初中数学等腰三角形练习题
一、复习回顾 1、等腰三角形的“三线合一”指的是 、 、 互相重合； 2.等腰三角形的一个内角是700，则其余两个角分别是 ； 3、.一个等腰三角形的一个角是1200,它的一腰上的高与底边的夹角是 4、一个等腰三角形周长为21，其中一 边长为9，三角形的腰长 ； 二、自主导学 上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达海岛B处。从A,B望灯塔C，测得∠NAC=42度，∠NBC=84度。从海盗B到灯塔C的距离。 二、学以致用 1.一个等腰三角形的一个角是300,它的一腰上的高与底边的夹角是( ) (A)150 (B)600 (C)150或600 (D)不确定. 2.等腰三角形一腰上的高和底边所夹的角等于( ). A.顶角 B.顶角的一半 C.顶角的2倍 D.底角的一半 3.以下命题中，正确的是( ) A.一腰相等的两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边上的中点到两腰距离相等 C.有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等 D. 等腰三角形的角平分线、中线和高共6条或3条 4.若使两个等腰三角形不一定全等，需满足下列条件中的( ) A.两腰分别对应相等 B.底角和底边分别相等 C.腰和顶角分别对应相等 D.腰和底边分别对应相等 5.如图，在⊿ABC中，AB=AC，且BE=CD，BD=CF，则∠EDF的值是( ) A.180°-2∠B B. 180°-∠B C.∠B D.90°-∠B 6、等腰三角形的周长为12,则腰长a的取值范围是( ) A.a>6 B.a<3 C.4
8.如图，△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上 ，BD=CF，BE=CD，AB=AC，DG⊥EF于点G.
求证：EG=FG
A
E
BC
F
G
D
9.求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
C
A
B
N
15、已知△ABC中,∠BAC=90°, AB=AC. （1）（12分）如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E.求证：BD=AE. （2）（8分）若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由. 5、如图，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°-21∠BDC。求证：⊿ABC是等腰三角形 10.如图，已知CE、CF分别是ACB和ACB的外角ACM的平分线，EF∥BC交AC于点D.求证：DE=DF. 1234MBCFEAD
4.已知如图，在等腰三角形中，P、Q分别为AC、BC上的一点，且AP=CQ，
BP交AQ于O，求∠BOQ的度数
5、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长
为５，求腰长。
如图，标杆AB高5m,为了将它固定，需要由它的中点C向地面与点B距离相等的D,E两点拉绳子，
使得点D,B,E在一条直线上。量得DE=4m，绳子CD和CE要多长？
B
C
D
E
A
初中数学专题02等腰三角形的存在性问题(原卷版)
专题二等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D ,满足∠DAB =45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段P A 最长？并求出此时P A 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A ,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.。
等腰三角形证明题精选(初中数学)
等腰三角形证明题精选(初中数学)等腰三角形证明题精选1. 等腰三角形内角求和为180°对于任意一个等腰三角形，我们可以通过以下步骤来证明其内角之和为180°：步骤一：作等腰三角形的高在等腰三角形ABC中，连接点A和底边BC的垂线AD，AD 即为三角形ABC的高。
步骤二：利用平行线性质由于三角形ABC是等腰三角形，所以AD垂直于BC，并且AD与BC平行。
步骤三：利用三角形内角和定理根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角之和等于180°。
又因为∠BAD和∠DAC都是直角，所以∠BAC + ∠BAD + ∠DAC = 180°。
综上所述，等腰三角形的内角之和为180°。
2. 等腰三角形的底角相等对于任意一个等腰三角形，我们可以通过以下步骤来证明其底角相等：步骤一：作等腰三角形的高在等腰三角形ABC中，连接点A和底边BC的垂线AD，AD 即为三角形ABC的高。
步骤二：利用平行线性质由于三角形ABC是等腰三角形，所以AD垂直于BC，并且AD与BC平行。
步骤三：利用三角形内角和定理根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角之和等于180°。
又因为∠BAD和∠DAC都是直角，所以∠BAD + ∠DAC = 180° - ∠BAC。
步骤四：证明∠BAD = ∠DAC由于AD与BC平行，且∠BAD是直角，所以∠BAD +∠BDA = 180°。
根据角对应定理，∠DAC = ∠BDA。
又因为∠BAD + ∠BDA = 180°，所以∠DAC = ∠BAD。
综上所述，等腰三角形的底角相等。
3. 等腰三角形的腰长相等对于任意一个等腰三角形，我们可以通过以下步骤来证明其腰长相等：步骤一：作等腰三角形的高在等腰三角形ABC中，连接点A和底边BC的垂线AD，AD 即为三角形ABC的高。
步骤二：利用平行线性质由于三角形ABC是等腰三角形，所以AD垂直于BC，并且AD与BC平行。
初中数学培优：等腰三角形(含答案)
等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
八年级数学竞赛例题专题讲解17：等腰三角形的判定(含答案)
专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。
(新)初中数学(等腰三角形的动点多解问题)试题
八年级上册等腰三角形的动点多解问题模块十：压轴题——等腰三角形的动点多解题 1.在平面直角坐标系中，点A （1,1），B （3,3），动点C 在x 轴上，若以A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则C 点的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52.已知点A （1，3），B （3，-1），点M 在x 轴上，当AM-BM 最大时，点M 的坐标为 。
3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1，3），M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 等腰三角形，则满足条件的M 一共有 个.4.已知C ，D 两点在线段AB 的垂直平分线上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，则∠CAD 的度数为 .5.以正方形ABCD 的一边CD 为边做等边三角形CDE.连接AE 、BE ，∠AEB 的度数为 .6.如图，在ABC ∆中，,120AC BC ACB =∠=︒，点D 在线段AB 上运动(D 不与,A B 重合)，连接CD ，作30CDE ∠=︒, DE 交BC 于点E .若CDE ∆是等腰三角形，则ADC ∠ 的度数是 .7.如图，△ABC中，AB=AC=9，BC=12，∠B=∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线段BC上从B向 C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE.1DC（不必说明理由）.（1）运动秒时，AE=2（2）运动多少秒时，∠ADE=∠B，并说明理由.8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A 在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点O的最大距离.9.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10,0），（0,4），D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P判断坐标.10.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，若动点P 从点C 开始，按C A B →→的路径运动，且速度为每秒2cm ，设点P 运动的时间为t 秒.(1)则AC = cm ;(2)当BP 平分ABC ∠，求此时点P 的运动时间t 的值;(3)点P 运动过程中，BCP ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值;若不能请说明理由.11.如图，在ABC ∆中，4,5,3AB BC AC ===，动点P 从点C 出发，沿着CB 运动，速度为每秒1个单位，到达点B 时运动停止，设运动时间为t 秒，请解答下列问题:(1)求BC 上的高;(2)当t 为何值时，ACP ∆为等腰三角形?12.如图，在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，4AD =，2CD =，点B 在AD 的延长线上，2BD =，连接BC .(1)求BC 的长;(2)动点P 从点A 出发，向终点B 运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t 秒.①当t 为何值时，PDC BDC ∆≅∆；②当t 为何值时，PBC ∆是以PB 为腰的等腰三角形?13.如图，已知△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，动点P 从点C 出发，沿着△ABC 的三条边逆时针走一圈回到C 点，速度为2cm/s ，设运动时间为t 秒．（1）判断△ABC 的形状，并求AB 边上的高；（2）t 为何值时，△ACP 为等腰三角形？（3）另有一点Q,从点C 开始,按顺时针走一圈回到C 点,且速度为每秒1cm,若P 、Q 两点同时出发,当P 、Q 中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t 为何值时,直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分?14.如图，△ABC 中，︒=∠90C ，,6,8cm BC cm AC ==若动点P 从点C 开始，按C B A C →→→的路径运动，且速度为每秒cm 2，设运动的时间为t 秒。
等腰三角形的性质应用(初中数学)
