(x＋1)；
[思路点拨] 首先注意定义域的问题，然后解方程．
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸 值 域 :
R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是：增函数
探索发现:认真观察 函数 y log 1 x
2
y 2 1 11
42
的图象填写下表
图象特征
0 -1 -2
1 2 3 4
第二章2.2-2.2.2第1课时对数函数的图象及其性质答案
2.2.2 对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及其性质A级基础巩固一、选择题1．解析：因为A＝{y|y>0}，B＝{y|y>1}．所以A∩B＝{y|y>1}．答案：B2．解析：因为x＝20.5>20＝1，0<y＝log52<1，z＝log50.7<0，所以z<y<x.答案：C3．解析：要使函数有意义，只需2－log3x>0，即log3x<2.所以0<x<9.答案：D4．解析：依题意有log2x>1，所以x>2.答案：C5．解析：当a>1时，函数y＝log a x为增函数，且直线y＝x＋a与y轴交点的纵坐标大于1；当0<a<1时，函数y＝log a x为减函数，且直线y＝x＋a与y轴交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C.答案：C二、填空题6．解析：根据对数函数的定义判断．答案：(4)7．解析：当2x－3＝1，即x＝2时，y＝1，故点P的坐标是(2，1)．答案：(2，1)8．解析：根据题意，得3x－a>0，所以x>a3，所以a3＝23，解得a＝2.答案：2三、解答题9．解：因为a>1，所以f(x)＝log a x在(0，＋∞)上是增函数．所以最大值为f(2a)，最小值为f(a)．所以f (2a )－f (a )＝log a 2a －log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a ＝4.10．解：(1)由题意得⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)因为f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )]＝log a (－x 2＋2x ＋3)＝log a [－(x －1)2＋4]，若0<a <1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， 所以log a 4＝－2，a －2＝4，所以a ＝12.若a >1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4， f (x )无最小值．综上可知，a ＝12.B 级 能力提升1．解析：作x 轴的平行线y ＝1，直线y ＝1与曲线C 1，C 2，C 3，C 4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，a 4.由图可知a 3<a 4<a 1<a 2.答案：B2．解析：因为1<log 23<log 24＝2，所以3＋log 23∈(4，5)， 所以f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝答案：1243．解：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝ log 22x －3log 2x ＋2.因为－3≤log 12x ≤－12，所以12≤log 2x ≤3. 令t ＝log 2x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3， y ＝t 2－3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14， 所以t ＝32时，y min ＝－14；t ＝3时，y max ＝2. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.。
2.2.2.1 对数函数的图象及性质
比较下列各组数中两个值的大小： 例2 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4,log28.5 (2) log0.31.8,log0.32.7 a＞0,且 (3) loga5.1,loga5.9 ( a＞0,且a≠1 ) 解:⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它 因为它的底数2 1,所以它 考察对数函数y=log x,因为它的底数 在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5 (0,+∞)上是增函数,于是log 3.4＜ 上是增函数 因为它的底数0 0.3＜1,所 ⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所 考察对数函数y=log x,因为它的底数 以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 1.8＞ 以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞log0.32.7 (0,+∞)上是减函数
2
lg x lg x y = log 1 x = =− = − log 2 x 1 lg 2 2 lg 2
的图象. 因此我们还可以利用对称得到 y = log 1 x 的图象.
2
y
y = log2 x
O
x
1
y = log1 x
2
思考 （1）在同一坐标系中画出下列函数的图象
y = log 2 x, y = log 1 x,
在 ( 0 , +∞ ) 上是减函数
例1：求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域： （1）y=logax2 (9（3）y=loga(9-x) 分析：主要利用对数函数y=log 分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为 （0，+∞）求解。 +∞）求解。 (4（2）y=loga(4-x)
【优质文档】必修1教案2.2.2对数函数及其性质(一)
证明：设 （f x）=lg 1 x ，由 1 x 1x 1x
＞ 0，
得 x∈（－ 1，1），即函数的定
义域为（－ 1， 1），
又对于定义域（－ 1， 1）内的
任意的 x，
例 3 溶液酸碱度的测量 . 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的 .pH 的计算 公式为 pH= － lg［ H+］，其中［ H+］表示溶液 中氢离子的浓度，单位是摩尔 /升 .
例 1 分析：求函数定义域时应
掌握
从哪些方面来考虑？
对数函数
学生回答： ①分母不能为 0；② 知 识 的 应
偶次根号下非负； ③ 0 的 0 次幂没有 用.
