风险厌恶
• 风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
W
• 风险厌恶的度量： 图形分析
v(x)
v(x1) E{v(x)}
v(x0)
x0
E{x}
v-1(E{v(x)})
x1 x
• 风险厌恶及其度量： 两种风险厌恶的度量方法;
Markowtz 度量—风险溢价 E[u(W )]＝u[W ]
确定性等价（certainty equivalent)W
定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时， 参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
zero- mean risk=fair gamble
x, y,p [0,1]: pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y), or equivalently, iff Ef ( X ) f (EX ), with X (x, p; y,1 p).
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为 凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险 喜好；直线为风险中性。
• 例子：
100元 （概率为3/4）
L
-40元 （概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者， 接下来我们希望知道如何量化风险厌恶， 从而能够比较不同参与者或同一参与者在 不同情况时的风险厌恶程度。
utility function is concave, i.e., iff u´´ is
negative. • Example: u(w)=ln(w).
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1. f is concave. 2. X : Ef (X ) f (EX ).
x, y,p [0,1] : pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y),
or equivalently, iff
Ef ( X ) f (EX ), f(EX)
with
X (x, p; y,1 p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
凹函数的定义
• 定义：称函数 f:R→R为凹函数当且仅当
E[u(w(1 g))] u(w(1 R )
• 这里，博弈的盈亏为 wg ，与总财富成比例
展开得
R
1 [ 2
wu(w)] var[g] u(w)
R(w) wu(w) u(w)
风险厌恶的例子
• 线性或风险中性效用：u(w) w
A(w) R(w) 0
• 负指数效用函数：u(w) eaw, a 0
u[E（W）- ]＝u[E(W )]－u[E(W )]＋h.o.t
＝-
1 2
u(W u(W
) )
2 W
Arrow-Pratt度量：
＝-
1 2
u(W u(W
) )
2 W
RRA＝- u(W ) W )
风险容忍系数 （absolute risk tolerance)
＝E(W ) W
风险溢价（risk premium)
具体地：
E[u ( w0＋z )]＝u[w0＋Ce ]
C e C e (w0,u, z）
(w0,u, z）
Arrow-Pratt度量：
E[u(W )]＝u[E（W）- ]
u(W )＝u[E(W )] u[E(W )](W E(W ))＋ 0.5u[E(W )](W E(W ))2＋h.o.t
风险厌恶
熊和平 2012年秋季
一、风险厌恶的定义
• 风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用 函数定义——给定财富水平和效用函数， 定义风险厌恶。如下述定义：
• 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即 公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。
• 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连
定义:凹性
• A function f:R→R is concave iff:
• 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期 望效用函数，那么相应的效用函数u(.)是凹 的
风险厌恶的定义
• 基于公平博弈的定义： 定义：记 g为一个不确定的支付。如果E[g] 0
，则称 g 为一个公平博弈。
风险厌恶：称效用函数u(.) 的参与者是（严 格）风险厌恶的，如果
E[u(w g)] E[u(w)], E[g] 0
A(w) a, R(w) aw
• 平方效用函数：u(w) w 1 aw2
2
A(w) a , R(w) aw
1 aw
1 aw
• 幂指数效用函数：
u(w) 1 w1
1
A(w) , R(w)
w
三、风险厌恶的比较
风险厌恶的比较：
• 定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平
Tu＝-
1 ARAu
两种方法的比较：