等腰三角形的性质应用一、应用“等边对等角”的性质例1 如图1，在△ABC中，△A=40°，△ABC=80°，点D，E分别在边AB，AC上，BD=BC=CE，连接CD，BE.若求△BDC和△ABE的度数.解析：因为BD=BC，△ABC=80°，所以△BDC=△BCD=12×（180°-80°）=50°.因为△A=40°，所以△ACB=180°-△A-△ABC=180°-40°-80°=60°.因为CE=BC，所以△BCE是等边三角形.所以△EBC=60°.所以△ABE=△ABC-△EBC=80°-60°=20°.二、应用“三线合一”的性质“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.例2 如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边中点，下列结论不正确的是（）A．△B=△C B．AD△BCC．△BAD=△CAD D．AB=2BC图2解析：因为AB=AC，所以△B=△C，选项A不符合题意；根据等腰三角形“三线合一”的性质，得AD是∠BAC的平分线，也是△ABC底边BC上的高，所以BAD=△CAD，AD△BC，故选项B，C不符合题意.故选D.例3（2021年北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆.取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向.（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图3所示.使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）.图3（2）在图4中确定了直线DB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明.证明：在△ABC中，BA=，D是CA的中点，△CA△DB（）（填推理的依据）.△直线DB表示的方向为东西方向，△直线CA表示的方向为南北方向．图1解析：（1）作BD△AC于D即可，如图3，点D即为所求作．图4（2）在△ABC中，BA=BC，D是CA的中点，△CA△DB（三线合一）.△直线DB表示的方向为东西方向，△直线CA表示的方向为南北方向.故分别填BC，三线合一.。
初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)
等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．几何法】“两圆一线”得坐标1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有AB=AC；2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有BA=BC；3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0)C3、C4 同理可求，下求 C5．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3， BH=2设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x13解得： x=619故 C5坐标为（ ,0）而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些．A 坐标222(3-代数法】表示线段构相等1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3），2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得： （m 1）2 12（m 4）2 32 ，【小结】 几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ； （4）列出方程求解．问题总结：1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安 中考】4）求解得答案：解得： 23 6故 C 5 坐标为23,0如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c交x轴于点 A( 4,0) 、 B(2,0) ，交y轴于点 C(0,6) ，在y轴上有一点 E(0, 2) ，连接AE ．1)求二次函数的表达式；2)若点D为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．分析】 1) y3x 2 3x 6； 422) 可用铅垂法，当点 D 坐标为 ( 2,6 )时，△ ADE 面积最大，最大值为 14； 3) 这个问题只涉及到 A 、 E 两点及直线 x=-1(对称轴)① 当 AE=AP 时，以 A 为圆心， AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE=2 5 ，∴ AP 1=2 5，又 AH=3，∴ P 1H故P 1( 1, 11)、 P 2 ( 1, 11)．② 当 EA=EP 时，以 E 点为圆心， EA 为半径画圆，故 P 5 ( 1,1) ． P 5 ( 1,1)．补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．P 1HP 4Bx11，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM=1， 1, 2 19)故P 3( 1, 2 19)、 P 4( 作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 ③当 PA=PE 时，P 点．设 P 5 ( 1,m )，P 5A 2 2 2 2 ( 1 4)2 (m 0)2， P 5E 2=( 1 0)2(m 2)2 ∴ m 2 9 (m2)2 1，解得： m=1 ．综上所述， P 点坐标为 P 1( 1, 11)、P 2( 1, 11 )、P 3( 1,19 )、P 4 ( 1, 2 19)、19 ，P 3M P4 M【 2019 白银中考（删减）】如图，抛物线 y ax2 bx 4交x轴于 A（ 3,0）， B（4,0）两点，与y轴交于点 C ，连接AC ，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作 PM x轴，垂足为点M ，PM 交 BC 于点 Q ．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以A， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；yCP分析】1) y1x2 1x 4 ；332)①当 CA=CQ 时，∵ CA=5，∴ CQ=5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则 CH QH 5 2，故 Q 点坐标为5 2,4 5 2．2 2 2②当 AC=AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y=-x+4，可设 Q 点坐标为( m， -m+4)，AQ (m 3)2( m 4 0)2，即(m 3) ( m 4 0) 5 ，解得： m=1 或 0(舍)，故 Q 点坐标为( 1， 3)．③当 QA=QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述， Q点坐标为5 2 ,4 5 2或( 1， 3)．22记直线 x=2 与 x 轴交点为 H 点， ∵ OH =2，∴ BH=1，故 B 点坐标为（ 2，1）或（ 2，-1），k=-1 或 -3． ②当 AO=AB 时，易知 B 点坐标为（ 2，0），k=-2． 综上所述， k 的值为 -1或-2 或-3． 【 2018 贵港中考(删减) 】2019 盐城中考删减 】如图所示， 二次函数 y k （x 1）2 2 的图像与一次函数 y kx k 2 的图像交于 A 、B 两点， 点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于 C 、 D 两点，其中 k 0 ． 1）求 A 、 B 两点的横坐标；2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值．分析】1）A 、B 两点横坐标分别为 1、 2；B 点横坐标始终为 2 ，故点 B 可以看成是直线 x=2 上的一个动点， 满足△ OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形， 又 A 点坐标为（ 1， 2），故 OA 5 ① 当 OA=OB 时，即 OB 5 ，如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图像与x 轴相交于 A( 1,0) ， B(3,0) 两点，与y 轴相交于点 C(0, 3) ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，P H x轴于点H ，与线段 BC 交于点M ，连接 PC ．当 PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．y② 当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为 （m,m 22m 3），则 M 点坐标为 （m, m 3）， 故线段 PM （m 3） （m 2 2m 3） m 2 3m 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△ MCN 是等腰直角三角形，故 MC 2m ，m 2 3m 2m ，解得 m 32 或 0（舍），故 P 点坐标为 (3 2,2 综上所述， P点坐标为（ 2， -3）或 （3 2,2 分析】1） y x 2 2 x 3 ；2）①当 PM=PC 时，（特殊角分析） 考虑∠ PMC =45°，∴∠ PCM=45°， 即△ PCM 是等腰直角三角形， P 点坐标为（ 2，-3）；4 2 )．【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 4 x2 bx c经过点 A（ 5,0）和点 B（1,0）．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A 、B重合），作 DMN DBA，MN 交线段AD 于点 N ，是否存在这样点M ，使得 DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由．x分析】1) y 4 x2 16 x 20，顶点 D 坐标为( 2,4 )；9 9 92)考虑到∠ DAB=∠DBA=∠DMN，即有△ BMD ∽△ ANM(一线三等角)①当 MD=MN 时，有△ BMD≌△ ANM，可得 AM=BD =5，故 AN=BM=1；②当 NM=ND 时，则∠ NDM =∠ NMD =∠DAB，③当 DM=DN时，∠ DNM =∠DMN =∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．△ MAD ∽△ DAB ，可得AM=25，6BM116ANBMAM，即BDAN116256，5解得： AN5536AN 的值为 1 或55．综上，36【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y x 4与x轴交于点B，与y轴交于点 C，抛物线 y x2 bx c经过B，C 两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒 2个单位长度的速度在线段 BC上由点B向点 C 运动（点P 不与点B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点P 作x 轴垂线交x轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交 BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．y分析】1） y x2 3x 4 ；2）①考虑到∠ DPM =45°，当 DP=DM 时，即∠ DMP =45°，直线 AM ：y=x+1，联立方程：x 3 x 4 x 1，解得： x1 3 ， x2 1 （舍）．此时 t=1 ．②当 PD=PM 时，∠ PMD =∠ PDM =67.5°，∠ MAB=22.5°，考虑 tan∠ 22.5 °= 2 1 ，直线 AM ：综上所述， t 的值为附： tan22.5 =° 2 1 ．总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，联立方程：x2 3 x 4 ( 2 1)x 21解得：x1 5 2 ， x2 1 （舍）．此时 t= 2 1．222.5 °tan 22.5 1 2 121可减轻计算量．。