意义 .
④若函数解析式中含有对数 式，要注意对数的真数大于 0.
（师生共同完成该题解答，师 规范板书）
解：（ 1）由 x2＞0，得 x≠0. ∴ 函 数 y=log ax2 的 定 义域 是 { x|x≠ 0}.
对数函数 概念
y=log ax 的定义域是（ 0，+∞），值域是 R .
探究：（1）在函数的定义中， 为什么要限
定 a ＞ 0 且 a ≠１．
组织学生充分讨论、交流，使
（ 2）为什么对数函数 y log a x（ a ＞ 0 学生更加理解对数函数的含义，从
且 a ≠１）的定义域是（ 0， +∞）．
而加深对对数函数的理解 .
都有 f （－ x） =lg 1 x 1x
1x
=－lg
（ 2）函数图象都经过（ 1， 0）点
（ 3）从左往右看，当 a ＞ 1 时，图象 逐渐上升，当 0＜ a ＜ 1 时，图象逐渐
下降 .
（ 4）当 a ＞1 时，函数图象在（ 1，0）
2.2.2对数函数及其性质(第一课时)
2.2.2对数函数及其性质（第一课时）1、函数f(x)＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)2、函数y ＝x |x|l og 2|x|的大致图象是()3、已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab ＝( )A ．1B ．2 C.12 D.144、下列各组函数中，定义域相同的一组是( )A ．y ＝a x 与y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)B ．y ＝x 与y ＝xC ．y ＝lgx 与y ＝lg xD ．y ＝x 2与y ＝lgx 25、函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称6、已知a>0且a≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象可能是()7、对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 4xB ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12x D ．y ＝log 2x8、已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝loga 1x ，y ＝loga 2x ，y ＝loga 3x ，y ＝loga 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( )A ．a 4＜a 3＜a 2＜a 1B ．a 3＜a 4＜a 1＜a 2C ．a 2＜a 1＜a 3＜a 4D ．a 3＜a 4＜a 2＜a 19、函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[0,1] 10、函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a≠1)的图象过定点________．11、函数y ＝log12x －1的定义域是________．12、若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．13、已知g(x)＝⎩⎨⎧e x x≤0lnx x>0，则g[g(13)]＝________. 14、．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 333x ＋4；(2)y ＝log (x －1)(3－x)．15、已知f(x)＝log 3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0＜a ＜2时，有f(a)＞f(2)，利用图象求a 的取值范围．16、函数f(x)＝log 2(32－x 2)的定义域为A ，值域为B.试求A∩B.17、求证：函数f （x ）=lgxx +-11是奇函数.18、求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.19、 求函数y = log 2|x|的定义域，并画出它的图象.。
2.2.2对数函数及其性质运算(1)课件
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 ＜ log108 log0.54 ＜ ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4
y log 1 x
y log 1 x
2
x
3
对数函数的图象与性质：
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) a＞1
y 1
0＜a＜1
图象 定义域
o
1
x
o
x
(0,+∞)
(0,+∞)
值域 定点
值分布
R (1,0)
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
R (1,0)
⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7,所以log 0.31.8＞log 0.32.7.
小结:对于同底不同真数的对数大小比较，应利 用对数函数的单调性判断大小。
⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a＞0 , a≠1 )
解:①当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1＜log a5.9; ②当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1＞log a5.9.
例2.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a＞0,a≠1 ).
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质
【解析】(1)由xlg＋x1＋>01，－3≠0， 得xx>＋－1≠1，103， ∴x>－1 且 x≠999. ∴函数的定义域为{x|x>－1 且 x≠999}.
(2)由xx>≠01，， 2－x>0，
得xx>≠01，， x<2，
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}.
12/9/2021
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logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x.
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1. 函 数 f(x) ＝ (a2 － a ＋ 1)log(a ＋ 1)x 是 对 数 函 数 ， 则 实 数 a ＝
【答案】(2,1)
【解析(jiě xī)】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).
5.函数y＝ln x的反函数是________. 【答案】y＝ex
【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝ln x的 反函数为y＝ex.
2.2 对数函数(duìshùhán shù)
2.2.2 对数函数(duìshù hán shù)及其性质
第1课时 对数函数的图象(tú xiànɡ)及性质
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目标定位
1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图 象及性质. 3.会类比指数函数，研究 对数函数的性质.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标
从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
2.2.2对数函数及其性质1
(1) log23.4 , log28.5 ; (2) log0.51.8 , log0.52.7; (3) log3π , log20.8.