例子（Copeland）：
某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策：
（1）
50%
$10
A
50%
-$10
(2) B
80% 20%
-$1,000 -$10,000
Arrow-Pratt度量
A $0.0025 B $324
Markowtz 度量
• 基于效用函数的定义：
• 风险态度的定义：
➢若对于风险投资L投资者满足：
E[u(L)] u[E(L)] E[u(L)] u[E(L)]
风险厌恶 风险偏爱
E[u(L)] u[E(L)]
风险中性
Risk aversion
• An agent is risk-averse if and only if his
A $0.0025002 B $489
请问你有何结论？
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• 绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所
要求的风险溢价 ，定义为：
E[u(w g)] u(w )
在小风险博弈下泰勒展开得到
绝对风险厌恶：
A(w) u(w) u(w)
• 相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数 的博弈和风险溢价：
风险厌恶、风险资产与资本配置
6.1.2 风险厌恶与效用价值
• 一个极度厌恶风险的投资者（A较大）可能会把任何风险 投资组合，甚至风险溢价为正的资产组合的确定等价报酬 率（效用）看得比无风险投资报酬率都低，这就使得这样 的投资者拒绝这个风险投资组合。
图6-3
标准差
6.1.2 风险厌恶与效用价值
• 例6-1 利用效用值评估投资项目
风险厌恶系数 投资组合 L的效用值
A Er=0.07;s=0.05
投资组合 M的效用值 投资组合 H的效用值
Er=0.09;s=0.10 Er=0.13;s=0.20
•
2.0
0.07-1/2*2*0.052=0.0675 0.09-1/2*2*0.12=0.0800 0.13-1/2*2*0.22=0.09
一个被许多金融理论者和ＣＦＡ(特许金融分析师)机 构采用的效用评分方法如下 :
U =E(r)–(1/2)Aσ 2
（6-1）
U:效用值； A:是投资者风险厌恶系数；
E(r)和σ是资产组合的期望收益及标准差；
收益率必须采用小数形式。
6.1.2 风险厌恶与效用价值
可见：1.高预期收益E(r)会提高效用； 2.高风险s会降低效用 ； 3.方差减少效用的程度取决于A，即投资者
6.1 风险与风险厌恶
• 6.1.1 风险、投机与赌博 • 6.1.2 风险厌恶与效用价值 • 6.1.3 评估风险厌恶
6.1.1 风险、投机与赌博
• 投机的定义是“在获取相应的报酬时承担一 定的风险” “ 相应的报酬”是指去除无风险收益之 后的实际预期收益，这就是风险溢价 ； “一定的风险”是指足以影响决策的风 险，当增加的收益不足以补偿所冒的风险时 ，投资者可能会放弃一个产生正的风险溢价 的机会。
投资者风险厌恶度量与评估
投资者风险厌恶度量与评估在金融投资领域，投资者的风险厌恶度量与评估是一个重要的话题。
投资者的风险厌恶程度决定了他们对不确定性的接受程度，进而影响他们的投资决策和资产配置。
一、风险厌恶度量的基本概念风险厌恶度量是指投资者对于风险的感知和反应程度。
风险厌恶度量可以通过问卷调查、实验研究等方式进行评估。
其中，最常用的是风险偏好度量工具，如风险偏好问卷和风险承受能力测试。
二、风险厌恶度量的影响因素1. 个人特征：个人的性格特征和心理因素会影响其对风险的厌恶程度。
例如，有些人天生就对风险敏感，而有些人则更加乐观和冒险。
2. 投资经验：投资者的经验和知识水平也会影响其对风险的厌恶程度。
经验丰富的投资者可能更加理性和冷静地对待风险，而缺乏经验的投资者可能更加谨慎和保守。
3. 金融市场环境：金融市场的波动和不确定性程度也会影响投资者的风险厌恶程度。
在市场不稳定和风险高涨时，投资者往往更加谨慎和保守。
三、风险厌恶度量的评估方法1. 风险偏好问卷：通过一系列问题，了解投资者对于不同风险水平的态度和喜好程度。
问卷中的问题可以涵盖投资偏好、风险承受能力、投资目标等方面。
2. 风险承受能力测试：通过模拟投资决策和评估结果，判断投资者对于不同风险水平的接受程度。
这种方法更加客观和实际，可以更好地反映投资者的风险厌恶程度。
四、风险厌恶度量的应用1. 资产配置：了解投资者的风险厌恶程度可以帮助投资者进行合理的资产配置。
对于风险厌恶程度较高的投资者，可以选择低风险的资产组合，如债券和货币市场基金。
而对于风险厌恶程度较低的投资者，可以选择高风险高回报的资产组合，如股票和房地产基金。
2. 投资决策：了解投资者的风险厌恶程度可以帮助投资者做出更加理性和适合自己的投资决策。
投资者可以根据自己的风险厌恶程度来选择适合自己的投资产品和策略，避免因过度冒险或过度保守而造成损失。
3. 风险管理：了解投资者的风险厌恶程度可以帮助金融机构和投资顾问进行风险管理和风险控制。
风险厌恶系数ppt课件
具有社会偏好个体的风险厌恶的实验 研究
• 这篇文章主要从实验的角度通过改进后的有序 的彩票选择设计（OLS设计）——多元价格序列 设计（MPL设计）方法来探讨社会偏好个体的风 险厌恶的分布特征。
实验必要性