初中数学综合复习等腰三角形(含等边三角形)部分4
初中数学综合复习等腰三角形（含等边三角形）部分4一、选择题1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°．则∠A等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是A、85°B、80°C、75°D、70°【答案】A3.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是( )A．(12)n·75°B．(12)n－1·65°C．(12)n－1·75°D．(12)n·85°【答案】C4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在方程式y＝﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？()A1A2A3A4CBDEF…第11题图第10题图AB CDEA ．2B ．3C ．4D ．5分析：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ．由AB ＝BC ，△ABC ≌△DEF ，就可以得出△AKC ≌△CHA ≌△DPF ，就可以得出结论．解：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ． ∴∠DPF ＝∠AKC ＝∠CHA ＝90°． ∵AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠BCA ． 在△AKC 和△CHA 中。
初中数学 三角形模块5-2 等腰三角形讲义(含答案解析)
第二部分等腰三角形题型练题型一等腰三角形的性质例1.如图，在ABC 中，,AB AC D =为BC 的中点，25BAD ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A .25︒B .35︒C .45︒D .50︒【分析】在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝25°，∴∠BAC ＝50°，故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式11.如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②AEF AFE ∠=∠；③EBC C ∠=∠；④AG EF ⊥．正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【详解】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF=∠AFE，故②正确；∵∠ABE=∠CBE，∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；∵∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．题型二等腰三角形的判定例2.如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的角平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若2BM =，3CN =，则MN 的长为（）A .10B .5.5C .6D .5【分析】由平行线的性质，得出∠MEB ＝∠CBE ，∠NEC ＝∠BCE ，再由角平分线定义得出∠MBE ＝∠EBC ，∠NCE ＝∠BCE ，证出ME ＝MB ，NE ＝NC ，即可求得MN 的长．【详解】解：∵MN ∥BC ，∴∠MEB ＝∠CBE ，∠NEC ＝∠BCE ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，∴∠MBE ＝∠EBC ，∠NCE ＝∠BCE ，∴∠MEB ＝∠MBE ，∠NEC ＝∠NCE ，∴ME ＝MB ，NE ＝NC ，∴MN ＝ME ＋NE ＝BM ＋CN ＝2＋3＝5，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．变式22.如图，在ABC 中，25,100B A ∠=︒∠=︒，点P 在ABC 的三边上运动，当PAC △成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________．【答案】100°或55°或70°【解析】【分析】作出图形，然后分点P 在AB 上与BC 上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P 在AB 上时，AP=AC ，顶角为∠A=100°，②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，如图2，点P 在BC 上时，若AC=PC ，顶角为∠ACB=55°，如图3，若AC=AP ，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，综上所述，顶角为105°或55°或70°．故答案为：100°或55°或70°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．题型三等边三角形的性质∠+∠的度例3.如图所示，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中12数为（）A.180︒B.220︒C.240︒D.300︒C【分析】由等边三角形的性质及四边形的内角和为360°可求得∠1＋∠2＝240°．【详解】解：如图，由等边三角形可知：∴∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠B）＝360°－120°＝240°．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质，关键是利用了：1、四边形内角和为360°；2、等边三角形的内角均为60°．变式33.如图，点D 在等边三角形ABC 内部，AD =AE ，若△DAB ≌△EAC ，则需添加一个条件：_______．【答案】DAB EAC ∠=∠或60EAD ︒∠=或CAB EAD =∠∠或BD CE =等【解析】【分析】根据等边三角形三边相等，三个内角都为60°，及全等三角形的判定定理解题即可．【详解】解：在等边三角形ABC 中，AB =ACAD =AE需添加∠DAB =∠EAC ，可得到△DAB ≌△EAC ；或添加∠EAD =60°，可得∠DAB =∠EAC ，可得到△DAB ≌△EAC ；或添加∠CAB =∠EAD ，可得∠DAB =∠EAC ，可得到△DAB ≌△EAC ；或DB =CE ，可得到△DAB ≌△EAC ；故答案为：DAB EAC ∠=∠或60EAD ︒∠=或CAB EAD =∠∠或BD CE =等．【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．题型四等边三角形的判定例4.下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A .有两个内角是60︒的三角形B .有两边相等且是轴对称图形的三角形C .三边都相等的三角形D .有一个角是60︒且是轴对称图形的三角形B【分析】根据等边三角形的判定解题．【详解】解：A 、两个内角为60︒，根据三角形的内角和为180︒，可知另一个内角也为60︒，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意；B 、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意；C 、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意；D 、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是60︒，有两边相等且一角为60︒的三角形是等边三角形．故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查等边三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式44.如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F ，若10CE =，3AF =，则BF 的长度为______．【答案】4【解析】【分析】根据等边对等角得出∠B =∠C ，再根据EP ⊥BC ，得出∠C +∠E =90°，∠B +∠BFP =90°，从而得出∠E =∠BFP ，再根据对顶角相等得出∠E =∠AFE ，最后根据等角对等边即可得出答案．【详解】证明：在△ABC 中，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵EP ⊥BC ，∴∠C +∠E =90°，∠B +∠BFP =90°，∴∠E =∠BFP ，又∵∠BFP =∠AFE ，∴∠E =∠AFE ，∴AF =AE =3，∴△AEF 是等腰三角形．又∵CE =10，∴CA =AB =7，∴BF =AB -AF =7-3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E =∠AFE ，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．题型五含30°角的直角三角形1.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2.在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°例5.如图，在ABC ∆中，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，过点B 作BD BC ⊥，若1AD =，CD 的长度为（）A .1B .2.5C .2D .3C【分析】由BD ⊥BC ，推出∠CBD ＝90°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝120°－90°＝30°，由AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，推出∠A ＝∠C ＝30°，所以∠A ＝∠ABD ，DB ＝AD ＝1，在Rt △CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，进而得出CD＝2BD＝2.【详解】解：∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝120°－90°＝30°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2BD＝2故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，以及含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．变式55.为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（）元．