( 4)
log a 5.1, log a 5.9(a > 0, a ≠ 1)
求下列函数的定义域： 例1求下列函数的定义域：
y = log a x 2 （1）
对数函数： 一般地， 一般地，我们把函数 y = log +∞）． +∞）． 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， x 注意辨别． 注意辨别．如： ， y = 2 log 2 x y = log 5 5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制： ②对数函数对底数的限制：a>0且a≠1 且 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（ 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，
1 0
2 1
4 2
… …
y=log2x
描 点
y 2 1
0
11 42
1 2 3
4
x
-1 -2
列 描 点 连 线
x
y = log
1 2
表 y = log 2 x
x
… … …
1/4
1/2
1
2
4
…
-2 2
-1 1
0 0
1 -1
2 … -2 …
y 2 1
0
11 42
1 2 3
4
x
-1 -2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？ 系呢？
在R上是
1
人教A版数学必修一2.2.2 对数函数及其性质.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质基础达标1．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是 ( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 要使函数有意义，须满足：⎩⎨⎧1－x ≠0，1＋x >0，解之得x >－1且x ≠1.故其定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)． 答案 C2．已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是下图中的( )．解析 y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称． 又y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同应选B. 答案 B3．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( )．A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析 由log a 13>0，log b 13>0，可知a ，b ∈(0,1)，又log a 13>log b 13作出图象如图所示，结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1. 答案 A 4．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________． 解析 由⎩⎨⎧4－x >0，x －3≠0，解得x <4，且x ≠3，所以定义域为{x |x <4，且x ≠3}．答案 {x |x <4，且x ≠3}5．若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________. 解析 f (x )＝a x 的反函数为g (x )＝log a x ，图象过点(2，－1)，∴－1＝log a 2，∴a ＝12. 答案 12 6．已知函数y ＝log a2x ＋1x －1的图象恒过点P ，则点P 坐标为________． 解析 当2x ＋1x －1＝1时，x ＝－2，所以恒过点(－2,0)． 答案 (－2,0) 7．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时， 利用图象判断是否有满足f (a )>f (2)的a 值． 解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示：(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由如图所示的图象知：当0<a <2时， 恒有f (a )<f (2)．故当0<a <2时，不存在满足f (a )>f (2)的a 值．能力提升8．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )．解析 由对数函数y ＝log 2x 过定点(1,0)可知， 函数f (x )＝1＋log 2x 的图象过定点(1,1)，且是单调递增的．同理，函数g (x )＝21－x 的图象过定点(1,1)，并且是单调递减的．观察函数图象可得选项C 满足条件． 答案 C9．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则a 的取值范围是________．解析 当－1<x <0时，0<x ＋1<1， 又f (x )＝log 2a (x ＋1)>0， ∴0<2a <1，则0<a <12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1210．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象． 解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )． 又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧lg (x ＋1)，x >0，0， x ＝0，－lg (1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示：。
2.2.2对数函数的图像及其性质
练习
1. 函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是 ( ③ ) y y ① 1 O y 1 ③ O 1 x 1 x
1
② O y 1 ④ O 1 x
1
x
探究：不同的对数函数在同一直角坐标系 中的图像的相对位置与底数的大小关系？
y log3 x
y log5 x
y log1 x
5
y log1 x
人教课标版高中数学必修 1第一章 LOGO
2.2.2 对数函数及其性质
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复习回顾：函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数
函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R.
a > 1
y
0 < a < 1
y
图 象
y=1 y=1
(0,1)
(0,1)
0 x 0 x
性 质
定义域:R 值 域 : (0 ,+∞) 过点(0,1),即x=0 时,y = 1.
(1)y=log 2 x
(2)y=log a (x-1)
变式
求下列函数恒过点的坐标
2
① f ( x) lg(1 x ) ② f ( x) loga ( x 1) 2 ③ y=loga(4a-x) 恒过﹙4，1﹚，求a的值.
2
3、解不等式问题
例4 解下列不等式： （1）log1 (3 x 4) log1 (3 x )
结论：在第一象限，底数越大的越接近x轴
3
在第四象限，底数越小的越接近x轴
b>a>d>c
y logd x
y logc x
例2:比较下列各组数中两个值的大小：