传统经济学关于风险偏好的假定仅局限在个体面对可能 事件的客观概率分布所进行的权衡。但这种理论自身已 经隐含了一个假定， 即个体可以准确判断可能事件的 客观概率。因此，个体面对不确定条件下的决策时，并 不是风险偏好在起作用，而是风险认知在起作用。
• 第二部分：实验问题测试。测试目的是使被试更好地理解实验 中的收益支付规则。
• 第三部分：风险厌恶测度。本文基于标准的Arrow-Pratt相对 风险厌恶系数计算风险偏好。实验设计采用 Holt 和Laury （2002）所使用的基于彩票选择的实验设计。
• 被试需要分别对表中十对彩票做出选择彩票A还是彩票B的决定， 被选择的彩票将用来抽奖， 以决定被试的收益。不过本实验 设计在选择结束后，由计算机随机选择一对彩票，并根据被试 当时的选择来进行抽奖。计算机首先在1到10之间抽取一个序 号，以决定用哪一对彩票来决定收益。
实验结果：
风险厌恶的分布特征实验结果：
• 根据表2我们可知，风险厌恶、风险中性和风险爱好的个体所 占的比例分别为65%、28%和7%，其中高度风险爱好的个体的 比例接近于0，27%的个体具有较高的风险厌恶；
• 个体的风险厌恶中值位于0.41到0.68之间，其中风险厌恶和 风险爱好的个体的风险厌恶中值分别位于0.41到 0.68 之间 和 -0.49 到 -0.15 之 间 ； 个 体 选 择 安 全 选 项 的 个 数 的 平 均 值 5.48，其中风险厌恶和风险爱好的个体的安全选项均值分别 为 6.45 和 2.56。这表明了较大部分的个体为风险厌恶，较 小部分的个体为风险中性，只有极少部分的个体为风险爱好， 并且高度风险爱好的个体基本不存在，同时也可以发现个体 的风险偏好具有较强的异质性。
投资者风险厌恶度测试
风险是真实存在的，所以在投资之前必需要明确自己的风险厌恶度。
风险厌恶度测试问卷:为了关心投资者衡量自己的风险厌恶度，这里设计了一套问卷和评分体系，分数在9至14分的为保守型投资者，分数在15至21分的为温柔型投资者, 分数在22至27分的为激进型投资者。
问题如下:1、在你投资60天后，价格下跌20%。
假设全部基本面均未转变，你会怎么做?A、为避开更大的担忧，卖掉再试试其他的。
B、什么也不做，静等收回投资。
C、再买入。
它曾是好的投资，现在也是廉价的投资。
2、现在换个角度看上面的问题。
你的投资下跌了20%,但它是投资组合的一部分，用来在三个不同的时间段上达成投资目标。
⑴假如目标是5年以后，你会怎么做？A、卖掉B、不动C、再买入.⑵假如目标是15年以后，你会怎么做？A、卖掉B、不动C、再买入.⑶假如目标是30年以后，你会怎么做?A、卖掉B、不动C、再买入.3、在你买入退休基金后1个月，其价格上涨了25%。
同样，基本面未变。
沾沾自喜之后，你会怎么做？A、卖掉锁定收益.B、持有看跌期权并期盼更多的收益.C、再买入，由于可能还会上涨.4、你为了15年后退休而投资。
你更情愿怎么做?A、投资于货币市场基金或有保证的投资契约，放弃获得大量收益的可能性，重点保证本金的平安。
B 、一半投入债券基金，一半投入股票基金，盼望在有些增长的同时，还有固定 收入的保障。
C 、投资于不断增长的共同基金，其价值在该年可能会有巨幅波动，但在5或10 年后有巨额收益的潜力。
5、你刚赢得一份大奖。
但详细哪一个，由你自己定。
A 、2 OOO 美元现金。
B 、50%的机会获得5 000美元。
C 、20%的机会获得15 000美元。
6、有一个很好的投资机会刚消失。
但你得借钱。
你会接受贷款吗？A 、肯定不会B 、或许C 、会.7、你的公司要向员工出售股票。
公司经营者方案在3年内让公司上市。
在此之 前，你无法卖出股票，也不会得到红利。
但当公司上市时你的投资将增殖10倍。
风险厌恶度量
面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿 球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。
三、赌博显示的风险厌恶程度指标
效用函数越凹，风险规避倾向越强？我们还是以为赌博为例， 来对这个问题进行说明。
设经济人的财富收入效用函数为u(r)，(? r ? R)(u?(r ) ? 0) ，并设 财富以元为单位来计。假定经济人当前有w元。
设 F 是随机事件，其发生的概率为 p。通过事件 F，可以设计赌 博 g(x, y)：若事件F 发生，则赢 x元，经济人的财富变为w+x元；若 事件F 未发生，则赢 y元，经济人的财富变为w+y 元。
差
异y
曲
X
线
(三) 结果效用函数的基数意义
效用函数的凹性是说消费者的边际效用递减，凸性是说边际效 用递增。而边际效用是基数意义下的效用，也就是说，只有在基数 效用意义下，才能谈论效用增加多少。因此，凹或凸的结果效用函 数的存在，意味着基数效用函数存在。因此，预期效用函数存在定 理顺便回答了基数效用函数的存在性问题，而且是肯定的回答。
预期收入(万元) 100
100
11
11
调查发现，很多人都认为 A B且 D C。 A与B相比，虽然预期收入都为100万元，但 A是稳当地得到100 万元，B则有1%的可能一无所获，而多得10万元的概率才仅仅不过 10%：概率小，多得的数额也相对较小。这样，A明显比B好。 C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但购买 D 仅以少1%的 可能性就要比购买 C 多得10万元，因而D比C好。
第三讲：风险厌恶ppt课件
negative. Example: u(w)=ln(w).