A.75aB.50aC.2252a D.150a【答案】A【解析】【分析】作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，则∠DBC＝30°，由BC＝15米，即可求出CD＝7.5米，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作BA 边的高CD ，设与AB 的延长线交于点D ，∵∠ABC ＝150°，∴∠DBC ＝30°，∵CD ⊥BD ，BC ＝15米，∴CD ＝7.5米，∵AB ＝10米，∴S △ABC ＝12AB ×CD ＝12×10×7.5＝37.5（平方米），∵每平方米售价2a 元，∴购买这种草皮至少为37.5×2a ＝75a （元），故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于做出AB 边上的高，并利用含30度角的直角三角形的性质求出高CD 的长度．题型六角平分线的性质定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．例6.如图，在ABC 中，90,ACB BD ∠=︒平分ABC ∠，且9,6,2AB BC CD ===，则ABC 的面积是（）A .9B .12C .15D .18C【分析】作DE ⊥AB ，根据角平分线的性质得到DE ＝CD ＝2，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】如图，作DE ⊥AB ，∵90,ACB BD ∠=︒平分ABC ∠，∴DE ＝CD ＝2∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AB ×DE ＋12BC ×CD ＝12×9×2＋12×6×2＝15故选C ．【点睛】此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知角平分线的性质．变式66.如图，已知在ABC 中，BD 是AC 边上的高线，CE 平分ACB ∠，交BD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE 的面积等于（）A.10B.7C.5D.3【答案】C【解析】【分析】作EF BC ⊥于F ，根据角平分线的性质定理得到2EF DE ==，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作EF BC ⊥于F ，CE 平分ACB ∠，EF BC ⊥，ED AC ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积152BC EF =⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．题型七角平分线的判定判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合例7.在ABC 中，AB BC =，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放．它们一组较短的直角边分别在AB ，BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ，BP 交边AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A .BP 平分ABC ∠B ．AD DC =C .BD 垂直平分ACD .2AB AD=D【分析】先根据角平分线的判定定理得到BP平分∠ABC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到AD ＝DC，BD垂直平分AC，进而即可求解．【详解】解：如图．由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE＝PF，∴BP平分∠ABC，∵AB＝BC，∴AD＝DC，BD垂直平分AC，故选项A、B、C正确，不符合题意；只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB＝2AD，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．变式77.如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中错误的是（）A.△ABE≌△ACFB.△BDF≌△CDEC.点D是BE的中点D.点D在∠BAC的平分线上【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF （AAS），正确；B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；C、无法判定，错误；D、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE 故点D在∠BAC的平分线上，正确；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．题型八垂直平分线的性质例8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC 的值是（）＝2，则S△ABEA.4B.5C.6D.8A【分析】由垂直平分线的性质，得AE ＝BE ，然后求出∠AEC ＝30°，则求出AE ＝4，由三角形的面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∴∠EAD ＝∠B ＝15°，∴∠AEC ＝15°＋15°＝30°，∵在△ACE 中，∠ACE ＝90°，∴AE ＝2AC ＝2×2＝4，∴BE ＝4，∴S △ABE ＝1142422BE AC ⋅=⨯⨯=；故选：A ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练所学的知识，正确的进行解题．变式88.如图，在 ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于E ，D 两点，EC=3， ABC 的周长为21，则 ABD 的周长为（）A.14B.15C.16D.17【答案】B【解析】【分析】根据垂直平分线的性质计算即可；【详解】∵DE 是线段AC 的垂直平分线，∴AD CD =，AE EC =，∴6AC =，∵△ABC 的周长为21，∴21AB AC BC ++=，∴15AB BC +=，∴ ABD 的周长15AB BD AD AB BC =++=+=，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．题型九垂直平分线的判定例9.如图，ABC 中，边AB BC ，的垂直平分线交于点P ．（1）求证：PA PB PC ==．（2）点P 是否也在边AC 的垂直平分线上？请说明理由．（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA ＝PB ，PB ＝PC ，则PA ＝PB ＝PC ．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P 在边AC 的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：∵边AB 、BC 的垂直平分线交于点P ，∴PA ＝PB ，PB ＝PC ．∴PA ＝PB ＝PC ．（2）∵PA ＝PC ，∴点P 在边AC 的垂直平分线上．此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．变式99.已知：如图，点P 在线段AB 外，且PA PB =，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．①作APB ∠的平分线PC 交AB 于点C②过点P 作PC AB ⊥于点C 且AC BC=③取AB 中点C ，连接PC④过点P 作PC AB ⊥，垂足为C【答案】①③④【解析】【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．【详解】解：①、利用SAS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；③、利用SSS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；④、利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．10.已知等腰ABC的一个角是40 ，则这个三角形的其余两个角为________．【答案】70°，70°或40°，100°【解析】【分析】分40°角是顶角与底角两种情况讨论求解即可．【详解】解：①40°角是顶角时，底角=12（180°-40°）=12×140°=70°，另两个角为70°，70°；②40°角是底角时，顶角为180°-40°×2=100°，另两个角为40°，100°，所以，另两个角度数为70°，70°或40°，100°．故答案为：70°，70°或40°，100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．11.如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝6，则△ABC的面积为（）A.2B.3C.4D.9【答案】D【解析】【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作CD⊥AB于D，AC＝AB＝4，在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴CD＝12AC＝3，∴△ABC 的面积＝12AB CD ⋅⋅=12×3×6＝9，故选D ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．12.如图，A ，D ，C ，B 在同一条直线上，DF 交EC 于点M ，AC BD =，A B ∠=∠，AF BE =．（1）求证：ADF BCE ≌．（2）若32B =︒∠，28F ∠=︒，试判断CDM V 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CDM V 是等边三角形，见解析【解析】【详解】解：（1）证明：∵AC BD =，∴AD BC =．在ADF 和BCE 中，,,,AF BE A B AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF BCE ≌．（2）CDM V 是等边三角形，理由如下：∵ADF BCE ≌，32B =︒∠，28F ∠=︒，∴28E F ∠=∠=︒，32A B ∠=∠=︒，∴322860MCD B E ∠=∠+∠=︒+︒=︒，322860MDC A F ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MCD MDC ∴∠=∠,MD MC∴=∴CDM V 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确找出判定全等三角形的条件是解题的关键．13.如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，且BE CF =，o =30BDE ∠，求证：ABC 是等边三角形．【答案】证明见解析【解析】【分析】用HL 证△BED ≌△CFD ，得出∠B =∠C ,再证∠B =60°即可．【详解】证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠BED =∠CFD =90°,在Rt △BED 和Rt △CFD 中，DB CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B =∠C ，∴AB =AC ，∵o =30BDE ∠，∴∠B =60°，ABC 是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用直角三角形的全等判定定理证明等腰，再依据等边三角形的判定进行证明．