9
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1. f is concave. 2. X : Ef (X ) f (EX ).
Eu1(w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind.
u1 (w0 )
dfn
25
主要结论
定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w) 2、u1(u21(z)) 是凹的；
x, y,p [0,1] : pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y),
or equivalently, iff
Ef ( X ) f (EX ), f(EX)
with
X (x, p; y,1 p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
3
凹函数的定义
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
34
递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
12
风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
ch7风险厌恶
7.21
1
1
1
2
7.6 一阶风险厌恶
a ( w w ), w w u ( w) a ( w w ), w w a a 0 （u不可微）
~ {( , 1 ); ( , 1 )}： 假设财富正好是w , g 2 2 ~ )] 1 u ( w ) 1 u ( w ) E[u ( w g
7.2
定理7.1
如果凸的连续偏好由（6.4）的期望效用 函数表示，那么相应的效用函数u是凹的 提示：考虑[c0; c1]=[x;0] 6.4：U(c) = u(x) 凸性偏好U： x>y, 0<a<1 u(ax+[1-a]y)>au(x)+(1-a)u(y)
Qiang Liu, School of Finance, SWUFE, Chengdu, China
风险厌恶
第7章
7.1 边际效用递减
定义7.1 对于函数u ()，如果x，y及 [0， 1]， u (x [1 ] y ) u ( x) (1 )u ( y ) 则称u ()为凹的
Qiang Liu, School of Finance, SWUFE, Chengdu, China
Qiang Liu, School of Finance, SWUFE, Chengdu, China
7.17
双曲线绝对风险厌恶（HARA）
1 A( w) , 1 d w 风险中性： d 平方： 负指数： 幂指数： 对数： d1 a , 1 d1 a , d 0, 0, 1 d 0, 1
ch06风险与风险厌恶
E(r)=p (-1)+(1-p) 0=-p
方பைடு நூலகம்为：
2 =p (-1+p)2 +(1-p) (0+p)2 =p(1-p)
效用值为：
1 1 U= E(r)- A 2 (r)=-p- Ap(1-p) 2 2
6-13
现在可以将风险厌恶者与个人愿意付出多少保险来 规避可能的损失联系在一起。假定一个保险公司在 对一年中的任何损失都提供保费率为v的财产保险， 个人按每美元的实际不动产价值付保费v给保险公司， 就可以不用承担风险，保险公司可以对任何损失进 行偿还，因此真实不动产可以在年末时仍然保持它 的原始价值。考虑这样条款所带来的确定负收益率 为-v，效用值为U=-v：
风险厌恶型的投资者会放弃公平博弈或更糟的投资组合，而更愿意考虑 无风险资产或正溢价的投机性投资。
效用评价公式：
U E (r )
1 A 2 2
其中，U 为效用值，A 为投资者的风险厌恶系数(A 越大表明该投资者 越厌恶风险，在冒同等风险的情况下必须给予其更大的风险溢价，否则 不愿意冒此风险)。系数 1/2 为一个约定俗成的分数项。收益率必须采用 小数形式而不是百分数形式。
6-4