14.如图，在△ABC 中∠ACB =90°，AC=BC =4，△ACD 是等边三角形，连接BD ，则△BCD 的面积是___【答案】4【解析】【分析】求得△BCD的边BC上的高，用面积公式求解．【详解】如下图所示：过D作AC的垂线，垂足为E，∵∠ACB=90°∴△BCD的边BC上的高等于CE；∵△ACD是等边三角形∴AD=CD又DE⊥AC，AC=4∴114222EC AC==⨯=；又BC=4∴1142422BCDS BC EC=⋅=⨯⨯=△．答案为：4．【点睛】此题考查了正三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识，本题中发现△BCD 的边BC 上的高等于AC 的一半是关键．15.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3BC =，5AB =，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（）A.127 B.2 C.157 D.3【答案】A【解析】【分析】作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，根据勾股定理可求AC ，根据角平分线的性质可得DE =DF ，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，在Rt △ACB 中，4AC ===，∵CD 是角平分线，∴DE =DF ，∴111222AC DE BC DF AC BC ⋅+⋅=⋅，即1114343222DE DE ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，解得DE =127．故点D 到AC 的距离是127．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．16.如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，分点P在三条公路相交的三角形地带和地带之外作出图形即可得解．【详解】解：如图，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P2、P3、P4，内角平分线相交于点P1，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．17.如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（）A.①②B.①③④C.①③D.②③④【答案】B【解析】【分析】证明△BDF ≌△ADC ，可判断①；求出∠FCD =45°，∠DAC ＜45°，延长CF 交AB 于H ，证明∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°，可判断③；根据①可以得到E 是AC 的中点，然后可以推出EF 是AC 的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．【详解】解：∵△ABC 中，AD ，BE 分别为B C 、AC 边上的高，∠ABC =45°，∴AD =BD ，∠DAC 和∠FBD 都是∠ACD 的余角，而∠ADB =∠ADC =90°，∴△BDF ≌△ADC （ASA ），∴BF =AC ，FD =CD ，故①正确，∵∠FDC =90°，∴∠DFC =∠FCD =45°，∵∠DAC =∠DBF ＜∠ABC=45°，∴∠FCD ≠∠DAC ，故②错误；延长CF 交AB 于H ，∵∠ABC =45°，∠FCD =45°，∴∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°，∴CH ⊥AB ，即CF ⊥AB ，故③正确；∵BF =2EC ，BF =AC ，∴AC =2EC ，∴AE =EC =12AC ，∵BE ⊥AC ，∴BE 垂直平分AC ，∴AF =CF ，BA =BC ，∴△FDC 的周长=FD +FC +DC=FD +AF +DC=AD +DC=BD +DC=BC=AB ，即△FDC 的周长等于AB ，故④正确，综上：①③④正确，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜18.如图，在ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点E ，,AB BC 边的垂直平分线相交于点D ．若120∠=︒BEC ，则BDC ∠的度数为（）A.150︒B.130︒C.127︒D.120︒【答案】D【解析】【分析】由120∠=︒BEC ，可求∠EBC +∠ECB =60︒，由BE ，CE 分别,ABC ACB ∠∠，可得2,2ABC EBC ACB ECB∠=∠∠=∠，可求()2120ABC ACB EBC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，可得()18060BAC ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒，由,AB BC 边的垂直平分线相交于点D ．可得AD =BD =CD ，可得,ABD BAD DAC DCA ∠=∠∠=∠，可求1802ADB DAB ∠=︒-∠，1802ADC DAC ∠=︒-∠，可得240ADB ADC ∠+∠=︒，可求()360120BDC ADB ADC ∠=-∠+∠=︒．【详解】解：∵120∠=︒BEC ∴∠EBC +∠ECB =180°-18012060BEC ∠=︒-︒=︒，∵BE ，CE 分别,ABC ACB ∠∠，∴2,2ABC EBC ACB ECB∠=∠∠=∠()2260120ABC ACB EBC ECB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴()18060BAC ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒∵,AB BC 边的垂直平分线相交于点D ．∴AD =BD =CD ，∴,ABD BAD DAC DCA ∠=∠∠=∠，∴1801802ADB ABD BAD DAB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，1801802ADC DAC ACD DAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∴()180218023602360120240ADB ADC DAB DAC DAB DAC ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+=︒-︒=︒，∴()360360240120BDC ADB ADC ∠=-∠+∠=︒-︒=︒，故选择：D ．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角，掌握三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角是解题关键．19.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）尺规作图：作边AB 的垂直平分线EF ，分别与线段AB 、AC ，AD 交于点E 、F ，G ，（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG 、CG ，若AG ＝1，∠BAC ＝45°，求 BGC 的面积．【答案】（1）作图见详解；（2）S △BGC =12．【解析】【分析】（1）以A 、B 两点为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过两弧的交点作直线EF ，交AB 于E ，交AC 于F ，交AD 于G ，则直线EF 为AB 的垂直平分线；（2）由AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，可得AD 为BC 的垂直平分线，由EF 为AB 的垂直平分线，可得点G 为△ABC 的外接圆的圆心，作以点G 为圆心，AG 为半径作辅助圆，可得AG=BG=CG=1，由∠BAC ＝45°，圆周角定理得∠BGC =2∠BAC ＝2×45°=90°，可求S △BGC =11111222BG CG ⨯=⨯⨯=．【详解】解：（1）以A 、B 两点为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过两弧的交点作直线EF ，交AB 于E ，交AC 于F ，交AD 于G ，则直线EF 为AB 的垂直平分线；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴AD为BC的垂直平分线，又∵EF为AB的垂直平分线，∴点G为△ABC的外接圆的圆心，以点G为圆心，AG为半径作辅助圆，∴AG=BG=CG=1，∵∠BAC＝45°，∴∠BGC=2∠BAC＝2×45°=90°，∴△BGC为等腰直角三角形，S△BGC =11111222BG CG⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与面积，掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与面积是解题关键．培优练20.如图1，已知△ABC 为正三角形，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AC =AD ．（1）若∠CAD =30°，则∠BDC 的度数为；（2）若∠CAD 的大小在0°~90°范围内之间任意改变，∠BDC 的度数是否随之改变？请说明理由；（3）E 是DC 延长线上一点，且EB =ED ，连接AE ，如图2，试探究EA ，EB ，EC 之间的关系．【答案】（1）30°；（2）不会改变，理由见解析；（3）AE =BE +CE【解析】【分析】（1）由△ABC 为正三角形，可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC ，由∠CAD =30°，可求∠BAD =90°，由AC =AD ，可求∠ACD=∠ADC=75︒，∠ABD=∠ADB=45︒，由∠BDC =∠ADC-∠ADB=30°即可；（2）不会改变．理由如下：设∠CAD =2α°．由AC =AD ，可得∠ADC =∠ACD =90°-α°．由△ABC 为正三角形，可得∠CAB =60°，AC =AB =BC ，AB =AD ，可求∠ADB =∠ABD =90°-（30°+α°），∠BDC =∠ADC -∠ADB =30°；（3）在AE 上取点F ，使EF =EB ，可证△BEF 为正三角形，可求∠ABF =∠CBE ，可证△ABF ≌△CBE （SAS ），可得AF =CE 即可．【详解】解：（1）∵△ABC 为正三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC ，∵∠CAD =30°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD =90°，∵AC =AD ，∴∠ACD=∠ADC=()()11180180307522CAD ︒-∠=︒-︒=︒，∴∠ABD=∠ADB=()()11180180904522BAD ︒-∠=︒-︒=︒，∴∠BDC =∠ADC-∠ADB=75°-45°=30°，故答案为：30°；（2）不会改变．理由如下：设∠CAD =2α°．∵AC =AD ，∴∠ADC =∠ACD =90°-α°，∵△ABC 为正三角形，∴∠CAD =60°，AC =AB =BC ，∴AB =AD ，∴∠ADB =∠ABD =90°-（30°+α°），∴∠BDC =∠ADC -∠ADB =30°；（3）在AE 上取点F ，使EF =EB ，∵EB =ED ，∴∠EBD =∠EDB =30°，∴∠BED =120°．∵AB =AD ，EB =ED ，∴AE 垂直平分BD ，∴∠BED =60°，∴△BEF 为正三角形，∴BE =BF ，∴∠EBF =∠CBA =60°，∴∠ABC-∠CBF=∠FBE-∠CBF ，∴∠ABF =∠CBE ，在△ABF 和△CBE 中，AB CB ABF CBE BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴AF =CE ，∴AE =AF +EF =BE +CE ．【点睛】本题考查等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，掌握等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，关键是引辅助线构造三角形全等．。