我们可以把风险投资的效用值看成是投资者的“确 定等价收益率”。确定等价收益率就是为使无风险 投资与风险投资具有相同的吸引力而确定的无风险 投资收益率。只有当一个投资组合的确定等价收益 大于无风险投资收益时，这个投资才是值得的。 风险中性的投资者(A=0)只是根据期望收益率来判 断风险预期。风险的高低与风险中性投资者无关， 对他们来说，投资组合的确定等价收益率就是预期 收益率。 风险偏好者(A<0)更加愿意参加公平博弈与赌博， 这种投资者将风险的“乐趣”考虑在内之后反而使 他们的期望收益率升高。 均值-方差准则：如果E(rA)≥E(rB)，σA≤σB，且至少 有一项不相等时，投资组合A优于B。
风险厌恶度量
u( p (1 p)) pu( ) (1 p)u()
u( p f (1 p)g) pu( f ) (1 p)u(g)
( ) (u( ) u())
( f g) (u( f ) u(g)) 我们把和u在确定性选择集合 X 上的限制 分别叫做结果偏好和
设经济人的财富收入效用函数为u(r)，(rR)(u(r) 0) ，并设 财富以元为单位来计。假定经济人当前有w元。
设 F 是随机事件，其发生的概率为 p。通过事件 F，可以设计赌 博 g(x, y)：若事件F 发生，则赢 x 元，经济人的财富变为w+x 元；若 事件F 未发生，则赢 y 元，经济人的财富变为w+y 元。
面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿 球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。
通过调查发现，大多数人基本上都认为 A B 且 C D 。作出这 种评价的原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高。
用 P 表示赌博者的主观概率测度， u 表示在这个概率测度下的 预期效用函数。用 F 表示摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球这一 事件。则 F c 表示摸出的球不是红球，Gc表示摸出的球不是蓝球。
U( px (1p) y) u( px (1p) y) u( y)
u(E[ px (1 p) y])
u()
u( px (1 p) y) pu(x) (1p)u(y) u(E)
pU(x) (1 p)U( y)
u( x)
这就说明，U(x)是严格凸函数。
x
E y X
(二) 对待风险的冷淡态度
(一) 赌博平面
平面R2上每一点(x, y)都代表一个赌博g(x, y)。这样，平面R2 代表
风险厌恶程度对投资决策的影响
风险厌恶程度对投资决策的影响投资是一个需要冒风险的过程，无论是股票、债券、期货还是房地产等领域，都需要面对不同程度的风险。
一般来说，风险越高，回报也越高；但是，对于风险厌恶的人来说，可能会选择较为稳健的投资方式，而放弃高风险高回报的机会。
因此，风险厌恶程度对于投资决策有着重要的影响。
风险厌恶程度的定义风险厌恶是指人们对于可能出现的负面结果表现出的担忧和害怕的程度。
在投资中，风险厌恶程度越高，意味着对于潜在的损失越为敏感，选择较为保守的投资方式更加高概率。
风险承受能力的影响风险承受能力是指投资者能够容忍的最大风险程度。
通常来说，随着风险承受能力的增加，投资者更可能选择高风险高回报的投资方式。
但是，风险承受能力并非是唯一的因素，投资者的风险厌恶程度也会影响他们的投资决策。
利用心理账户来控制风险厌恶心理账户是指在人脑中形成的一种抽象的账户，用来管理个人的资产。
人们往往会将不同的资产分配到不同的心理账户中，这种做法可以对风险进行分散，减少单个心理账户中出现较大损失的可能性。
这种做法可以在一定程度上降低风险厌恶程度的影响，让投资者更容易承受一定程度的风险。
风险厌恶程度对投资组合的选择风险退避的人往往会选择相对风险较小的投资产品，例如债券和储蓄产品。
“安全第一”是他们的终极目标，因此他们的选择范围较窄。
而风险承受能力较强的人则可以选择股票、期货等高风险高回报的产品，尽管其风险高，但是其回报也更高。
风险厌恶程度的影响在不同的投资领域中表现不同。
例如，在房地产领域，相对于其他领域，其风险较大，需要承受较大的资金压力，而且可能面临各种复杂的政策变化和市场波动。
在这个领域中，风险厌恶程度往往更为明显，因为财产安全始终是人们考虑的首要问题。
总结在投资中，风险厌恶程度对投资决策具有重要的影响。
投资者的风险承受能力和风险厌恶程度是两个相关但不同的概念，因此我们需要在投资决策中充分考虑这两个因素。
通过利用心理账户来分散资产的做法，可以降低投资者的风险厌恶程度，增加投资的成功概率。