初中数学三角形专题练习
初中数学三角形专题练习三角形中的边角关系一、单选题1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．4、5、6B．1、2、3C．3、3、6D．10、4、4 2．（3分）在△ABC中，∠C=100°，∠B=40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（3分）若一条长为31cm细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．12cm D．7cm或12cm 4．（3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝34°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°5．（3分）等腰三角形的一边长等于3，一边长等于7，则它的周长是（）A．13B．17C．13或17D．126．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC 于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是（）A．50°B．36°C．40°D．45°7．（3分）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．（3分）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 的中点，DC ⊥BC ，作∠EAB ＝∠B ，DE ∥BC ，连接CE ．若25BC AE =，设△BCD 的面积为S ，则用S 表示△ACE 的面积正确的是（ ）A ．52SB ．3SC ．4SD ．92S 9．（3分）如下图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2= B 1A 2，连结A 2 B 2按此规律下去，记∠A 2B 1 B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，，∠A n+1B n B n+1=θn ，则θ2016－θ2015的值为（ ）A ．20161802α+B ．20161802α-C ．20151802α+D ．20151802α- 10．（3分）设△ABC 的面积为1，如图①将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等份，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；……， 依此类推，则S 5的值为（ ）A ．18B ．19C ．110D ．111二、填空题11．（3分）一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是______． 12．（3分）等腰三角形的周长为16cm ，底边长为xcm ，腰长为ycm ，则x 与y 之间的关系式为 ____________13．（3分）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形．试写出其中一种四边形的名称____________．14．（3分）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，边AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，则B ∠=_______︒．15．（3分）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，若3cm CD =，10cm AB =，则ABD △的面积为________．16．（3分）如图，D ，E 分别为ABC 两边AB ，AC 的中点，将ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在BC 上点F 处，若55B ∠=︒，则BDF ∠=________．17．（3分）如图，ABC 是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE ，EF ，FG ，…，添加的这些钢管的长度与BD 的长度相等，如果10B ∠=︒，那么添加的这样钢管的根数最多是______．18．（3分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为120︒，40︒，20︒的三角形是“灵动三角形”．如图，60MON ∠=︒，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB OM ⊥交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定090OAC ︒<∠<︒）当OAC ∠=________时，ABC 为“灵动三角形”．19．（3分）我们定义三边长均为整数的三角形叫做整三角形.已知△ABC 是整三角形，其周长为偶数，若AC - BC = 3.则边长AB 的最小值是__________20．（3分）在□ABCD 中AC =6cm ，BD =8cm ，则AB 的取值范围是__________．21．（3分）如图，在∠ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013=____度．22．（3分）在等腰△ABC 中，AB=AC ，AC 腰上的中线BD 将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______．23．（3分）如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，2BC =，30A ︒∠=，点D 是AB 的中点，P 是AC 边上一动点，连接DP ，将DPA 沿着DP 折叠，A 点落到F 处，DF 与AC 交于点E ，当DPF 的一边与BC 平行时，线段DE 的长为_____.24．（3分）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且满足BE ＝BC ．连接CE 并延长交AD 于点F ，连接AE ，过B 点作BG ⊥AE 于点G ，延长BG 交AD 于点H ．在下列结论中：∠AH ＝DF ； ∠∠AEF ＝45°； ∠AH ＝DE ；∠S 四边形EFHG ＝S △DEF +S △AGH ，其中正确的结论有_____．（填正确的序号）25．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在线段AC 上，现将ABC ∆沿着BD 翻折后得到A BD '∆，A B '交AC 于点E ，//A D BC '且A D BC '=，若BD =ABC ∆的面积为__________．三、解答题26．（4分）如图，在77⨯的网格中，A 、B 均在格点上，请只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写做法）（1）在图1中画格点C ．使得ABC 为等腰三角形（请画出两个不同的C 点）； （2）在图2中作出BAD ∠的角平分线．27．（5分）在ABC 中，,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒，（1）求A ∠，B ，C ∠的度数；（2）ABC 按角分类，属于什么三角形ABC 按边分类，属于什么三角形？28．（4分）如图，在△ABC 中，∠B∠40°∠△ABC 的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，求∠AEC 的度数．29．（6分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题：∠1∠已知，如图1∠△ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求证：∠P=12∠A+90°∠ ∠2∠如图2，若P 点是∠ABC 和∠ACB 外角的角平分线的交点，∠A=80°，那么∠P=____°∠∠3∠如图3∠△ABC 中，若P 点是∠ABC 外角和∠ACB 外角的角平分线的交点，∠A=α，那么∠P=________（请用含α的代数式表示）30．（6分）如图，ABC ∆中，90BAC ︒∠=，40B ︒∠=，点D 在BC 边上，E 在BC 的延长上，且AB BD =，AC CE =．求DAE ∠的度数．参考答案1．A【分析】直接利用三角形的三边关系逐项判断即可．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A 、4+5＞6，能组成三角形；B 、1+2=3，不能组成三角形；C 、3+3=6，不能组成三角形；D 、4+4=8<10，不能组成三角形．故选：A ．【点睛】本题主要考查了组成三角形三边的条件，掌握两较短边长的和大于最长边的长就能够组成三角形是解答本题的关键．2．B【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可．【详解】解：ABC ∆中，40B ∠=︒，100C ，1801804010040A B C ．故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180︒是解答此题的关键． 3．C【分析】根据题意可分当腰长为7cm 时和当底边长为7cm 时，然后利用三角形三边关系进行判断求解即可．【详解】解：由题意易得：①当腰长为7cm 时，则底边为17cm ，17＞7+7，根据三角形三边关系可知不符合题意；②当底边长为7cm时，则腰长为：317122cm-=，由三角形三边关系可知符合题意；∴该等腰三角形的腰长为12cm；故选C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．4．A【分析】连接OB，根据切线的性质，得∠OBA＝90°，又∠A＝34°，所以∠AOB＝56°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．【详解】解：如图：连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°，∵∠A＝34°，∴∠AOB＝90°﹣34°＝56°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∵∠AOB＝∠C+∠OBC＝2∠C，∴∠C＝28°．故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质和三角形的外角和定理，能够连接OB是解题的关键.5．B【分析】本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．【详解】解：当三边是3，3，7时，3+3＝6＜7，不符合三角形的三边关系；当三边是7，7，3时，符合三角形的三边关系，此时周长是7+7+3＝17．因此等腰三角形的周长为17．故选：B．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，∠ABC=∠C，然后根据三角形的内角和等于180°方程求解即可．【详解】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠C=∠A+15°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质与定理并列出方程是解题的关键．7．B【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍.【详解】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=13S△ACF，S△BGF=S△BGD=13S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=12S△ABC=12×12=6，∴S△CGE=13S△ACF=13×6=2，S△BGF=13S△BCF=13×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故选：B.【点睛】此题主要考查根据三角形中线性质求解面积，熟练掌握，即可解题.8．C【分析】延长AE，BC交于点F，易得AE=DE，由DE∥BC，D为AB的中点，可知DE为中位线，所以BF=2DE，设BC=2x，AE=DE=5x，则BF=10x，CF=BF-BC=8x，在△ABF和△ACF中，分别利用同高的两个三角形面积之比等于底边之比，可推出面积关系.【详解】如图所示，延长AE，BC交于点F∵DE ∠BC ，∴∠ADE=∠B ，又∵∠EAB ＝∠B ，∴∠ADE=∠EAB ，∴AE=DE∵D 为AB 的中点，DE ∥BF ，∴DE 为△ABF 的中位线， ∴BF=2DE ，设BC=2x ，AE=DE=5x ，则BF=10x ，CF=BF -BC=8x ， 在△ABC 中，∵D 是AB 的中点，∴S △ACD =S △BCD =S ∴S △ABC =2S ， 在∠ABF 中，2184===ACFABC BC x CF x S S∠=8ACFSS在∠ACF 中，E 为AF 的中点， ∴1=42==ACECEFACFSSS S故选C. 【点睛】本题考查三角形的面积关系，根据同高的三角形面积比等于底边比，推出面积关系是关键. 9．B 【解析】∵OA 1=OB 1，∠AOB=α，∴∠A 1B 1O=12 （180°-α）， ∴12（180°-α）+θ1=180， 整理得，θ1=1802α︒+ ， ∵B 1B 2=B 1A 2，∠A 2B 1B 2=θ1，∴∠A 2B 2B 1=12（180°-θ1）， ∴12（180°-θ1）+θ2=180°， 整理得，θ2=11802θ︒+=31804α⨯︒+， ∴θ2-θ1=31804α⨯︒+-1802α︒+=21802α︒-，同理可求θ3=21802θ︒+=71808α⨯︒+， ∴θ3-θ2=71808α⨯︒+-31804α⨯︒+=31802α︒-， …，依此类推，θ2016－θ2015 =20161802α︒-； 故选B . 10．D 【解析】如图1，连接OC,由1BE 、1AD 分别将边BC 、AC2等份，111122AD C BCE ABC S S S ∆∆∆===,所以111111AD C BCE CE OD CE OD S S S S ∆∆-=-四边形四边形,即11AOE BOD S S ∆∆=,根据等底同高的两个三角形的面积相等可得1111,,AOE COE BOD COD S S S S ∆∆∆∆== 所以11111122AOE COE COD AD C ABC S S S S S ∆∆∆∆∆++===，即可求得11116AOE COE COD S S S ∆∆∆===，所以111111114=63211ABC AOE COE COD BOD S S S S S S ∆∆∆∆∆=----=-⨯=⨯+；如图2，连接OC,OD 1，OE 2,由图（1）的方法可得 11222211215BOD D OD COD COE E OE AOE S S S S S S ∆∆∆∆∆∆======, 所以11222211221116=155221ABC BOD D OD COD COE E OE AOE S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆=------=-⨯=⨯+, 同样的方法可求得311=7231S =⨯+,以此类推可得511=25111S =⨯+.故选D.点睛：本题是规律探究题，主要考查等底同高的两个三角形的面积相等；能从图中观察，并能适当添加辅助线是解题的关键.. 11．钝角三角形 【分析】由一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，利用三角形的内角和定理，可求得这个三角形的最大角的度数，继而求得答案．【详解】解：∠一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，∠这个三角形的最大角为：180°×7237++＝105°，∠这个三角形一定是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，注意求得三角形的最大角是关键．12．y=8-12x （0＜x＜8）【分析】根据等腰三角形周长公式可写出y与x的关系式.【详解】∵等腰三角形的周长为16cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，∴x+2y=16，∴y=8-12 x，∵y-y＜x＜2y，x+2y=16，∴0＜x＜8，则y=8-12x （0＜x＜8）.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．13．平行四边形（或矩形或筝形）【解析】解：将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，按位置摆放的不同，可以拼成平行四边形、矩形．故答案为平行四边形或矩形．14．30【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义得出EAD B CAD∠=∠=∠，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】DE 垂直平分AB ，∴AD BD = ，EAD B ∴∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，EAD CAD ∴∠=∠，EAD B CAD ∴∠=∠=∠．90C ∠=︒，90BAC B ∴∠+∠=︒， 390B ∴∠=︒ ，30B ∴∠=︒．故答案为：30． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，角平分线的定义和直角三角形两锐角互余，掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 15．215cm 【分析】先根据角平分线的性质求得3DE cm =，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：∵BD 是ABC ∠的平分线，90ACB ∠=︒，DE AB ⊥ ∴3DE DC cm == ∵10AB cm = ∴21031522ABDAB DE Scm ⋅⨯===． 故答案是：215cm 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，难度不大，能根据角平分线的性质求得3DE cm =是解决问题的关键． 16．70°利用折叠的性质求解． 【详解】解：由折叠的性质知，AD =DF ， ∵点D 是AB 的中点，∴AD =BD ，由折叠可知AD =DF ， ∴BD =DF ，∴∠DFB =∠B =55°，∠BDF =180°-2∠B =70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②中点的性质，等边对等角，三角形内角和定理求解． 17．8 【分析】根据已知利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质找到图中存在的规律，根据规律和三角形内角和定理不难求解． 【详解】解：∵添加的钢管的长度与BD 的长度相等，10B ∠=︒ ∴10DEB B ∠=∠=︒ ∴20EDF DEB B ∠=∠+∠=︒ ∵ED EF =∴20EFD EDF ∠=∠=︒ ∴30FEG EFD B ∠=∠+∠=︒ ⋯⋯∴由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10︒，第二个底角是20︒，第三个底角是30，第四个底角是40︒，第五个底角是50︒，第六个底角是60︒，第七个底角是70︒，第八个底角是80︒，第九个底角是90︒（这时与三角形内角和是180︒产生矛盾）就不存在了 ∴加的这样钢管的根数最多是8个． 故答案是：8本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等，发现并运用规律是正确的解答本题的关键．18．80°或52.5°或30°【分析】分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“灵动三角形”的定义计算．【详解】解：设∠OAC=x则∠BAC=90°-x，∠ACB=60°+x，∠ABC=30°∵△ABC为“灵动三角形”，当∠ABC=3∠BAC时，∴30°=3（90°-x），∴x=80°；当∠ABC=3∠ACB时，∴30°=3（60°+x）∴x=-50°（舍去）∴此种情况不存在；当∠BCA=3∠BAC时，∴60°+x=3（90°-x），∴x=52.5°，当∠BCA=3∠ABC时，∴60°+x=90°，∴x=30°；当∠BAC=3∠ABC时，∴90°-x=90°，∴x=0°（舍去）；当∠BAC=3∠ACB时，∴90°-x=3（60°+x），∴x=-22.5°（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°．故答案为：80°或52.5°或30°．本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 19．5 【分析】根据AC - BC = 3可得AC=BC+3，故三角形的周长为2BC+AB+3，其为偶数，故AB 为奇数，又因为AB ＞3，故AB 的最小值为5. 【详解】 ∵AC - BC = 3 ∴AC=BC+3∴三角形的周长=2BC+AB+3 ∵其周长为偶数，三边长均为整数 ∴AB 为奇数又∵AB ＞AC - BC 即AB ＞3 ∴AB 的最小值为5. 故答案为：5 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是关键. 20．17AB <<; 【解析】如图，∵在平行四边形ABCD 中，AC=6cm∠BD=8cm∠∴OA=12AC=3cm,OB=12BD=4cm∠∴在△AOB 中，OB −OA<AB<OA+OB ，即1cm<AB<7cm. 故答案是：1cm<AB<7cm. 21．2013m 2 【解析】试题分析：∠A 1B 、A 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，∠∠ACD=2∠A 1CD ，∠ABC=2∠A 1BC ， 又∠∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∠ACD=∠ABC+∠A ，∠∠A=2∠A 1，∠∠A 1=m2度．同理可得∠A 1=2∠A 2，即∠A=22∠A 2，∠∠A 2=2m2度． …… ∠∠A 2013=2013m2度． 22．16或8 【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16． 【详解】解：∵BD 是等腰△ABC 的中线，可设AD=CD=x ，则AB=AC=2x ， 又知BD 将三角形周长分为15和21两部分， ∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC 的三边分别为14，14，8． 经验证，这两种情况都是成立的． ∴这个三角形的底边长为8或16． 故答案为：16或8．【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．23．1或2【解析】 【分析】当DPF 的一边与BC 平行时，会有三种情况，需分别讨论，①：//DF BC ，②//DP BC ，③：//PF BC ，分别计算出每种情况时线段DE 的长即可. 【详解】当DPF 的一边与BC 平行时，有三种情况，分别讨论: ①：//DF BC 如下图所示，当//DF BC 时，90AED C ︒∠=∠=，则在Rt AED △中，30A ︒∠=，2AD =，则12ADDE ==; ②: 如下图所示，当//DP BC 时，点A 的对应点F 与点C 、E 重合，由折叠的性质可知2AD DE ==；③: 当//PF BC 时,如下图所示，90CPF APF C ︒∠=∠=∠=，因为折叠，30A F ︒∠=∠=，过点D 作AC 边上的垂线，垂足为H ，则60DEH ︒∠=，根据中位线定理可知12BC DH ==，继而可DE = 【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，熟知折叠的性质和中位线定理的应用是解题关键，本题属于三角形综合题 . 24．∠∠∠． 【分析】先判断出∠DAE ＝∠ABH ，再判断△ADE ≌△CDE 得出∠DAE ＝∠DCE ＝22.5︒，∠ABH ＝∠DCF ，再判断出Rt △ABH ≌Rt △DCF 从而得到①正确；根据三角形的外角求出∠AEF ＝45︒，得出②正确；结合①②可得DF ＝DE ，根据AH ＝DF 即可得③正确；连接HE ，判断出S △EFH ≠S △EFD 得出④错误． 【详解】∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABE ＝∠ADE ＝∠CDE ＝45︒，AB ＝BC ， ∵BE ＝BC ， ∴AB ＝BE ， ∵BG ⊥AE ，∴BH 是线段AE 的垂直平分线，∠ABH ＝∠DBH ＝22.5︒， 在Rt △ABH 中，9067.5AHB ABH ∠=︒-∠=︒， ∵∠AGH ＝90︒，∴∠DAE ＝∠ABH ＝22.5︒， 在△ADE 和△CDE 中，45DE DE ADE CDE AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴∠DAE ＝∠DCE ＝22.5︒， ∴∠ABH ＝∠DCF ， 在Rt △ABH 和Rt △DCF 中，BAH CDF AB CD ABH DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △ABH ≌Rt △DCF （ASA ），∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5︒，∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴67.5︒＝22.5︒+∠AEF，∴∠AEF＝45︒，故∠∠正确；︒+︒＝67.5︒，∵∠FDE＝45︒，∠DFE＝∠F AE+∠AEF＝22.545︒-︒-︒=︒，∴∠DEF＝1804567.567.5∴DF＝DE，∵AH＝DF，∴AH＝DE，故∠正确；如图，连接HE，∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5︒，∴∠DHE＝45︒，∵∠ADE＝45︒，∴∠DEH＝90︒，∠DHE＝∠HDE＝90︒，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故∠错误，∴正确的是∠∠∠，故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和与外角和的应用，推断△ADE ≌△CDE 和作出辅助线是本题的关键，综合性较强．25．【分析】根据翻折的性质得到==ABD A BD A ED EBD S S S S ''+，由//A D BC '且A D BC '=，依据平行线的性质及ASA ，可得A DE '≌BCE ，通过等量代换得到BCD ABD S S =，从而得到CD AD =设为4a ，依据等量代换得到=4=CD a BC ，依据三角形外角的性质、翻折的性质、三角形内角和定理得到=4BE BC a =，连接B 与EC 的中点F ,依据三线合一求出两个有公共直角边的直角三角形，依据勾股定理列出关于a 的方程，解出可求得ABC 的底和高，再运用三角形面积公式即可.【详解】解：设=4AD a ,∵AB AC =,∴=C ABC ∠∠,∵将ABC 沿着BD 翻折后得到A BD '，∴==ABD A BD A ED EBD S S S S ''+，=4A D AD a '=，DBE DBA ∠=∠，∵//A D BC '，∴'=A DE C ∠∠，'=A CBE ∠∠，又∵=4A D BC a '=，∴A DE '≌BCE （ASA ）， ∴12DE EC DC ==，A DE BCE S S '=， 又∵BCD BCE EBD SS S =+，=ABD A ED EBD S S S '+ ∴BCD ABD S S =，∴=4CD AD a =, ∴122DE EC DC a ===， ∵=4=CD a BC ,∴CBD CDB ∠=∠,又∵+CBD CBE DBE ∠=∠∠，+CDB A DBA ∠=∠∠，DBE DBA ∠=∠，∴=CBE A ∠∠，又∵=180BEC C EBC ∠︒-∠-∠,=180ABC C A ∠︒-∠-∠,=C ABC ∠∠∴=BEC ABC C ∠∠=∠,∴=4BE BC a =，如下图，连接B 与EC 的中点F ,则12FC FE EC a ===,3DF DE FE a =+=,∴BF AC ⊥,∴22222BD DF BF BC FC -==-,即22222(3)(4)a BF a a -==-（0a >），解得1a =，∴BF =88AC AD DC a +==，∴2ABC AC BF S ⋅==故答案为：【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的等边对等角的性质、三线合一的性质、三角形等角对等边的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理，解题的关键是发现D 是AC 的中点，三角形BCD 、三角形BCE 是等腰三角形，依据勾股定理列出关于a 的方程.26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质，构造边长为5的线段即可找出点C ；（2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，点C 即为所作；（2）如图，AE 即为所作．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．（1）∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）ABC 按角分类属于直角三角形，按边分类属于不等边三角形【分析】（1）根据三角形内角和定理根据方程组即可解决问题．（2）根据三角形的分类解决问题即可．【详解】（1）由题意得：20180A B C A B A B C ∠+∠=∠⎧⎪∠-∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得：553590A B C ∠=︒⎧⎪∠=︒⎨⎪∠=︒⎩，∴∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）∵∠C=90°，∠A=55°，∠B=35°，∴按角分类，属于直角三角形，按边分类，属于不等边三角形．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28．70°【详解】试题分析：先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA=180°-∠B=140°∠则利邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180°-∠BCA=220°，再根据角平分线定义得到∠EAC=12∠DAC∠∠ECA=12∠FCA ，所以∠EAC+∠ECA=12∠∠DAC+∠FCA∠=110°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC 的度数．试题解析：在△ABC 中，∵∠B∠40°∠∴∠BAC∠∠BCA∠180°∠40°∠140°∠∵∠DAC∠∠BAC∠180°∠∠ACF∠∠ACB∠180°∠∴∠DAC∠∠ACF∠360°∠140°∠220°∠∵AE 平分∠DAC∠CE 平分∠ACF∠∴∠EAC∠∠ECA∠12(∠DAC∠∠ACF)∠110°∠∴∠AEC∠180°∠110°∠70°.29．（1）见解析（2）40°（3）90°-12α 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，推理出两角的关系．【详解】(1)证明∠由三角形内角和定理得， A ABC ACB 180∠∠∠++=︒∠P PBC PCB 180∠∠∠++=︒∠点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点 ∠11PBC ABC PCB ACB 22∠∠∠∠==， ∠11P ABC ACB 18022∠∠∠++=︒ 又∠A ABC ACB 180∠∠∠++=︒∴ABC ACB 180A ∠∠∠+=︒- ∠()1P 180A 1802∠∠+︒-=︒ ∠1P A 902∠∠=+︒ (2)由三角形的外角性质得ACD A ABC ∠∠∠=+∵点P 是ABC ∠和ACB ∠外角的角平分线的交点∴ABC 2PBC ∠∠= ACD 2PCD ∠∠=∴2PCD A 2PBC 802PBC ∠∠∠∠=+=︒+∴PCD 40PBC ∠∠=︒+∵PCD ∠是ABC 的外角∴PCD P PBC ∠∠∠=+∠40PBC P PBC ∠∠∠︒+=+∠P 40∠=︒(3)由三角形内角和定理得ABC ACB 180A ∠∠∠+=︒-∠点P 是ABC ∠外角和ACB ∠外角的角平分线的交点∴DBC 2PBC ∠∠= ECB 2PCB ∠∠=∴DBC ECB A ABC A ACB ∠∠∠∠∠∠+=+++=180A ∠︒+∠2PBC 2PCB 180A ∠∠∠+=︒+1PBC PCB 90A 2∠∠∠+=︒+∵PBC PCB 180P ∠∠∠+=︒- ∴1180P 90A 2∠∠︒-=︒+ 1P 90A 2∠∠=︒-∠A ∠α=∠1P 902∠∠α=︒- 【点睛】本题是一道探究问题∠考查的知识点是三角形的外角的性质以及角平分线的定义．认真阅读材料中提供的方法，是解决此类问题的关键．30．45DAE ︒∠=【分析】在ABD ∆中，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出1(180)702BDA BAD B ∠=∠=︒-∠=︒，在ABC ∆中利用三角形内角和定理求出50∠=°ACB ，根据等边对等角以及三角形外角的性质得出1252CAE E ACB ∠=∠=∠=︒,根据三角形内角和，即可求出DAE ∠的度数.【详解】解：40B ︒∠=，AB BD =1(180)702BDA BAD B ∴∠=∠=︒-∠=︒ ,90,40ABC BAC B ∆∠=︒∠=︒中50ACB ∴∠=︒AC CE =1252CAE E ACB ︒∴∠=∠=∠= 180B BAD DAE E ∠+∠+∠+∠=︒180********DAE ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒【点睛】本题考点涉及等腰三角形性质、直角三角形、三角形内角和定理以及三角形外角定理等知识点，属综合题，熟练掌握相关性质定理是解题关键.。